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  • 2019-03-26 20:56:12

    一致连续又称均匀连续,它的直白意义是: 若函数 f f f 一致连续,对于定义域内任意两点 x x x y y y,只要 x x x y y y 充分接近, f ( x ) f(x) f(x) f ( y ) f(y) f(y) 也能够充分接近。

    另一个用邻域的定义:

    • 对于任意实数 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,总存在实数 δ > 0 \delta>0 δ>0,只要 ∥ x − y ∥ < δ \|x-y\|<\delta xy<δ,都有 ∥ f ( x ) − f ( y ) ∥ < ϵ \|f(x)-f(y)\|<\epsilon f(x)f(y)<ϵ.

    海涅-康托尔定理表面:若一个函数在闭区间连续,则该函数也是一致连续的。

    连续的直白意义是: 若函数 f f f 连续,对于定义域内任意一点 x x x,都存在一个足够小的邻域, f ( x ) f(x) f(x) 与邻域内的值充分接近。

    连续的邻域定义:

    • 对于任意实数 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0 与定义域内任一点 x x x,总存在实数 δ > 0 \delta>0 δ>0,只要 ∥ x − y ∥ < δ \|x-y\|<\delta xy<δ,都有 ∥ f ( x ) − f ( y ) ∥ < ϵ \|f(x)-f(y)\|<\epsilon f(x)f(y)<ϵ,其中 y y y x x x 邻域内的任意一点.

    可以看出:

    • 一致连续定义中的 δ \delta δ 只与 ϵ \epsilon ϵ 有关
    • 连续定义中的 δ \delta δ ϵ \epsilon ϵ x x x 都有关
    • 一致连续比连续的定义更苛刻,一直连续必然连续,但连续不一定一致连续
    • 一致连续与连续的区分非常抽象不好理解,可以从直白的几何意义去理解二者的区别,例如函数 f ( x ) = 1 / x f(x)=1/x f(x)=1/x,该函数在区间 (0, 1) 连续,但是并不是一致连续:因为选取靠近 0 的两个比较接近的点,它们的值并不充分接近。
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  • 一致连续

    千次阅读 2020-10-07 12:27:20
    文章目录一致连续连续与一致连续一致连续的判定一致连续与开区间 一致连续 连续与一致连续 尽管我们可以说函数f(x)f(x)f(x)在区间XXX上连续,但实际上连续的作用目标是“区间上的每一个点”,即 ∀x0∈X,∀ε>0,...

    一致连续

    连续与一致连续

    尽管我们可以说函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上连续,但实际上连续的作用目标是“区间上的每一个点”,即
    ∀ x 0 ∈ X , ∀ ε > 0 , ∃ δ ( ε , x 0 ) > 0 , s . t . ∀ x ∈ U ( x 0 ; δ ) ∩ X , ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ε . \forall x_0\in X,\forall \varepsilon>0,\exist \delta(\varepsilon,x_0)>0,{\rm s.t.}\forall x\in U(x_0;\delta)\cap X,|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. x0X,ε>0,δ(ε,x0)>0,s.t.xU(x0;δ)X,f(x)f(x0)<ε.
    注意到这里 δ \delta δ的选取不止依赖于 ε \varepsilon ε,还依赖于作用的点 x 0 x_0 x0,因此,函数连续依然被视作是点性质,与函数极限类似。

    一致连续是一个定义在区间上的概念,不同于连续。也就是说,如果在根据 ε \varepsilon ε寻找 δ \delta δ时只考虑 ε \varepsilon ε的大小,而不考虑选取的具体点 x 0 x_0 x0,即找到一个对任何 x 0 x_0 x0都适用的 δ ( ε ) \delta(\varepsilon) δ(ε),就称 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上具有一致连续性,即
    ∀ ε > 0 , ∃ δ ( ε ) > 0 , ∀ x 0 ∈ X , s . t . ∀ x ∈ U ( x 0 ; δ ) ∩ X , ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ε . \forall \varepsilon>0,\exist \delta(\varepsilon)>0,\forall x_0\in X,{\rm s.t.}\forall x\in U(x_0;\delta)\cap X,|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. ε>0,δ(ε)>0,x0X,s.t.xU(x0;δ)X,f(x)f(x0)<ε.
    其等价的定义是:设函数 f ( x ) f(x) f(x)定义在区间 X X X上,若对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,只要 x ′ , x ′ ′ ∈ X x',x''\in X x,xX满足 ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ |x'-x''|<\delta xx<δ,就成立 ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ < ε |f(x')-f(x'')|<\varepsilon f(x)f(x)<ε,就称 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上一致连续。

