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  • 函数列与函数项级数——(一)一致收敛性

    万次阅读 多人点赞 2019-05-28 18:53:42
    函数列及其一致收敛性 设是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列,(1)也可简单地写作或 函数列的极限函数记作f,则有或 函数列极限的定义:当n>N时,有 使函数列收敛的全体收敛点集合,称为...

    一.函数列及其一致收敛性

    f_1,f_2,...,f_n,...(1)是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列,(1)也可简单地写作\{f_n\}f_n,n=1,2,...

    函数列的极限函数记作f,则有\lim_{n\to \infty }f_n(x)=f(x),x\in Df_n(x)\to f(x)(n\to \infty),x\in D.

    函数列极限的\varepsilon -N定义:\forall \varepsilon >0,\exists N=N(\varepsilon ,x),当n>N时,有\left | f_n(x)-f(x) \right |<\varepsilon .

    使函数列\{f_n\}收敛的全体收敛点集合,称为函数列\{f_n\}收敛域

    定义1

    设函数列\{f_n\}与函数f定义在同一数集D上,\forall \varepsilon >0,\exists N(\varepsilon )>0,\forall x\in D,当n>N时,有\left | f_n(x)-f(x) \right |<\varepsilon .则称函数列\{f_n\}在D上一致收敛于f,记作f_n(x)\overset {\rightarrow}\rightarrow f(x)(n\to \infty),x\in D.

    函数列\{f_n\}在D上一致收敛,必在D上每一点都收敛;反之,在D上每一点都收敛的函数列\{f_n\},在D上不一定一致收敛。

    不一致收敛于f的充要条件:\exists \varepsilon _0>0,\forall N>0,\exists n'>N,\exists x'\in D,\left | f_{n'}(x')-f(x') \right |\geqslant \varepsilon _0.

    定理1(函数列一致收敛的柯西准则)

    函数列\{f_n\}在数集D上一致收敛的充要条件是:\forall \varepsilon >0,\exists N>0,使得当n,m>N时,对一切x\in D,都有\left | f_n(x)-f_m(x) \right |<\varepsilon .

    定理2(余项准则)

    函数列\{f_n\}在区间D上一致收敛于f的充要条件是:\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in D}\left | f_n(x)-f(x) \right |=0.

    推论:函数列\{f_n\}在D上不一致收敛于f的充要条件是:存在\{x_n\}\subset D,使得\left |f_n(x_n)-f(x_n) \right |不收敛于0.

    定义2

    设函数列\{f_n\}与f定义在区间I上,若对任意闭区间[a,b]\subset I,\{f_n\}在[a,b]上一致收敛于f,则称\{f_n\}在I上内闭一致收敛于f.

    :若I=[\alpha ,\beta ]是有界闭区间,显然\{f_n\}在I上内闭一致收敛于f与\{f_n\}在I上一致收敛于f是一致的.

    二.函数项级数及其一致收敛性

    \{u_n(x)\}是定义在数集E上的一个函数列,表达式u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...,x\in E(2)称为定义在E上的函数项级数,简记为\sum _{n=1}^{\infty}u_n(x)\sum u_n(x).S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x),x\in E,n=1,2,...为函数项级数(2)的部分和函数列

    函数项级数的和函数,并写作u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...=S(x),x\in D,\lim_{n\to \infty}S_n(x)=S(x),x\in D.

    定义3

    \{S_n(x)\}是函数项级数\sum u_n(x)的部分和函数列。若\{S_n(x)\}在数集D上一致收敛S(x).则称\sum u_n(x)在D上一致收敛于S(x).\sum u_n(x)在任意闭区间[a,b]\subset I上一致收敛,则称\sum u_n(x)在I上内闭一致收敛

    定理3(一致收敛的柯西准则)

    函数项级数\sum u_n(x)在数集D上一致收敛的充要条件为:对任给的正数\varepsilon,总存在正数N,使得当n>N时,对一切x\in D和一切正整数p,都有\left | S_{n+p}(x)-S_n(x) \right |<\varepsilon\left | u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+...+u_{n+p}(x) \right |<\varepsilon .

