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  • 数学分析 函数的连续性(第4章)

    千次阅读 2020-07-20 22:03:48
    一.连续性 二.连续函数的性质 三.初等函数的连续性

    一.连续性
    1.函数在1点的连续性
    (1)增量:
    在这里插入图片描述
    (2)连续性的定义(3种):
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    2.左(右)连续性:
    在这里插入图片描述
    3.函数连续的充要条件(定理4.1):

    函数f在点x0处连续的充要条件是:f在x0处既是左连续的,又是右连续的

    4.间断点
    (1)定义:
    在这里插入图片描述
    (2)分类:

    函数f的间断点x0的情况必为下述3种之一::
    ①f在x0处无定义
    ②f在x0处有定义但 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} xx0limf(x)不存在
    ③f在x0处有定义且 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} xx0limf(x)存在(指有限极限,不包括非正常极限),但 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} xx0limf(x) f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)
    据此,可对函数的间断点进行分类

    ①第一类间断点:左/右极限均存在,仅包括以下2类
    –i.可去间断点
    在这里插入图片描述
    可去间断点可通过下述方法转换成连续点:
    在这里插入图片描述
    –ii.跳跃间断点
    在这里插入图片描述

    第二类间断点:左/右极限至少有1个不存在(即其他形式的间断点),除以下2类还有很多类
    –i.无穷间断点
    –ii.震荡间断点

    5.连续函数:
    在这里插入图片描述
    二.连续函数的性质
    1.连续函数的局部性质
    (1)局部有界性(定理4.2):

    若函数f在点x0处连续,则f在某U(x0)上有界

    (2)局部保号性(定理4.3):

    若函数f在点x0处连续,且f(x)>0(或<0),则对∀0<r<f(x0)(或0<r<-f(x0),∃某U(x0),使对∀x∈U(x0),有f(x)>r(或f(x)<-r)
    在具体应用局部保号性时,常取r= 1 2 f ( x 0 ) \frac{1}{2}f(x_0) 21f(x0),则当 f ( x 0 ) > 0 f(x_0)>0 f(x0)>0时,∃某U(x0),使在其上有f(x)> 1 2 f ( x 0 ) \frac{1}{2}f(x_0) 21f(x0)

    (3)有限次四则运算不改变连续性(定理4.4):

    若函数f,g在点x0处连续,则 f ± g , f ⋅ g , f g ( g ( x 0 ) ≠ 0 ) f±g,f·g,\frac{f}{g}(g(x_0)≠0) f±g,fg,gf(g(x0)=0)也都在x0处连续

    (4)有限次复合运算不改变连续性(定理4.5):

    若函数f在点x0处连续,g在点u0处连续, u 0 = f ( x 0 ) u_0=f(x_0) u0=f(x0),则复合函数 g ○ f g○f gf在点x0处连续
    根据连续性的定义,结论也可表示为 lim ⁡ x → x 0 g ( f ( x ) ) = g ( lim ⁡ x → x 0 f ( x ) ) = g ( f ( x 0 ) ) \displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(f(x))}=g(\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)})=g(f(x_0)) xx0limg(f(x))=g(xx0limf(x))=g(f(x0))
    在这里插入图片描述

    扩展到可去间断点处:在这里插入图片描述

    2.闭区间上连续函数的性质
    (1)最大值与最小值:
    在这里插入图片描述
    (2)最大/最小值定理(定理4.6):

    若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上有最大值和最小值

    引理(有界性定理):若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界
    在这里插入图片描述

    定理4.6的证明:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    (3)介值性定理(定理4.7):

    设函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),若μ为介于f(a)与f(b)间的任何实数(f(a)<μ<f(b)或f(a)>μ>f(b)),则至少∃1点x0∈(a,b),使f(x0)=μ
    这个定理表面:若f在[a,b]上连续,不妨设f(a)<f(b),则f在[a,b]上必能取得区间[f(a),f(b)]上的一切值,即[f(a),f(b)]⫋f([a,b])
    该命题的几何意义如图4-2;下面的推论是定理4.7的等价命题
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    推论(根的存在定理):若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则至少∃1点x0∈(a,b),使f(x0)=0,即方程f(x)=0在(a,b)上至少有1个根
    这个推论的几何解释如图4.3