    可以看出: f ( x ) f(x) f(x) X X X上一致连续 ⇒ f ( x ) \Rightarrow f(x) f(x) X X X上连续,但反之不一定成立。这是因为 ∀ x 0 ∈ X \forall x_0\in X x0X,可以取 δ ( x 0 , ε ) = δ ( ε ) \delta(x_0,\varepsilon)=\delta(\varepsilon) δ(x0,ε)=δ(ε),就得到 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0的连续性,进而得到 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上的连续性。而反之,可以找出一些在开区间上的例子,说明 f ( x ) f(x) f(x)在开区间上连续但不一致连续,如
    f ( x ) = 1 x , x ∈ ( 0 , 1 ] . f(x)=\frac 1x,\quad x\in (0,1]. f(x)=x1,x(0,1].
    要使得 ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ε |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon f(x)f(x0)<ε,就有
    ∣ 1 x − 1 x 0 ∣ < ε , 1 x 0 − ε < 1 x < 1 x 0 + ε ⇓ x 0 1 + ε x 0 < x < x 0 1 − ε x 0 ⇓ − x 0 2 1 + x 0 ε < x − x 0 < x 0 2 ε 1 − x 0 ε . \left|\frac 1x-\frac1{x_0}\right|<\varepsilon,\quad \frac 1{x_0}-\varepsilon<\frac 1x<\frac 1{x_0}+\varepsilon\\ \Downarrow\\ \frac{x_0}{1+\varepsilon x_0}<x<\frac{x_0}{1-\varepsilon x_0}\\ \Downarrow\\ \frac{-x_0^2}{1+x_0\varepsilon}<x-x_0<\frac{x_0^2\varepsilon}{1-x_0\varepsilon}. x1x01<ε,x01ε<x1<x01+ε1+εx0x0<x<1εx0x01+x0εx02<xx0<1x0εx02ε.
    得到 δ ( x 0 , ε ) = x 0 2 ε 1 + x 0 ε \delta(x_0,\varepsilon)=\frac{x_0^2\varepsilon}{1+x_0\varepsilon} δ(x0,ε)=1+x0εx02ε,这是 δ \delta δ的精确解,可以看出, x 0 → 0 x_0\to 0 x00 δ ( x 0 , ε ) → 0 \delta(x_0,\varepsilon)\to0 δ(x0,ε)0,所以不存在一个对所有 x 0 x_0 x0都适用的 δ ( ε ) \delta(\varepsilon) δ(ε),故 f ( x ) f(x) f(x) ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]上不是一致连续的。

    但对于闭区间,有Cantor定理保证, f ( x ) f(x) f(x) X X X上连续 ⇔ f ( x ) \Leftrightarrow f(x) f(x) X X X上一致连续。

    而对于有限开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b),只要 f ( a + ) , f ( b − ) f(a^+),f(b^-) f(a+),f(b)存在且有限,那么就可以将其延拓成闭区间,因此一样能由连续性推出一致连续性。

    一致连续的判定

    刚才我们得出了一种计算 δ ( x 0 , ε ) \delta(x_0,\varepsilon) δ(x0,ε)的精确解,来判断是否一致连续的方法,但精确解的计算是比较困难的,在绝大多数时候会对 δ \delta δ进行放缩。有一种更简便的方法来判断非一致连续性。

