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  • 投资组合的方差公式推导

    千次阅读 2017-12-04 23:32:00
    投资组合的方差公式推导 背景 投资组合的期望收益率 投资组合的期望收益方差 随机变量的线性组合的方差公式推导 \\(n\\) 项完全平方公式的推导 言归正传,继续推导随机变量的线性组合的方差公式 总结 ...

    投资组合的方差公式推导

    • 背景
    • 投资组合的期望收益率
    • 投资组合的期望收益方差
    • 随机变量的线性组合的方差公式推导
    • \\(n\\) 项完全平方公式的推导
    • 言归正传,继续推导随机变量的线性组合的方差公式
    • 总结

    背景

    今天在看财务管理学课本,风险与收益章节的投资组合的风险计算这一节时, 发现课本所给的投资组合的总体期望收益方差的公式中有 \\(i \neq j\\) 的标注,但是看后面的具体计算步骤时, 却使用了 \\(i = j\\) 的情况下的计算方式,故而感到疑惑,搜索百度,未见公式上有 \\(i \neq j\\) 的标志。 因此打算自己推导一下。

    投资组合的期望收益率

    \\(n\\) 为投资项目数量,\\({w}_{i}\\) 为第\\(i\\) 项投资在投资组合中所占的比重, \\({R}_{i}\\) 为第 \\(i\\) 项投资的期望收益率

    \[{R}_{P} = \sum _{i=1}^{n}{{w}_{i} {R}_{i}}\]

    投资组合的期望收益方差

    投资组合的方差实际上就是投资组合的期望收益率的方差,它是 \\(n\\) 个随机变量的线性组合的方差

    \[{\sigma}_{P}^{2} = \sigma^2 \left( {R}_{P} \right)\]

    翻开尘封了一整年的概率论课本,找到公式

    \[D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)\]

    课本上只给出了两个随机变量的线性组合的方差公式,并不知道推广到 \\(n\\) 项随机变量的线性组合的方差应该是怎样。

    随机变量的线性组合的方差公式推导

    由课本给出的以下公式

    \[D(X) = E[(X-E(X))^2]\] \[D(aX) = a^2D(X)\] \[Cov(aX, bY) = abCov(X, Y)\] \[E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)\] \[D(X + Y) = E[(X+Y) - E(X+Y)]^2 = E[(X-E(X)) + (Y-E(Y))]^2 = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)\]

    得到

    \[D(aX + bY) = E[(aX+bY) - E(aX+bY)]^2 = E[(aX-aE(X)) + (bY-bE(Y))]^2 = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X, Y)\] \[D\left( \sum _{i=1}^{n}{{w}_{i}{R}_{i}} \right) = E \left\{ \sum _{i=1}^{n}{\left[{w}_{i}{R}_{i} - {w}_{i}E({R}_{i})\right]} \right\}^2\]

    很显然,根据 \[D(X)=Cov(X,X)\] ,这个结构属于是一个 \\(n\\) 项的完全平方式,但是我从小就只学过两项的完全平方公式。。。

    \\(n\\) 项完全平方公式的推导

    私以为对于 \\(({a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n})^2\\) 的计算,可以看作一个行向量和一个列向量的积, 然后对结果的矩阵的所有元素求和便可得出结果

    \[ sum \begin{pmatrix} {a}_{1} \\ {a}_{2} \\ \cdots \\ {a}_{n} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {a}_{1} & {a}_{2} & \cdots & {a}_{n} \end{pmatrix} = sum \begin{pmatrix} {a}_{1} * {a}_{1} & {a}_{1} * {a}_{2} & \cdots & {a}_{1} * {a}_{n} \\ {a}_{2} * {a}_{1} & {a}_{2} * {a}_{2} & \cdots & {a}_{2} * {a}_{n} \\ \cdots \\ {a}_{n} * {a}_{1} & {a}_{n} * {a}_{2} & \cdots & {a}_{n} * {a}_{n} \end{pmatrix} = \sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{n}{ {a}_{i} {a}_{j} }}\]

