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  • 一致收敛性

    2020-08-30 21:52:44
    一致收敛性一 函数列及其一致收敛性函数列例定义1定理13.1 函数列一致收敛的柯西准则定理13.2推论函数项级数及其一致收敛性函数项级数一致收敛与内闭一致收敛定理13.3 一致收敛的柯西准则推论定理13.4函数项级数的...

    一 函数列及其一致收敛性

    函数列

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    定义1

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    定理13.1 函数列一致收敛的柯西准则

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    定理13.2

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    推论

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    函数项级数及其一致收敛性

    函数项级数

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    一致收敛与内闭一致收敛

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    定理13.3 一致收敛的柯西准则

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    推论

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    定理13.4

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    函数项级数的一致收敛性判别法

    定理13.5 魏尔斯特拉斯判别法

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    前言

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    定理13.6 阿贝尔判别法

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    定理13.7 迪利克雷判别法

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  • 文章目录函数列及其一致收敛性极限函数的定义收敛域的定义一致收敛的定义(充要条件①)不一致收敛的定义(充要条件)函数列一致收敛的柯西准则(充要条件②)函数列一致收敛的柯西准则(充要条件③)函数项级数及其...

    函数列及其一致收敛性

    极限函数

    limn+fn(x)=f(x),xD\lim\limits_{n\to+\infty}f_n(x)=f(x),x\in DεN\varepsilon-N定义为:

    • 对每个固定的xDx\in D
    • ε>0,\forall\varepsilon>0,总存在N(ε,x)>0N(\varepsilon,x)>0(注意!这里的N与εx\varepsilon和x两个量有关哦!)
    • 使得,当n>Nn>N时,总有 fn(x)f(x)<ε|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon

    收敛域

    使得{fn}\{f_n\}收敛的全体收敛点集合称为{fn}\{f_n\}收敛域

    那什么叫收敛点嘞?
    很简单.

    • 假设{fn}\{f_n\}是定义在EE上的函数列(n=1,2,…)
    • 有一点x0Ex_0\in E,代入上述函数列有f1(x0),...,fn(x0),...(1)f_1(x_0),...,f_n(x_0),...\tag{1}
    • 若数列(1)收敛,那么就称函数列在x0x_0点收敛,x0x_0点称为函数列的收敛点
    • {fn}\{f_n\}在数集DED\subset E的每一点都收敛,则称{fn}\{f_n\}在数集D上收敛
    • 此时D上的每一点xx都有数列{fn}\{f_n\}的一个极限值与之对应,所以就得到了极限函数f(x)f(x),可以发现上面极限函数的定义域就是DD,求极限函数首先要保证定义域中的每一点都是函数列的收敛点

    一致收敛的定义(充要条件①)

    • 函数列{fn}\{f_n\}与函数ff定义在同一数集DD
    • ε>0,N(ε)N,n>N\forall\varepsilon>0,总存在N(\varepsilon)\in N^*,当n>N时,xD对\forall x\in D 都有fn(x)f(x)<ε|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon则称函数列{fn}\{f_n\}DD上一致收敛于ff,记作fn(x)f(x)(n),xDf_n(x)\rightrightarrows f(x)(n\to\infty),x\in D
      注意!
    • 由以上定义可以看出{fn}\{f_n\}在D上一致收敛\Rightarrow {fn}\{f_n\}在D上每一点都收敛
    • 但是,{fn}\{f_n\}在D上每一点都收敛\nRightarrow{fn}\{f_n\}在D上一致收敛

    不一致收敛的定义(充要条件)

    函数列{fn}\{f_n\}DD上不一致收敛于ff\Leftrightarrow

    • ε0>0\exist\varepsilon_0>0 ,Dx(N),在D上都\exist一点 x'(N)和正整数n(N)>Nn'(N)>N,使得fn(x)f(x)ε0|f_{n'}(x')-f(x')|\ge\varepsilon_0

    函数列一致收敛的柯西准则(充要条件②)

    {fn}\{f_n\}在D上一致收敛\Leftrightarrow

    • ε>0,N>0,n,m>NxD\forall\varepsilon>0,\exist N>0,当n,m>N时,对\forall x\in D,都有 fn(x)fm(x)<ε|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon

