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  • 2、(2020北京师范大学)证明函数在区间上一致连续。(2020同济大学)已知在区间上一致连续,对于每个固定的成立. 证明函数列在区间上一致收敛于0.(2020兰州大学)设在区间上一致连续,收敛,证明:\lim\limits_{x\to +\...

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    精选十道考研题:一致连续

    1、(2020大学)判断函数在区间是否一致连续,并说明理由。

    2、(2020北京师范大学)证明函数在区间上一致连续。

    1. (2020同济大学)已知在区间上一致连续,对于每个固定的成立. 证明函数列在区间上一致收敛于0.

    2. (2020兰州大学)设在区间上一致连续,收敛,证明:\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.

    3. (2020哈尔滨工业大学)如果函数上可导,证明:

    (1)上有界,则在区间上一致连续。

    (2)存在,则在区间上一致连续。

    1. (2020南开大学)判断函数上是否一致连续、连续,说明理由。

    7.(2020天津大学)设函数在区间连续,存在,证明在区间一致连续。

    8.(2003华南理工大学)设 一致连续,证明:

    (1)存在。

    (2)上有界。

    9.(2007华南理工大学)设函数在区间连续,存在,证明在区间一致连续。

    10.(2003华南理工大学)设连续,存在,存在,证明:上一致连续。

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    22、看!这个函数列的收敛与一致收敛性

    23、看!这个函数的极限

    24、看!这个数列的极限

    25、利用夹逼法则求数列极限(例题与练习)

    26、看!这个递归数列的极限

    27、看!如何证明函数恒等于0!

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    知识点和考点:知识点指的是概念和定理,考点指的是概念、定理的应用,当然一些简单定理的证明也属于考点。因此知识点不一定是考点,但考点一定是知识点。

    方法和技巧:方法指的是解决问题的思路或者步骤,技巧指的是解决问题过程中怎么实现思路,达到目的。因此,解决问题时,首先要确定方法,在解决问题的过程中要讲究技巧。

    求数列极限问题的难度不易,中学数学用观察法、公式法求极限,大学数学引入极限的定义,难度加大,方法很多,在使用每种方法时技巧也多。本文挑选几个典型极限及其证明,希望读者理解其证明并能应用这些极限。

    没有记忆,就好像计算机没有了缓存(瞬时记忆)和硬盘 (长期记忆)

    在解答数学时,时刻要清楚记得在计算到哪一步,下一步有几种情况,方向在哪里。就如最基本的加法,你也要知道满十进一,算盘和稿纸就是额外帮助记忆的工具。而你的思维敏捷亦或迟钝,取决你的“硬盘”是ssd还是机械硬盘经验来说,熟能生巧!

    所谓“理解”,所谓“智商”,本质上最终都归到"记忆",还有一点就是能够发现自己“记忆”中各个零散的知识点的关系。所谓“智商”高低的人,其实是强化这些“记忆”的能力的不同,有高下之分,牛的人靠自己的一些技巧能更快速更深入的形成记忆(其实也就是更多的记忆)。

    所谓“难题”就是由若干相关联的“简单题”组合成的题。把简单题做会勒,难题也不在话下哦!学会“拆题”,把一个难题拆分为几个简单题,是“解题活动”的重要环节。通过这个思维活动,还原出题老师的的思维过程,真正达到知识点的融会贯通,提高“提出问题、分析问题、解决问题”的能力。

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  • 设$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是可微函数,并且$f'$是有界的,证明$f$是一致连续的. 证明:设 \begin{align*} a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \end{align*}是$\mathbf{R}$上的任意一个数列.设 \begin{align*} b_1,b_...

    设$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是可微函数,并且$f'$是有界的,证明$f$是一致连续的.