    言归正传,继续推导随机变量的线性组合的方差公式

    上面已经把 \\(n\\) 项投资组合的方差公式推导到了下面的形式

    \[ D\left( \sum _{i=1}^{n}{{w}_{i}{R}_{i}} \right) = E \left\{ \sum _{i=1}^{n}{\left[{w}_{i}{R}_{i} - {w}_{i}E({R}_{i})\right]} \right\}^2 \]

    通过刚刚推导出来的 \\(n\\) 项完全平方公式和 \\(D(X)=Cov(X,X)\\) 将该式展开成下面的形式,便是我们推导过程中的最终式

    \[ D\left( {R}_{P} \right) = \sum _{i=1}^{n}{ \sum _{j=1}^{n}{ {w}_{i} {w}_{j} Cov({R}_{i}, {R}_{j}) } } \]

    总结

    这最终推导出来的公式与课本上的公式是一样的,但是并不具有 \\(i \neq j\\) 的附加条件,因为在计算过程中,当 \\(i\\) 和\\(j\\) 相等的时候, 得出的项是某项投资的方差与权重的积 \\({w}_{i}^2\sigma_{i}^{2}\\) ,这是符合随机变量的线性组合的方差公式的。 所以,课本上公式的附加条件\\(i \neq j\\) 是课本的错误,不仅通过我个人的推导证明了,而且后面的例题等, 也都标明这一条件不成立。

    转载于:https://www.cnblogs.com/simbon/p/7979638.html

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  • 今天看为了准备排队论考试复习了下概率论,看到样本的方差公式除数是n-1,对此很不解。因此查了一些资料并请教了个学数学出身的朋友。 S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1) X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn...

    今天看为了准备排队论考试复习了下概率论,看到样本的方差公式除数是n-1,对此很不解。因此查了一些资料并请教了一个学数学出身的朋友。

    S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1)

    X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n

     

    以下是我的理解(感性的认识):

    要求总体分布的方差,而我们使用的是样本。计算的是样本值和样本均值的距离。但是如果客观来说,我们应该计算样本值和u的距离。也就是说,我们用样本值代表u是有一定误差的。为了减小这个误差,我们使用了n-1.

     

     

     

    百度知道的回答:

    首先,用真正的(Xi-μ)^2来看,方差本应该是与μ的差,而不是样本均值的差,增加一个数,就多一个(Xi-μ)^2,n个数据,这n个数据与μ是无关的,就该是n个这相加后除n。也就是自由度是n 

    但是,用样本均值来减,从这来看X1+X2+...+Xn=nX,这个地方也就是说n个数据与X相关,这就少了一个自由度,从而,用(Xi-X)^2计算时,会相当少了一个原本(Xi-μ)^2。故除n-1。其实这讲得也不太准确,我也不知道怎么说好。 

    主要还是X1+X2+...+Xn=nX,这个计算出的X,Xi-X这所有相加为0,也就是少了个了,少了什么,我也不知怎么说,自己想吧

     

     

     

    验证n-1的正确性

    总体方差为σ2

    均值为μ

    S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1)

    X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n

    设A=(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2

    E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]

    =E[(X1)^2-2X*X1+X^2+(X2)^2-2X*X2+X^2+(X2-X)^2....+(Xn)^2-2X*Xn+X^2]

    =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(X1+X2+...+Xn)]

    =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(nX)]

    =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2-nX^2]

     

    E(Xi)^2=D(Xi)+[E(Xi)]^2

    =σ2+μ2 E(X)^2

    =D(X)+[E(X)]^2

    =σ2/n+μ2

     所以

    E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]

    =n(σ2+μ2)-n(σ2/n+μ2)

    =(n-1)σ2

    所以为了保证样本方差的无偏性

    S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1)

