一.函数列及其一致收敛性

设是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，（1）也可简单地写作或

函数列的极限函数记作f，则有或

函数列极限的定义：当n>N时，有

使函数列收敛的全体收敛点集合，称为函数列的收敛域。

定义1

设函数列与函数f定义在同一数集D上，当n>N时，有则称函数列在D上一致收敛于f，记作

函数列在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛；反之，在D上每一点都收敛的函数列，在D上不一定一致收敛。

不一致收敛于f的充要条件：有

定理1（函数列一致收敛的柯西准则）

函数列在数集D上一致收敛的充要条件是：使得当n,m>N时，对一切都有

定理2（余项准则）

函数列在区间D上一致收敛于f的充要条件是：

推论：函数列在D上不一致收敛于f的充要条件是：存在使得不收敛于0.

定义2

设函数列与f定义在区间I上，若对任意闭区间在[a,b]上一致收敛于f，则称在I上内闭一致收敛于f.

注：若是有界闭区间，显然在I上内闭一致收敛于f与在I上一致收敛于f是一致的.

二.函数项级数及其一致收敛性

设是定义在数集E上的一个函数列，表达式称为定义在E上的函数项级数，简记为或称为函数项级数（2）的部分和函数列。

函数项级数的和函数，并写作即

定义3

设是函数项级数的部分和函数列。若在数集D上一致收敛于则称在D上一致收敛于若在任意闭区间上一致收敛，则称在I上内闭一致收敛。

定理3（一致收敛的柯西准则）

函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在正数N，使得当n>N时，对一切和一切正整数p，都有或

推论：函数项级数在数集D上一致收敛的必要条件时函数列在D上一致收敛于0.

设函数项级数在D上的和函数为称为函数项级数的余项。

定理4（余项准则）

函数项级数在数集D上一致收敛于的充要条件是

三.函数项级数的一致收敛性判别法

定理5（魏尔斯特拉斯判别法）

设函数项级数定义在数集D上，为收敛的正项级数，若对一切有则函数项级数在D上一致收敛。

也称为M判别法或优级数判别法，为的优级数。

下面讨论定义在区间I上形如

定理6（阿贝尔判别法）设

（i）在区间I上一致收敛；

（ii）对于每一个是单调的；

（iii）在I上一致有界，即存在正数M，使得对一切和正整数n，有

则级数（3）在I上一致收敛。

定理7（狄利克雷判别法）设

（i）的部分和函数列在I上一致收敛；

（ii）对于每一个是单调的；

（iii）在I上

则级数（3）在I上一致收敛。

一 函数列及其一致收敛性

函数列

例

定义1

定理13.1 函数列一致收敛的柯西准则

定理13.2

推论

函数项级数及其一致收敛性

函数项级数

一致收敛与内闭一致收敛

定理13.3 一致收敛的柯西准则

推论

定理13.4

函数项级数的一致收敛性判别法

定理13.5 魏尔斯特拉斯判别法

例

前言

定理13.6 阿贝尔判别法

定理13.7 迪利克雷判别法

函数序列及其一致收敛性

\quad 此前，我们已经可以用收敛数列（或收敛的数项级数）来表示或定义一个数，接下来讨论：

如何由一个收敛的函数序列（或收敛的函数项级数）来表示或定义一个函数

【示例】：

（1）证明：$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x$；

（2）证明：${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^n}{n}=\ln (1+x)$.

