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  • 从连续系统的角度出发, 提出并证明了混合动态系统的有界性定理,并以一类具体的数字反馈 采样控制系统为例, 详细阐述了有界性定理的具体应用, 最终得到系统在其状态空间内有界的充分条 件。</p>
  • J.P.Lasalle在文[1]中给出了非自治系统解的有界性定理.改进了[1]的结果.给出了非自治系统关于部分变元的有界、等度有界,一致有界性的判别定理,使文[1],[2],[3]的定理成为本文定理的特例.
  • 研究了Yoshizawa稳定性和有界性。利用常微分方程定性理论中公认的普遍且强有力的Liapunov第二方法,将某些稳定性和有界性定理的条件减弱,并给出证明,从而改进了全局一致渐近稳定的定义。
  • 文章目录1. Baire范畴定理2. 一致有界性原理3. 应用举例 Hahn-Banach定理主要是用于...一致有界性原理的证明需要用到Baire范畴定理(也叫Baire纲定理)。 (X,d)(X,d)(X,d),若 Mˉ⊂X\bar{M}\subset XMˉ⊂X 没有内点


    Hahn-Banach定理主要是用于泛函的延拓,在较小的子空间上满足某个性质之后我们就可以将对应的泛函延拓至整个空间。而这一节要讲的一致有界性原理恰如其名,主要讨论一族有界线性算子一致有界的条件。他也是后续讨论序列弱收敛性以及泛函弱星收敛性的基础。

    1. Baire范畴定理

    一致有界性原理的证明需要用到Baire范畴定理(也叫Baire纲定理)。

    (X,d)(X,d),若 MˉX\bar{M}\subset X 没有内点,则称 MM无处稠密的。若 N=nNnN=\cup^\infty_n N_nNnN_n 均为无处稠密的,则称 NN第一范畴。不为第一范畴的子集称为第二范畴

    例子 1X=R,d(s,t)=stX=\mathbb{R},d(s,t)=|s-t|,任意有限集均为无处稠密的,因此可数集均为第一范畴。

    定理(范畴定理)(X,d)(X,d)非空完备的,则 XX 必为第二范畴的。

    证明:第二范畴意味着 XX 不能表示为可数个没有内点的集合的并集。假设 XX 属于第一范畴,即 X=nMnX=\cup_n M_n,并且不妨设 MnM_n 均为闭集(否则可以取 X=nMˉnX=\cup_n \bar{M}_n),并且 MnM_n 都没有内点。

    首先考虑 Y1=M1cY_1=M_1^c 为开集,因此存在某个 x1Y1,r1(0,1/2)x_1\in Y_1,r_1\in(0,1/2) 使得 B(x1,r1)Y1B(x_1,r_1)\subset Y_1。由于 M2M_2 也没有内点并且为闭集,因此 Y2=B(x1,r1)M2cY_2=B(x_1,r_1) \cap M_2^c \ne \varnothing 也为开集,因此可以找到某个 x2Y2,r2(0,r1/2)x_2\in Y_2,r_2\in(0,r_1/2) 使得 B(x2,r2)Y2B(x_2,r_2)\subset Y_2。依此类推,可以找到 B(x1,r1)B(xn,rn)B(x_1,r_1) \supset \cdots \supset B(x_n,r_n)\supset \cdots,并且有 rn(0,1/2n)r_n\in (0,1/2^n)。容易验证 {xn}\{x_n\} 为柯西列,因此存在收敛值 xnx,xXx_n\to x,x\in X。对于 k1k\ge1 考虑 xn+k,xBˉ(xn,rn/2)B(xn,rn)x_{n+k},x\in \bar{B}(x_n,r_n/2)\subset B(x_n,r_n),于是有 xB(xn,rn),n1x\in B(x_n,r_n),\forall n\ge1,因此就有 xMn,n1x\notin M_n,\forall n\ge1,因此 xXx\notin X,导出矛盾。证毕。

    2. 一致有界性原理

    一致有界性原理:假设 XXBanach 空间YY 为赋范空间,TiB(X,Y),iIT_i\in B(X,Y),\forall i\in \mathcal{I},并且对任取 xXx\in X
    supiITix< \sup_{i\in\mathcal{I}} \Vert T_ix\Vert < \infty
    supiITi<.\sup_{i\in\mathcal{I}}\Vert T_i\Vert<\infty.