    命题:设 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上定义,则 f ( x ) f(x) f(x) X X X上一致连续的充要条件是,对任何 X X X上的点列 { x 0 ′ } , { x 0 ′ ′ } \{x_0'\},\{x_0''\} {x0},{x0},只要满足 lim ⁡ n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = 0 \lim\limits_{n\to \infty}(x_n'-x_n'')=0 nlim(xnxn)=0,就成立 lim ⁡ n → ∞ [ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ] = 0 \lim\limits_{n\to \infty}[f(x')-f(x'')]=0 nlim[f(x)f(x)]=0

    证明:先证明必要性。

    f ( x ) f(x) f(x)在区间 X X X上一致连续,即 ∀ ε > 0 , ∃ δ ( ε ) > 0 \forall \varepsilon>0,\exists \delta(\varepsilon)>0 ε>0,δ(ε)>0,只要 ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ |x'-x''|<\delta xx<δ,就有 ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ < ε |f(x')-f(x'')|<\varepsilon f(x)f(x)<ε。现既然 lim ⁡ n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = 0 \lim\limits_{n\to \infty}(x_n'-x_n'')=0 nlim(xnxn)=0,则对于任何 δ ( ε ) > 0 \delta(\varepsilon)>0 δ(ε)>0,必定存在一个 N ( ε ) N(\varepsilon) N(ε) n > N n>N n>N时, ∣ x n ′ − x n ′ ′ ∣ < δ ( ε ) |x'_n-x_n''|<\delta(\varepsilon) xnxn<δ(ε),于是 ∣ f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ∣ < ε |f(x_n')-f(x_n'')|<\varepsilon f(xn)f(xn)<ε

    再证明充分性,采用反证法。

    如果对于不一致连续的函数 f ( x ) f(x) f(x),一定存在 X X X上的点列 { x n ′ } , { x n ′ ′ } \{x_n'\},\{x_n''\} {xn},{xn},虽然 x n ′ − x n ′ ′ → 0 x_n'-x_n''\to 0 xnxn0,但是 f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ↛ 0 f(x_n')-f(x_n'')\nrightarrow 0 f(xn)f(xn)0,就可以证明原命题的成立。因此,我们考虑一个不一致连续的函数 f ( x ) f(x) f(x),按照不一致连续的定义,有
    ∃ ε 0 > 0 , ∀ δ > 0 , ∃ x ′ , x ′ ′ ∈ X , ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ , ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ > ε 0 . \exists \varepsilon_0>0,\forall \delta>0,\exist x',x''\in X,|x'-x''|<\delta,|f(x')-f(x'')|>\varepsilon_0. ε0>0,δ>0,x,xX,xx<δ,f(x)f(x)>ε0.
    取一列 { δ n } → 0 \{\delta_n\}\to 0 {δn}0,不妨取 δ n = 1 n \delta_n=\dfrac 1n δn=n1,则有
    ∣ x n ′ − x n ′ ′ ∣ < δ n → 0 , ∣ f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ∣ > ε 0 . |x_n'-x_n''|<\delta_n\to 0,\quad |f(x_n')-f(x_n'')|>\varepsilon_0. xnxn<δn0,f(xn)f(xn)>ε0.
    这就得到了点列满足条件,因此不一致连续的函数一定存在距离无限接近但函数值不接近的点列,也就是只要所有无限接近的点列函数值都无限接近,那么一定是一致连续。

    一致连续与开区间

    刚才我们说过,对于有限开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b),只要其端点处存在单侧极限,就能从连续推出一致连续。然而,这个命题反过来也是成立的,即对于开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上的一致连续函数 f ( x ) f(x) f(x),可以推出 f ( a + ) , f ( b − ) f(a^+),f(b^-) f(a+),f(b)存在且有限。