    E(S)=(n-1)σ2/(n-1)=σ2

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  • 各种方差公式

    千次阅读 2009-03-27 18:33:21
    举一个例子,有一组100伏的电池组,每次供电10分钟之后停10分钟,也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10Ω电阻,供电的10分钟产生10A的电流和1000W的功率,停电时电流和功率为零。 那么在2...
    均方根值也称作为效值,它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号,如果按平均值计算,它的电压只有50V,而按均方根值计算则有70.71V。这是为什么呢?举一个例子,有一组100伏的电池组,每次供电10分钟之后停10分钟,也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10Ω电阻,供电的10分钟产生10A的电流和1000W的功率,停电时电流和功率为零。
    
    那么在20分钟的一个周期内其平均功率为500W,这相当于70.71V的直流电向10Ω电阻供电所产生的功率。而50V直流电压向10Ω电阻供电只能产生的250W的功率。对于电机与变压器而言,只要均方根电流不超过额定电流,即使在一定时间内过载,也不会烧坏。 PMTS1.0抽油机电能图测试仪对电流、电压与功率的测试计算都是按有效值进行的,不会因为电流电压波形畸变而测不准。这一点对于测试变频器拖动的电机特别有用。
    均方根误差为了说明样本的离散程度。
    对于N1,....Nm,设N=(N1+...+Nm)/m;则均方根误差记作: bbs.itgoal.com.F6F!M n+t8Q5i.Y-m
    t=sqrt(((N^2-N1^2)+...+(N^2-Nm^2))/(m(m-1)));
    比如两组样本:
    第一组有以下三个样本:3,4,5
    第二组有一下三个样本:2,4,6
    这两组的平均值都是4,但是第一组的三个数值相对更靠近平均值,也就是离散程度小,均方差就是表示这个的。
    同样,方差、标准差(方差开根,因为单位不统一)都是表示数据的离散程度的。
    几种典型平均值的求法
    (1)算术平均值这种平均值最常用。设x1、x2、… 、x n为各次的测量值,n代表测量次数,则算术平均值为
     [img]http://www.iwuli.com/Article/UploadFiles/200701/20070120213138995.gif[/img]         
    (2)均方根平均值
         [img]http://www.iwuli.com/Article/UploadFiles/200701/20070120213138123.gif[/img]    
    (3)几何平均值
          [img]http://www.iwuli.com/Article/UploadFiles/200701/20070120213138949.gif[/img]  
    (4)对数平均值
        [img]http://www.iwuli.com/Article/UploadFiles/200701/20070120213138879.gif[/img]    
    (5)加权平均值
          [img]http://www.iwuli.com/Article/UploadFiles/200701/20070120213139754.gif[/img]  
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  • 以下摘录适用于经济学本科层级、和互联网数据分析的概率论核心概念和公式。参考教材是本科经济学专业计量经济学课上的教材,詹姆斯·斯托克、马克·沃森所著的《计量经济学》第三版。、随机变量和概率分布离散型...

    以下摘录适用于经济学本科层级、和互联网数据分析的概率论核心概念和公式。参考教材是本科经济学专业计量经济学课上的教材,詹姆斯·斯托克、马克·沃森所著的《计量经济学》第三版。

    一、随机变量和概率分布

    1. 离散型随机变量的概率分布 probability distribution:变量的所有可能取值既每个取值发生的概率列表。且所有的概率相加之和为1.
    2. 累积概率分布 cumulative probability distribution/累积分布函数 cumulative distribution function, c.d.f./累积分布 cumulative distribution:随机变量小于或等于某个特定值的概率。
    3. 贝努力分布 Bernouli distribution:结果取0或1的二值随机变量的概率分布。
    4. 概率密度函数probability density function, p.d.f./密度函数 density function/密度 density:我们用概率密度函数表示连续性随机变量可取的连续值的概率。随机变量落入两点之间的概率等于位于这两点之间概率密度函数曲线下方的面积。