对以上两个问题，先前的做法通常是将每一项中的变量视为常数，之后。我们就研究其函数性质。

函数序列

定义 1（函数序列）：设 $f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_n(x),\cdots$ 是具有公共定义域 $E$ 的一列函数，则称其为定义在 $E$ 上的一个 函数序列，或 函数列，简记作 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 或 $f_n(x),n=1,2,3,\cdots$。

\quad 此外，类似于数列极限，函数序列同样有极限的概念。

定义 2（极限函数）：设 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 是定义在集合 $E$ 上的函数序列，若存在 $x_0\in E$，使得数列
$$f_1(x_0),f_2(x_0),\cdots ,f_n(x_0),\cdots$$
收敛，则称 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在点 $x_0$ 处 收敛，$x_0$ 称为 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的一个 收敛点。

\quad 设 $D$ 是函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的收敛点全体构成的集合，则称 $D$ 为 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的 收敛域。

\quad 对于任意的 $x\in D\subset E$，若有 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的一个极限值与之对应，则由这个对应法则所确定的 $D$ 上的函数 $f(x)$ 称为 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的极限函数。即
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x),x\in D.$$
或
$$f_n(x)\to f(x)(n\to \infty ),x\in D.$$

\quad 对 定义 2 作以下说明：

（1）一般情况下，函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 的收敛域 $D$ 是一个区间；

（2）由于 $f(x)$ 是通过逐点定义的方式得到的，因此称 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上 点态收敛 于 $f(x)$。

（3）由 定义 2 可知：
函数列 { f n ( x ) } 在 D 上点态收敛于 f ( x ) ⟺ 对于任意给定的 x 0 ∈ D , 都有数列 { f n ( x 0 ) } 收敛于 f ( x 0 ) . \text{函数列}\{f_n(x)\} \text{在} D \text{上} \text{点态收敛于} f(x) \Longleftrightarrow \text{对于任意给定的} x_0 \in D,\text{都有数列} \{f_n(x_0)\} \text{收敛于} f(x_0). 函数列{fn​(x)}在D上点态收敛于f(x)⟺对于任意给定的x0​∈D,都有数列{fn​(x0​)}收敛于f(x0​).
（4）"函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上点态收敛于 $f(x)$" 可用 “$ϵ-N$” 语言描述：
$$\forall x_0\in D,\forall ϵ>0,\exists N=N(ϵ,x_0),\forall n>N:|f_n(x_0)-f(x_0)|<ϵ.$$
此处的 $N$ 不仅与 $ϵ$ 有关，而且随 $x_0$ 的不同而变化。

函数序列的一致收敛性

\quad 有些函数序列不仅在收敛域上点态收敛于相应的极限函数，而且在收敛速度上具有某种整体一致性，我们称这种性质为 一致收敛性。下面给出 一致收敛性 的概念。

定义 3（函数序列的一致收敛）：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（$x\in E$） 在集合 $D\subset E$ 上点态收敛于 $f(x)$，若对于任意给定的 $ϵ>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，
$$\left|f_n(x)-f(x)\right|<ϵ$$
对一切 $x\in D$ 成立，则称 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上 一致收敛 于 $f(x)$，记作：
$$f_n(x)\stackrel{D}{\Rightarrow }f(x)(n\to \infty ),x\in D.$$

\quad 对 定义 3 作以下说明：

（1）“函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上 一致收敛于 $f(x)$” 用 “$ϵ-N$” 语言描述：
$$\forall ϵ>0,\exists N=N(ϵ),\forall n>N,\forall x\in D:|f_n(x)-f(x)|<ϵ.$$
（2）“函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上 不一致收敛于 $f(x)$”，按照量词取反的对偶原则，有：
$$\exists {ϵ}_0>0,\forall N,\exists n>N,\exists x_0\in D:|f_n(x_0)-f(x_0)|\ge {ϵ}_0.$$
（3）“函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上 一致收敛于 $f(x)$” 的几何意义：
$$\text{对任意给定的}ϵ>0,\text{存在正整数}N,\text{当}n>N\text{时},\text{曲线}y=f_n(x)\text{都将落在以曲线}y=f(x)-ϵ\text{与}y=f(x)+ϵ\text{为边的带状区域}.$$

定义 4（函数序列的内闭一致收敛）：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（$x\in E$） 在集合 $D\subset E$ 上点态收敛于 $f(x)$，若对于任意的闭区间 $[a,b]\subset D$， { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$，则称 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上 内闭一致收敛 于 $f(x)$。