    函数列一致收敛的柯西准则(充要条件③)

    limnsupxDfn(x)f(x)=0\lim\limits_{n\to\infty}\mathop{sup}\limits_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0

    推论:不一致收敛的充要条件2

    存在{xn}D\{x_n\}\subset D,使得{fn(xn)f(xn)}0\{f_n(x_n)-f(x_n)\}不收敛于0

    内闭一致收敛的定义

    • {fn},f\{f_n\},f都定义在区间II
    • [a,b]I\forall闭区间[a,b]\subset I
    • {fn}\{f_n\}[a,b]f[a,b]上一致收敛于f,则称{fn}I\{f_n\}在I内闭一致收敛于ff
    • 注意!若这里的II是闭区间,则内闭一致收敛与一致收敛是等价的

    函数项级数及其一致收敛性

    函数项级数收敛域

    首先,介绍收敛点的定义:

    • {un}\{u_n\}是定义在EE上函数列,其函数项级数为u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...,xE(2)u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...,x\in E\tag{2}
    • Sn=k=1nuk(x),xE,n=1,...S_n=\sum_{k=1}^nu_k(x),x\in E,n=1,...称为函数项级数的部分和函数列
    • x0E,Sn(x0)=k=1nuk(x0)x_0\in E,S_n(x_0)=\sum\limits_{k=1}^nu_k(x_0)收敛\Rightarrowx0x_0是级数的 收敛点

    若级数在E的某个子集D上每点都收敛\Rightarrow称级数在D上收敛;
    若D是全体收敛点的集合\RightarrowD为级数的收敛域

    和函数

    S(x)=u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...S(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+... xDx\in D且有limnSn(x)=S(x)\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)=S(x)级数(2)的收敛性就看它的部分和函数列的收敛性啦!

    级数的(内闭)一致收敛

    • {Sn(x)}un(x)\{S_n(x)\}是函数列\sum u_n(x)的部分和函数列
    • {Sn(x)}\{S_n(x)\}在数集DD上一致收敛于S(x)S(x) \Rightarrow则称un\sum u_nDD上一致收敛于S(x)S(x)
    • un(x)\sum u_n(x)[a,b]I\forall闭区间[a,b]\subset I上一致收敛\Rightarrow则称un\sum u_nII上内闭一致收敛于S(x)S(x)

    一致收敛的柯西准则(充要条件)

    un(x)\sum u_n(x)在数集DD上一致收敛\Leftrightarrow

    • ε>0,NN,n>NxDp\forall\varepsilon>0,总\exist N\in N^*,当n>N时,对\forall x\in D和一切正整数p,都有 Sn+pSn(x)<ε|S_{n+p}-S_n(x)|<\varepsilonun+1(x)+...+un+p(x)<ε|u_{n+1}(x)+...+u_{n+p}(x)|<\varepsilon

    推论(级数一致收敛的必要条件)

    un(x)\sum u_n(x)在D上一致收敛\Rightarrow{un(x)}D0\{u_n(x)\}在D上一致收敛于0

    余项充要条件

    • Rn(x)=S(x)Sn(x)R_n(x)=S(x)-S_n(x)称为函数列级数un\sum u_n的余项
    • un(x)\sum u_n(x)DD上一致收敛于S(x)S(x) \Leftrightarrow limnsupxDRn(x)\lim\limits_{n\to\infty}\mathop{sup}\limits_{x\in D}|R_n(x)| =limnsupxDS(x)Sn(x)=0=\lim\limits_{n\to\infty}\mathop{sup}\limits_{x\in D}|S(x)-S_n(x)|=0

    函数级数一致收敛判别方法

    魏尔斯特拉斯判别法(M判别法/优级数判别法)

    • un(x)D\sum u_n(x)定义在D上
    • Mn\sum M_n为①收敛的②正项级数
    • xD\forall x\in D,有un(x)Mn,n=1,2,...|u_n(x)|\le M_n,n=1,2,...
      则称un(x)\sum u_n(x)DD上一致收敛,且称Mn\sum M_nun(x)\sum u_n(x)的优级数

