-
2019-09-03 17:41:37更多相关内容
-
函数列与函数项级数——(一)一致收敛性
2019-05-28 18:53:42函数列及其一致收敛性 设是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列,(1)也可简单地写作或 函数列的极限函数记作f,则有或 函数列极限的定义:当n>N时,有 使函数列收敛的全体收敛点集合,称为...一.函数列及其一致收敛性
设
是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列,(1)也可简单地写作
或
函数列的极限函数记作f,则有
或
函数列极限的
定义:
当n>N时,有
使函数列
收敛的全体收敛点集合,称为函数列
的收敛域。
定义1
设函数列
与函数f定义在同一数集D上,
当n>N时,有
则称函数列
在D上一致收敛于f,记作
函数列
在D上一致收敛,必在D上每一点都收敛;反之,在D上每一点都收敛的函数列
,在D上不一定一致收敛。
不一致收敛于f的充要条件:
有
定理1(函数列一致收敛的柯西准则)
函数列
在数集D上一致收敛的充要条件是:
使得当n,m>N时,对一切
都有
定理2(余项准则)
函数列
在区间D上一致收敛于f的充要条件是:
推论:函数列
在D上不一致收敛于f的充要条件是:存在
使得
不收敛于0.
定义2
设函数列
与f定义在区间I上,若对任意闭区间
在[a,b]上一致收敛于f,则称
在I上内闭一致收敛于f.
注:若
是有界闭区间,显然
在I上内闭一致收敛于f与
在I上一致收敛于f是一致的.
二.函数项级数及其一致收敛性
设
是定义在数集E上的一个函数列,表达式
称为定义在E上的函数项级数,简记为
或
称
为函数项级数(2)的部分和函数列。
函数项级数的和函数,并写作
即
定义3
设
是函数项级数
的部分和函数列。若
在数集D上一致收敛于
则称
在D上一致收敛于
若
在任意闭区间
上一致收敛,则称
在I上内闭一致收敛。
定理3(一致收敛的柯西准则)
函数项级数
在数集D上一致收敛的充要条件为:对任给的正数
,总存在正数N,使得当n>N时,对一切
和一切正整数p,都有
或
推论:函数项级数
在数集D上一致收敛的必要条件时函数列
在D上一致收敛于0.
设函数项级数
在D上的和函数为
称
为函数项级数
的余项。
定理4(余项准则)
函数项级数
在数集D上一致收敛于
的充要条件是
三.函数项级数的一致收敛性判别法
定理5(魏尔斯特拉斯判别法)
设函数项级数
定义在数集D上,
为收敛的正项级数,若对一切
有
则函数项级数
在D上一致收敛。
也称为M判别法或优级数判别法,
为
的优级数。
下面讨论定义在区间I上形如
定理6(阿贝尔判别法)设
(i)
在区间I上一致收敛;
(ii)对于每一个
是单调的;
(iii)
在I上一致有界,即存在正数M,使得对一切
和正整数n,有
则级数(3)在I上一致收敛。
定理7(狄利克雷判别法)设
(i)
的部分和函数列
在I上一致收敛;
(ii)对于每一个
是单调的;
(iii)在I上
则级数(3)在I上一致收敛。
-
一致收敛性
2020-08-30 21:52:44一致收敛性一 函数列及其一致收敛性函数列例定义1定理13.1 函数列一致收敛的柯西准则定理13.2推论函数项级数及其一致收敛性函数项级数一致收敛与内闭一致收敛定理13.3 一致收敛的柯西准则推论定理13.4函数项级数的... -
数学分析:函数序列及其一致收敛性
2021-10-21 10:53:18文章目录函数序列及其一致收敛性函数序列函数序列的一致收敛性函数序列一致收敛性的判别法一致收敛的函数序列的性质参考文献 函数序列及其一致收敛性 \quad此前,我们已经可以用收敛数列(或收敛的数项级数)来表示...函数序列及其一致收敛性
\quad 此前,我们已经可以用收敛数列(或收敛的数项级数)来表示或定义一个数,接下来讨论:
如何由一个收敛的函数序列(或收敛的函数项级数)来表示或定义一个函数
【示例】:
(1)证明: lim n → ∞ ( 1 + x n ) n = e x \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(1+\frac{x}{n})^n=e^x n→∞lim(1+nx)n=ex;
(2)证明: ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x n n = ln ( 1 + x ) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^n}{n}=\ln (1+x) ∑n=1∞(−1)nnxn=ln(1+x).