    在这里插入图片描述

    由定理4.7可得性质:若f在区间I上连续且不为常量,则值域f(I)也是1个区间
    特别地,若I为闭区间[a,b],f在[a,b]上的最大值/最小值为M/m,则f([a,b])=[m,M]
    又若f为[a,b]上的递增(或减)连续函数且不为常函数,则f([a,b])=[f(a),f(b)] (或[f(b),f(a)])

    3.反函数的连续性

    定理4.8:若f在[a,b]上严格单调并连续,则其反函数f-1在其定义域[f(a),f(b)] (或[f(b),f(a)])上连续
    在这里插入图片描述

    三.一致连续性
    1.定义:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    2.一致连续性与连续性:

    比如y= 1 x \frac{1}{x} x1在(0,1]上连续但不一致连续
    在这里插入图片描述

    3.一致连续性定理(定理4.9):

    若f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一直连续
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    4.任意区间上一致连续性的充要条件:

    若f(x)定义在区间I上,f(x)在I上一致连续的充要条件是:对∀数列{x’n},{x’'n}⫋I,若 lim ⁡ n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = 0 \displaystyle \lim_{n \to \infty}{(x'_n-x''_n)}=0 nlim(xnxn)=0,则 lim ⁡ n → ∞ [ f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ] = 0 \displaystyle \lim_{n \to \infty}{[f(x'_n)-f(x''_n)]}=0 nlim[f(xn)f(xn)]=0
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    如: f ( x ) = 1 x ( 0 < x ≤ 1 ) f(x)=\frac{1}{x}(0<x≤1) f(x)=x1(0<x1),取 x n ′ = 1 n n ≤ 1 x'_n=\frac{1}{n^n}≤1 xn=nn11, x n ′ ′ = 1 n ≤ 1 x''_n=\frac{1}{n}≤1 xn=n11,则 lim ⁡ n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = lim ⁡ n → ∞ 1 n n − lim ⁡ n → ∞ 1 n = 0 \displaystyle \lim_{n \to \infty}{(x'_n-x''_n)}=\displaystyle \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{n^n}}-\displaystyle \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{n}}=0 nlim(xnxn)=nlimnn1nlimn1=0,但 lim ⁡ n → ∞ [ f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ] = lim ⁡ n → ∞ n n − lim ⁡ n → ∞ n = + ∞ ≠ 0 \displaystyle \lim_{n \to \infty}{[f(x'_n)-f(x''_n)]}=\displaystyle \lim_{n \to \infty}{n^n}-\displaystyle \lim_{n \to \infty}{n}=+\infty≠0 nlim[f(xn)f(xn)]=nlimnnnlimn=+=0,故 f ( x ) = 1 x f(x)=\frac{1}{x} f(x)=x1在(0,1]上不一致连续

    四.初等函数的连续性
    1.初等函数的连续性
    (1)基本初等函数的连续性(定理4.12):

    一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数

    (2)初等函数的连续性(定理4.13):

    任何初等函数都是其定义区间上的连续函数

    2.证明
    (1)三角函数连续性:
    在这里插入图片描述
    (2)反三角函数的连续性:
    在这里插入图片描述
    (3)幂函数:

    –i.对多项式函数:
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    –ii.对具有整数次幂的幂函数:
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    –iii.对具有有理数次幂的幂函数:
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    –iv.对具有实数次幂的幂函数:
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    (4)指数函数:

    –i.定理4.10:设a>0,α,β为∀2个实数,则有aα·aβ=aα+β,(aα)β=aαβ
    在这里插入图片描述
    –ii.定理4.11:指数函数ax(a>0)在R上是连续的
    在这里插入图片描述

    (5)对数函数:
    在这里插入图片描述

    展开全文
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  • 【数学】连续,一致连续,Hölder连续,Lipschitz连续

    千次阅读 多人点赞 2020-03-04 12:22:48
    个人理解,连续是个局部的概念,一般说函数在某一点x0处,满足那样一个性质,就说这个函数在x0连续。 同济第七版的定义是这个样子的: 表情包版本的定义是这个样子的: 定义的版本各种各样,但都是想要描述: 控制x...