     

    证明:设
      \begin{align*}
        a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots
      \end{align*}
    是$\mathbf{R}$上的任意一个数列.设
      \begin{align*}
        b_1,b_2,\cdots,b_n,\cdots
      \end{align*}
    是$\mathbf{R}$上的另一个数列,且满足
      \begin{align*}
        \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0
      \end{align*}
    我们只用证明
      \begin{equation}\label{eq:123}
        \lim_{n\to\infty}(f(a_n)-f(b_n))=0
      \end{equation}
    而根据微分中值定理,
      \begin{align*}
        |\frac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n}|\leq M
      \end{align*}
    因此很容易得到\ref{eq:123}成立.

     

     

    注:该题可以推广成"设$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$满足李普希兹条件,则$f$是一致连续的."(感谢mathjgs,见下面评论)

    转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/02/06/3827485.html

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  • 【例】Cantor set 是无处稠密子集,其构造方法如下:在 [0,1] 实数区间内,每次把已连续区间分为三份,然后去掉中间一份。反复操作,可以证明,该集合最后不包括一个长度非零的区间。【定义:第一范畴子集...

    一、Baire 范畴定理

    【定义:无处稠密子集(nowhere dense subset)】设 (X,d) 为度量空间,M 为 X 的子集。若

    为无内点,则称它为无处稠密子集。

    【例】Cantor set 是无处稠密子集,其构造方法如下:在 [0,1] 实数区间内,每次把已有的连续区间分为三份,然后去掉中间一份。反复操作,可以证明,该集合最后不包括一个长度非零的区间。

    【定义:第一范畴子集(Baire first category subset / meagre)】设 (X,d) 为度量空间,M 为 X 的子集。M 可以表示为 X 中可数个无处稠密子集的并集,则称 M 为第一范畴子集。

    【定义:第二范畴子集(Baire second category subset / nonmeagre)】设 (X,d) 为度量空间,M 为 X 的子集。若 M 不为第一范畴子集,则称 M 为第二范畴子集。

    【定理:Baire 范畴定理(Baire category theorem)】设 (X,d) 为非空完备度量空间,则 X 作为 X 的子集为第二范畴的。

    • 【证明】即证明 X 不是第一范畴的,反证法。假设 X 为第一范畴,即可以被表示为可数个无处稠密子集的并集。观察到
      ,即可以看出不妨设 M 们都是闭集,它们的补集为开集。考虑
      中的任意一个点
      ,则存在一个
      。由于
      中不包括任何一个内点,即不包括任何一个开球,因此
      。由于
      为非空开集,因此存在
      。依次类推,能找到一个序列一层层套起来。可以说明 x 序列为柯西列,根据完备性,收敛到
      ,但是不存在
      ,矛盾。

    二、一致有界性原理

    【定理:一致有界性原理(uniform boundedness theorem / Banach-Steinhauss theorem)】设 X 为 Banach 空间,Y 为赋范空间,

    ,若任取
    ,有
    ,则
    • 【证明】令
      ,根据题设条件可以说明
      。同时,由于 T 们都是连续映射,因此任意
      中的数列如果收敛的话,一定也收敛到
      中;这说明
      为闭集,
      。根据完备性和前一定理,存在一个开球
      被包含在某个
      中,即
      。根据 M 集合的定义和三角不等式,可以说明
      ,即可以说明
      有界。

    【推论:逆否命题】如果

    ,则存在一个
    ,使得
    • 【注】正常情况下,对于任意
      ,存在
      ,因此有
      。这里说明可以取同一个点
      ,称该点为共鸣点。

    三、Fourier 级数收敛问题

    【定义:周期连续实函数空间】

    • 【定义:范数】定义其上的范数
    • 【性质:线性子空间】
      的线性子空间。
      • 【证明】证明线性运算(数乘、加法)在空间内闭合即可。
    • 【性质:闭集】
      的闭线性子空间。
      • 【证明】证明
        中的数列如果在
        中收敛,那么收敛到的点仍然在
        中。
    • 【性质:完备】
      为 Banach 空间。
      • 【证明】
        为 Banach 空间,并且
        为其闭线性子空间。