    推论:函数项级数\sum u_n(x)在数集D上一致收敛的必要条件时函数列\{u_n(x)\}在D上一致收敛于0.

    设函数项级数\sum u_n(x)在D上的和函数为S(x),R_n(x)=S(x)-S_n(x)为函数项级数\sum u_n(x)的余项。

    定理4(余项准则)

    函数项级数\sum u_n(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件是\lim_{n\to \infty}sup_{x\in D}\left | R_n(x) \right |=\lim_{n\to \infty}sup_{x\in D}\left | S(x)-S_n(x) \right |=0.

    三.函数项级数的一致收敛性判别法

    定理5(魏尔斯特拉斯判别法)

    设函数项级数\sum u_n(x)定义在数集D上,\sum M_n为收敛的正项级数,若对一切x\in D\left | u_n(x) \right |\leqslant M_n,n=1,2,...,则函数项级数\sum u_n(x)在D上一致收敛。

    也称为M判别法优级数判别法\sum M_n\sum u_n(x)优级数

    下面讨论定义在区间I上形如\sum u_n(x)v_n(x)=u_1(x)v_1(x)+u_2(x)v_2(x)+...+u_n(x)v_n(x)+...(3)

    定理6(阿贝尔判别法)

    (i)\sum u_n(x)在区间I上一致收敛;

    (ii)对于每一个x\in I,\{v_n(x)\}是单调的;

    (iii)\{v_n(x)\}在I上一致有界,即存在正数M,使得对一切x\in I和正整数n,有\left | v_n(x) \right |\leqslant m,

    则级数(3)在I上一致收敛。

    定理7(狄利克雷判别法)

    (i)\sum u_n(x)的部分和函数列U_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)(n=1,2,...)在I上一致收敛;

    (ii)对于每一个x\in I,\{v_n(x)\}是单调的;

    (iii)在I上v_n(x)\overset {\rightarrow}\rightarrow 0(n\to \infty),

    则级数(3)在I上一致收敛。

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  • 一致收敛性

    千次阅读 2020-08-30 21:52:44
    一致收敛性一 函数列及其一致收敛性函数列例定义1定理13.1 函数列一致收敛的柯西准则定理13.2推论函数项级数及其一致收敛性函数项级数一致收敛与内闭一致收敛定理13.3 一致收敛的柯西准则推论定理13.4函数项级数的...

    一 函数列及其一致收敛性

    函数列

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    定义1

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    定理13.1 函数列一致收敛的柯西准则

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    定理13.2

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    推论

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    函数项级数及其一致收敛性

    函数项级数

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    一致收敛与内闭一致收敛

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    定理13.3 一致收敛的柯西准则

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    推论

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    定理13.4

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    函数项级数的一致收敛性判别法

    定理13.5 魏尔斯特拉斯判别法

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    前言

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    定理13.6 阿贝尔判别法

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    定理13.7 迪利克雷判别法

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  • 文章目录函数序列及其一致收敛性函数序列函数序列的一致收敛性函数序列一致收敛性的判别法一致收敛的函数序列的性质参考文献 函数序列及其一致收敛性 \quad此前,我们已经可以用收敛数列(或收敛的数项级数)来表示...

    函数序列及其一致收敛性

    \quad 此前,我们已经可以用收敛数列(或收敛的数项级数)来表示或定义一个数,接下来讨论:

    如何由一个收敛的函数序列(或收敛的函数项级数)来表示或定义一个函数

    【示例】:

    (1)证明: lim ⁡ n → ∞ ( 1 + x n ) n = e x \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(1+\frac{x}{n})^n=e^x nlim(1+nx)n=ex

    (2)证明: ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x n n = ln ⁡ ( 1 + x ) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^n}{n}=\ln (1+x) n=1(1)nnxn=ln(1+x).