    NOTE:条件当中针对的是固定任意一个 xXx\in XTixT_i x 有界,也即是说所有的 Tix,iIT_ix,i\in\mathcal{I} 存在一个上界 cxc_x,该上界与 xx 有关。对于线性泛函,我们只需要考虑 x=1\Vert x\Vert=1 的情况,但即便如此,一般而言由该条件并不能推导出对于所有的 x,cx\Vert x\Vert, c_x 存在一个共同的上界,因为随着 xx 的变化 cxc_x 有可能趋于无穷。而一致有界性原理则说明当 XX 为 Banach 空间的时候,一定存在这样一个上界,从而说明 Ti\Vert T_i\Vert 有上确界。

    证明:根据上面的分析,我们在寻找 supiTi\sup_i\Vert T_i\Vert 的时候不能局限在 x=1\Vert x\Vert=1 的情况,下面的证明方法很巧妙。

    首先考虑 XX 完备,根据 Baire 范畴定理,不能表示为可数个没有内点的集合的并集。那么假如我们将其表示为可数个集合的并集,则一定存在某个集合有内点。因此考虑 Mn={xX,supiTixn}M_n=\{x\in X, \sup_i\Vert T_ix\Vert \le n\},因此就有 X=nMnX=\cup_n^\infty M_n,一定存在某个 N1N\ge1 使得 MNM_N 有内点,此时找到 x0MN,r>0x_0\in M_N,r>0 使得 Bˉ(x0,r)MN\bar{B}(x_0,r)\subset M_N,并且 yX,y=1\forall y\in X,\Vert y\Vert=1,都有
    Ti(x0)N, Ti(x0+ry)N,iI,y=1Tiy2N/r,iI,y=1supiITi2N/r \Vert T_i(x_0)\Vert \le N,\ \Vert T_i(x_0+ry)\Vert \le N,\quad \forall i\in\mathcal{I},\Vert y\Vert=1 \\ \Longrightarrow \Vert T_iy\Vert \le 2N/r, \quad \forall i\in\mathcal{I},\Vert y\Vert=1 \\ \Longrightarrow \sup_{i\in\mathcal{I}}\Vert T_i\Vert \le 2N/r
    证毕。

    共鸣定理:假设 XXBanach 空间YY 为赋范空间,TiB(X,Y),iIT_i\in B(X,Y),\forall i\in \mathcal{I},设 supiTi=\sup_i\Vert T_i\Vert = \infty,则 xX\exists x\in X 使得 supiTix=\sup_{i} \Vert T_i x\Vert= \infty,其中 xx 即为 TiT_i 的共鸣点。

    NOTE:实际上共鸣定理就是一致有界性原理的逆反命题。

    3. 应用举例

    一致有界性原理的 Banach 空间假设是必不可少的,下面的例子将进行解释。

    例子 2XX 为所有的多项式,即 pXp\in X 可以表示为 p(t)=a0+a1t+aNtNp(t)=a_0+a_1 t+\cdots a_N t^N,定义 p=max0iNai\Vert p\Vert =\max_{0\le i\le N}|a_i|。取一列线性泛函 fn(p)=a0+a1+anf_n(p)=a_0+a_1+\cdots a_n,那么可以验证 fnXf_n\in X' 并且有 fn=n+1\Vert f_n\Vert=n+1

    此时显然我们有对任意固定的 p=a0+a1t+aNtNXp=a_0+a_1 t+\cdots a_N t^N\in Xfn(p)a0++aN\Vert f_n(p)\Vert \le |a_0|+\cdots+|a_N|,但是同时我们也有 supnfn=\sup_n \Vert f_n\Vert=\infty,这似乎与一致有界性原理矛盾?其实原因是 XX 并不是 Banach 空间。

    考虑 pn(t)=1+12t++1n+1tnp_n(t)=1+\frac{1}{2}t+\cdots+\frac{1}{n+1}t^n,那么可以验证 {pn}\{p_n\} 为柯西列,但是其收敛值却并不在 XX 内部(XX 中只包含有限项的多项式),因此 XX 不完备。

