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  • 一致连续(uniform continuous)

    千次阅读 2019-03-26 20:56:12
    一致连续的直白意义是: 若函数 fff 一致连续,对于任意两点 xxx 与 yyy,只要 xxx 与 yyy 充分接近,f(x)f(x)f(x) 与 f(y)f(y)f(y) 也能够充分接近。 邻域定义: 对于任意实数 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0...

    一致连续的直白意义是: 若函数 ff 一致连续,对于任意两点 xxyy,只要 xxyy 充分接近,f(x)f(x)f(y)f(y) 也能够充分接近。

    邻域定义:
    对于任意实数 ϵ>0\epsilon>0,总存在实数 δ>0\delta>0,只要 xy<δ\|x-y\|<\delta,都有 f(x)f(y)<ϵ\|f(x)-f(y)\|<\epsilon.

    海涅-康托尔定理表面:若一个函数在闭区间连续,则该函数也是一致连续的。

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  • 一致连续

    千次阅读 2014-03-05 17:36:10
    根据定义:设函数f(x)在区间I上有定义,如果对于任意给定的正数a,总存在着正数b,使得对于区间I上的任意两点x1,x2,当x1-x2的绝对值小于b时,就有f(x1)-f(x2)的绝对值小于a,那么就称函数f(x)在区间I上是一致连续的。...

    根据定义:设函数f(x)在区间I上有定义,如果对于任意给定的正数a,总存在着正数b,使得对于区间I上的任意两点x1,x2,当x1-x2的绝对值小于b时,就有f(x1)-f(x2)的绝对值小于a,那么就称函数f(x)在区间I上是一致连续的。


    一致连续要看定义域的选择,而且与其有紧密联系,一致连续的几何意义:其实很简单,就是函数值不能变化太大,从图像上来看就是不能垂直x轴。


    一致连续是一个整体性概念,与函数的有界性、可积性类似,说一个函数一致连续必须提到在某个区间上一致连续;而连续性则是一个局部性概念,与函数在一点有极限类似,可以说函数在某一点连续,但不能说函数在某一点一致连续。在这种意义下提几何意义只能笼统地讲,函数图象变化的不是非常剧烈。实际上一致连续性一般用于函数的整体性质的证明,例如连续函数的可积性证明等。

    连续是逐点定义的,连续函数在定义区间上点点都连续的函数,一致连续是更强的连续,不仅连续而且连续变化不能太快,
    几何意义:在所定义的区间上应该有最陡峭的位置,也即变化最快的位置,并且这个变化最快的程度有限的。
    例如,反比例函数1/x.在区间(0,1)没有最陡峭的位置,[0.00000001,80000)就有最陡峭的位置0.00000001点


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  • 3. 一致连续与连续的关系:若函数在开区间内一致连续,则其在该区间内连续 4. 一致连续的几何解释(例:正弦函数的一致连续性) 5. 康托尔定理、聚点原理、函数在开区间内一致连续的充要条件 ...

     

    1. 问题引入——函数在一点连续的定义及几何意义

     

    2. 函数一致连续的定义

     

    3. 一致连续与连续的关系:若函数在开区间内一致连续,则其在该区间内连续

     

    4. 一致连续的几何解释(例:正弦函数的一致连续性)

     

    5. 康托尔定理、聚点原理、函数在开区间内一致连续的充要条件

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  • ⎩⎪⎨⎪⎧​f′方向1=f′方向2f′方向2=f′方向3⋯⋯(→方向∞)​⇒多元函数可微 多元函数中连续,可导,可微,偏导数连续的关系及意义 首先很容易看出,可微是一个比可导更强的条件,因为它需要达成一个更为广阔的...

    在解释这些概念的关系和意义之前,需要先对这些概念进行逐一的解释,以方便后续理解

    连续

    什么是连续? 光滑就是连续。可光滑又是什么呢?想象有一栋楼,你要在一楼和二楼之间建立一座楼梯,且二层之间的高度差HH保持不变。楼梯阶数越多,楼梯越光滑,对吧?也就是每上一阶,高度的上升越小,楼梯越光滑。当每上一阶楼梯,高度几乎没有变化时,楼梯便达到了真正的光滑。

    在这里插入图片描述

    在一个点处,当自变量进行一个微小的任意变化,若因变量几乎没有变化,称该函数在这一点连续

    为什么要说任意变化?其实只是强调,因为,变化本来就指任意变化 。还是举上面那个例子:你站在一楼与二楼之间的楼梯上正在上楼,你面前的楼梯每一阶很矮,使得它们很光滑,当你每上一阶楼梯,高度几乎没有变化。可你身后的楼梯每一阶很高,当每下一阶楼梯,高度会发生很大的变化。那么,毫无疑问,楼梯在这一点是不光滑的。

    一元函数的任意变化只有两个方向,而多元函数的任意变化有无数个方向,即:
    {Δy+0Δy0(Δx0) \begin{cases} \Delta y^{+}\rightarrow 0 \\ \Delta y^{-}\rightarrow 0 \end{cases} (\Delta x\rightarrow0时) \Rightarrow一元函数连续


    {Δz10Δz20()({Δx0Δy0) \begin{cases} \Delta z^{方向1}\rightarrow 0\\ \Delta z^{方向2}\rightarrow 0\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases} \left( \begin{cases} \Delta x\rightarrow0\\ \Delta y\rightarrow0 \end{cases} 时\right) \Rightarrow多元函数连续

    可导与可微

    对一元函数来说,可导指存在导数,可微指存在微分。 对多元函数来说,可导指存在偏导数,可微指存在全微分。 所以,为什么在一元函数中可导一定连续,在多元函数中可导不一定连续呢?定义的错啊!