    因为 f ( x ) f(x) f(x)在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上一致连续,所以 ∀ ε > 0 , ∃ δ \forall \varepsilon>0,\exist \delta ε>0,δ,当 ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ |x'-x''|<\delta xx<δ ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ < ε |f(x')-f(x'')|<\varepsilon f(x)f(x)<ε。在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上任意选取数列 x n ∈ ( a , b ) x_n\in (a,b) xn(a,b) lim ⁡ n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to \infty}x_n=a nlimxn=a,这里 { x n } \{x_n\} {xn}是基本列,所以对于上述 δ \delta δ
    ∃ N , ∀ n , m > N : ∣ x n − x m ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x n ) − f ( x m ) ∣ < ε . \exist N,\forall n,m>N:|x_n-x_m|<\delta \Rightarrow |f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon. N,n,m>N:xnxm<δf(xn)f(xm)<ε.
    这就说明 f ( x n ) f(x_n) f(xn)也是基本数列,存在极限。由Heine定理, lim ⁡ x → a + f ( x ) \lim\limits_{x\to a^+}f(x) xa+limf(x)存在且有限,记作 f ( a + ) f(a^+) f(a+)即可 。同理可以证明 lim ⁡ x → b − f ( x ) \lim\limits_{x\to b^-}f(x) xblimf(x)存在且有限,记作 f ( b − ) f(b^-) f(b)

    但对于无限开区间,不能得到这个结果,因为Cauchy收敛准则的收敛是指对有限数的收敛,对无穷的收敛是不适用的,如取 { x n } , x n = − n \{x_n\},x_n=-n {xn},xn=n,就不存在这样的 N N N使得 ∣ x n − x m ∣ < ε |x_n-x_m|<\varepsilon xnxm<ε

    可以取一个在无穷区间上一致连续,但不存在无穷极限的,如 f ( x ) = sin ⁡ x f(x)=\sin x f(x)=sinx R \R R上一致连续,但不存在极限。但如果单侧无限区间 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+) ( − ∞ , b ] (-\infty,b] (,b]上存在极限 A = lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) A=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) A=x+limf(x) B = lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) B=\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) B=xlimf(x),那么 f ( x ) f(x) f(x)在这样的无限区间上是一致连续的。

    展开全文
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  • 1.函数连续 定义:设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0​的某一个领域内有定义,如果 lim⁡Δx→0Δy=lim⁡Δx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0, \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \...

    1.函数连续

    定义:设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0的某一个领域内有定义,如果
    lim ⁡ Δ x → 0 Δ y = lim ⁡ Δ x → 0 [ f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ] = 0 , \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[ f\left(x_0+\Delta x\right) -f\left(x_0\right) \right] = 0, Δx0limΔy=Δx0lim[f(x0+Δx)f(x0)]=0,
    那么就称函数 y = f ( x ) y=f\left( x \right) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0连续。

    2.区间连续

    定义:如果在区间上每一点都连续,就称函数在该区间上连续,如果区间包括端点,那么在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续。

    3.一致连续

    定义:设函数 f ( x ) f\left(x \right) f(x)在区间 I I I上有定义,如果对于任意给定的正数 ε \varepsilon ε,总存在正数 δ \delta δ,使得对于区间 I I I上的任意两点 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2 ,当 ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ \left|x_1-x_2\right| < \delta x1x2<δ时,有
    ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < ε \left|f(x_1)- f(x_2)\right|<\varepsilon f(x1)f(x2)<ε那么称函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上一直连续。

    4.绝对连续

    f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上的函数,若对任意 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在 δ > 0 \delta>0 δ>0使得对于 [ a , b ] [a,b] [a,b]中的任意一组分点: a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 ≤ … ≤ a n < b n , a_{1}<b_{1} \leq a_{2}<b_{2} \leq \ldots \leq a_{n}<b_{n}, a1<b1a2<b2an<bn,只要 ∑ i = 1 n ( b i − a i ) < δ \sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)<\delta i=1n(biai)<δ,便有 ∑ i = 1 n ∣ f ( b i ) − f ( a i ) ∣ < ε , \sum_{i=1}^{n} \mid f\left(b_{i}\right)-f\left(a_{i}\right)|<\varepsilon, i=1nf(bi)f(ai)<ε则称 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上的绝对连续函数,或称 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上绝对连续。

