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  • 概率论知识回顾(十) 重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数 二维连续随机变量的分布函数怎么表示? 分布函数有什么性质? 二维连续随机变量的边缘分布...

    概率论知识回顾(十)

    重点:二维连续随机变量分布函数和联合密度函数

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    知识回顾

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
    2. 分布函数有什么性质?
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
    5. 联合密度函数有什么性质?
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?

    知识解答

    1. 二维连续随机变量的分布函数怎么表示?
      • 对于二维连续随机变量 (X,Y)(X,Y) 来说,函数 F(x,y)F(x, y) 表示 F(x,y)=P{Xx,Yy}F(x, y) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y \le y\end{Bmatrix} 我们就称 F(x,y)F(x,y) 为 二维连续随机变量 (X,Y)(X, Y) 的分布函数。
    2. 分布函数有什么性质?
      • 对每个自变量单调不减
        • 对任意固定 x, 当 y1<y2y_1 < y_2, 有 F(x,y1)F(x,y2)F(x, y_1) \le F(x, y_2)
        • 对任意固定 y, 当 x1<x2x_1 < x_2, 有 F(x1,y)F(x2,y)F(x_1, y) \le F(x_2, y)
      • 对每个自变量右连续
        • 对任意固定 x, F(x,y0+0)=F(x,y0)F(x, y_0 + 0) = F(x, y_0)
        • 对任意固定 y, F(x0+0,y)=F(x0,y)F(x_0 + 0, y) = F(x_0, y)
      • {F(,)=0F(x,)=0xRF(,y)=0yRF(+,+)=1\begin{cases} F(-\infty, -\infty) = 0 \\ F(x, -\infty) = 0 &\forall x \in R \\ F(-\infty , y) = 0 & \forall y \in R \\ F(+\infty, +\infty) = 1\end{cases}
      • 对任意 x1<x2,y1<y2x_1 < x_2, y_1 < y_2 都有 : P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)0P\begin{Bmatrix} x_1<X\le x_2, y_1<Y \le y_2 \end{Bmatrix} = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) \ge 0
    3. 二维连续随机变量的边缘分布怎么表示?
      • 二维连续随机变量的边缘分布和离散随机变量的边缘分布类似,都是其组成的单个随机变量的分布律。
      • FX(x)=P{Xx,Y<+}=F(x,+)F_X(x) = P\begin{Bmatrix} X \le x, Y < + \infty \end{Bmatrix}=F(x, +\infty) 表示 二维连续随机变量 (X,Y)(X, Y) 关于 XX 的边缘分布律。从公式来看其实就是排除 Y 之后,只看 x 的分布。
      • 同理 FY=F(+,y)F_Y = F(+ \infty, y)
    4. 二维连续随机变量的联合密度函数是什么?
      • 如果对于随机变量 (X,Y)(X, Y) 的分布函数 F(x,y)F(x, y) 的任意取值都有一个非负可积的函数 f(x,y)f(x, y) 使得 F(x)=yxf(u,v)dudvF(x) = \int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^xf(u, v)dudv 。 就称 f(x,y)f(x, y) 为二维随机变量 (X,Y)(X, Y) 的联合密度函数。
    5. 联合密度函数有什么性质?
      • f(x,y)0f(x, y) \ge 0
      • ++f(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dxdy = 1
      • 如果 f(x,y)f(x, y)(x,y)(x, y) 处连续,则有 2F(x,y)xy=f(x,y)\frac{\partial^2F(x, y)}{\partial x \partial y} = f(x, y)
      • 对于任何平面区域 GG, 都有 P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdyP\begin{Bmatrix}(X, Y) \in G\end{Bmatrix} = \iint_Gf(x, y)dxdy
    6. 二维均匀分布的联合密度函数怎么表示?
      • SG=AS_G = A ,若密度函数 f(x,y)={1A,(x,y)G0,elsef(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{A}, & (x, y) \in G \\ 0, & else \end{cases} 则称为均匀分布。
    7. 二维正态分布的联合密度函数怎么表示?
      • f(x,y)=12πσ1σ21ρ2e12(1ρ2)[(xμ1)2σ122ρ(xμ1)(yμ2)σ1σ2+(yμ2)2σ22]f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho \frac{(x-\mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}
      • 其中: σ1>0,σ2>0,ρ<1\sigma_1 > 0, \sigma_2 > 0, |\rho| < 1
      • 记作 (X,Y)N(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)(X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho)
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  • 怎么证明一个一维函数连续

    千次阅读 2018-09-03 19:32:32
    若想证明一个一维函数 f(x)f(x)f(x) 在 x=ax=ax=a 处连续,必须满足下列三个条件: (1) f(x)f(x)f(x) 在 x=ax=ax=a 处有值. (2) limx→alimx→a\lim\limits_{x\rightarrow a} 存在. (3) limx→a=f(a)limx→...

    若想证明一个一维函数 f(x)f(x)x=ax=a 处连续,必须满足下列三个条件:
    (1) f(x)f(x)x=ax=a 处有值.
    (2) limxa\lim\limits_{x\rightarrow a} 存在.
    (3) limxa=f(a)\lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a).

    第二个条件与第三个条件可以合并。

    另外还有一个等价条件:
              f(x)f(x)x=ax=a 处连续,当且仅当对于任意正实数 ϵ>0\epsilon>0,总存在 x[aδ,a+δ]x\in[a-\delta, a+\delta],使得
    f(x)f(a)<ϵ|f(x)-f(a)|<\epsilon

    证明过程中,用到这一个的比较多。

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  • 二维高斯正态分布函数(转)

    万次阅读 2012-11-29 17:14:24
    二维高斯正态分布函数(原创) 二维高斯正态分布函数在很多地方都用的到,比如说在滤波中,自己编了个,但感觉IDL中应该有现成的函数??(我没找到)。如有,请高手指点。 ;--------------------------...
    展开全文
  • 二维联合分布的密度函数计算

    万次阅读 2016-11-01 20:02:03
    二维联合分布的密度函数计算@(概率论)已知随机向量(X1,X2)(X_1,X_2)的概率密度为f(x1,x2)f(x_1,x_2),设Y1=2X1,Y2=13x2Y_1 = 2X_1,Y_2 = {1\over 3}x_2,则随机向量(Y1,Y2)(Y_1,Y_2)的概率密度f(y1,y2)=?f(y_1,y_2) = ...

    二维联合分布的密度函数计算

    @(概率论)

    已知随机向量(X1,X2)的概率密度为f(x1,x2),设Y1=2X1,Y2=13x2,则随机向量(Y1,Y2)的概率密度f(y1,y2)=?

    分析:与在一维的情况相同,也需要从概率分布入手。即:

    F2(y1,y2)=P(Y1y1,Y2y2)=P(X112y1,X23y2)=F1(12y1,3y2)

    由此出发,再求密度函数。

    f2(y1,y2)=δ2F2(y1,y2)δy1δy2=δ2F1(12y1,3y2)δy1δy2=32f1(12y1,3y2)

    仔细思考这种计算的方法,可加深对二维联合 分布的理解。

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    千次阅读 2019-08-11 20:14:32
    对于n维度空间中的点,若是n随机变量,也就说记录的每个字段都是随机变量,然后组成个由随机变量组成的向量,称为随机向量 ,它的分布函数定义为 , 若 非负可积函数实值函数使得 那么称为随机向量,概率密度...
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空空如也

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一维分布函数和二维分布函数