对以上两个问题,先前的做法通常是将每一项中的变量视为常数,之后。我们就研究其函数性质。
函数序列
定义 1(函数序列):设 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯ , f n ( x ) , ⋯ f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x),\cdots f1(x),f2(x),⋯,fn(x),⋯ 是具有公共定义域 E E E 的一列函数,则称其为定义在 E E E 上的一个 函数序列,或 函数列,简记作 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 或 f n ( x ) , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ f_n(x),n=1,2,3,\cdots fn(x),n=1,2,3,⋯。
\quad 此外,类似于数列极限,函数序列同样有极限的概念。
定义 2(极限函数):设 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 是定义在集合 E E E 上的函数序列,若存在 x 0 ∈ E x_0 \in E x0∈E,使得数列
f 1 ( x 0 ) , f 2 ( x 0 ) , ⋯ , f n ( x 0 ) , ⋯ f_1(x_0),f_2(x_0),\cdots,f_n(x_0),\cdots f1(x0),f2(x0),⋯,fn(x0),⋯
收敛,则称 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在点 x 0 x_0 x0 处 收敛, x 0 x_0 x0 称为 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 的一个 收敛点。\quad 设 D D D 是函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 的收敛点全体构成的集合,则称 D D D 为 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 的 收敛域。
\quad 对于任意的 x ∈ D ⊂ E x \in D \subset E x∈D⊂E,若有 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 的一个极限值与之对应,则由这个对应法则所确定的 D D D 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 称为 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 的极限函数。即
f ( x ) = lim n → ∞ f n ( x ) , x ∈ D . f(x) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x),\quad x \in D. f(x)=n→∞limfn(x),x∈D.
或
f n ( x ) → f ( x ) ( n → ∞ ) , x ∈ D . f_n(x) \rightarrow f(x) \quad (n \rightarrow \infty),\quad x \in D. fn(x)→f(x)(n→∞),x∈D.
\quad 对
定义 2
作以下说明:(1)一般情况下,函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 的收敛域 D D D 是一个区间;
(2)由于 f ( x ) f(x) f(x) 是通过逐点定义的方式得到的,因此称 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上 点态收敛 于 f ( x ) f(x) f(x)。
(3)由
定义 2
可知:
函数列 { f n ( x ) } 在 D 上点态收敛于 f ( x ) ⟺ 对于任意给定的 x 0 ∈ D , 都有数列 { f n ( x 0 ) } 收敛于 f ( x 0 ) . \text{函数列}\{f_n(x)\} \text{在} D \text{上} \text{点态收敛于} f(x) \Longleftrightarrow \text{对于任意给定的} x_0 \in D,\text{都有数列} \{f_n(x_0)\} \text{收敛于} f(x_0). 函数列{fn(x)}在D上点态收敛于f(x)⟺对于任意给定的x0∈D,都有数列{fn(x0)}收敛于f(x0).
(4)"函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)" 可用 “ ϵ − N \epsilon-N ϵ−N” 语言描述:
∀ x 0 ∈ D , ∀ ϵ > 0 , ∃ N = N ( ϵ , x 0 ) , ∀ n > N : ∣ f n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ < ϵ . \forall x_0 \in D,\forall \epsilon>0,\exists N=N(\epsilon,x_0),\forall n>N:|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon. ∀x0∈D,∀ϵ>0,∃N=N(ϵ,x0),∀n>N:∣fn(x0)−f(x0)∣<ϵ.
此处的 N N N 不仅与 ϵ \epsilon ϵ 有关,而且随 x 0 x_0 x0 的不同而变化。函数序列的一致收敛性
\quad 有些函数序列不仅在收敛域上点态收敛于相应的极限函数,而且在收敛速度上具有某种整体一致性,我们称这种性质为 一致收敛性。下面给出 一致收敛性 的概念。
定义 3(函数序列的一致收敛):设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}( x ∈ E x \in E x∈E) 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若对于任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,存在正整数 N N N,使得当 n > N n>N n>N 时,
∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ \left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon ∣fn(x)−f(x)∣<ϵ
对一切 x ∈ D x \in D x∈D 成立,则称 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上 一致收敛 于 f ( x ) f(x) f(x),记作:
f n ( x ) ⇒ D f ( x ) ( n → ∞ ) , x ∈ D . f_n(x) \xRightarrow{D} f(x)\quad (n \rightarrow \infty),\quad x \in D. fn(x)Df(x)(n→∞),x∈D.
