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  • 2. 函数一致连续的定义 3. 一致连续与连续的关系:若函数在开区间内一致连续,则其在该区间内连续 4. 一致连续的几何解释(例:正弦函数的一致连续性) 5. 康托尔定理、聚点原理、函数在开区间内...

     

    1. 问题引入——函数在一点连续的定义及几何意义

     

    2. 函数一致连续的定义

     

    3. 一致连续与连续的关系:若函数在开区间内一致连续,则其在该区间内连续

     

    4. 一致连续的几何解释(例:正弦函数的一致连续性)

     

    5. 康托尔定理、聚点原理、函数在开区间内一致连续的充要条件

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  • 函数一致连续感性认识

    千次阅读 2018-01-19 08:47:25
    设函数 在区间 上有定义,如果对于任意给定的正数 ,总存在着正数 ,使得对于区间上的任意两点,,当时,就有,那么称函数 在区间 上是一致连续的。 因为 ,,所以函数一致连续性定义实际上描述的是一种函数曲线: ...

    函数一致连续性的定义

    关于函数一致连续性,准确的定义如下:

    设函数 f(x) 在区间 I 上有定义,如果对于任意给定的正数 \varepsilon,总存在着正数\delta ,使得对于区间I上的任意两点\ x_1\ x_2,当\lvert \ x_1 - \ x_2\rvert<\delta时,就有\lvert f(x_1) - f(x_2)\rvert<\varepsilon,那么称函数 f(x) 在区间 I 上是一致连续的。

    因为 \lvert \ x_1 - \ x_2\rvert =\Delta x,\lvert f(x_1) - f(x_2)\rvert = \Delta y,所以函数一致连续性定义实际上描述的是一种函数曲线: 无论\Delta y多么小,总是能找到一个正数\delta,使得在整个函数曲线中,当\Delta x<\delta时,\Delta y<\varepsilon

    函数一致连续性的感性认识

    如果无法理解函数的一致连续性,很有可能是\delta\varepsilon两个数的关系没有理清。

    从定义出发。给定任意正数\varepsilon,即max(\Delta y)已经确定。无论\Delta y的值多么小,总能找到对应的\Delta x\Delta x的值确定。如果函数f(x)的区间I为闭区间,就可以确定整个函数曲线上任意两点\Delta y<\varepsilon对应的\Delta x的值,继而可以确定max(\Delta x)。显然大于max(\Delta x)\delta 肯定存在。也就是说,闭区间上的连续函数一定有一致连续性。

    而区间I为开区间的时候,很容易找到函数无法满足函数一致性的要求的例子:

    函数f(x)=\frac{1}{x}。指定\varepsilon,无论\varepsilon多么小,总能在函数曲线上找到x_1,x_2,使得\lvert \ x_1 - \ x_2\rvert对应的\lvert \ y_1 - \ y_2\rvert<\varepsilon。但是考虑 x\to\infty,引起y变化\varepsilon\lvert \ x_1 - \ x_2\rvert的值会越来越大,所以找不到max(\Delta x),自然也就找不到大于max(\Delta x)\delta。所以f(x)=\frac{1}{x}没有一致连续性。


    ref:

    函数一致连续与函数连续有什么区别,到底一致连续的“一致”是什么意思?

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  • 一致连续

    千次阅读 2014-03-05 17:36:10
    根据定义:设函数f(x)在区间I上有定义,如果对于任意给定的正数a,总存在着正数b,使得对于区间I上的任意两点x1,x2,当x1-x2的绝对值小于b时,就有f(x1)-f(x2)的绝对值小于a,那么就称函数f(x)在区间I上是一致连续的。...

    根据定义:设函数f(x)在区间I上有定义,如果对于任意给定的正数a,总存在着正数b,使得对于区间I上的任意两点x1,x2,当x1-x2的绝对值小于b时,就有f(x1)-f(x2)的绝对值小于a,那么就称函数f(x)在区间I上是一致连续的。


    一致连续要看定义域的选择,而且与其有紧密联系,一致连续的几何意义:其实很简单,就是函数值不能变化太大,从图像上来看就是不能垂直x轴。


    一致连续是一个整体性概念,与函数的有界性、可积性类似,说一个函数一致连续必须提到在某个区间上一致连续;而连续性则是一个局部性概念,与函数在一点有极限类似,可以说函数在某一点连续,但不能说函数在某一点一致连续。在这种意义下提几何意义只能笼统地讲,函数图象变化的不是非常剧烈。实际上一致连续性一般用于函数的整体性质的证明,例如连续函数的可积性证明等。

    连续是逐点定义的,连续函数在定义区间上点点都连续的函数,一致连续是更强的连续,不仅连续而且连续变化不能太快,
    几何意义:在所定义的区间上应该有最陡峭的位置,也即变化最快的位置,并且这个变化最快的程度有限的。
    例如,反比例函数1/x.在区间(0,1)没有最陡峭的位置,[0.00000001,80000)就有最陡峭的位置0.00000001点


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  • 一致连续(uniform continuous)

    千次阅读 2019-03-26 20:56:12
    一致连续的直白意义是: 若函数 fff 一致连续,对于任意两点 xxx 与 yyy,只要 xxx 与 yyy 充分接近,f(x)f(x)f(x) 与 f(y)f(y)f(y) 也能够充分接近。 邻域定义: 对于任意实数 ϵ&gt;0\epsilon&gt;0ϵ>0...

    一致连续的直白意义是: 若函数 ff 一致连续,对于任意两点 xxyy,只要 xxyy 充分接近,f(x)f(x)f(y)f(y) 也能够充分接近。

    邻域定义:
    对于任意实数 ϵ&gt;0\epsilon&gt;0,总存在实数 δ&gt;0\delta&gt;0,只要 xy&lt;δ\|x-y\|&lt;\delta,都有 f(x)f(y)&lt;ϵ\|f(x)-f(y)\|&lt;\epsilon.

    海涅-康托尔定理表面:若一个函数在闭区间连续,则该函数也是一致连续的。

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