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  • 方差的简单计算公式2019-09-24 15:14:57文/宋则贤若...方差的计算公式方差是和中心偏离的程度,用来衡量批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小)并把它叫做这数据的方差,记作S^2。 在样本容量相同的情况...

    方差的简单计算公式2019-09-24 15:14:57文/宋则贤

    若x1,x2....xn 的平均数为m,则方差公式为S^2=1/n[(x1-m)^2+(x2-m)^2+.......+(xn-m)^2],x为这组数据中的数据,n为大于0的整数。

    方差的计算公式

    方差是和中心偏离的程度,用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小)并把它叫做这组数据的方差,记作S^2。 在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定。

    1.若x1,x2....xn 的平均数为m

    其方差是:S^2=1/n[(x1-m)^2+(x2-m)^2+.......+(xn-m)^2]

    标准差:S=√{1/n[(x1-m)^2+(x2-m)^2+.......+(xn-m)^2]}

    2.若x1,x2....xn 其方差是:S²

    则kx1,kx2.....kxn的方差为:k²S²

    3.若x1,x2....xn 其方差是:S²

    则x1+a,x2+a,x3+a....xn+a的方差为:S²(没有改变)

    (k1,a是不为零的常数)

    4.若x1,x2....xn 其方差是:S²

    则kx1+a,kx2+a,kx3+a....kxn+a的方差为:k²S²

    方差的含义

    方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。

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  • 一、方差(variance):衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。 概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离...对于一组随机变量,从中随机抽取N个 样本,这组样本的方差就 是Xi^2平方和除以N-...

    一、方差(variance):衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。

    概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。

    统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。

    概率论中的方差表示方法 :

    样本方差,无偏估计、无偏方差(unbiased variance)。对于一组随机变量,从中随机抽取N个 样本,这组样本的方差就 是Xi^2平方和除以N-1。

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    总体方差,也叫做有偏估计,其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差,除数是N。

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    统计中的方差表示方法 :

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    二、为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?

    简单的回答,是因为因为均值你已经用了n个数的平均来做估计在求方差时,只有(n-1)个数和均值信息是不相关的。

    而你的第n个数已经可以由前(n-1)个数和均值来唯一确定,实际上没有信息量。所以在计算方差时,只除以(n-1)。

    那么更严格的证明呢?

    样本方差计算公式里分母为n-1的目的是为了让方差的估计是无偏的。

    无偏的估计(unbiased estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的,尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最小才更有意义,这个问题我们不在这里探讨;

    不符合直觉的是,为什么分母必须得是n-1而不是n才能使得该估计无偏。

    首先,我们假定随机变量的数学期望是已知的,然而方差未知。在这个条件下,根据方差的定义我们有

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    由此可得

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    这个结果符合直觉,并且在数学上也是显而易见的。

    现在,我们考虑随机变量

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    三、理论推导

    为了方便叙述,在这里说明好数学符号:

    9eb01fc1a2134ce86cbbcc663a08db91.png

    前面说过样本方差之所以要除以(n-1)是因为这样的方差估计量才是关于总体方差的无偏估计量。在公式上来讲的话就是样本方差的估计量的期望要等于总体方差。如下:

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    但是没有修正的方差公式,它的期望是不等于总体方差的

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    也就是说,样本方差估计量如果是用没有修正的方差公式来估计总计方差的话是有偏差的

    下面给出比较好理解的公式推导过程:

    958ee885fe07bb8f84404fcd00bbd4ef.png

    也就是说,除非

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    否则一定会有

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    需要注意的是不等式右边的才是的对方差的“正确”估计,但是我们是不知道真正的总体均值是多少的,只能通过样本的均值来代替总体的均值。

    所以样本方差估计量如果是用没有修正的方差公式来估计总计方差的话是会有偏差,是会低估了总体的样本方差的。为了能无偏差的估计总体方差,所以要对方差计算公式进行修正,修正公式如下:

    0995ac7d19ea5458f9cd5dd9db747e3c.png

    这种修正后的估计量将是总体方差的无偏估计量,下面将会给出这种修正的一个来源;

    为了能搞懂这种修正是怎么来的,首先我们得有下面几个等式:

    1.方差计算公式:

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    2. 均值的均值、方差计算公式:

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    对于没有修正的方差计算公式我们有:

    103cf44d09073982d5c938595fabf8d3.png

    因为:

    15fed733a94c5e58a455ccfe40004874.png

    所以有:

    c21f536ae8e42812d342e7523825fe0b.png

    在这里如果想修正的方差公式,让修正后的方差公式求出的方差的期望为总体方差的话就需要在没有修正的方差公式前面加上来进行修正,即:

    528ad579eed2ee520fec069baa4cf523.png

    所以就会有这样的修正公式:

    cc99ab2312294de12c46afd47bfeaa1e.png

    而我们看到的都是修正后的最终结果:

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    这就解释了为什么要对方差计算公式进行修正,且为什么要这样修正。

    上面的解释如果有什么错误,或者有哪些解释不正确的地方欢迎大家指正。谢谢大家。希望能对大家有点帮助。

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  • 方差计算公式的变形及应用

    千次阅读 2020-10-13 14:44:41
    对于一组数据x1,x2...xnx_1,x_2...x_nx1​,x2​...xn​,若其平均为x‾\overline xx则方差公式为 S2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+...+(x3−x‾)2]S^2=\frac 1n[(x_1-\overline x)^2+(x_2-\overline x)^2+...+(x_3-\...