\quad 对
定义 3
作以下说明:(1)“函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上 一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)” 用 “ ϵ − N \epsilon-N ϵ−N” 语言描述:
∀ ϵ > 0 , ∃ N = N ( ϵ ) , ∀ n > N , ∀ x ∈ D : ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ . \forall \epsilon>0,\exists N=N(\epsilon),\forall n>N,\forall x \in D:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon. ∀ϵ>0,∃N=N(ϵ),∀n>N,∀x∈D:∣fn(x)−f(x)∣<ϵ.
(2)“函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上 不一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)”,按照量词取反的对偶原则,有:
∃ ϵ 0 > 0 , ∀ N , ∃ n > N , ∃ x 0 ∈ D : ∣ f n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ ≥ ϵ 0 . \exists \epsilon_0>0,\forall N,\exists n>N,\exists x_0 \in D:|f_n(x_0)-f(x_0)|\ge \epsilon_0. ∃ϵ0>0,∀N,∃n>N,∃x0∈D:∣fn(x0)−f(x0)∣≥ϵ0.
(3)“函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上 一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)” 的几何意义:
对任意给定的 ϵ > 0 , 存在正整数 N , 当 n > N 时 , 曲线 y = f n ( x ) 都将落在以曲线 y = f ( x ) − ϵ 与 y = f ( x ) + ϵ 为边的带状区域 . \text{对任意给定的}\epsilon>0,\text{存在正整数}N,\text{当}n>N\text{时},\text{曲线} y=f_n(x)\text{都将落在以曲线}y=f(x)-\epsilon\text{与}y=f(x)+\epsilon\text{为边的带状区域}. 对任意给定的ϵ>0,存在正整数N,当n>N时,曲线y=fn(x)都将落在以曲线y=f(x)−ϵ与y=f(x)+ϵ为边的带状区域.
定义 4(函数序列的内闭一致收敛):设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}( x ∈ E x \in E x∈E) 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若对于任意的闭区间 [ a , b ] ⊂ D [a,b] \subset D [a,b]⊂D, { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x),则称 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上 内闭一致收敛 于 f ( x ) f(x) f(x)。
\quad 对
定义 4
作以下说明:(1)在 D D D 上一致收敛的函数序列一定也在 D D D 上内闭一致收敛,但反之不成立。
函数序列一致收敛性的判别法
\quad 设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}( x ∈ E x \in E x∈E) 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),思考:什么情况下, { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上一致收敛?
\quad 下面,给出函数序列一致收敛的几个判别方法(三个充要条件)。
定理 1:设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}( x ∈ E x \in E x∈E) 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为:
lim n → ∞ sup x ∈ D ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ = 0. \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\underset{x \in D}{\sup}|f_n(x)-f(x)|}=0. n→∞limx∈Dsup∣fn(x)−f(x)∣=0.
定理 2:设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}( x ∈ E x \in E x∈E) 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为:对任意的数列 { x n } \{x_n\} {xn}, x n ∈ D x_n \in D xn∈D,成立
lim n → ∞ ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) = 0. \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(f_n(x_n)-f(x_n))=0. n→∞lim(fn(xn)−f(xn))=0.
\quad 由
定理 2
可得推论 1
。
推论 1:设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}( x ∈ E x \in E x∈E) 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上不一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为:存在数列 { x n } \{x_n\} {xn}, x n ∈ D x_n \in D xn∈D,成立
lim n → ∞ ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ≠ 0. \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(f_n(x_n)-f(x_n))\ne0. n→∞lim(fn(xn)−f(xn))=0.