    阿贝尔判别法

    • un(x)I\sum u_n(x)在区间I上一致收敛
    • xI,{vn(x)}\forall x\in I,\{v_n(x)\}单调且一致有界

    则级数un(x)vn(x)\sum u_n(x)v_n(x)II上一致收敛

    一致有界的定义

    • 对于定义在II上的函数列{vn(x)}\{v_n(x)\}
    • M>0,xD,\exist M>0,对所有x\in D,都有 fn(x)M|f_n(x)|\le M

    则称{vn(x)}\{v_n(x)\}在D上一致有界

    狄屎判别法

    • un(x)\sum u_n(x)的部分和数列Un(x)=k=1nuk(x)U_n(x)=\sum\limits_{k=1}^nu_k(x)II上一致有界
    • xI,{vn(x)}+0\forall x\in I,\{v_n(x)\}单调+\rightrightarrows0

    un(x)vn(x)\sum u_n(x)v_n(x)II上一致收敛

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  • 函数列与函数项级数——(一)一致收敛性

    万次阅读 多人点赞 2019-05-28 18:53:42
    函数列及其一致收敛性 设是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列,(1)也可简单地写作或 函数列的极限函数记作f,则有或 函数列极限的定义:当n>N时,有 使函数列收敛的全体收敛点集合,称为...

    一.函数列及其一致收敛性

    f_1,f_2,...,f_n,...(1)是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列,(1)也可简单地写作\{f_n\}f_n,n=1,2,...

    函数列的极限函数记作f,则有\lim_{n\to \infty }f_n(x)=f(x),x\in Df_n(x)\to f(x)(n\to \infty),x\in D.

    函数列极限的\varepsilon -N定义:\forall \varepsilon >0,\exists N=N(\varepsilon ,x),当n>N时,有\left | f_n(x)-f(x) \right |<\varepsilon .

    使函数列\{f_n\}收敛的全体收敛点集合,称为函数列\{f_n\}收敛域

    定义1

    设函数列\{f_n\}与函数f定义在同一数集D上,\forall \varepsilon >0,\exists N(\varepsilon )>0,\forall x\in D,当n>N时,有\left | f_n(x)-f(x) \right |<\varepsilon .则称函数列\{f_n\}在D上一致收敛于f,记作f_n(x)\overset {\rightarrow}\rightarrow f(x)(n\to \infty),x\in D.

    函数列\{f_n\}在D上一致收敛,必在D上每一点都收敛;反之,在D上每一点都收敛的函数列\{f_n\},在D上不一定一致收敛。

    不一致收敛于f的充要条件:\exists \varepsilon _0>0,\forall N>0,\exists n'>N,\exists x'\in D,\left | f_{n'}(x')-f(x') \right |\geqslant \varepsilon _0.

    定理1(函数列一致收敛的柯西准则)

    函数列\{f_n\}在数集D上一致收敛的充要条件是:\forall \varepsilon >0,\exists N>0,使得当n,m>N时,对一切x\in D,都有\left | f_n(x)-f_m(x) \right |<\varepsilon .

    定理2(余项准则)

    函数列\{f_n\}在区间D上一致收敛于f的充要条件是:\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in D}\left | f_n(x)-f(x) \right |=0.

    推论:函数列\{f_n\}在D上不一致收敛于f的充要条件是:存在\{x_n\}\subset D,使得\left |f_n(x_n)-f(x_n) \right |不收敛于0.

    定义2

    设函数列\{f_n\}与f定义在区间I上,若对任意闭区间[a,b]\subset I,\{f_n\}在[a,b]上一致收敛于f,则称\{f_n\}在I上内闭一致收敛于f.

    :若I=[\alpha ,\beta ]是有界闭区间,显然\{f_n\}在I上内闭一致收敛于f与\{f_n\}在I上一致收敛于f是一致的.

    二.函数项级数及其一致收敛性

    \{u_n(x)\}是定义在数集E上的一个函数列,表达式u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...,x\in E(2)称为定义在E上的函数项级数,简记为\sum _{n=1}^{\infty}u_n(x)\sum u_n(x).S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x),x\in E,n=1,2,...为函数项级数(2)的部分和函数列

    函数项级数的和函数,并写作u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...=S(x),x\in D,\lim_{n\to \infty}S_n(x)=S(x),x\in D.