    【定义:傅里叶级数】对于

    定义
    为傅里叶级数,其中

    【性质:不能点点收敛】傅里叶级数不能点点收敛到 x,即存在

    ,使得
    • 【证明】考虑 t=0。考虑
      ,其中
      • 为线性泛函】容易得到。
      • 】小于等于符号可以通过把 x(t) 放缩为
        ;大于等于符号可以取一个
        ,使得它几乎和
        的符号是反的,几乎得到这个上界。
      • 发散】可以求出来,
      • 【一致有界性原理】利用一致有界性原理的逆否命题,如果
        ,那么存在
        ,使得

    四、多项式的收敛问题

    【定义:多项式】

    。范数

    【性质】定义线性泛函

    ,它点点有界,即
    ,但是
    。这和一致有界性原理不矛盾,因为该空间不完备。考虑空间中的柯西列
    ,它收敛到空间外。

    前面讲到的泛函延拓定理(Hahn-Banach 定理)讲的是泛函的存在性,一致收敛性原理(共鸣定理)讲的是如何确定一个算子序列的极限是有界的,方法就是确定其对于每个元素的映射序列都有界。注意到,算子的线性和有界性(连续性)是非常重要的性质。比如,线性有界的泛函能被比较简单的表示出来。

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  • 二元函数的连续

    千次阅读 2019-09-28 19:37:32
    文章目录二元连续的定义增量复合函数的连续性有界闭域上连续函数的性质有界性and最大最小值定理证明一致连续证明介值性定理证明 二元连续的定义 fff是定义在点集D⊂R2D\subset R^2D⊂R2上的二元 P0∈D(它是D...

    二元连续的定义

    • ff是定义在点集DR2D\subset R^2上的二元
    • P0D(D)P_0\in D(它是D的聚点或孤立点)
    • 对于ε>0,δ>0,PU(P0;δ)D,\forall\varepsilon>0,总\exist\delta>0,只要P\in U(P_0;\delta)\cap D,就有f(P)f(P0)<ε|f(P)-f(P_0)|<\varepsilon则称ff关于集合D在点P0P_0连续

    注意~

    • P0P_0是孤立点,则P0P_0肯定是ff的连续点,因为U(P0;δ)DU(P_0;\delta)\cap D只有P0P_0
    • 若是聚点,则以上定义等价于limPP0,PDf(P)=f(P0)\lim\limits_{P\to P_0,P\in D}f(P)=f(P_0)
    • P0P_0是聚点,而上式不成立,则称P0P_0ff的不连续点或间断点;
      4.若极限存在只是f(P0)\ne f(P_0),则称该点为可去间断点

    增量

    • P0(x0,y0),P(x,y)DP_0(x_0,y_0),P(x,y)\in D x=xx0,y=yy0,\triangle x=x-x_0,\triangle y=y-y_0,
    • 全增量z=f(x0,y0)\triangle z=\triangle f(x_0,y_0) =f(x,y)f(x0,y0)=f(x,y)-f(x_0,y_0) =f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)=f(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)以上都称为ff在点P0P_0的全增量
      • 用增量定义连续:当lim(x,y)(0,0),(x,y)Dz=0\lim\limits_{(\triangle x,\triangle y)\to(0,0),(x,y)\in D}\triangle z=0
    • 偏增量:在全增量中令x=0\triangle x=0y=0\triangle y=0,即xf(x0,y0)=f(x0+x,y0)f(x0,y0)\triangle_xf(x_0,y_0)=f(x_0+\triangle x,y_0)-f(x_0,y_0) yf(x0,y0)=f(x0,y0+y)f(x0,y0)\triangle_yf(x_0,y_0)=f(x_0,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)
      • 若偏增量的极限为0,如limx0xf(x0,y0)=0\lim\limits_{\triangle x\to0}\triangle_xf(x_0,y_0)=0表示固定y=y0y=y_0时,f(x,y0)f(x,y_0)作为x的一元函数在x0x_0处连续
      • f(x,y)f(x,y)在内点(x0,y0)(x_0,y_0)处连续,可以推出f(x,y0)f(x,y_0)x0x_0处连续,f(x0,y)f(x_0,y)y0y_0处连续