    二、期望值、均值和方差

    1. 随机变量Y的期望值 expected value/Y的期望 expectation/Y的均值 mean 记为
      :随机变量在多次重复实验或反复出现中的长期平均值。
    2. 离散随机变量的期望值和均值公式
    3. 连续随机变量的期望:?
    4. 方差和标准差:方差和标准差度量了概率分布的离散或散布程度。随机变量Y的方差variance,记为var(Y),是Y距离其均值的偏差平方的期望值。由于方差涉及Y的平方,所以方差的单位是Y平方的单位。标准差 standard deviation,即方差的平方根,衡量离散程度,记为
    5. 离散型随机变量Y的方差
    6. 随机变量线性函数的均值和方差:Y=a+bX,则
    7. 分布形状的度量指标——分布矩(moments of a distribution):均值度量了一个分布的中心位置;标准差度量了一个分布的离散程度;偏度度量分布的对称性;峰度度量一个分布的尾部粗细或薄厚。
    8. 偏度 skewness =
      ,描述了分布不对称的程度。对对称分布来讲,
      ,即对称分布的偏度为零;非对称分布的偏度不为零,如果分布具有较长的右尾,偏度为正。如果分布具有较长的左尾,则偏度为负。偏度是无量纲的。
    9. 峰度 kurtosis,是度量分布尾部薄厚的指标,它衡量了Y的方差多大部分是由极端值引起的。我们称Y的极端值为异常值outlier。分布的偏度越大,则出现异常值的可能性也越大。峰度=
      ,厚尾分布的峰度较大。峰度不为负。服从正态分布的随机变量峰度为3,所以峰度超过3的随机变量比正态随机变量的尾部要厚。我们称峰度超过3的分布是尖峰的(leptokurtic),或厚尾的。峰度是无量纲的。
    10. 矩:一般
      的期望称为随机变量Y的r阶矩(
      moment)。即Y的r阶矩为

    三、二维随机变量

    1. 联合分布:两个离散型随机变量,比方说X和Y的联合概率分布 joint probability distribution 为随机变量同时取某些值,如x和y的概率。联合概率分布函数为Pr(X=x, Y=y)。所有可能的组合(x,y)的概率相加等于1。
    2. 边缘概率分布 marginal probability distribution:Y的边缘分布即为X和Y的所有可能结果中Y取某一特定值的所有概率之和。若X可取l个不同的值,则Y取y值的边缘概率为
    3. 条件分布 conditional distribution:给定零一随机变量X取某特定值条件下,随机变量Y的分布成为给定X时Y的条件分布。一般地,给定X=x时Y的条件分布为
    4. 条件期望 conditional expectation:给定X时Y的条件期望,也称给定X时Y的条件均值,是指给定X时Y的条件分布均值。
    5. 期望的迭代原则 law of iterated expectations:Y的均值是给定X时Y的条件期望以X的概率分布为权重的加权平均值。
      。换言之,Y的期望为给定X时Y的条件期望的期望,即
      。期望的迭代原则表明,如果给定X时Y的条件期望为零,则这些条件均值的概率加权平均值必为零,即,Y的均值必为零。
    6. 条件方差:给定X条件下Y的方差variance of Y conditional on X 指给定X时Y条件分布的方差。
    7. 独立性 independedntly distributed/independent:若知道两个随机变量X和Y中某一个变量的取值无法提供另一个变量的取值信息,则称X和Y独立分布或独立。尤其是当给定X时Y的条件分布等于Y的边缘分布,则X和Y独立。即,如果对所有的x和y,有
      则X和Y独立分布。若X和Y独立,则
      ,即两个独立随机变量的联合分布是它们边缘分布的乘积。
    8. 协方差 covariance:衡量两个变量同时变动程度。
      为了解释这一公式,假设当X大于其均值时,Y趋向于大于它的均值,于是协方差为正。反之,如果X和Y的变动趋势相反,则协方差为负。最后,若X和Y独立,则协方差为零。(*X和Y的协方差是X和Y偏离其均值的乘积,因此它的单位是X的单位乘Y的单位,令我们难以解释协方差的数值)
    9. 相关系数 correlation:X和Y的相关系数是X和Y的协方差除以他们的标准差,因此它解决了协方差“单位”的问题。
      。如果
      ,则称X和Y是不相关的 uncorrelated。相关系数在[-1,1]之间取值,即
    10. 相关系数和条件均值:如果Y的条件均值不依赖于X,则Y和X是不相关的。即,若
      ,则
    11. 随机变量的期望、方差、和协方差:
      ,
      ,
      ,
      ,
      。特殊地,若X和Y独立,则起协方差为零,且它们和的方差等于他们方差的和。