注:
推论 1
常用来判断函数序列的不一致收敛。
定理 3(函数序列的Cauchy 收敛准则): 设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}( x ∈ E x \in E x∈E) 在集合 D ⊂ E D \subset E D⊂E 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为:对于任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,存在正整数 N N N,使得当 n , m > N n,m>N n,m>N 时,
∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ \left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon ∣fn(x)−f(x)∣<ϵ
对一切 x ∈ D x \in D x∈D 成立。
一致收敛的函数序列的性质
\quad 下面,来研究一致收敛的函数序列的性质。
定理 4(连续性定理):设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 中的每一项都在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) 也在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续。
\quad 由
定理 4
可得
lim x → x 0 lim n → ∞ f n ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) = lim n → ∞ f n ( x 0 ) = lim n → ∞ lim x → x 0 f n ( x ) \underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}f(x)=f(x_0)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x_0)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}f_n(x) x→x0limn→∞limfn(x)=x→x0limf(x)=f(x0)=n→∞limfn(x0)=n→∞limx→x0limfn(x)
也就是说,两个极限运算可以交换次序。
定理 5:设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 中的每一项都在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积,且
∫ a b f ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ a b f n ( x ) d x . \int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\int_{a}^{b}f_n(x)dx. ∫abf(x)dx=n→∞lim∫abfn(x)dx.
\quad 由
定理 4
可得
∫ a b lim n → ∞ f n ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ a b f n ( x ) d x . \int_{a}^{b}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)dx=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\int_{a}^{b}f_n(x)dx. ∫abn→∞limfn(x)dx=n→∞lim∫abfn(x)dx.
也就是说,极限运算与积分运算可以交换次序。
定理 6:设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若
(1) f n ( x ) f_n(x) fn(x)( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ n=1,2,3,\cdots n=1,2,3,⋯)在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有连续的导函数;
(2)导函数序列 { f n ′ ( x ) } \{f_n'(x)\} {fn′(x)} 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 σ ( x ) \sigma(x) σ(x),
则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可导,且
d d x f ( x ) = σ ( x ) . \frac{d}{dx}f(x)=\sigma(x). dxdf(x)=σ(x).
\quad 由定理 6
可得
d d x lim n → ∞ f n ( x ) = lim n → ∞ d d x f n ( x ) . \frac{d}{dx}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{d}{dx}f_n(x). dxdn→∞limfn(x)=n→∞limdxdfn(x).
也就是说,极限运算与求导运算可以交换次序。\quad 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续(即每一项都连续),且点态收敛于连续函数 f ( x ) f(x) f(x),并不能说明:函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)。也就是说,
定理 4
的逆命题并不成立!但在某些条件下,由 f ( x ) f(x) f(x) 的连续性可得 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的一致连续性,即下面的Dini 定理
。
定理 7(Dini 定理):设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若
(1) f n ( x ) f_n(x) fn(x)( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ n=1,2,3,\cdots n=1,2,3,⋯)在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续;
(2) f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续;
(3) { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 关于 n n n 单调,即对任意固定的 x ∈ [ a , b ] x \in [a,b] x∈[a,b], { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 是单调数列,
则函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)。
参考文献
[1] 陈纪修,于崇华,金路著. 数学分析 上册. 第2版. 北京:高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 上册. 第4版. 北京:高等教育出版社, 2010.07. -
Fourier积分一致收敛性问题在复空间中的推广 (2014年)
2021-05-11 03:15:33在重新定义复函数下的单调递减性质和(第二类)上确界有界变差函数(SBVF2)的前提下,通过分部积分和适当放缩等数学手段,研究了Fourier积分在复空间中的一致收敛性问题,利用新定义下的(第二类)上确界有界变差... -
Matlab在研究函数序列收敛性中的应用.pdf
2021-06-22 09:55:05在阐述函数序列逐点收敛和一致收敛定义的基础上,给出利用MATLAB研究函数序列这两种收敛性的方法和步骤,并结合实例进行说明. -
函数列的一致收敛性
2017-02-07 22:17:38设fn(x)=(1+xn)n,n=1,2,3…f_n(x)=(1+\frac{x}{n})^n,n=1,2,3…研究{fn(x)f_n(x)}在[0,σ](σ>0)[0,\sigma](\sigma>0)上的一致收敛性。 Clear[x,n]; f[x_,n_]:= (1+x/n)^n; Animate[Plot[{f[x,n],E^x},{x,-3,3},... -
什么是一致收敛?
