一致收敛性
一 函数列及其一致收敛性
函数列
例
定义1
定理13.1 函数列一致收敛的柯西准则
定理13.2
推论
函数项级数及其一致收敛性
函数项级数
一致收敛与内闭一致收敛
定理13.3 一致收敛的柯西准则
推论
定理13.4
函数项级数的一致收敛性判别法
定理13.5 魏尔斯特拉斯判别法
例
前言
定理13.6 阿贝尔判别法
定理13.7 迪利克雷判别法

一 函数列及其一致收敛性
函数列



例

定义1

定理13.1 函数列一致收敛的柯西准则

定理13.2

推论

函数项级数及其一致收敛性
函数项级数



一致收敛与内闭一致收敛

定理13.3 一致收敛的柯西准则

推论

定理13.4

函数项级数的一致收敛性判别法
定理13.5 魏尔斯特拉斯判别法

例



前言

定理13.6 阿贝尔判别法

定理13.7 迪利克雷判别法

文章目录
函数列及其一致收敛性
极限函数
收敛域
一致收敛的定义（充要条件①）
不一致收敛的定义（充要条件）
函数列一致收敛的柯西准则（充要条件②）
函数列一致收敛的柯西准则（充要条件③）
推论：不一致收敛的充要条件2
内闭一致收敛的定义
函数项级数及其一致收敛性
函数项级数收敛域
和函数
级数的(内闭)一致收敛
一致收敛的柯西准则（充要条件）
推论（级数一致收敛的必要条件）
余项充要条件
函数级数一致收敛判别方法
魏尔斯特拉斯判别法（M判别法/优级数判别法）
阿贝尔判别法
狄屎判别法

函数列及其一致收敛性
极限函数
$\lim\limits_{n\to+\infty}f_n(x)=f(x),x\in D$其$\varepsilon-N$定义为：

对每个固定的$x\in D$
对$\forall\varepsilon>0,$总存在$N(\varepsilon,x)>0$(注意！这里的N与$\varepsilon和x两个量有关哦！$)
使得，当$n>N时，总有$ $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$

收敛域
使得$\{f_n\}$收敛的全体收敛点集合称为$\{f_n\}$的收敛域
那什么叫收敛点嘞？

很简单.

假设$\{f_n\}$是定义在$E$上的函数列（n=1,2,…）
有一点$x_0\in E$,代入上述函数列有$f_1(x_0),...,f_n(x_0),...\tag{1}$
若数列（1）收敛，那么就称函数列在$x_0$点收敛，$x_0$点称为函数列的收敛点
若$\{f_n\}$在数集$D\subset E$的每一点都收敛，则称$\{f_n\}$在数集D上收敛
此时D上的每一点$x$都有数列$\{f_n\}$的一个极限值与之对应，所以就得到了极限函数$f(x)$，可以发现上面极限函数的定义域就是$D$,求极限函数首先要保证定义域中的每一点都是函数列的收敛点

一致收敛的定义（充要条件①）

函数列$\{f_n\}$与函数$f$定义在同一数集$D$上
对$\forall\varepsilon>0,总存在N(\varepsilon)\in N^*,当n>N时，$$对\forall x\in D$ 都有$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$则称函数列$\{f_n\}$在$D$上一致收敛于$f$，记作$f_n(x)\rightrightarrows f(x)(n\to\infty),x\in D$

注意！
由以上定义可以看出$\{f_n\}$在D上一致收敛$\Rightarrow$ $\{f_n\}$在D上每一点都收敛
但是，$\{f_n\}$在D上每一点都收敛$\nRightarrow$$\{f_n\}$在D上一致收敛

不一致收敛的定义（充要条件）
函数列$\{f_n\}$在$D$上不一致收敛于$f\Leftrightarrow$

$\exist\varepsilon_0>0$ $,在D上都\exist一点 x'(N)$和正整数$n'(N)>N$,使得$|f_{n'}(x')-f(x')|\ge\varepsilon_0$