    对以上两个问题,先前的做法通常是将每一项中的变量视为常数,之后。我们就研究其函数性质。

    函数序列


    定义 1(函数序列):设 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯   , f n ( x ) , ⋯ f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x),\cdots f1(x),f2(x),,fn(x), 是具有公共定义域 E E E 的一列函数,则称其为定义在 E E E 上的一个 函数序列,或 函数列,简记作 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} f n ( x ) , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ f_n(x),n=1,2,3,\cdots fn(x),n=1,2,3,


    \quad 此外,类似于数列极限,函数序列同样有极限的概念。


    定义 2(极限函数):设 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 是定义在集合 E E E 上的函数序列,若存在 x 0 ∈ E x_0 \in E x0E,使得数列
    f 1 ( x 0 ) , f 2 ( x 0 ) , ⋯   , f n ( x 0 ) , ⋯ f_1(x_0),f_2(x_0),\cdots,f_n(x_0),\cdots f1(x0),f2(x0),,fn(x0),
    收敛,则称 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在点 x 0 x_0 x0收敛 x 0 x_0 x0 称为 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 的一个 收敛点

    \quad D D D 是函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 的收敛点全体构成的集合,则称 D D D { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}收敛域

    \quad 对于任意的 x ∈ D ⊂ E x \in D \subset E xDE,若有 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 的一个极限值与之对应,则由这个对应法则所确定的 D D D 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 称为 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)}极限函数。即
    f ( x ) = lim ⁡ n → ∞ f n ( x ) , x ∈ D . f(x) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x),\quad x \in D. f(x)=nlimfn(x),xD.

    f n ( x ) → f ( x ) ( n → ∞ ) , x ∈ D . f_n(x) \rightarrow f(x) \quad (n \rightarrow \infty),\quad x \in D. fn(x)f(x)(n),xD.


    \quad 定义 2 作以下说明:

    (1)一般情况下,函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 的收敛域 D D D 是一个区间;

    (2)由于 f ( x ) f(x) f(x) 是通过逐点定义的方式得到的,因此称 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D点态收敛 f ( x ) f(x) f(x)

    (3)由 定义 2 可知:
    函数列 { f n ( x ) } 在 D 上点态收敛于 f ( x ) ⟺ 对于任意给定的 x 0 ∈ D , 都有数列 { f n ( x 0 ) } 收敛于 f ( x 0 ) . \text{函数列}\{f_n(x)\} \text{在} D \text{上} \text{点态收敛于} f(x) \Longleftrightarrow \text{对于任意给定的} x_0 \in D,\text{都有数列} \{f_n(x_0)\} \text{收敛于} f(x_0). 函数列{fn(x)}D点态收敛于f(x)对于任意给定的x0D,都有数列{fn(x0)}收敛于f(x0).
    (4)"函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x)" 可用 “ ϵ − N \epsilon-N ϵN” 语言描述:
    ∀ x 0 ∈ D , ∀ ϵ > 0 , ∃ N = N ( ϵ , x 0 ) , ∀ n > N : ∣ f n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ < ϵ . \forall x_0 \in D,\forall \epsilon>0,\exists N=N(\epsilon,x_0),\forall n>N:|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon. x0D,ϵ>0,N=N(ϵ,x0),n>N:fn(x0)f(x0)<ϵ.
    此处的 N N N 不仅与 ϵ \epsilon ϵ 有关,而且随 x 0 x_0 x0 的不同而变化。

    函数序列的一致收敛性

    \quad 有些函数序列不仅在收敛域上点态收敛于相应的极限函数,而且在收敛速度上具有某种整体一致性,我们称这种性质为 一致收敛性。下面给出 一致收敛性 的概念。


    定义 3(函数序列的一致收敛):设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} x ∈ E x \in E xE) 在集合 D ⊂ E D \subset E DE 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若对于任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,存在正整数 N N N,使得当 n > N n>N n>N 时,
    ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ \left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon fn(x)f(x)<ϵ
    对一切 x ∈ D x \in D xD 成立,则称 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D一致收敛 f ( x ) f(x) f(x),记作:
    f n ( x ) ⇒ D f ( x ) ( n → ∞ ) , x ∈ D . f_n(x) \xRightarrow{D} f(x)\quad (n \rightarrow \infty),\quad x \in D. fn(x)D f(x)(n),xD.