\quad 对 定义 4 作以下说明：

（1）在 $D$ 上一致收敛的函数序列一定也在 $D$ 上内闭一致收敛，但反之不成立。

函数序列一致收敛性的判别法

\quad 设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（$x\in E$） 在集合 $D\subset E$ 上点态收敛于 $f(x)$，思考：什么情况下， { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上一致收敛？

\quad 下面，给出函数序列一致收敛的几个判别方法（三个充要条件）。

定理 1：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（$x\in E$） 在集合 $D\subset E$ 上点态收敛于 $f(x)$，则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上一致收敛于 $f(x)$ 的充分必要条件为：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\in D}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=0.$$

定理 2：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（$x\in E$） 在集合 $D\subset E$ 上点态收敛于 $f(x)$，则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上一致收敛于 $f(x)$ 的充分必要条件为：对任意的数列 { x n } \{x_n\} {xn​}，$x_n\in D$，成立
$$\underset{n\to \infty }{\lim }(f_n(x_n)-f(x_n))=0.$$

\quad 由 定理 2 可得 推论 1。

推论 1：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（$x\in E$） 在集合 $D\subset E$ 上点态收敛于 $f(x)$，则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上不一致收敛于 $f(x)$ 的充分必要条件为：存在数列 { x n } \{x_n\} {xn​}，$x_n\in D$，成立
$$\underset{n\to \infty }{\lim }(f_n(x_n)-f(x_n))\ne 0.$$

注：推论 1 常用来判断函数序列的不一致收敛。

定理 3（函数序列的Cauchy 收敛准则）： 设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}（$x\in E$） 在集合 $D\subset E$ 上点态收敛于 $f(x)$，则 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $D$ 上一致收敛于 $f(x)$ 的充分必要条件为：对于任意给定的 $ϵ>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n,m>N$ 时，
$$\left|f_n(x)-f(x)\right|<ϵ$$
对一切 $x\in D$ 成立。

一致收敛的函数序列的性质

\quad 下面，来研究一致收敛的函数序列的性质。

定理 4（连续性定理）：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$，若 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 中的每一项都在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 也在 $[a,b]$ 上连续。

\quad 由 定理 4 可得
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_n(x)$$
也就是说，两个极限运算可以交换次序。

定理 5：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$，若 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 中的每一项都在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，且
$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)dx.$$

\quad 由 定理 4 可得
$${\int }_a^b\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)dx.$$
也就是说，极限运算与积分运算可以交换次序。

定理 6：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $[a,b]$ 上点态收敛于 $f(x)$，若

（1）$f_n(x)$（$n=1,2,3,\cdots$）在 $[a,b]$ 上有连续的导函数；

（2）导函数序列 { f n ′ ( x ) } \{f_n'(x)\} {fn′​(x)} 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $\sigma (x)$，

则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
$$\frac{d}{dx}f(x)=\sigma (x).$$
\quad 由 定理 6 可得
$$\frac{d}{dx}\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{d}{dx}{f}_n(x).$$
也就是说，极限运算与求导运算可以交换次序。

\quad 函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在闭区间 $[a,b]$ 上连续（即每一项都连续），且点态收敛于连续函数 $f(x)$，并不能说明：函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$。也就是说，定理 4 的逆命题并不成立！但在某些条件下，由 $f(x)$ 的连续性可得 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $[a,b]$ 上的一致连续性，即下面的 Dini 定理。

定理 7（Dini 定理）：设函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在闭区间 $[a,b]$ 上点态收敛于 $f(x)$，若

（1）$f_n(x)$（$n=1,2,3,\cdots$）在 $[a,b]$ 上连续；

（2）$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续；

（3） { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 关于 $n$ 单调，即对任意固定的 $x\in [a,b]$， { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 是单调数列，

则函数序列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)} 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$。

参考文献

[1] 陈纪修，于崇华，金路著. 数学分析 上册. 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 上册. 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.