函数列一致收敛的柯西准则（充要条件②）
$\{f_n\}$在D上一致收敛$\Leftrightarrow$

对$\forall\varepsilon>0,\exist N>0,当n,m>N时，对\forall x\in D，都有$ $|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$

函数列一致收敛的柯西准则（充要条件③）
$\lim\limits_{n\to\infty}\mathop{sup}\limits_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0$
推论：不一致收敛的充要条件2
存在$\{x_n\}\subset D$，使得$\{f_n(x_n)-f(x_n)\}不收敛于0$
内闭一致收敛的定义

$\{f_n\},f$都定义在区间$I$上
对$\forall闭区间[a,b]\subset I$
$\{f_n\}$在$[a,b]上一致收敛于f$，则称$\{f_n\}在I$上内闭一致收敛于$f$
注意！若这里的$I$是闭区间，则内闭一致收敛与一致收敛是等价的

函数项级数及其一致收敛性
函数项级数收敛域
首先，介绍收敛点的定义：

$\{u_n\}$是定义在$E$上函数列，其函数项级数为$u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...,x\in E\tag{2}$
$S_n=\sum_{k=1}^nu_k(x),x\in E,n=1,...$称为函数项级数的部分和函数列
若$x_0\in E,S_n(x_0)=\sum\limits_{k=1}^nu_k(x_0)$收敛$\Rightarrow$称$x_0$是级数的 收敛点

若级数在E的某个子集D上每点都收敛$\Rightarrow$称级数在D上收敛；

若D是全体收敛点的集合$\Rightarrow$D为级数的收敛域
和函数
$S(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...$ $x\in D$且有$\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)=S(x)$级数(2)的收敛性就看它的部分和函数列的收敛性啦！
级数的(内闭)一致收敛

$\{S_n(x)\}是函数列\sum u_n(x)$的部分和函数列
若$\{S_n(x)\}$在数集$D$上一致收敛于$S(x)$ $\Rightarrow$则称$\sum u_n$在$D$上一致收敛于$S(x)$
若$\sum u_n(x)$在$\forall闭区间[a,b]\subset I$上一致收敛$\Rightarrow$则称$\sum u_n$在$I$上内闭一致收敛于$S(x)$

一致收敛的柯西准则（充要条件）
$\sum u_n(x)$在数集$D$上一致收敛$\Leftrightarrow$

对$\forall\varepsilon>0,总\exist N\in N^*,当n>N时，对\forall x\in D和一切正整数p，都有$ $|S_{n+p}-S_n(x)|<\varepsilon$即$|u_{n+1}(x)+...+u_{n+p}(x)|<\varepsilon$

推论（级数一致收敛的必要条件）
$\sum u_n(x)$在D上一致收敛$\Rightarrow$$\{u_n(x)\}在D上一致收敛于0$
余项充要条件

$R_n(x)=S(x)-S_n(x)$称为函数列级数$\sum u_n$的余项
$\sum u_n(x)$在$D$上一致收敛于$S(x)$ $\Leftrightarrow$  $\lim\limits_{n\to\infty}\mathop{sup}\limits_{x\in D}|R_n(x)|$ $=\lim\limits_{n\to\infty}\mathop{sup}\limits_{x\in D}|S(x)-S_n(x)|=0$

函数级数一致收敛判别方法
魏尔斯特拉斯判别法（M判别法/优级数判别法）

$\sum u_n(x)定义在D上$
$\sum M_n为$①收敛的②正项级数
对$\forall x\in D$,有$|u_n(x)|\le M_n,n=1,2,...$