    \quad 定义 3 作以下说明:

    (1)“函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D 上 一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)” 用 “ ϵ − N \epsilon-N ϵN” 语言描述:
    ∀ ϵ > 0 , ∃ N = N ( ϵ ) , ∀ n > N , ∀ x ∈ D : ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ . \forall \epsilon>0,\exists N=N(\epsilon),\forall n>N,\forall x \in D:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon. ϵ>0,N=N(ϵ),n>N,xD:fn(x)f(x)<ϵ.
    (2)“函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D 上 不一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)”,按照量词取反的对偶原则,有:
    ∃ ϵ 0 > 0 , ∀ N , ∃ n > N , ∃ x 0 ∈ D : ∣ f n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ ≥ ϵ 0 . \exists \epsilon_0>0,\forall N,\exists n>N,\exists x_0 \in D:|f_n(x_0)-f(x_0)|\ge \epsilon_0. ϵ0>0,N,n>N,x0D:fn(x0)f(x0)ϵ0.
    (3)“函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D 上 一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)” 的几何意义:
    对任意给定的 ϵ > 0 , 存在正整数 N , 当 n > N 时 , 曲线 y = f n ( x ) 都将落在以曲线 y = f ( x ) − ϵ 与 y = f ( x ) + ϵ 为边的带状区域 . \text{对任意给定的}\epsilon>0,\text{存在正整数}N,\text{当}n>N\text{时},\text{曲线} y=f_n(x)\text{都将落在以曲线}y=f(x)-\epsilon\text{与}y=f(x)+\epsilon\text{为边的带状区域}. 对任意给定的ϵ>0,存在正整数N,n>N,曲线y=fn(x)都将落在以曲线y=f(x)ϵy=f(x)+ϵ为边的带状区域.


    定义 4(函数序列的内闭一致收敛):设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} x ∈ E x \in E xE) 在集合 D ⊂ E D \subset E DE 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若对于任意的闭区间 [ a , b ] ⊂ D [a,b] \subset D [a,b]D { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x),则称 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D内闭一致收敛 f ( x ) f(x) f(x)


    \quad 定义 4 作以下说明:

    (1)在 D D D 上一致收敛的函数序列一定也在 D D D 上内闭一致收敛,但反之不成立。

    函数序列一致收敛性的判别法

    \quad 设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} x ∈ E x \in E xE) 在集合 D ⊂ E D \subset E DE 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),思考:什么情况下, { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D 上一致收敛?

    \quad 下面,给出函数序列一致收敛的几个判别方法(三个充要条件)。


    定理 1:设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} x ∈ E x \in E xE) 在集合 D ⊂ E D \subset E DE 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为:
    lim ⁡ n → ∞ sup ⁡ x ∈ D ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ = 0. \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\underset{x \in D}{\sup}|f_n(x)-f(x)|}=0. nlimxDsupfn(x)f(x)=0.



    定理 2:设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} x ∈ E x \in E xE) 在集合 D ⊂ E D \subset E DE 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为:对任意的数列 { x n } \{x_n\} {xn} x n ∈ D x_n \in D xnD,成立
    lim ⁡ n → ∞ ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) = 0. \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(f_n(x_n)-f(x_n))=0. nlim(fn(xn)f(xn))=0.


    \quad 定理 2 可得 推论 1


    推论 1:设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} x ∈ E x \in E xE) 在集合 D ⊂ E D \subset E DE 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D 上不一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为:存在数列 { x n } \{x_n\} {xn} x n ∈ D x_n \in D xnD,成立
    lim ⁡ n → ∞ ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ≠ 0. \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(f_n(x_n)-f(x_n))\ne0. nlim(fn(xn)f(xn))=0.