    方差计算公式

    对于一组数据x1,x2...xnx_1,x_2...x_n,若其平均数为x\overline x则方差公式为
    S2=1n[(x1x)2+(x2x)2+...+(x3x)2]S^2=\frac 1n[(x_1-\overline x)^2+(x_2-\overline x)^2+...+(x_3-\overline x)^2]

    方差计算公式变形

    S2=1n[(x12+x22x1x)+(x22+x22x2x)+...+(xn2+x22xnx)]=1n[(x12+x22+...+xn2)+nx22x(x1+x2+...+xn)]=1n[(x12+x22+...+xn2)+nx22nx2]=1n[(x12+x22+...+xn2)nx2]=1n[(x12+x22+...+xn2)1n(x1+x2+...+xn)2]S^2=\frac 1n[(x_1^2+\overline x^2-2x_1\overline x)+(x_2^2+\overline x^2-2x_2\overline x)+...+(x_n^2+\overline x^2-2x_n\overline x)]=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)+n\overline x^2-2\overline x(x_1+x_2+...+x_n)]=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)+n\overline x^2-2n\overline x^2]=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-n\overline x^2]=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)^2]

    也就是:
    S2=1n[(x12+x22+...+xn2)1n(x1+x2+...+xn)2]S^2=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)^2]

    方差计算公式变形的应用

    这算是机器学习中常用的trick。树模型中会经常用到,一下两个场景是我自己实现算法过程中用到的。

    增量的计算样本集的方差

    最近在调研增量学习的相关内容,其中heoffding tree 是一个用于学习流的数结构,也就是数据集不再是一个完整的集合进行批处理。而是以流的形式一部分一部分加入数中实现训练。

    树的分裂过程需要计算样本的方差来求出最大增益。
    而当数位变成的形式,无法整个计算平均值或者相加,需要对上述公式进行变形。这算是机器学习中常用的trick。

    S2=1n[(x12+x22+...+xn2)1n(x1+x2+...+xn)2]S^2=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)^2]
    树的节点中存储之前所有数据的和以及平法和,后加入的数据只需利用上述公式就可以更新平法差。

    直方图加速法

    实现传统树模型时,计算最佳分裂点时需要遍历所有属性的所有值来确定如何分裂信息增益最大,遍历的每次都需要重新分割,重新计算方差耗时很长。使用S2=1n[(x12+x22+...+xn2)1n(x1+x2+...+xn)2]S^2=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)^2]需要反复求分割的左右两部分平均值。

    使用变形公式
    S2=1n[(x12+x22+...+xn2)1n(x1+x2+...+xn)2]S^2=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)^2]遍历每个属性时提前按照样本的该属性值排序,计算好所样本label值和平法,直方图的形式存储,遍历该属性只需要切割直方图就可以左右部分的label和平法求和,带入变形公式,求分割两部分的方差只需计算加法,无需反复计算平均值。节点分裂速度可以提升好几倍。

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  • ​本章内容目录:1、什么是方差?2、什么是平均数?...”一般我们讲的平均数即算术平均数,计算起来很简单,就是将一组数据中所有数据求和后再除以这组数据的个数就能得到。简单来说,平均数就是把n个数的总...

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    ​本章内容目录:

    1、什么是方差?

    2、什么是平均数?

    3、方差和平均数的有关结论有哪些?

    一、什么是方差?什么是平均数?

    “方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。”

    一般我们讲的平均数即算术平均数,计算起来很简单,就是将一组数据中所有数据求和后再除以这组数据的个数就能得到。

    简单来说,平均数就是把n个数的总和除以n,所得的商叫做这n个数的算术平均数。

    (1)平均数的计算公式:

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    (2)方差的计算公式:

    统计学中常采用下面的做法:

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    温馨提示:我们在解答有关平均数和方差的题目时,需要先记住平均数和方差的大致计算公式。这样一来,才能够进行下一步的计算。

    二、有关方差和平均数的5个重要结论

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    三、解题技巧总结

    1、我们在使用这5个公式的时候,需要简单看一下这些公式的运算和推导过程,这样在具体做题的时候,才知道具体题目隐含的条件有哪些。

    2、在解题的时候,需要看清楚每一项的系数是多少,即弄清楚参数“m”、参数“a”的正负号和具体数值。这样才能一一对应起来,最终的答案才不会错。

    3、本文分享的5个公式一般用于选择题、填空题等小题当中。如果我们记住了这5个公式,那么在做小题的时候,就可以秒杀解题,速度很快,得分率也很高。

    四、具体题目解析

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    这道题目的话,就需要用到我们上面所分享的几个公式。

    根据公式,我们来解题。

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    对这种题目的解题技巧总结:

    对于这种选择题,在解题的时候,首先要想到是不是可以用公式来去秒杀。因为对选择题来说,不可能花费大量的时间去把具体的公式给推导出来。

    这种公式都是提前记在大脑之中的。

    所以说,如果你提前知道了具体的公式,那么在解题的时候,一眼看到题干的条件,就应该及时的把大脑中所记忆的公式给调取出来。

    这样的话,解题速度才能迅速提高啊!

    而且,可以留出很多时间去解答大题、压轴题!

    所以,学习高中数学的话,首先要尽可能多记忆数学公式和定理模板,记住了模板,就能够又快有准的把正确答案给写出来!

    奥利给,加油!

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  • 方差分析公式

    万次阅读 2014-11-08 15:58:50
    方差分析(analysis of variance,简写为ANOV或ANOVA)可用于两个或两个以上样本均数的比较。...常用的设计有完全随机设计和随机区设计的多个样本均数的比较。 、完全随机设计的多个样本均数的比较
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  • 方差np.var()

    千次阅读 2019-02-23 13:26:40
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一组数的方差公式