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  • 维数组、行向量、列向量的区别

    千次阅读 2018-08-23 22:50:48
    注意三者的区别,在构建神经网络时候可以避免...C = np.random.randn(5) #产生随机的维数组 print(C) ''' out: [ -5.65042297e-01 -5.48341047e-01 4.15160628e-04 -3.24193205e-02 -3.01925976e-01] ''' D = np....
    注意三者的区别,在构建神经网络时候可以避免错误
    import numpy as np
    C = np.random.randn(5)  #产生随机的一维数组
    print(C)
    '''
    out:
    [ -5.65042297e-01  -5.48341047e-01   4.15160628e-04  -3.24193205e-02
      -3.01925976e-01]
    '''
    D = np.random.randn(5,1) #产生的5行1列的列向量
    print(D)
    '''
    output:
    [[ 0.30360266]
     [ 0.03575066]
     [-0.7923111 ]
     [ 0.25596523]
     [-0.46919003]]
    '''
    G = np.random.randn(1,5) #产生的1行5列的行向量
    print(G)
    '''
    output:
    [[ 2.93917097  1.19041539 -0.65461783  0.3956      1.47609237]]
    '''
    
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  • 于是数学家发明了矩阵,把方程组中所有系数写到了个框里面,把所有未知数写到第二个框里,把所有等式右边的写到第三个框里。 比如方程组(1)也可表示为: 观察(2)式不难发现,复杂的方程组用矩阵表示后,...

    一、线性代数的入门知识

    (一)矩阵

    1、矩阵的表示

    在中学的时候,我们会经常看到这样子的方程组:

    看到这样子的方程组,不由感到十分怀念。不过有没有这种感想,当年解三元一次方程组的时候,特别烦,消元后要抄一遍,代入后又抄一遍,特别麻烦。

    于是数学家发明了矩阵,把方程组中所有系数写到了一个框里面,把所有未知数写到第二个框里,把所有等式右边的值写到第三个框里。

    比如方程组 (1) 也可表示为:

    观察 (2) 式不难发现,复杂的方程组用矩阵表示后,还是很复杂,所以可以把 (2) 式更加简洁地表示成增广矩阵

    同理,比如方程组 (1) 也可表示为增广矩阵:

    特别地,当方程组的等式右边全为0,即bi=0,其中i=1,2,3…n时,方程组为齐次线性方程组,增广矩阵可直接表示成系数矩阵。比如增广矩阵 (3) 可直接表示成:

    我们称,方程组的等式右边全为0的方程组为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组

     

    2、矩阵的解方程组

    (1)齐次线性方程组

    来回顾一下这个方程组:

    等式右边全为0,所以把这个方程组写成矩阵形式:

    要解这个方程组,当然使用消元法,不同于中学的是直接在矩阵里面消元:

    看到消元后的新矩阵是不是觉得很直观,如果你你把新矩阵还原成方程组的形式,有:

    仔细观察可发现,原本有两个式子的方程组经过消元后,变成了只有一个方程组。这种情况在中学时,无论做多少题都不会遇到的,

    因为在中学里,学的初等数学方程组都是有唯一解的。而在线性代数中,我们把这种情况成为方程组系数矩阵的秩为1,记为r(A)=1

    当矩阵的秩小于未知数的个数时,方程组有无数个解;当矩阵的秩等于未知数的个数时,方程组只有零解。

    由于方程组(1)有两个未知数,而r(A)=1<2,所以方程组(1)有无数个解。设 y=2 ,则 x=1;再设 k 为任意常数,则 x=k, y=2k 为方程组(1)的解,写成矩阵的形式为:
     

     

    (2)非齐次线性方程组

    再来看一个3个未知数的方程组:

    右边等式不为0,改写成增广矩阵:

    同理,对 [ A | b] 进行初等行变换(即消元):

    这一次进行初等行变换后,对于任意的非齐次线性方程组,当 r(A)=r(A|b)=未知数的个数 时非齐次线性方程组有唯一解

    r(A)=r(A|b)<未知数的个数 时,非齐次线性方程组有无数个解当 r(A) 不等于 r(A|b) 时,非齐次线性方程组无解

    可见 r(A)=r(A|b)=3,所以[A|b]有唯一解,写回方程组形式:
     

     

    (二)向量

    (1)列向量

    可能是数学家觉得用矩阵来代表方程组还是太麻烦还废纸,所以又苦思冥想,最终想到了用向量再来继续简化矩阵,举个例子:

    (2)行向量

    有列向量,自然有行向量。同理,我们对矩阵A按行分块,并对每行元素用向量表示。

    显然,用向量组便可轻松对矩阵瘦身。

     

    3、线性相关与线性无关

    (1)线性相关

    假设有这么一个矩阵

    我们对其按行分块,则有向量:

    如果用行向量 α1, α2, α3, … , αn 来表示的矩阵A经过初等行变换后,某行(即某个向量αi)的元素全变为0,

    那么则称 α1, α2, α3, … , αn 向量组线性相关(可以理解为多个向量间或系数矩阵有线性关系)。

    如果齐次线性方程组的系数矩阵有线性关系,那么齐次线性方程组有无穷多个解。了看清楚 α1, α2, α3, … , αn 是否线性相关,对矩阵A进行初等行变换后,发现:
     

    所以, α1, α2, α3, … , αn 向量组线性相关

    (2)线性无关

    假设有这么一个矩阵

    我们对其按行分块,则有向量:

    如果用行向量 α1, α2, α3, … , αn 来表示的矩阵A经过初等行变换后,某行(即某个向量αi)的元素不全为0,那么则称 α1, α2, α3, … , αn 向量组线性无关。

    为了看清楚 α1, α2, α3, … , αn 是否线性无关,对矩阵A进行初等行变换后,发现:
     

    所以, α1, α2, α3, … , αn 向量组线性无关。

     

    4、向量空间


    向量空间是线性代数中抽象的一部分,常用于物理研究中探索多维空间的奥秘(有没有用于物理中不太清楚,感觉的)。

    在笛卡尔直角坐标体系中,向量(1,0), (0,1)分别代表了横坐标轴、纵坐标轴,对这两个向量线性组合的整体就可以表示出一个平面,即2维向量空间;

    向量(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)分别代表了x坐标轴、y坐标轴、z坐标轴,对这三个向量线性组合表示出的整体可表示出一个3维向量空间;以此类推。

    有规律的是,n 维向量空间中的 n个坐标轴向量是互相垂直的(就算是4维空间的4个坐标轴也是垂直的,只不过我们处于三维中,难以感知到四维空间,只能想象)。

    我们称向量间的垂直为正交。数学家对向量空间更是大开脑洞,认为不一定是笛卡尔体系的(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)才能是坐标轴,

    只要是线性无关的向量组中的n个向量都可以当做是n维向量空间中的坐标轴,相当于将笛卡尔坐标体系的原点固定住,

    将所有坐标轴就像陀螺一样旋转某个角度,得出的新坐标轴肯定是线性无关的。

    n个向量组成的线性无关向量组,在n维向量空间中,可充当坐标轴” 这就是线性代数的向量空间的核心思想。
     

     

    (三)行列式

    行列式作为国内各个教材书中的第一个章节的内容,证明了其在线性代数中的重要性。但是如果从教材中的行列式入手学习线性代数,

    那是要吃不少苦头的,因为只学了行列式,没有具备矩阵和向量的知识的情况下,很容易一脸懵逼。

    由于行列式涉及的概念、性质、计算众多,所以本文只简单介绍一下行列式。

    行列式的本质是什么?柯西给出了答案。假设在一个平面中有两个向量:x1=(a, c), x2=(b, d);

    x1与横坐标的角度为α,x2与横坐标的角度为β;

    x1的模为 ||x1||,x2的模为 ||x2||;  如图:

    行列式的本质(图片来自网络)

    我们要求图中的 S,即向量平移后端点相交而围成的平行四边形的面积:

    S = ||x1|| · ||x2|| · sin(β-α)

       = ||x1|| · ||x2|| · (sinβcosα - cosβsinα)

       = ad - bc

    对 x1 和 x2 向量类似行向量那样子对元素命名:

    x1=(a11, a12)

    x2=(a21, a22)

    重新得到 S = a11 · a22 - a12 · a21,

    数学家对向量 x1 和 x2 写成行列式,代表了 S 的值:
     