    一般来说,提到导数就会想起变化率。其实从另一个角度,可以说导数是变化率的统一 。可不可导是描述变化率能不能统一的性质。

    举个例子。对某个一元函数,在x0x_0点,向正方向有一个变化率bh+bh^+,向负方向有一个变化率bhbh^-,假若有bh+bhbh^+\not=bh^-,那么在该点没有导数

    一元函数在一点的变化率只有两个方向,而对多元函数有无数个。为了便于研究,人们提取了其中沿xx轴和沿yy轴两个方向的统一变化率称为偏导数,但可微变成了表示全微分存在的概念,所谓,即为所有方向的变化率的统一。即:
    {fx+=fxfy+=fy \begin{cases} f'^{x+}=f'^{x-}\\ f'^{y+}=f'^{y-} \end{cases} \Rightarrow多元函数可导


    {f1=f2f2=f3() \begin{cases} f'^{方向1}=f'^{方向2}\\ f'^{方向2}=f'^{方向3}\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases} \Rightarrow多元函数可微

    多元函数中连续,可导,可微,偏导数连续的关系及意义

    首先很容易看出,可微是一个比可导更强的条件,因为它需要达成一个更为广阔的统一。即:
    { \begin{cases} 可微\Rightarrow可导\\ 可导\nRightarrow可微 \end{cases}
    又因为有全微分
    Δz=zxΔx+zyΔy+o(Δx2+Δy2) \Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+ \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y +o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})
    所以,只要对应的变化率存在,就能使得Δy0,(Δx0)\Delta y\rightarrow 0 ,(\Delta x\rightarrow 0时)

    假若可微,

    {f1=f2=cf2=f3=c() 多元函数可微\Rightarrow \begin{cases} f'^{方向1}=f'^{方向2}=c\\ f'^{方向2}=f'^{方向3}=c\\ \cdots\cdots(\rightarrow方向\infty) \end{cases}

    很容易证明对应的变化率都存在。不过,连续,并不一定能达成所有方向上变化率的统一,比如,连续要求当自变量进行一个微小的任意变化,因变量几乎没有变化 。而这个几乎没有变化中的微小变化,可以任意改变方向,假设这个微小量为gg,令新的微小量为g-g,仍然是连续的。可是这时,函数已经不可微了,甚至不可导了。即:

    { \begin{cases} 可微\Rightarrow连续\\ 连续\nRightarrow可微 \end{cases}

    对于可导,只提了xx轴和yy轴方向上的变化率,对于其他的变化率只字未提,要是哪个方向上变化率不存在呢?可知可导不一定连续。 还有,上已说过,连续不一定可导,即:

    { \begin{cases} 可导\nRightarrow连续\\ 连续\nRightarrow可导 \end{cases}

    最后在说偏导数连续。假定选择一点z0z_0,在该点的一个小邻域内偏导数连续。如上所说,在一个点处,当自变量进行一个微小的任意变化,若因变量几乎没有变化,称该函数在这一点连续 。那么,可知,此时,当自变量进行一个微小的任意变化,偏导数几乎没有变化。又因为在一个小邻域内,则可认为:在整个小邻域内,偏导数几乎一致不变。

    已知,只要达成所有方向上变化率的统一,该点即为可导。假定在z0z_0点的一个小邻域内,有一个任意的点zez_e,使得z0zez_0\rightarrow z_e呈任意方向,那么只要此时的变化量是不变的一个量,可证z0z_0处可微。

    无论zez_ez0z_0的什么方向上,设定zez_ez0z_0yy轴方向上的投影zeyz_{ey}, 则 z0zeyz_0 \rightarrow z_{ey}沿yy轴方向,zeyzez_{ey}\rightarrow z_e沿xx轴方向。则:
    z0ze{z0zeyzeyze z_0\rightarrow z_e \Rightarrow \begin{cases} z_0\rightarrow z_{ey}\\ z_{ey}\rightarrow z_e \end{cases}

    即:

    在这里插入图片描述

    由于在整个小邻域内,偏导数几乎一致不变, 所以z0z_0zxz_x处沿x轴方向的变化率几乎一致不变,且又有zeyzez_{ey}\rightarrow z_e沿xx轴方向,则设zez_ez0z_0xx轴方向上的投影为zexz_{ex},有:zeyzez_{ey}\rightarrow z_e的结果与z0zexz_0\rightarrow z_ex几乎一致不变。

    在这里插入图片描述

    上图中的情况与之完全等效。

    这样的结果就是:
    z0ze{z0zeyz0zex z_0\rightarrow z_e \Rightarrow \begin{cases} z_0\rightarrow z_{ey}\\ z_0\rightarrow z_{ex} \end{cases}

    所以,可知,无论z0zez_0\rightarrow z_e的方向如何,变化率始终只由z0x\frac{\partial z_0}{\partial x}z0x\frac{\partial z_0}{\partial x}决定,是一个统一的值。而可微时,偏导数并不一定可导,即:

    { \begin{cases} 偏导数可导\Rightarrow连续\\ 连续\nRightarrow偏导数可导 \end{cases}

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