    四、计量经济学中常遇到的概率分布

    4.1 正态分布

    1. 正态分布 normal distribution: 服从正态分布的连续型随机变量具有钟形概率密度曲线。正态分布用
      标识。期望为
      ,方差为
      的正态密度曲线关于均值对称,且落入
      之间的概率为95%,也即正态p.d.f.下方的面积为0.95。
    2. 标准正态分布 standard normal distribution:期望为0、方差为1的正态分布被称为标准正态分布,记为
      。我们常用
      表示服从
      分布的随机变量,用希腊字母
      表示其累积分布函数,因此,
      ,其中c为常数。
    3. 正态随机变量的概率计算:
      服从
      ,则通过减去其期望除以其方差标准化
      ,即计算
      。令
      表示满足
      的两个数,又令
      ,则
    4. 多维正态分布 multivariate normal distribution: 一组随机变量的联合分布。多维正态分布的四个性质:
    • 服从协方差为
      的二维正态分布,且设a和b为两个常数,则
      服从正态分布,即
      服从分布
      。更一般地,若n个随机变量服从多为正态分布,则这些变量的任意线性组合都服从正态分布。
    • 若一组变量服从多为正态分布,则其中每个变量的边缘分布都为正态分布。
    • 若服从多为正态分布的变量协方差为零,那么这些变量独立。故若X和Y服从二维正态分布且
      ,则X和Y独立。此前我们指出,若X和Y独立,其协方差
      。这一结论,即协方差为零意味着变量独立,是多维正态分布的一个特殊性质,对一般分布而言这一性质并不成立。
    • 如果X和Y服从二元正态分布,则给定X时Y的条件期望是X的线性函数,即
      ,a和b为常数。联合正态性能推出条件期望的线性性,单条件期望的线性性推不出联合正态性。

    4.2 卡方分布

    1. 卡方分布 chi-squared distribution:m个独立标准正态随机变量的平方和服从卡方分布。自由度为m的卡方分布记为
      。该分布依赖于m,成为卡方分布的自由度。例如,令
      为相互独立的标准正态随机变量,则
      服从自由度为3的卡方分布。
    2. 卡方分布的分位数:
      的95%分位数等于7.81,因此

    4.3 学生t分布

    1. 自由度为m的学生t分布 student t distribution:定义为标准正态随机变量与和它独立的自由度为m的卡方随机变量除以自由度m的平方根之比的分布。即,令Z表示标准正态随机变量,W表示服从自由度为m的卡方分布的随机变量,且Z和W独立,则随机变量
      服从自由度为m的学生t分布(也称t分布),用
      表示。
    2. 学生t分布依赖于自由度m,故
      分布的95%分位数依赖于自由度m.
    3. 学生t分布具有与正态分布相似的钟形形状,但当m较小时(小于或等于20),t分布尾部较厚,即它具有比正态分布更“平坦”的钟形形状。当m大于等于30时,可用标准正态分布近似表示学生t分布,且
      分布等于标准正态分布。