    定义3

    \{S_n(x)\}是函数项级数\sum u_n(x)的部分和函数列。若\{S_n(x)\}在数集D上一致收敛S(x).则称\sum u_n(x)在D上一致收敛于S(x).\sum u_n(x)在任意闭区间[a,b]\subset I上一致收敛,则称\sum u_n(x)在I上内闭一致收敛

    定理3(一致收敛的柯西准则)

    函数项级数\sum u_n(x)在数集D上一致收敛的充要条件为:对任给的正数\varepsilon,总存在正数N,使得当n>N时,对一切x\in D和一切正整数p,都有\left | S_{n+p}(x)-S_n(x) \right |<\varepsilon\left | u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+...+u_{n+p}(x) \right |<\varepsilon .

    推论:函数项级数\sum u_n(x)在数集D上一致收敛的必要条件时函数列\{u_n(x)\}在D上一致收敛于0.

    设函数项级数\sum u_n(x)在D上的和函数为S(x),R_n(x)=S(x)-S_n(x)为函数项级数\sum u_n(x)的余项。

    定理4(余项准则)

    函数项级数\sum u_n(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件是\lim_{n\to \infty}sup_{x\in D}\left | R_n(x) \right |=\lim_{n\to \infty}sup_{x\in D}\left | S(x)-S_n(x) \right |=0.

    三.函数项级数的一致收敛性判别法

    定理5(魏尔斯特拉斯判别法)

    设函数项级数\sum u_n(x)定义在数集D上,\sum M_n为收敛的正项级数,若对一切x\in D\left | u_n(x) \right |\leqslant M_n,n=1,2,...,则函数项级数\sum u_n(x)在D上一致收敛。

    也称为M判别法优级数判别法\sum M_n\sum u_n(x)优级数

    下面讨论定义在区间I上形如\sum u_n(x)v_n(x)=u_1(x)v_1(x)+u_2(x)v_2(x)+...+u_n(x)v_n(x)+...(3)

    定理6(阿贝尔判别法)

    (i)\sum u_n(x)在区间I上一致收敛;

    (ii)对于每一个x\in I,\{v_n(x)\}是单调的;

    (iii)\{v_n(x)\}在I上一致有界,即存在正数M,使得对一切x\in I和正整数n,有\left | v_n(x) \right |\leqslant m,

    则级数(3)在I上一致收敛。

    定理7(狄利克雷判别法)

    (i)\sum u_n(x)的部分和函数列U_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)(n=1,2,...)在I上一致收敛;

    (ii)对于每一个x\in I,\{v_n(x)\}是单调的;

    (iii)在I上v_n(x)\overset {\rightarrow}\rightarrow 0(n\to \infty),

    则级数(3)在I上一致收敛。

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  • 函数列的一致收敛性

    千次阅读 2017-02-07 22:17:38
    设fn(x)=(1+xn)n,n=1,2,3…f_n(x)=(1+\frac{x}{n})^n,n=1,2,3…研究{fn(x)f_n(x)}在[0,σ](σ>0)[0,\sigma](\sigma>0)上的一致收敛性。 Clear[x,n]; f[x_,n_]:= (1+x/n)^n; Animate[Plot[{f[x,n],E^x},{x,-3,3},...

    fn(x)=(1+xn)n,n=1,2,3研究{fn(x)}在[0,σ](σ>0)上的一致收敛性。

    Clear[x,n];
    f[x_,n_]:= (1+x/n)^n;
    Animate[Plot[{f[x,n],E^x},{x,-3,3},PlotRange->{-3,10},PlotLegends->{f[x],e^x}],{n,1,50},AnimationRunning->False]
    Export["f.gif",Table[Plot[{f[x,n],E^x},{x,-2,3},PlotRange->{-3,10},PlotLegends->Placed[{f[x],e^x},Above]],{n,1,50}]]

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    通过放缩,利用定义即可证明。

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  • 分布式系统副本复制和一致性

    千次阅读 2015-07-09 16:33:08
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空空如也

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一致收敛性的定义