    一致有界性原理还可用于讨论 Fourier 级数的收敛问题。

    例子 3:考虑 t[0,2π]t\in[0,2\pi],对于 [0,2π][0,2\pi] 上的周期函数,很多时候我们用 Fourier 级数来表示他们,即
    a0(x)=12π02πx(t)dtam(x)=1πa2πx(t)cos(mt)dt,m1bm(x)=1πa2πx(t)sin(mt)dt,m1 \begin{aligned} a_0(x) &= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} x(t)dt \\ a_m(x) &= \frac{1}{\pi}\int_a^{2\pi} x(t)\cos(mt)dt, m\ge1 \\ b_m(x) &= \frac{1}{\pi}\int_a^{2\pi} x(t)\sin(mt)dt, m\ge1 \end{aligned}
    xn(t)=a0+m=1n(amcosmt+bmsinmt)x_n(t)=a_0+\sum_{m=1}^n\left(a_m \cos mt+b_m\sin mt\right) 即为 Fourier 级数。但是一个问题就是 Fourier 级数是否点点收敛到 xx?答案是否定的,可以用一致有界性原理证明。

    证明:考虑 fn(x)=xn(0)=a0(x)+m=1nam(x)f_n(x)=x_n(0)=a_0(x)+\sum_{m=1}^n a_m(x),显然 fn(x)f_n(x)Cper[0,2π]C_{per}[0,2\pi](连续周期函数)上的线性泛函。并且有
    fn(x)=12π02π(1+2m=1ncos(mt))x(t)dt=12π02πsin(n+1/2)tsin(t/2)x(t)dt=12π02πQn(t)x(t)dt \begin{aligned} f_n(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \left(1+2\sum_{m=1}^n \cos(mt) \right)x(t)dt \\ &= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\sin(n+1/2)t}{\sin(t/2)}x(t)dt= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} Q_n(t)x(t)dt \\ \end{aligned}
    因此 fn02πQn(t)dt\Vert f_n\Vert \le \int_0^{2\pi} |Q_n(t)|dt。由于 Qn(t)Q_n(t)[0,2π][0,2\pi] 上只有有限个零点,因此可以构造合适的 xx 证明 fn=12π02πQn(t)dt\Vert f_n=\Vert \ge \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |Q_n(t)|dt。而
    02πQn(t)dt20(2n+1)πsinttdt2k=02nkπ(k+1)πsinttdt2k=02nkπ+π/4kπ+3π/41tdtk=02n428k+3 \begin{aligned} \int_0^{2\pi} |Q_n(t)|dt &\ge 2\int_0^{(2n+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t}dt \ge2\sum_{k=0}^{2n}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t}dt \\ &\ge \sqrt{2} \sum_{k=0}^{2n}\int_{k\pi+\pi/4}^{k\pi+3\pi/4} \frac{1}{t}dt \\ &\ge \sum_{k=0}^{2n} \frac{4\sqrt{2}}{8k+3} \end{aligned}
    因此有 supn1fn=\sup_{n\ge1}\Vert f_n\Vert=\infty,由一致有界性原理,存在 x0Cper[0,2π]x_0\in C_{per}[0,2\pi] 使得 supn1fn(x0)=\sup_{n\ge1} |f_n(x_0)|=\infty,因此 x0x_0 的 Fourier 级数在 t=0t=0 处不收敛。证毕。

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    泛函分析专栏
    泛函分析笔记 0:绪论
    泛函分析笔记 1:度量空间
    泛函分析笔记 2:赋范空间
    泛函分析笔记 3:内积空间
    泛函分析笔记 4:Hahn-Banach定理
    泛函分析笔记 5:Hahn-Banach定理的应用
    泛函分析笔记 6:一致有界性原理

    展开全文
  • 主要讨论不连续的时滞自治系统,在Filippov解意义下的一致最终有界性问题.基于Lya-punov-Krasovskii泛函给出了全局强一致最终有界的Lyapunov定理,并将其应用到一类带有不连续摩擦项的时滞力学系统.
  • 在具有衰减记忆的允许相空间(C g,・g)中,利用Horn不动点定理研究了具有无限时滞积分微分方程周期解的存在性,去掉了周期解定理中的“一致有界性”条件,得到方程解的一致最终有界性蕴含周期解的存在性,所得结果推广了...
  • 对于描述不可压缩粘性流体流动的Navier-Stokes方程,其解的定性分析...文中利用空间分解定理、高斯公式及Sobolev空间方法证明了不可压缩粘性流体定常旋转流在Sobolev空间[H(Ω)],中存在一个与流体粘度无关的上界.
  • 泛函分析 有界线性算子 一致有界原则

    §4.3 

    线线. 
    使线. 
    线(线),线. 
    ,: 
    (4.3.7); 
    (4.4.4),(4.4.5); 
    (4.5.7). 
    HahnBanach5.1.1(线 
    )线. 
    Banach线. 
    Baire, 
    ,. 