    前言

    常常搞不清楚几个概念,自己写一写有助于记忆和理解,水平有限,欢迎大家批评指正~

    1 连续

    个人理解,连续是个局部的概念,一般说函数在某一点x0处,满足那样一个性质,就说这个函数在x0连续。

    同济第七版的定义是这样的: 连续的定义
    表情包版本的定义是这个样子的:
    在这里插入图片描述
    定义的版本各种各样,但都是想要描述:
    控制x与x0的距离,就可以使相应的函数值f(x)离f(x0)就可以要多近有多近。
    这个距离多少由x0有关,不同的点这个距离可能不同。
    也就是在我们直观上的连续不断的一条曲线的性质。

    此外,在区间上连续是这么说的:

    “如果在区间上每一点都连续,就称函数在该区间上连续,如果区间包括端点,那么在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续。”(同济第七版)

    一个解释很清楚的理解:https://zhuanlan.zhihu.com/p/87984703.

    2 一致连续

    一致连续定义
    单从定义上与连续比较,少了某一点x0的概念,多了区间I的概念。

    也就是说,不论在区间I的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,相应的函数值就可以达到指定的接近程度。
    这个一定程度对全体区间上的点都奏效。

    举个栗子:
    f(x)=1/x 在(0,1]上连续,但不一致连续。
    问题出在靠近0的地方,取x1 = 1/n, x2 = 1/(n+1),
    x1,x2之间的距离随着n增大越来越小,但两函数值始终相差1。

    不严谨的说,不一致连续是因为函数在区间上有斜率趋于无穷的地方。

    3 Hölder连续

    百度百科上的定义:
    在这里插入图片描述

    4 Lipschitz连续

    定义:对函数 f ( x ) : R → R f(x): R \to R f(x):RR 存在常数 K K K,s.t.
    ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ K ∣ x 1 − x 2 ∣ |f(x_1)-f(x_2)| \leq K|x_1-x_2| f(x1)f(x2)Kx1x2

    5 关系

    1 连续与一致连续:

    一致连续性定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么它在该区间上一致连续。

    2 Lipschitz连续与一致连续:
    Lipschitz :要求函数斜率或变化幅度有界,即小于一个常数;
    一致连续:要求函数斜率或变化幅度有限,即不趋于无穷;
    因此Lipschitz连续更强;

    eg. [0,1]区间上 y = x 1 2 y= x^{\frac{1}{2}} y=x21
    在0点处不满足Lipschitz连续,但满足一致连续

    3 Hölder连续弱于Lipschitz连续;

    展开全文
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      原文  |  https://mp.weixin.qq.com/s/NV3ThVwhM5dTIDQAWITSQQ

      概率(probabilty)和统计(statistics)是两个相近的概念,其实研究的问题刚好相反。

      概率是使用一个已知参数的模型去预测这个模型所产生的结果,并研究结果的相关数字特征,比如期望、方差等。假设现在已知一个射击运动员的得分服从均值为8.2,方差为1.5的正态分布,就可以对这名运动员下一次射击的得分情况有个大致的预估。

      统计与概率正好相反,是先有一堆数据,然后利用这些数据推测出模型和模型的参数。现在来了一名陌生的运动员,我们对他一无所知,不过他宣称自己是一名优秀的职业运动员。在进行了一系列射击测试后,教练组收集到了一批这名运动员的成绩,通过观察数据,认为他的成绩符合正态分布(也就是确定了模型),之后再进一步通过数据推测模型参数的具体值。对于正态分布来说,参数是均值和方差。

      这样看来,我们碰到的大多数问题都是统计问题,虽然概率是随机事件的客观规律,但遗憾的是,这个规律总是作为未知量出现的,作为补偿,我们拥有一系列数据样本,虽然这些样本可能远小于整体,但仍然可以以点带面,根据这些样本对整体参数进行估计,得出关于整体概率分布的近似值。这个根据样本对总体参数进行估计的过程就是参数估计。根据参数性质不同,可分为点估计和区间估计。

      

      点估计就是用样本统计量的某一具体数值直接推断未知的总体参数,得到的是一个具体的参数值。我们之前讲过的矩估计、最大似然估计、贝叶斯估计都是点估计。

      我们以矩估计为例,重新看看怎样由样本估计总体。

     

    总体数量和样本数量

      我们经常用n表示总体的数量,究竟什么才算总体呢?