    行列式不过就是将矩阵的括号改成了两条竖线,用竖线包着的元素,最终可以算出一个数,这个数就是行列式,行列式就是一个数,

    这个数是不同行不同列元素乘积的代数和。而矩阵本质为表格或数组,这是两者不同之处。

    如果继续推,可以推出:在二维空间,行列式是面积;在三维空间,行列式是体积;在高维空间,行列式是一个数。

    换句话说,就是由n个向量组成的线性无关向量组,可以表示成行列式,并且算出的结果肯定不为0。

    以次可推,由n个向量组成的线性相关向量组表示成的行列式值为0。
     

    (四)特征值与特征向量

    特征值与特征向量在线性代数中是最难理解的内容,尤其在阅读国内教程时,直接一个定义拍到脸上,让人措手不及。

    特征值与特征向量是线性代数的核心,在机器学习算法中应用十分广泛。

    1、定义

    首先,讲到特征值与特征向量,必先讲到定义:设 A 是 n 阶矩阵,如果存在一个数 λ 及非零的 n 维列向量 α ,使得

    成立,则称 λ 是矩阵 A 的一个特征值,称非零向量 α 是矩阵 A 属于特征值 λ 的一个特征向量。

    观察这个定义可以发现,特征值是一个数,特征向量是一个列向量,一个矩阵乘以一个向量就等于一个数乘以一个向量。这个定义感觉太抽象了,我们来举一个具体的例子:

    设 A 是 3 阶矩阵,

    存在一个数 λ=4

    且存在一个非零的 3 维列向量 α ,

    使得 Aα = λα,即

    则称 λ=4 为矩阵A的特征值,(为了方便,简称 4 为特征值);也称 α=[ -4, 5, 17 ]T 是矩阵A属于特征值为 4 的一个特征向量。

    (为了方便,简称 [ -4, 5, 17 ]T 为特征向量)

    对于上面的(4)式,我们可以把它还原为方程组验证此式是否成立,还原过程如下:
     

    显然,每个等式两边相等, Aα = λα 成立!(如果不知道为什么可以还原成方程组的话,请翻回到上面的非齐次方程组部分,可发现在这里 α 相当于解向量, λα 相当于 b 向量)

     

    2、特征值与特征向量的个数
    如果是自学线性代数的话,很容易有这么一个误区:认为一个矩阵的特征值与特征向量只有一个。

    其实,一个矩阵的特征值可以有多个,相应地,特征向量的个数也随着特征值的数量的变化而变化。

    总的来说,一个n行n列的矩阵的特征值个数少于或等于 n 个。还是以矩阵A为例,满足 Aα = λα 的式子有:
     

    另外,一个特征值对应的特征向量的个数也不一定只有一个。 (由于这句话会引申出特别多的性质,所以本文就不举这句话的例子了)

     

    3、给定一个矩阵,求特征值与特征向量的方式

    求特征值与特征向量为这么一个过程:设A为n阶矩阵,a为非零列向量,λ是一个数,

    4、特征值与特征向量该怎么理解

    仔细看本文的童鞋就会发现,一个矩阵并非只是单纯的一张表格、数组,它还代表了某种神奇的魔力,

    与某个向量相乘后,还能变成一个数。换句话说,保存着很多个数的矩阵经过与特定的向量相乘后,塌缩成了一个数。

    对于特征值与特征向量,有许多不同的理解,我自己从网络上的观点总结了一下,大概分为三种理解:

    第一种理解:从向量的角度来看,一个列向量在左乘一个矩阵后,会经过一系列的线性变换,最终向量的长度会变成原来的 λ 倍。

    第二种理解:从矩阵的角度来看,矩阵是一种线性变化的描述,特征向量是一个不变的方向,特征值是线性变化的结果。

    第三种理解:从向量空间的角度来看,因为不同特征值对应的特征向量线性无关,把每个特征向量看做是一个坐标轴,

    特征值是对应坐标轴(即特征向量)的坐标值。简单来说,就是用特征值(坐标)与特征向量(坐标轴)来表示原矩阵。

    以上三种理解由浅入深,第三种理解才是本质的理解,但首先需要对向量空间有深刻的理解。
     

     

     

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  • 平时在学习使用numpy库时,会遇到种情况,假如说我想计算个列向量乘以个行向量的结果,我们的思路大概是这样: 首先创建个数组,里面包含3个数字,查看一下数据和数据的形状: 个列向量乘以个行向量,...

    平时在学习使用numpy库时,会遇到一种情况,假如说我想计算一个列向量乘以一个行向量的结果,我们的思路大概是这样:
    首先创建一个数组,里面包含3个数字,查看一下数据和数据的形状:
    在这里插入图片描述
    一个列向量乘以一个行向量,常规思路是np.dot(a.T,a),就是a和它的转置相乘,先看一下a.T长啥样:
    在这里插入图片描述
    这里发现a和a.T形状竟然一样,都是(3,)
    看一下计算结果:
    在这里插入图片描述
    本来以为是一个3*3的矩阵,结果是一个数。
    原因就出现在a.T的形状,这里需要注意,不要把numpy的数组错理解为向量。
    要实现我们想要的效果,我们只需要做一点小小的改动:将第一行代码修改为a = np.random.randn(1,3)
    看一下结果:
    在这里插入图片描述

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  • 摘要:此文介绍了种使用MATLAB求解维定态薛定谔方程的方法。利用充分格式进行离散化,得出相应的矩阵方程,用MATLAB求解本征和本征函数。此方法简单可靠,可以处理各种时间无关的束缚态问题。所用的程序附于文...