    复合函数的连续性

    • u=φ(x,y),v=ψ(x,y)u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)xyxy平面上的点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)某邻域有定义且在该点连续
    • f(u,v)f(u,v)uvuv平面上的点Q0(u0,v0)Q_0(u_0,v_0)某领域有定义,也在Q0Q_0连续
    • u0=φ(x0,y0),v0=ψ(x0,y0)u_0=\varphi(x_0,y_0),v_0=\psi(x_0,y_0)
    • 则,g(x,y)=f[φ(x,y),ψ(x,y)]g(x,y)=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]P0P_0处也连续

    f(u,v)f(u,v)Q0Q_0连续可以描述为:
    ε>0,η>0\forall\varepsilon>0,\exist\eta>0,使得当uu0<η,vv0<η|u-u_0|<\eta,|v-v_0|<\eta时,有f(u,v)f(u0,v0)<ε|f(u,v)-f(u_0,v_0)|<\varepsilon

    有界闭域上连续函数的性质

    有界性and最大最小值定理

    ff在有界闭域DR2D\subset R^2连续,则

    • ff在D上有界
    • 且能取到最大最小值

    证明

    • 先证明ff的有界性:
      • 反证,假设无界,则对所有正整数nn,必PnD\exist P_n\in D,使得 f(Pn)>n,n=1,2,...(1)|f(P_n)|>n,n=1,2,...\tag{1}
      • 于是得到一有界点列{Pn}D\{P_n\}\subset D,且该点列有无穷多个点
      • 由有界无限点列必存在收敛的子列得,{Pn}\{P_n\}存在收敛子列{Pnk}\{P_{n_k}\},设limkPnk=P0\lim\limits_{k\to\infty}P_{n_k}=P_0由于D是闭域,因此P0DP_0\in D(这说明,若D是开域,则有可能收敛到界点)
      • 由于ff在D上连续,所以有limkf(Pnk)=f(P0)\lim\limits_{k\to\infty}f(P_{n_k})=f(P_0)这与不等式(1)矛盾,所以ff在D上有界
    • 下证ff能取到最大最小值:
      • m=inff(D),M=supf(D)m=\mathop{inf}f(D),M=supf(D)这里证明必存在一点QDQ\in D,使得f(Q)=Mf(Q)=M最小值类似
      • 依然反证,假设不然,则对PD\forall P\in D,都有Mf(P)>0M-f(P)>0构造一正值函数F(P)=1Mf(P)F(P)=\frac 1{M-f(P)}由于F在D上也连续,由以上证明可知,F在D上有界
      • 又∵ff在D上不能达到上确界MM,所以存在收敛点列{Pn}D,\{P_n\}\subset D,使得limnf(Pn)=M\lim\limits_{n\to\infty}f(P_n)=M这样的话就有limnF(P)=+\lim\limits_{n\to\infty}F(P)=+\infty与F有界的结论矛盾了,所以证得ff在D上可以取到最大值

    一致连续性

    ff在有界闭域DR2D\subset R^2连续,则

    • ff在D上一致连续
    • 即,对ε>0,δ(ε)>0,P,Q,\forall\varepsilon>0,\exist \delta(\varepsilon)>0,对\forall P,Q,只要满足ρ(P,Q)<δ\rho(P,Q)<\delta,就有f(P)f(Q)<ε|f(P)-f(Q)|<\varepsilon