      总体总是给人以“多”的概念,但事实并非如此,不同问题的“总体”数量可能相差很远。比如一个啤酒厂一年生产的罐装啤酒是1000万,一个班级的学生数是60人,无论是1000万还是60,都是总体。用n表示总体的数量。

      既然是用样本估计总体,当然少不了抽样,关于抽样可参考:​数据分析(4)——闲话抽样 | 看似公平的随机抽样是否真的公平?。 用m表示样本的数量。

    估计总体的均值

      医生的判断很大程度依赖于血液检测的结果。从抽血结束到取得报告单需要一段时间,这段时间并不确定,也许运气较好,十几分钟就拿到了,也可能等上一小时。现在得到了一组样本,X = {x1, x2, ……, xm},其中每个数据代表了一名患者取得报告单前的等待时间。我们的目标是根据这组样本对整体的平均等待时间做一个估计。

      计算方式很简单,只需要计算样本的均值就可以了:

      我们认为样本的分布与整体的分布相似,这个均值是根据目前已知的数据对总体的最佳近似描述。这种用样本均值估计总体均值的方法称为矩估计,估计的结果是总体均值的点估计量。

      下面的代码展现了整体分布和抽样分布的关系:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy import stats
    
    fig = plt.figure(figsize=(10, 5))
    plt.subplots_adjust(hspace=0.5)  # 调整子图之间的上下边距
    
    mu, sigma_square = 30, 5 # 均值和方差
    sigma = sigma_square ** 0.5 # 标准差
    xs = np.arange(15, 45, 0.5)
    ys = stats.norm.pdf(xs, mu, sigma)
    ax = fig.add_subplot(2, 2, 1)
    ax.plot(xs, ys, label='密度曲线')
    ax.vlines(mu, 0, 0.2, linestyles='--', colors='r', label='均值')
    ax.legend(loc='upper right')
    ax.set_xlabel('X')
    ax.set_ylabel('pdf')
    ax.set_title('X~N($\mu$, $\sigma^2$), $\mu$={0}, $\sigma^2$={1}'.format(mu, sigma_square))
    
    for i in [1, 2, 3]:
        m = 10 ** i # 样本数量
        np.random.seed(m)
        X = stats.norm.rvs(loc=mu, scale=sigma, size=m) # 生成m个符合正态分布的随机变量
        X = np.trunc(X) # 对数据取整
        mu_x = X.mean() # 样本均值
        ax = fig.add_subplot(2, 2, i + 1)
        ax.hist(X, bins=40)
        ax.set_xlabel('X')
        ax.set_ylabel('频度')
        ax.set_title('m={0},样本均值={1}'.format(m, mu_x))
    
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
    # plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决中文下的坐标轴负号显示问题
    plt.show()

     

      可以看到,抽取的样本越多,样本的分布越接近整体的分布。这里有问题的是均值的符号,在各种资料中一会是μ,一会是戴帽子的μ,一会是x拔,到底用哪个?

      过去我们一直说某些问题符合X~N(μ, σ2)的分布,这里μ是总体均值;在最大似然估计中得出的结果用表示,说明这是通过样本对整体均值的一个点估计量。

    估计总体的方差

      假设我们已经预先计算出了均值的点估计量,是否可以像计算总体方差一样计算样本方差呢?