    4.3.1Baire 

    4.3.1(X,d),EX.E 
    X,E. 
    :A,BX,B ¯ ¯ ¯  A, 
    BA. 
    1E. 
    ,xE,S(x,r)E,ES(x,r). 
    2Cantor. 
    Cantor. 

    4.3.2E, 
    E= n=1  E n , 
    E n (n=1,2,), 
    E. 
    . 

    4.3.3(Baire). 
    :., 
    X= n=1  E n , 
    E n (n=1,2,). 
     
    (1)S,E 1 S(E ¯ ¯ ¯   1 S), 
    SE ¯ ¯ ¯   1 (E ¯ ¯ ¯   1 ). 
    S,S ¯ ¯   1 S,使 
    S ¯ ¯   1 E 1 =S ¯ ¯   1 1. 
    (2)S 1 ,E 2 S 1 ,S ¯ ¯   2 S 1 ,使 
    S ¯ ¯   2 E 2 =S ¯ ¯   2 12 . 
    (3), 
    S ¯ ¯   1 S ¯ ¯   2 S ¯ ¯   n ,S ¯ ¯   n r n <12 n1  . 
    (4)X,r n 0, 
    x 0 X,x 0  n=1  S ¯ ¯   n . 
    S ¯ ¯   n E n =,n,x 0 S ¯ ¯   n ,x 0  ¯ ¯  E n , 
    X= k=1  E n . 
    X,X. 

    4.3.4Banach. 

    4.3.5E[0,1], 
    E,EC[0,1]E. 
    证明参阅张恭庆等《泛函分析讲义》(上册)p92.

    : 
    , 
    . 
    ,. 
    . 
    Weierstrass. 
    4.3.6 
    f(x)= n=0  a n cos(b n πx),(4.3.1) 
    0<a<1,b,ab>1+32 π. 
    ,. 
    f(x). 
    p.88 
    Baire. 

    4.3.2 

    ,线,: 
    线. 

    4.3.7(BanachSteinhaus) 
    {T α |αI}BanachXX 1  
    线.xX, 
    sup α T α x<(4.3.2) 
    {T α |αI}. 
    : 
    (1)XBanach, 
    (2)T线,X. 
    ,xX,M x >0,使 
    T α xsup α T α x=M x <(4.3.3) 
    M,使 
    T α M,αI(4.3.4) 
    ,(). 
    : 

    4.3.8{T α |αI}BanachX 
    X 1 线,sup α T α =, 
    xX,使 
    sup αI T α x=(4.3.5) 
    . 
    : 
    :{T α |αI}线 
    (). 
    :sup α T α x<, 
    xX,M x >0,使 
    T α xsup α T α x=Mx<(4.3.6) 
    :M,使 
    T α M,αI(4.3.7) 
    xX,αI,T α xMx. 
    : 
    (1){T α |αI}. 
    r>0,使 
    T α xM<,xB(0,r) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ,αI. 
    (2)线, 
    xX,αI,T α (rxx )M, 
    T α xMr 1 x, 
    . 
    3(1). 
     
    M k ={x|T α xk,αI}(k=1,2,) 
    M k ={xX|sup αI T α xk} 
    = αI {xX|T α x<k}, 
    {T α }M k ,k. 
    :xX,M x >0,使 
    T α xsup α T α x=M x <, 
    xX,xM k , 
    X= k=1  M k . 
    XBanach,,M k 0  , 
    G,GM ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  . 
    B ¯ ¯ ¯  ,B ¯ ¯ ¯  M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0   
    ,M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  , 
    B ¯ ¯ ¯  M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  =M k 0  , 
    {T α },k 0 . 
    ,T线, 
    使. 
    (1)