004 一维随机变量及分布函数

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集合表示法
一维离散型随机变量
一维连续型随机变量

集合表示法

一维离散型随机变量



一维连续型随机变量

一维随机变量函数的分布和一类不能用换元法解出的二维随机变量函数的分布

$$
(一维随机变量函数的分布)
例题：$已知X在(1,2)上服从均匀分布，求Y=e^{2X}$

$F_Y(y)=\int_{-\infty}^y f(y)dy\\
对于某个确定的y,则x确定,   \Large {反解出x}  ,x=\frac{lny}{2}\\
F_Y(y)=\int_{-\infty}^\frac{lny}{2} f(x)dx$
特殊的一类二维的连续型随机变量函数的分布
“相互独立条件”下的最大值，最小值分布
最大值：P(A且B小于1)

$P(AB)=P(A)*P(B)=F_A(1)F_B(1)$
最小值：P(A或B小于1)

$=1-P(A且B大于1)\\
         1-  [1-F_A(1)]*   [1-F_B(1)]$
最大值：Z=max{ X,Y }

$P(Z\leq z)=P(max\{ X,Y \}\leq z)=P(X\leq z,Y \leq z)=F_X(z)F_Y(z)$
最小值：Z=min{ X,Y }

$P(Z\leq z)=P(min\{ X,Y \}\leq z)=1-P(X> z,Y > z)= 1-  [1-F_X(z)] [1-F_Y(z)]$
$然后f_Z(z)=F'_Z(z)$

例:

$X,Y独  \sim E(1),求P\{ max(X,Y) \geq 1 \} \\
P\{ max(X,Y) \geq 1 \} =1-P\{ max(X,Y) \leq 1 \} =1-P\{ X\leq 1 ,Y \leq 1 \} \\
=1- (1-e^{-1})(1-e^{-1})=e^{-1}+e^{-1}-e^{-2}\\
或\\
P\{X >1 \cup   Y>1   \}=P\{X >1    \}+P\{   Y>1   \}-P\{X >1  \}P\{   Y>1   \}\\
=e^{-1}+e^{-1}-e^{-2}$

$E(1)分布函数1-e^{-x}(x>0)$

我正在寻找任何脚本(最好是Python)来计算三维数据序列的二维正态分布函数。如果一个不存在，我将感谢任何代码，或伪代码，有人可以提供。在
输入将是一个三元组的列表，如下所示[[x1, y1, z1], [x2, y2, z2], [x3, y3, z3],..., [xn, yn, zn]]
我需要的是最接近数据的二维正态分布的平均值和标准差/方差，以便能够对其进行操作，然后重新创建它。在
示例
为了简单起见，我将使用一维正规函数。如果我有以下二维数据点
^{pr2}$
我希望脚本能输出mean = 0.0
standard deviation = 1.0
variance = 1.0
这样，例如，如果我想将标准差从sd = 1.0更改为sd = 2.0，我可以修改曲线，重新创建它，对点-4...4进行采样，然后像这样将值重写为数据。在[
[-4, 0.027 ],
[-3, 0.0648],
[-2, 0.121 ],
[-1, 0.176 ],
[0 , 0.1995],
[1 , 0.176 ],
[2 , 0.121 ],
[3 , 0.0648],
[4 , 0.027 ]
]
现在我的问题是：我如何用一个三维点的列表来做，这些点紧密地代表一个二维正态分布？在
我更喜欢用Python来实现，或者调用shell脚本。然而，我并不反对使用类似MatLab或Maple的程序。在