    注:推论 1 常用来判断函数序列的不一致收敛。


    定理 3(函数序列的Cauchy 收敛准则): 设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} x ∈ E x \in E xE) 在集合 D ⊂ E D \subset E DE 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} D D D 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 的充分必要条件为:对于任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,存在正整数 N N N,使得当 n , m > N n,m>N n,m>N 时,
    ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ \left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon fn(x)f(x)<ϵ
    对一切 x ∈ D x \in D xD 成立。


    一致收敛的函数序列的性质

    \quad 下面,来研究一致收敛的函数序列的性质。


    定理 4(连续性定理):设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 中的每一项都在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) 也在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续。


    \quad 定理 4 可得
    lim ⁡ x → x 0 lim ⁡ n → ∞ f n ( x ) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) = lim ⁡ n → ∞ f n ( x 0 ) = lim ⁡ n → ∞ lim ⁡ x → x 0 f n ( x ) \underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}f(x)=f(x_0)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x_0)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}f_n(x) xx0limnlimfn(x)=xx0limf(x)=f(x0)=nlimfn(x0)=nlimxx0limfn(x)
    也就是说,两个极限运算可以交换次序。


    定理 5:设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 中的每一项都在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积,且
    ∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ ∫ a b f n ( x ) d x . \int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\int_{a}^{b}f_n(x)dx. abf(x)dx=nlimabfn(x)dx.


    \quad 定理 4 可得
    ∫ a b lim ⁡ n → ∞ f n ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ ∫ a b f n ( x ) d x . \int_{a}^{b}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)dx=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\int_{a}^{b}f_n(x)dx. abnlimfn(x)dx=nlimabfn(x)dx.
    也就是说,极限运算与积分运算可以交换次序。


    定理 6:设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} [ a , b ] [a,b] [a,b] 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若

    (1) f n ( x ) f_n(x) fn(x) n = 1 , 2 , 3 , ⋯ n=1,2,3,\cdots n=1,2,3,)在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有连续的导函数;

    (2)导函数序列 { f n ′ ( x ) } \{f_n'(x)\} {fn(x)} [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 σ ( x ) \sigma(x) σ(x)

    f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可导,且
    d d x f ( x ) = σ ( x ) . \frac{d}{dx}f(x)=\sigma(x). dxdf(x)=σ(x).
    \quad 定理 6 可得
    d d x lim ⁡ n → ∞ f n ( x ) = lim ⁡ n → ∞ d d x f n ( x ) . \frac{d}{dx}\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}f_n(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{d}{dx}f_n(x). dxdnlimfn(x)=nlimdxdfn(x).
    也就是说,极限运算与求导运算可以交换次序。

    \quad 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续(即每一项都连续),且点态收敛于连续函数 f ( x ) f(x) f(x),并不能说明:函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)。也就是说,定理 4 的逆命题并不成立!但在某些条件下,由 f ( x ) f(x) f(x) 的连续性可得 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的一致连续性,即下面的 Dini 定理


    定理 7(Dini 定理):设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上点态收敛于 f ( x ) f(x) f(x),若

    (1) f n ( x ) f_n(x) fn(x) n = 1 , 2 , 3 , ⋯ n=1,2,3,\cdots n=1,2,3,)在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续;

    (2) f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续;

    (3) { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 关于 n n n 单调,即对任意固定的 x ∈ [ a , b ] x \in [a,b] x[a,b] { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} 是单调数列,

    则函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn(x)} [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致收敛于 f ( x ) f(x) f(x)


    参考文献

    [1] 陈纪修,于崇华,金路著. 数学分析 上册. 第2版. 北京:高等教育出版社, 2004.06.
    [2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 上册. 第4版. 北京:高等教育出版社, 2010.07.

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