方差、协方差、标准差(标准偏差/均方差）、均方误差、均方根误差(标准误差)、均方根值

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方差（Variance)
	
       方差用于衡量随机变量或一组数据的离散程度，方差在在统计描述和概率分布中有不同的定义和计算公式。①概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度；②统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本均值之差的平方值的平均数，代表每个变量与总体均值间的离散程度。

概率论中计算公式

离散型随机变量的数学期望： 

                                                                                                             ---------求取期望值

连续型随机变量的数学期望：

                                                                                                      ----------求取期望值

其中，pi是变量，xi发生的概率，f(x)是概率密度。

                                                      ---------求取方差值

 

统计学中计算公式

 总体方差，也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差：

                                                                                                -----------求取总体均值

其中，n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值。

                                                    ------------求取总体方差

其中，为数据的平均数，n为数据的个数，为方差。

样本方差，无偏方差，在实际情况中，总体均值是很难得到的，往往通过抽样来计算，于是有样本方差，计算公式如下

                                                    --------------求取样本方差           

此处，为什么要将分母由n变成n-1，主要是为了实现无偏估计减小误差，请阅读《为什么样本方差的分母是 n-1》。    


	
协方差（Covariance）
	
      协方差在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。







其中，E[X]与E[Y]分别为两个实数随机变量X与Y的数学期望，Cov(X,Y)为X，Y的协方差。


	
 标准差（Standard Deviation)
	
       标准差也被称为标准偏差,在中文环境中又常称均方差，是数据偏离均值的平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度，只是由于方差出现了平方项造成量纲的倍数变化，无法直观反映出偏离程度，于是出现了标准差，标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。

 

                                                                                               ------------求取样本标准差

其中，  代表所采用的样本X1,X2,...,Xn的均值。

                                                                                                 -------------求取总体标准差

 其中， 代表总体X的均值。

例：有一组数字分别是200、50、100、200，求它们的样本标准偏差。

= (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5

= [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1)

样本标准偏差 S = Sqrt(S^2)=75


	
均方误差（mean-square error, MSE）
	
       均方误差是反映估计量与被估计量之间差异程度的一种度量，换句话说，参数估计值与参数真值之差的平方的期望值。MSE可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。




	
均方根误差（root mean squared error，RMSE）
	
      均方根误差亦称标准误差，是均方误差的算术平方根。换句话说，是观测值与真值(或模拟值)偏差(而不是观测值与其平均值之间的偏差)的平方与观测次数n比值的平方根，在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替。标准误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，标准误差能够很好地反映出测量的精密度。这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因。因此，标准差是用来衡量一组数自身的离散程度，而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差。




	
均方根值（root-mean-square，RMES）
	
       均方根值也称作为方均根值或有效值，在数据统计分析中，将所有值平方求和，求其均值，再开平方，就得到均方根值。在物理学中，我们常用均方根值来分析噪声。



        比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号，如果按平均值计算，它的电压只有50V，而按均方根值计算则有70.71V。这是为什么呢？举一个例子，有一组100伏的电池组，每次供电10分钟之后停10分钟，也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10Ω电阻，供电的10分钟产生10A 的电流和1000W的功率，停电时电流和功率为零。

 有效值（root mean square）

　　RMS值实际就是有效值,就是一组统计数据的平方的平均值的平方根。 　　RMS＝（X1平方＋X2平方＋......＋Xn平方）/n 的1/2次方。 　　在直流（DC）电路中，电压或电流的定义很简单，但在交流（AC）电路中，其定义就较为复杂，有多种定义方式。均方根（rms）指的是定义AC波的有效电压或电流的一种最普遍的数学方法。 　　

要得出rms值需要对表示AC波形的函数执行三个数学操作： 　　
（1）计算波形函数（一般是正弦波）的平方值。 
（2）对第一步得到的函数求时间平均值。 　　
（3）求第二步得到的函数的平方根。 　　
在一个阻抗由纯电阻组成的电路中，AC波的rms值通常称作有效值或DC等价值。比如，一个100V rms的AC源连接着一个电阻器，并且其电流产生50W热量，那么对于100V连接着这个电阻器的电源来说也将产生50W的热量。 　　对正弦波来说，rms值是峰值的0.707倍，或者是峰-峰值的0.354倍。家用电压是以rms来表示的。所谓的“117V”的交流电，其峰值（pk）约为165V，峰-峰值（pk-pk）约为330V。
不能说哪个更准确只是所用的适用范围不同。 
 均方根值在物理上也称作为效值，它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号，如果按平均值计算，它的电压只有50V，而按均方根值计算则有70.71V。这是为什么呢？在实际中一组100伏的电池组，每次供电10分钟之后停10分钟，也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10Ω电阻，供电的10分钟产生10A的电流和1000W的功率，停电时电流和功率为零。那么在20分钟的一个周期内其平均功率为500W，这相当于70.71V的直流电向10Ω电阻供电所产生的功率。而50V直流电压向10Ω电阻供电只能产生的250W的功率。
 主要区别是看你应用的情况而定没有那个一定就好的。比如考试求平均分就要用平均值。一个100分一个55分平均
77.5，均方根值80.7分。你不能说自己平均优秀吧

方差、协方差、标准差(标准偏差/均方差）、均方误差、均方根误差(标准误差)、均方根值

本文由博主经过查阅网上资料整理总结后编写，如存在错误或不恰当之处请留言以便更正，内容仅供大家参考学习。

方差（Variance)

       方差用于衡量随机变量或一组数据的离散程度，方差在在统计描述和概率分布中有不同的定义和计算公式。①概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度；②统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本均值之差的平方值的平均数，代表每个变量与总体均值间的离散程度。