      从上面的整体分布图可以看到,大部分数据集中在均值附近,极端值出现的概率很低,这意味着对于抽样来说,样本数越小,抽到极端数值的可能性就越小。方差刻画了数据相对于期望值的波动程度,由于样本的极端值出现的概率很低,因此样本的波动很可能低于总体的波动,方差较整体方差更小。为了应对这种情况,我们经常看到的是另一个计算样本方差的公式:

      a/(m - 1)肯定大于a/m,这使得②的结果稍大于①,m的值越小,①和②的差别越明显。随着样本数量的增加,取得极端值的机会也变大,①和②的差别也会越来越小。将样本的方差作为总体方差的点估计量,通常用s2表示。

      值得一提的是,如果我们有m个样本,在计算这些样本的实际方差时,直接用①;如果是用这些样本估计总体的方差,应该使用②。

    估计总体的比例

      很多人会在30分钟之内取得报告单,同样也有很多人要等更久。我们可以计算出样本中成功人数(30分钟之内拿到报告的人数)的比例,并用这个比例作为总体概率的点估计量:

      到目前为止,点估计仍然很简单,所以经常有人吐槽:概率这么简单的玩意有啥值得研究的?

    样本出现的概率

      经过多年的统计分析,医院已经明确告知,每个患者都有50%的概率会在30分钟内拿到报告单。我们用p=50%表示总体中所有在30分钟之内拿到报告的人数的占比。如果把一个患者在30分钟之内拿到报告看作成功,用随机变量X表示m个样本中的成功数量,那么X符合参数为m和p的二项分布,X~B(m, p),即成功次数符合试验次数和成功率的二项分布。保持试验次数m不变,二项分布近似于均值为mp、方差为mpq的正态分布(q = 1 - p)。

      下面的代码画出了二项分布和其近似的正态分布:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy import stats
    
    fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.subplots_adjust(hspace=0.8, wspace=0.3)  # 调整子图之间的边距
    
    p = 0.5 # 每次试验成功的概率
    q = 1 - p # 每次试验失败的概率
    m_list = [10, 15, 20] # 试验次数
    c_list = ['r', 'g', 'b'] # 曲线颜色
    m_max = max(m_list)
    
    # 二项分布 X~B(m,p)
    for i, m in enumerate(m_list):
        ax = fig.add_subplot(3, 2, i * 2 + 1)
        xs = np.arange(0, m + 1, 1) # 随机变量的取值
        ys = stats.binom.pmf(xs, m, p) # 二项分布 X~B(m,p)
        ax.vlines(xs, 0, ys, colors=c_list[i], label='m={}, p={}'.format(m, p))
        ax.set_xticks(list(range(0, m_max + 1, 2))) # 重置x轴坐标
        ax.set_xlabel('X')
        ax.set_ylabel('pmf')
        ax.set_title('X~B(m, p)')
        ax.legend(loc='upper right')
    
    # 保持二项分布试验的次数m不变,二项分布近似于均值为mp、方差为mp(1-p)的正态分布:
    for i, m in enumerate(m_list):
        ax = fig.add_subplot(3, 2, i * 2 + 2)
        xs = np.arange(0, m + 1, 0.1) # 随机变量的取值
        mu, sigma = m * p, (m * p * q) ** 0.5
        ys = stats.norm.pdf(xs, mu, sigma)
        ax.plot(xs, ys, c=c_list[i], label='m={}, p={}'.format(m, p))
        ax.set_xticks(list(range(0, m_max + 1, 2)))  # 重置x轴坐标
        ax.set_xlabel('X')
        ax.set_ylabel('pdf')
        ax.set_title('X~N(mp, mpq)')
        ax.legend(loc='upper right')
    
    plt.show()

     

      某天来了20名患者,其中有12人在30分钟之内拿到了报告单(12个成功)。根据二项分布,这种情况出现的概率是:

      100天过去,每天都有20名患者接受验血,xi人在30分钟内拿到了报告,每天的样本都对应一个概率:

      上式中所有m­i的数量都是20,之所以用m­i表示,是为了强调虽然每天的样本数量一致,但样本本身是不同的。如果将这些概率也看成随机变量,那么这些变量也必然会符合某一个分布,只要弄清这个分布,就能回答产生某个样本的概率。既然可以通过样本知道样本中成功数量的占比,那么这个分布也就等同于“样本中成功数量的占比”的概率。比如第10天的样本中成功数量的占比是p10=45%,我们的目标是了解p10产生的概率有多大,即P(p10)=?换句话说,我们希望知道所有Pi(X=xi)构成的分布。

      