2018-11-26 15:51:48 -
高等数学学习笔记——第九十二讲——函数项级数收敛与一致收敛
2020-05-30 22:12:17一、问题的引入——数值级数、比值与根值判别法 二、函数项级数收敛概念 ...1. 函数序列一致收敛的定义 2. 函数序列一致收敛的几何解释 3. 函数项级数一致收敛的定义 四、... -
四个收敛的关系:一致收敛,点态收敛,绝对收敛,条件收敛
2020-03-31 17:19:44一致收敛与点态收敛这两个概念有点难理解。 其实一致收敛简单来说就是,fn(x)f_n(x)fn(x)不管x取什么都能收敛到f(x)f(x)f(x)。 这句话的隐含意思是nnn是确定的。 也就是说xxx不能随n变化。 比如1xn\frac{1}{x^n}xn1... -
逐点收敛与一致收敛
2019-10-06 07:19:55Riemann空间(工科数学分析主要讨论的范围)上描述收敛性的两个概念是逐点收敛与一致收敛。 Pointwise Convergence Definition. Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of funct... -
漫步数学分析二十一——逐点收敛与一致收敛
2017-02-23 21:44:43对一个函数序列来说,最自然的收敛类型可能是逐点(pointwise)收敛,定义如下。定义1\textbf{定义1} 函数序列fk:A→Rm,A⊂Rnf_k:A\to R^m,A\subset R^n逐点收敛到f:A→Rmf:A\to R^m,如果对于每个x∈A,fk(x)→f(x)x\... -
一致收敛函数列的性质
2019-09-05 16:33:31函数列{fn}\{f_n\}{fn}在(a,x0)∪(x0,b)(a,x_0)\cup(x_0,b)(a,x0)∪(x0,b)上一致收敛于f(x)f(x)f(x) 对所有nnn,limx→x0fn(x)=an\lim\limits_{x\to x_0}f_n(x)=a_nx→x0limfn(x)=an 证明:limn→... -
基于蚁群随机决策的粒子滤波及其收敛性
2021-02-23 13:50:59为了显示与通用PF的理论一致性,还给出了其基本收敛结果。 最后,我们将本文提出的算法与其他估计器(例如PF和运动蚂蚁估计器)的性能进行了比较,仿真结果证明了其在切换动态系统中参数估计的出色鲁棒性。 -
模糊值狄里克莱级数的收敛性* (2010年)
2021-05-26 13:54:04给出了模糊值狄里克莱级数的定义,并论证了模糊值狄里克莱级数的绝对收敛与一致收敛性。 -
渐近拟伪压缩型非自映象的收敛性定理 (2011年)
2021-05-26 14:19:40Chidume首次提出渐近非扩张非自映象、 一致L-Lipschitz 非自映象的定义, 并证明了所引入的迭代序列强收敛于渐进非扩张非自映象的不动点。本文引入渐近拟伪压缩型非自映象的概念。设E 是实 Banach 空间, K是E 的... -
函数一致性导数的定义
2017-10-16 07:22:07函数一致性导数的定义在4年前,我在短文“何谓一致性导数?”一文中表示,愿意与“90后”读者交朋友。现将该文重新发表如下:袁萌 10月16日大家知道,传统“逐点定义”(pointwise)的函数导数会导致“病态”... -
GaussSeidel迭代 Jacobi迭代及其收敛性
2021-01-06 18:18:56print(x) print(xk) 输出如下 收敛性 因为两种方法的根本思想是一致的,都是通过迭代公式 x=Gx+dx = Gx +dx=Gx+d 来求解 xxx。所以直接通过此迭代公式来看两种方法收敛的条件。 令误差向量 ei=xi−x\def\foo{e^{i}}\... -
具有参考时变状态的多智能体的H∞一致性 (2011年)
2021-06-16 05:44:00考虑了具有参考时变状态的多智能体时滞网络的鲁棒一致性问题....应用线性矩阵不等式(LMI)的方法,得到了具有参考时变状态的多智能体时滞网络的鲁棒一致性收敛的充分条件.最后,通过仿真示例对理论结果的有效性进行了验证. -