概率论中计算公式

离散型随机变量的数学期望： 

                                                                                                             ---------求取期望值

连续型随机变量的数学期望：

                                                                                                      ----------求取期望值

其中，pi是变量，xi发生的概率，f(x)是概率密度。

                                                      ---------求取方差值

 

统计学中计算公式

 总体方差，也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差：

                                                                                                -----------求取总体均值

其中，n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值。

                                                    ------------求取总体方差

其中，为数据的平均数，n为数据的个数，为方差。

样本方差，无偏方差，在实际情况中，总体均值是很难得到的，往往通过抽样来计算，于是有样本方差，计算公式如下

                                                    --------------求取样本方差           

此处，为什么要将分母由n变成n-1，主要是为了实现无偏估计减小误差，请阅读《为什么样本方差的分母是 n-1》。    

协方差（Covariance）

      协方差在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。

其中，E[X]与E[Y]分别为两个实数随机变量X与Y的数学期望，Cov(X,Y)为X，Y的协方差。

 标准差（Standard Deviation)

       标准差也被称为标准偏差,在中文环境中又常称均方差，是数据偏离均值的平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度，只是由于方差出现了平方项造成量纲的倍数变化，无法直观反映出偏离程度，于是出现了标准差，标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。

 

                                                                                               ------------求取样本标准差

其中，  代表所采用的样本X1,X2,...,Xn的均值。

                                                                                                 -------------求取总体标准差

 其中， 代表总体X的均值。

例：有一组数字分别是200、50、100、200，求它们的样本标准偏差。

= (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5

= [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1)

样本标准偏差 S = Sqrt(S^2)=75

均方误差（mean-square error, MSE）

       均方误差是反映估计量与被估计量之间差异程度的一种度量，换句话说，参数估计值与参数真值之差的平方的期望值。MSE可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。

均方根误差（root mean squared error，RMSE）

      均方根误差亦称标准误差，是均方误差的算术平方根。换句话说，是观测值与真值(或模拟值)偏差(而不是观测值与其平均值之间的偏差)的平方与观测次数n比值的平方根，在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替。标准误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，标准误差能够很好地反映出测量的精密度。这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因。因此，标准差是用来衡量一组数自身的离散程度，而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差。

均方根值（root-mean-square，RMES）

       均方根值也称作为方均根值或有效值，在数据统计分析中，将所有值平方求和，求其均值，再开平方，就得到均方根值。在物理学中，我们常用均方根值来分析噪声。

        比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号，如果按平均值计算，它的电压只有50V，而按均方根值计算则有70.71V。这是为什么呢？举一个例子，有一组100伏的电池组，每次供电10分钟之后停10分钟，也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10Ω电阻，供电的10分钟产生10A 的电流和1000W的功率，停电时电流和功率为零。

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方差（Variance)
方差用于衡量随机变量或一组数据的离散程度，方差在在统计描述和概率分布中有不同的定义和计算公式。①概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度；②统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本均值之差的平方值的平均数，代表每个变量与总体均值间的离散程度。

概率论中计算公式

离散型随机变量的数学期望：

---------求取期望值

连续型随机变量的数学期望：

----------求取期望值

其中，pi是变量，xi发生的概率，f(x)是概率密度。

---------求取方差值
统计学中计算公式
总体方差，也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差：

-----------求取总体均值

其中，n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值。

------------求取总体方差

其中，\bar{X}为数据的平均数，n为数据的个数，s^{2}为方差。

样本方差，无偏方差，在实际情况中，总体均值\bar{X}是很难得到的，往往通过抽样来计算，于是有样本方差，计算公式如下

--------------求取样本方差

此处，为什么要将分母由n变成n-1，主要是为了实现无偏估计减小误差，请阅读《为什么样本方差的分母是 n-1》。
协方差（Covariance）
协方差在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。







其中，E[X]与E[Y]分别为两个实数随机变量X与Y的数学期望，Cov(X,Y)为X，Y的协方差。
标准差（Standard Deviation)
标准差也被称为标准偏差,在中文环境中又常称均方差，是数据偏离均值的平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度，只是由于方差出现了平方项造成量纲的倍数变化，无法直观反映出偏离程度，于是出现了标准差，标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。

------------求取样本标准差

其中，  代表所采用的样本X1,X2,…,Xn的均值。

-------------求取总体标准差

其中， 代表总体X的均值。

例：有一组数字分别是200、50、100、200，求它们的样本标准偏差。
= (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5
= [(200-137.5)2+(50-137.5)2+(100-137.5)2+(200-137.5)2]/(4-1)
样本标准偏差 S = Sqrt(S^2)=75
均方误差（mean-square error, MSE）
均方误差是反映估计量与被估计量之间差异程度的一种度量，换句话说，参数估计值与参数真值之差的平方的期望值。MSE可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。


均方根误差（root mean squared error，RMSE）
均方根误差亦称标准误差，是均方误差的算术平方根。换句话说，是观测值与真值(或模拟值)偏差(而不是观测值与其平均值之间的偏差)的平方与观测次数n比值的平方根，在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替。标准误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，标准误差能够很好地反映出测量的精密度。这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因。因此，标准差是用来衡量一组数自身的离散程度，而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差。


均方根值（root-mean-square，RMES）
均方根值也称作为方均根值或有效值，在数据统计分析中，将所有值平方求和，求其均值，再开平方，就得到均方根值。在物理学中，我们常用均方根值来分析噪声。



比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号，如果按平均值计算，它的电压只有50V，而按均方根值计算则有70.71V。这是为什么呢？举一个例子，有一组100伏的电池组，每次供电10分钟之后停10分钟，也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10Ω电阻，供电的10分钟产生10A 的电流和1000W的功率，停电时电流和功率为零。