    4.4 F分布

    1. F分布 F distribution:具有自由度m和n的F分布定义为自由度为m的卡方随机变量除以m与和它独立的自由度为n的卡方随机变量除以n之比的分布,记为
      。用数学语言表述如下,令W表示自由度为m的卡方随机变量,V为自由度为n的卡方随机变量,且W与V独立,则
      服从
      分布,即F分布具有分子的自由度m和分母的自由度n。
    2. F分布的一个重要特例是分母的自由度足够大,使
      分布可用
      近似。在这个极限情形中,分母的随机变量V表示无限多卡方随机变量的平均值,且由于标准正态随机变量平方的均值为1,该均值也等于1。所以
      分布表示自由度为m的卡方随机变量除以m的分布,即
      服从
      分布。

    五、随机抽样和样本均值的分布

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    根据光纤陀螺仪输出的数据,利用allan方差计算公式进行处理运算,利用matlab进行编程
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  • 加权平均以及方差

    万次阅读 2016-01-23 15:35:06
    加权平均值即将各数值乘以相应的权数,然后加总求和得到总体值,再除以总的单位。平均的大小不仅取决于总体中各单位的标志值(变量值)的大小,而且取决于各标志值出现的次数(频数),由于各标志值出现的次数对...
  • 方差分析

    千次阅读 2020-02-08 18:16:53
    本篇主要是简单描述方差分析的基本原理和计算公式,计算公式已附上。
  • 遍历数组遍求方差

    千次阅读 2014-03-14 10:16:37
    根据方差公式 (其中m为数均值),可以推出s^2= E(x^2) -(E(x))^2 所以可以通过次遍历求数组方差 #include using namespace std; double variance(double x[], int n) { double s1 = 0, s2 = 0; for(int...
  • 1、期望收益率计算公式 HPR=(期末价格 -期初价格+现金股息)/期初价格 例:A股票过去三年的收益率为3%、5%、4%,B股票在下一年有30%的...2、方差计算公式 例:求43,45,44,42,41,43的方差。 解:平均=(43+45+44+42+
  • 方差、协方差、标准差(标准偏差/均方差)、... 方差用于衡量随机变量或一组数据的离散程度,方差在在统计描述和概率分布中有不同的定义和计算公式。①概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏...
  • 样本方差与总体方差

    万次阅读 多人点赞 2018-12-08 11:59:00
    一、方差(variance):衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。 概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。  统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均之差的...
  • 方差、标准差、均方差、均方误差区别总结

    万次阅读 多人点赞 2017-01-04 18:38:28
    对于一组随机变量或者统计数据,其期望值我们由E(X)表示,即随机变量或统计数据的均值, 然后对各个数据与均值的差的平方求和,最后对它们再求期望值就得到了方差公式。 这个公式描述了随机变量或统计数据与...
  • 在进行科学研究、数据统计分析时,经常需要计算一组数据的标准差、方差、标准误差等。今天,我们来介绍如何用excel或wps计算一组数据的标准差、方差、标准误差。一、标准差的计算标准偏差,又名标准差、均方差、...
  • 定义/解释:按顺序排列的一组数据中居于中间位置的,即在这组数据中,有一半的数据比他大,有一半的数据比他小  #如果观察值有偶数个,通常取最中间的两个数值的平均作为中位。 二、方差 参考百科:...
  • 利用python求最小方差组合

    千次阅读 2020-05-16 10:46:47
    利用python求最小方差组合 import numpy as np import scipy as sp import pandas as pd import scipy.optimize as opt #最优化的module names=("IBM","WMT","C") rf=0.0003 #输入的参数,无风险利率 #从雅虎财经...
  • 均值方差分析与风险资产组合

    千次阅读 2019-12-14 16:55:24
    文章目录引言对均值和方差的解释资产组合的均值方差特性小结 引言 在前面的文章中,初步...而通过均值-方差分析衍生出的资本资产定价模型(CAPM)给出了确定资产贴现率的系统方法,同时也给出了资产定价的个严谨理...
  • # coding=utf-8 import numpy as np import pandas as pd datas = [98,83,65,72,79,76,75,94,91,77,63,83,89,69,64,78,63,86,91,72,71,72,70,80,65,70,62,74,...#平均 aver = np.mean(datas) #中位 mid = np...

空空如也

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一组数的方差公式