论文研究-基于模糊语言偏好关系一致性改进的决策方法.pdf
2019-09-08 04:06:10然后建立了基于语言偏好关系一致性改进的决策算法,并证明了算法的收敛性,同时通过该算法改进后的语言偏好关系满足满意一致性条件。最后通过数据库系统的选择实例说明提出的决策算法是合理的和有效的。 -
多智能体中的图论——多智能体的一致性(二)
2020-08-13 11:37:47这一篇中我们考虑有向和无向静态网络中的一致性协议,首要目标是聚集在收敛(convergence)协议属性和潜在相互连接结构之间错综复杂的关系。 1、无向网络(邻接矩阵对称) 一致性协议涉及n个动态单元,将n个动态... -
函数列与函数项级数——(二)一致收敛函数列与函数项级数的性质
2019-05-29 13:28:44类似地,若在(a,b)上一致收敛且存在,可推得若在(a,b)上一致收敛和 定理9(连续性) 若函数列在区间I上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f在I上也连续。 逆否命题:若各项为连续函数的函数列... -
泛函分析笔记6:一致有界性原理
2020-12-30 18:02:45他也是后续讨论序列弱收敛性以及泛函弱星收敛性的基础。 1. Baire范畴定理 一致有界性原理的证明需要用到Baire范畴定理(也叫Baire纲定理)。 (X,d)(X,d)(X,d),若 Mˉ⊂X\bar{M}\subset XMˉ⊂X 没有内点 -
基于二阶邻居网络拓扑的多机器鱼一致性研究 (2013年)
2021-05-31 11:48:38为加快多仿生机器鱼群体游动的一致性收敛速度,采用一种基于二阶邻居网络拓扑结构的多机器鱼控制模型来描述机器鱼之间的信息交换方式。...仿真结果表明,基于二阶邻居网络拓扑的多机器鱼有良好的一致性和快速的收敛性。 -
关于级数∑(x n-x n-1)一致收敛性的一点儿理解
2009-01-09 13:14:00关于级数∑(x n-x n-1)一致收敛性的一点儿理解 a. ∑(x n-x n-1)这个级数的一致收敛性有点意思。它在(0,1)这个开区间上不一致收敛,但若任意给一个正数r<1,则在[0,r]这个闭区间上却一致收敛... -
三个极限定理与四种收敛性
2020-09-10 09:41:19文章目录Intro依概率收敛弱大数定律几乎必然收敛强大数定律依分布收敛中心极限定理r阶收敛收敛的强弱关系弱大数定律与依概率收敛依概率收敛的命题与r阶收敛的关系切比雪夫WLLN马尔可夫WLLN伯努利WLLN泊松WLLN强大数... -
概率收敛、分布收敛、Lp收敛
2020-08-10 23:33:16首先要明确,这四种收敛都是随机变量序列对某个随机变量的收敛 一、依概率收敛 形象点说,就是在时,与的差距的一次方趋近于 0 二、依分布收敛 对于上的连续点恒成立 依分布收敛是针对分布函数而言的,与的... -
陶哲轩实分析-第14章 一致收敛
2016-06-14 03:54:2514.3 一致收敛性与连续性 习题 14.3.1 14.3.2 这两个证明很类似,都是用14.3.1的提示,区别在于14.3.1是14.3.2的一种:极限两边都等于 f ( x 0 ) f(x_0) 14.3.3 x n x^n 不一致收敛 14.3.4 根据定义... -
泛函分析笔记7:弱收敛与弱星收敛
2020-12-30 18:04:31一致有界性原理的一个应用就是序列和算子的收敛性分析。 文章目录1. 序列收敛性2. 线性泛函收敛性3. 一般有界线性算子收敛性4. 应用举例 1. 序列收敛性 (X,∥⋅∥)(X,\Vert\cdot\Vert)(X,∥⋅∥),有 xn,x∈Xx_n,x\... -
验证牛顿公式的局部收敛性,并找到对于牛顿公式不收敛(发散)的函数,比较二分法与牛顿公式的收敛速度
2019-04-30 12:33:32验证牛顿公式的局部收敛性; b.比较二分法与牛顿公式的收敛速度; c.验证求解结果的正确性; 三、实验内容 a.在验证牛顿公式的时候,首先让用户输入一个初始的近似根x0,再输入迭代次数的上限N,N的目的是防止...