    证明

    • 用聚点定理
    • 套话系列:若ff在D上连续却不一致连续,则
      • ε0>0,\exist\varepsilon_0>0,对于任意小的δ>0\delta>0,比如δ=1n,n=1,2,...,\delta=\frac 1n,n=1,2,...,,总有相应的Pn,QnDP_n,Q_n\in D
      • 即使ρ(Pn,Qn)<1n\rho(P_n,Q_n)<\frac 1n
      • 但是f(Pn)f(Qn)ε0|f(P_n)-f(Q_n)|\ge \varepsilon_0
    • 由于DD为有界闭域,故存在收敛子列{Pnk}{Pn}\{P_{n_k}\}\in \{P_n\},设PnkP0D(k)P_{n_k}\to P_0\in D(k\to\infty)
    • 方便起见,在{Qn}\{Q_n\}中取出与PnkP_{n_k}相同的子列{Qnk}\{Q_{n_k}\},则有0ρ(Pnk,Qnk)<1nk0,k0\le\rho(P_{n_k},Q_{n_k})<\frac 1{n_k}\to0,k\to\infty
    • 所以有limkQnk=limkPnk=P0\lim\limits_{k\to\infty}Q_{n_k}=\lim\limits_{k\to\infty}P_{n_k}=P_0
    • 又∵ffP0P_0处连续,所以有limkf(Pnk)f(Qnk)\lim\limits_{k\to\infty}|f(P_{n_k})-f(Q_{n_k})| =f(P0)f(P0)=0=|f(P_0)-f(P_0)|=0
    • f(Pn)f(Qn)ε0>0|f(P_n)-f(Q_n)|\ge \varepsilon_0>0矛盾,所以ff在D上一致连续

    介值性定理

    ff区域DR2D\subset R^2连续

    • P1,P2P_1,P_2为D上任意两点
    • f(P1)<f(P2)f(P_1)<f(P_2)
    • μ\mu满足f(P1)<μ<f(P2)f(P_1)<\mu<f(P_2)
    • 则必存在一点P0D,使P_0\in D,使得 f(P0)=μf(P_0)=\mu

    证明

    • 注意,这里一定要是区域,因为要用到区域的连通性质,而有界性定理和一致连续定理其实条件都可以改成有界闭集
    • 做辅助函数F(P)=f(P)μF(P)=f(P)-\mu可得:F在D上连续,且有F(P1)<0,F(P2)>0F(P_1)<0,F(P_2)>0
    • 不妨设P1,P2P_1,P_2是D的内点,下面证明必存在P0D,P_0\in D,使得F(P0)=μF(P_0)=\mu
      • 由于D为区域,所以肯定有一段有限折线连接P1,P2P_1,P_2,若有一连接点的函数值=0.则定理可证,否则从一端开始逐段检查线段,必存在某段,F在两端函数值异号
      • 设连接P1(x1,y1),P2(x2,y2)P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)的直线段含于D,方程为{x=x1+t(x2x1)y=y1+t(y2y1),0t1\begin{cases}x=x_1+t(x_2-x_1)\\y=y_1+t(y_2-y_1)\end{cases},0\le t\le1
      • 在该直线段上,F表示为关于t的复合G(t)=F(x1+t(x2x1),y1+t(y2y1))G(t)=F(x_1+t(x_2-x_1),y_1+t(y_2-y_1)) 0t10\le t\le1啊!这就构造好了一个[0,1][0,1]上的一元连续函数啦,可以用介值定理了!F(P1)=G(0)<0<G(1)=F(P2)F(P_1)=G(0)<0<G(1)=F(P_2)根的存在性定理,在(0,1)内存在一点t0t_0,使得G(t0)=0G(t_0)=0,记x0=x1+t0(x2x1)x_0=x_1+t_0(x_2-x_1) y0=y1+t0(y2y1)y_0=y_1+t_0(y_2-y_1)就有P0DP_0\in D使得F(P0)=G(t0)=0,f(P0)=μF(P_0)=G(t_0)=0,f(P_0)=\mu
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    有界数列必含有单调的子列 数列极限存在的条件: 单调有界必收敛 数列收敛的柯西准则 2、函数极限 函数极限定义 归结原则 函数极限的柯西收敛准则 3、函数的连续性 函数连续概念 函数一致连续 闭区间上...
  • 2·5 一致连续·连续延拓 第十一章 微分学 1.导数 1·1 平均变化率和导数 1·2 导数的几何意义 1·3 可导与连续 1·4 左导数和右导数 2.微分法的定理 2·1 基本初等函数的导函 2·2 函数的和、差、数积的微分法 2·3...
  • 2·5 一致连续·连续延拓 第十一章 微分学 1.导数 1·1 平均变化率和导数 1·2 导数的几何意义 1·3 可导与连续 1·4 左导数和右导数 2.微分法的定理 2·1 基本初等函数的导函 2·2 函数的和、差、数积的微分法 2·3...
  • 6.2.5 一致连续性定理及其证明 6.3 闭区间上连续函数性质定理的相关内容分析 6.3.1 闭区间上连续函数性质定理的理解 6.3.2 闭区间上连续函数性质定理的几何意义 6.3.3 闭区间上连续函数性质定理的条件与结论 6.3.4 ...
  • 有界闭集不一定列紧,这是无穷维空间的重要性质(和实数空间不同) 比如: (1,0,0,0,…) (0,1,0,0,…) (0,0,1,0,…) (0,0,0,1,…) 证明方法是反证法 没有 时是一致连续,有这个时是等度连续。
  • 针对一类具有未建模动态的纯反馈非线性系统, 提出一种自适应动态面控制方法.... 理论分析证明了该自适应控制方法能够保证闭环系统是半全局一致终结 有界的, 仿真结果验证了该方案的有效性.</p>
  • target probability hypothesis density,GM-EPHD)滤波器的收敛性问题,证明了在杂波强度先验已知且扩展目标的期望测量个数连续有界的假设条件下,若该GM-EPHD滤波器的GM项趋于无穷多,那么它一致收敛于真实的EPHD滤波器...
  • 数分习题课讲义