    5.Lipschitz连续

    对于函数 f ( x ) f(x) f(x),如果存在一个常量 K K K,使得对 f ( x ) f(x) f(x)定义域上(可为实数也可以为复数)的任意两个值满足如下条件:
    ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ K ∗ ∣ x 1 − x 2 ∣ \left|f(x_1)-f(x_2)\right| \leq K*\left|x_1-x_2\right| f(x1)f(x2)Kx1x2那么称函数 f ( x ) f(x) f(x)满足Lipschitz连续条件,并称 K K K f ( x ) f(x) f(x)的Lipschitz常数。

    展开全文
  • 连续、一致连续、一致收敛等度连续是函数或函数列非常重要的性质。针对收敛的函数列,探讨了一致连续、一致收敛等度连续两两之间的关系,并在有界区间上给出了一致连续、一致收敛等度连续的等价关系。
  • 【数学】连续,一致连续,Hölder连续,Lipschitz连续

    千次阅读 多人点赞 2020-03-04 12:22:48
    基础比较差,常常搞不清楚几个概念,自己写一写有助于记忆理解,水平有限,疏漏之处欢迎大家批评指正~ 1 连续 个人理解,连续是个局部的概念,一般说函数在某一点x0处,满足那样一个性质,就说这个函数在x0连续。 ...

    前言

    常常搞不清楚几个概念,自己写一写有助于记忆和理解,水平有限,欢迎大家批评指正~

    1 连续

    个人理解,连续是个局部的概念,一般说函数在某一点x0处,满足那样一个性质,就说这个函数在x0连续。

    同济第七版的定义是这样的: 连续的定义
    表情包版本的定义是这个样子的:
    在这里插入图片描述
    定义的版本各种各样,但都是想要描述:
    控制x与x0的距离,就可以使相应的函数值f(x)离f(x0)就可以要多近有多近。
    这个距离多少由x0有关,不同的点这个距离可能不同。
    也就是在我们直观上的连续不断的一条曲线的性质。

    此外,在区间上连续是这么说的:

    “如果在区间上每一点都连续,就称函数在该区间上连续,如果区间包括端点,那么在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续。”(同济第七版)

    一个解释很清楚的理解:https://zhuanlan.zhihu.com/p/87984703.

    2 一致连续

    一致连续定义
    单从定义上与连续比较,少了某一点x0的概念,多了区间I的概念。

    也就是说,不论在区间I的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,相应的函数值就可以达到指定的接近程度。
    这个一定程度对全体区间上的点都奏效。

    举个栗子:
    f(x)=1/x 在(0,1]上连续,但不一致连续。
    问题出在靠近0的地方,取x1 = 1/n, x2 = 1/(n+1),
    x1,x2之间的距离随着n增大越来越小,但两函数值始终相差1。

    不严谨的说,不一致连续是因为函数在区间上有斜率趋于无穷的地方。

    3 Hölder连续

    百度百科上的定义:
    在这里插入图片描述

    4 Lipschitz连续

    定义:对函数 f ( x ) : R → R f(x): R \to R f(x):RR 存在常数 K K K,s.t.
    ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ K ∣ x 1 − x 2 ∣ |f(x_1)-f(x_2)| \leq K|x_1-x_2| f(x1)f(x2)Kx1x2

    5 关系

    1 连续与一致连续:

    一致连续性定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么它在该区间上一致连续。

    2 Lipschitz连续与一致连续:
    Lipschitz :要求函数斜率或变化幅度有界,即小于一个常数;
    一致连续:要求函数斜率或变化幅度有限,即不趋于无穷;
    因此Lipschitz连续更强;

    eg. [0,1]区间上 y = x 1 2 y= x^{\frac{1}{2}} y=x21
    在0点处不满足Lipschitz连续,但满足一致连续

    3 Hölder连续弱于Lipschitz连续;

    展开全文
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空空如也

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一致连续和连续的区别

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