      我们用ps表示某个特定样本中成功数量的占比,借助期望和方差来窥探ps的分布。一个明显的关系是,如果总体中有50%的人可以在30分钟内拿到报告,那么我们也同样期望在样本中看到这个比例,这也是我们能够用样本估计总体的基础。用随机变量X表示样本中成功的数量,ps = X/m:

      我们已经知道X~B(m, p),这里m是样本数量,p是每个样本成功的概率,是预先给出的。二项分布的期望是E[x] = mp,方差是Var(X)=mpq,q = 1 – p,因此:

      E[ps]告诉我们,样本中成功数量的占比与整体中成功数量的占比一致;Var(p­s)告诉我们,m越大,p­s的方差越小,样本中成功数量的占比越近总体中成功数量的占比,用ps来估计p越可靠。既然二项分布X~B(m, p)可以由X~N(mp, mpq)来近似,那么p­s =X/m也可以由p­s~N(p, pq/m)来近似。对于本例来说,p=0.25,pq/m=0.0125:

      值得注意的是,比例的分布刻画的是样本成功数占比(即X/m)的变化情况,而二项分布刻画的是特定数量的样本中成功数(即X)的变化情况。比例的取值范围是[0, 1],因此在描述ps的分布时,随机变量的有效取值范围是[0, 1]。当m固定时,每个成功数占比都代表一个特定的样本,我们可以借用ps的分布计算从总体中抽样出某个固定数量样本的概率。

    连续性修正

      对于二项分布来说,保持试验次数n不变,二项分布近似于均值为np、方差为npq的正态分布。这里特别强调了“近似于”,是因为二项分布的随机变量是离散型的,而正态分布的随机变量是连续型,但是这又有什么关系呢?

      这里先要了解一下离散型分布函数和连续型分布函数的特点。对于连续型分布来说,其分布函数是用密度函数的积分表示的:

      对于积分来说,a~b的区间与是否包含a点或b点没什么关系,对于连续型随机变量的累积概率来说:

      但是上式对于离散型随机变量并不成立。下面是一个离散型分布函数,纵坐标的c.d.f是累积分布函数(cumulative distribution function)的缩写:

      上图向我们展示了P(X < 1) = 0,P(X ≤ 1) = 0.5。这意味着对于离散型随机变量来说,经常有P(x ≤ a) ≠ P(x < a)的情况(并不总是不等,这要看a的取值,对于上图来说,P(X < 1.5) = P(X ≤ 1.5)),而连续型随机变量总是有P(x≤a) = P(x<a)。

      

      μ=50,σ2=25的正态分布X~N(μ, σ2)可以用来近似n=100,p=0.5的二项分布X~B(n, p),下图是二者的分布函数(注意这里的曲线是分布函数,而不是密度函数):

      可以看出,由于二项分布的离散型随机变量只能取到整数,因此它的分布函数是阶梯状的,而正态分布的曲线穿过了每个阶梯的中心点,将阶梯分成了两部分,左半部分离散分布大于连续分布,右半部分则相反:

      分别用FB(x)=PB(X≤x)和Fn(x)=Pn(X≤x)表示二项分布和正态分布的分布函数,对于整数x来说,在[x, x+0.5)区间内,FB(x) > Fn(x);在(x+0.5, x+1)区间内,FB(x) < Fn(x);只有在中心点,才有FB(x) = Fn(x)。

      现在问题来了,用正态分布去做近似的时候,如果直接用FN(x)去近似PB(X<x),那么结果会偏大;如果用FN(x)去近似PB(X≤x),则结果会偏小:

      时大时小并不是个好主意,我们想要的是一个一致的近似,要么总是大,要么总是小。一个办法是对于X的正态连续性修正为±0.5,即用FN(x+0.5)去近似PB(X < x)和PB(X ≤ x),得到的结果不会偏小;或用FN(x-0.5)去近似PB(X < x)和PB(X ≤ x),得到的结果不会偏大。这有点类似于用黎曼和计算积分时选用左矩形公式还是右矩形公式:

      回顾上一节的内容,我们计算出了样本占比p­s的正态分布近似,p­s的连续性修正为:

      

      借助连续性修正可以求得:

     


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