    2019-09-30 15:47:43
    一致连续充分条件,渐近线 关于某些不等式的一种幂级数方法 调和级数发散关于Dirichlet和Abel判别法的必要性关于Dirichlet和Abel判别法的必要性注记 一个只在有理点处可微的连续函数 黎曼积分的单调收敛定理 ...
  • 利用模糊逻辑系统具有充分逼近连续函数的性质,分析和研究了这类系统自适应状态观测器设计问题,并在较弱的假设条件下,证明这种观测器与被控系统状态间的误差及各参数估计误差一致终极有界。最后的仿真实例说明了...
  • 如果$f$在$[a,b]$上连续,$\alpha$在$...证明:由于$f$在$[a,b]$上连续,因此$f$在$[a,b]$上一致连续.即对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正实数$\delta$,使得当$|x_p-x_q|<\delta$时,都$|f(x_p)...
  • 针对一类具有未建模动态和动态扰动且状态不可量测的非线性系统, 利用神经网络逼近未知函数设计K-... 利用Lyapunov 方法证明了闭环系统的所有信号是半全局一致终结有界的, 并通过仿真结果验证了所提出方案的有效性.</p>
  • 针对一类未知的连续非线性系统, 提出一个基于单...统内所有信号一致最终有界, 并且所获得的性能指标函数和控制输入分别收敛到最优性能指标函数和最优控制输入 的小邻域内. 仿真结果验证了所提出控制方案的有效性.</p>
  • 5.4 一致连续性与Cantor定理 5.4.1 内容提要(137)5.4.2 思考题(138) 5.4.3 Cantor定理的证明(138)5.4 ,4例题(139) 5.4.5 练习题(142) 55.5 单调函数 5.5.1 基本性质(143)5.5.2 练习题(146) 5.6 周期3...
  • 在遗传算法后期,适应度趋向一致,优秀的个体在产生后代时 ,优势不明显,从而使整个种群进化停滞不前。因此对适应度适当地进行拉伸是必要的,这样在温度高时(遗传算法的前期),适应度相近的个体产 生的后代概率...
  • ------------571・连续有界变差函数 ------------572.可求长曲线 --------§5.斯蒂尔切斯积分 ------------573.斯蒂尔切斯积分的定义 ------------574.斯蒂尔切斯积分存在的一般条 ------------575·斯蒂尔切斯...

空空如也

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