则称$\sum u_n(x)$在$D$上一致收敛，且称$\sum M_n$为$\sum u_n(x)$的优级数

阿贝尔判别法

$\sum u_n(x)在区间I上一致收敛$
对$\forall x\in I,\{v_n(x)\}$单调且一致有界

则级数$\sum u_n(x)v_n(x)$在$I$上一致收敛
一致有界的定义

对于定义在$I$上的函数列$\{v_n(x)\}$
若$\exist M>0,对所有x\in D,都有$ $|f_n(x)|\le M$

则称$\{v_n(x)\}$在D上一致有界
狄屎判别法

$\sum u_n(x)$的部分和数列$U_n(x)=\sum\limits_{k=1}^nu_k(x)$在$I$上一致有界
对$\forall x\in I,\{v_n(x)\}单调+\rightrightarrows0$

则$\sum u_n(x)v_n(x)$在$I$上一致收敛

一.函数列及其一致收敛性

设是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，（1）也可简单地写作或

函数列的极限函数记作f，则有或

函数列极限的定义：当n>N时，有

使函数列收敛的全体收敛点集合，称为函数列的收敛域。

定义1

设函数列与函数f定义在同一数集D上，当n>N时，有则称函数列在D上一致收敛于f，记作

函数列在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛；反之，在D上每一点都收敛的函数列，在D上不一定一致收敛。

不一致收敛于f的充要条件：有

定理1（函数列一致收敛的柯西准则）

函数列在数集D上一致收敛的充要条件是：使得当n,m>N时，对一切都有

定理2（余项准则）

函数列在区间D上一致收敛于f的充要条件是：

推论：函数列在D上不一致收敛于f的充要条件是：存在使得不收敛于0.

定义2

设函数列与f定义在区间I上，若对任意闭区间在[a,b]上一致收敛于f，则称在I上内闭一致收敛于f.

注：若是有界闭区间，显然在I上内闭一致收敛于f与在I上一致收敛于f是一致的.

二.函数项级数及其一致收敛性

设是定义在数集E上的一个函数列，表达式称为定义在E上的函数项级数，简记为或称为函数项级数（2）的部分和函数列。

函数项级数的和函数，并写作即

定义3

设是函数项级数的部分和函数列。若在数集D上一致收敛于则称在D上一致收敛于若在任意闭区间上一致收敛，则称在I上内闭一致收敛。

定理3（一致收敛的柯西准则）

函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在正数N，使得当n>N时，对一切和一切正整数p，都有或

推论：函数项级数在数集D上一致收敛的必要条件时函数列在D上一致收敛于0.

设函数项级数在D上的和函数为称为函数项级数的余项。

定理4（余项准则）

函数项级数在数集D上一致收敛于的充要条件是

三.函数项级数的一致收敛性判别法

定理5（魏尔斯特拉斯判别法）

设函数项级数定义在数集D上，为收敛的正项级数，若对一切有则函数项级数在D上一致收敛。

也称为M判别法或优级数判别法，为的优级数。

下面讨论定义在区间I上形如

定理6（阿贝尔判别法）设

（i）在区间I上一致收敛；

（ii）对于每一个是单调的；

（iii）在I上一致有界，即存在正数M，使得对一切和正整数n，有

则级数（3）在I上一致收敛。

定理7（狄利克雷判别法）设

（i）的部分和函数列在I上一致收敛；

（ii）对于每一个是单调的；

（iii）在I上

则级数（3）在I上一致收敛。

  
设fn(x)=(1+xn)n,n=1,2,3…研究{fn(x)}在[0,σ](σ>0)上的一致收敛性。




Clear[x,n];
f[x_,n_]:= (1+x/n)^n;
Animate[Plot[{f[x,n],E^x},{x,-3,3},PlotRange->{-3,10},PlotLegends->{f[x],e^x}],{n,1,50},AnimationRunning->False]
Export["f.gif",Table[Plot[{f[x,n],E^x},{x,-2,3},PlotRange->{-3,10},PlotLegends->Placed[{f[x],e^x},Above]],{n,1,50}]]




  
通过放缩，利用定义即可证明。