    6169a07ddf55503269cb0ebf58f40566.png

    摘要:此文介绍了一种使用MATLAB求解一维定态薛定谔方程的方法。利用充分格式进行离散化,得出相应的矩阵方程,用MATLAB求解本征值和本征函数。此方法简单可靠,可以处理各种时间无关的束缚态问题。所用的程序附于文后。


    宏观物体遵循的是牛顿运动方程,给定初始条件以及受力条件,我们就可以求出任意时刻粒子的状态。而在原子尺度上,所有粒子都表现出波的行为,粒子的状态用波函数

    来描述,描述微观粒子运动的方程是由薛定谔于1925年提出薛定谔方程。微观粒子的运动与其所处的势场相关,当势场不随时间变化时,称为定态,一维情况下的定态薛定谔方程为

    其中,

    表示粒子所处的势场。由定态波函数可以得出总波函数

    1926年, Born提出,波函数模的平方

    代表在位置
    ,时刻
    寻找到电子的概率,这就是波函数的条统计解释。可以由遵循微分方程的波函数表示,薛定谔波方程涉及空间坐标和时间。对于一维情况,在时刻
    时,在
    之间的某处找到电子的概率由下式给出

    时间无关薛定谔方程(1)是系统的能量本征方程。该特征值方程通常由一组特定的函数

    和相应的一组常数
    满足解的条件,被称为是哈密顿算符的本征函数和相应的本征值。当测量处于
    状态的系统的能量时,结果将始终为
    。对于束缚态情况,必须有

    一维定态薛定谔方程是二阶微分方程,但是,能够解析求解的情况屈指可数,如氢原子,谐振子,无限深势阱等。随着计算机技术的发展,我们可以数值上进行求解。本文利用MATLAB软件,使用矩阵方法求解束缚态的本征值问题。

    对于原子系统,以nm和eV的能量测量长度更方便。我们可以使用缩放因子

    因此我们可以将等式(1)写成

    为了求解上述方程式,首先进行离散化处理。将坐标

    离散化为
    个点,用
    来表示,若
    ,则有
    另外,还需要对方程式进行差分格式处理,二阶导数处理如下

    因此,

    的二阶导数矩阵可以写成
    矩阵

    矩阵大小为
    而不是
    ,因为函数的二阶导数无法在终点进行计算,即
    。动能矩阵为
    ,势能矩阵为对角矩阵,即
    。则我们现在可以将哈密顿矩阵定义为
    。用于生成哈密顿矩阵的代码是
    % Make Second Derivative Matrix ---------------
    

    因此,矩阵形式的薛定谔方程是

    。MATLAB有内置函数可以求解本征值问题,其代码为
    [e_funct, e_values] = eig(H)

    其中e_funct是具有对应于第n个本征函数的第n列的

    矩阵,并且e_values是按递增顺序的N个本征值的列向量。一般可以求解出N-2个本征值和本征函数,但只有e_values的负值才有意义。为了获得完整的特征向量,我们需要包括端点,其中

    接下来举一个例子,计算有限深方势阱问题。如图所示是求解得到的有限深方势阱的本征能量谱。

    76354ae6c8ef269bfa3990d27cade383.png
    有限深方势阱的本征能量谱

    同时还可以求出本征函数以及几率分布,如图所示,

    7d7a90634d54923a9cc247435c49d90d.png
    本征波函数以及几率分布

    我们还可以改变势函数去计算各种各样的定态束缚态问题,也可以去计算已知解的问题,以验证此方法的可靠性。


    程序:

    clear;
    clc;
    tic;
    num = 2001;  % Number of data points (odd number)
    % Constants -----------------
    hbar = 1.055e-34;
    e = 1.602e-19;
    m = 9.109e-31;
    eps0 = 8.854e-12;
    Ese = 1.6e-19;  % Energy scaling factor
    Lse = 1e-9;     % Length scaling factor
    Cse = -hbar^2/(2*m) / (Lse^2*Ese);   % Schrodinger Eq constant
    % Potential well parameters
    U = zeros(num,1);
    U_matrix = zeros(num-2);
    % Potential Wells square well
    % Enter energies in eV and distances in nm
    xMin = -0.1;
    xMax = +0.1;
    x1 = 0.05;  % 1/2 well width
    U1 = -400;  % Depth of well (eV)
    x = linspace(xMin,xMax, num);
    for cn = 1 : num
        if abs(x(cn)) <= x1
            U(cn) = U1;
        end
    end
    s = sprintf('Potential Well: SQUARE');
    % Graphics -----------------------
    figure(1);
    set(gcf,'Name','Potential Energy','NumberTitle','off')
    plot(x,U,'LineWidth',3);
    axis([xMin-eps xMax min(U)-50 max(U)+50]);
    
    title(s);
    xlabel('x   (nm)');
    ylabel('energy   (eV)');
    grid on
    
    % Make potential energy matrix
    dx = (x(2)-x(1));
    dx2 = dx^2;
    for cn =1:(num-2)
        U_matrix(cn,cn) = U(cn+1);
    end
    % Make Second Derivative Matrix
    off = ones(num-3,1);
    SD_matrix = (-2*eye(num-2) + diag(off,1) + diag(off,-1))/dx2;
    % Make KE Matrix
    K_matrix = Cse * SD_matrix;            
    % Make Hamiltonian Matrix
    H_matrix = K_matrix + U_matrix;
    % Find Eignevalues E_n and Eigenfunctions psi_N
    [e_funct, e_values] = eig(H_matrix);
    % All Eigenvalues 1, 2 , ... n  where E_N < 0
    flag = 0;
    n = 1;
    while flag == 0
        E(n) = e_values(n,n);
        if E(n) > 0
            flag = 1;
        end % if
        n = n + 1;
    end  % while
    E(n-1) = [];
    n = n-2;
    % Corresponding Eigenfunctions 1, 2, ... ,n: Normalizing the wavefunction
    for cn = 1 : n
        psi(:,cn) = [0; e_funct(:,cn); 0]; 
        area = simpson1d((psi(:,cn) .* psi(:,cn))',xMin,xMax);
        psi(:,cn) = psi(:,cn)/sqrt(area);       % normalize
        prob(:,cn) = psi(:,cn) .* psi(:,cn);
        if psi(5,cn) < 0
            psi(:,cn) = -psi(:,cn); 
        end  % curve starts positive
    end % for
    % Display eigenvalues in Command Window
    disp('   ');
    disp('=========================  ');
    disp('  ');
    fprintf('No. bound states found =  %0.0g   n',n);
    disp('   ');
    disp('Quantum State / Eigenvalues  En  (eV)');
    for cn = 1 : n
        fprintf('  %0.0f   ',cn);
        fprintf('   %0.5g   n',E(cn));
    end
    disp('   ')
    disp('   ');
    
    % Plot energy spectrum
    xs(1) = xMin;
    xs(2) = xMax;
    figure(2);
    set(gcf,'Units','Normalized');
    set(gcf,'Position',[0.5 0.1 0.4 0.6]);
    set(gcf,'Name','Energy Spectrum','NumberTitle','off')
    set(gcf,'color',[1 1 1]);
    set(gca,'fontSize',12);
    plot(x,U,'b','LineWidth',2);
    xlabel('position x (nm)','FontSize',12);
    ylabel('energy U, E_n (eV)','FontSize',12);
    h_title = title(s);
    set(h_title,'FontSize',12);
    hold on
    cnmax = length(E);
    for cn = 1 : cnmax
      ys(1) = E(cn);
      ys(2) = ys(1);
      plot(xs,ys,'r','LineWidth',2);
    end %for   
    axis([xMin-eps xMax min(U)-50 max(U)+50]);
    
    % Plots first 5 wavefunctions & probability density functions
    if n < 6
        nMax = n;
    else
        nMax = 5;
    end
    figure(3)
    clf
    set(gcf,'Units','Normalized');
    set(gcf,'Position',[0.05 0.1 0.4 0.6]);
    set(gcf,'NumberTitle','off');
    set(gcf,'Name','Eigenvectors & Prob. densities');
    set(gcf,'Color',[1 1 1]);
    %nMax = 8;
    for cn = 1:nMax
        subplot(nMax,2,2*cn-1);
        y1 = psi(:,cn) ./ (max(psi(:,cn)-min(psi(:,cn))));
        y2 = 1 + 2 * U ./ (max(U) - min(U));
        plot(x,y1,'lineWidth',2)
        hold on
        plot(x,y2,'r','lineWidth',1)
        %plotyy(x,psi(:,cn),x,U);
        axis off
        %title('psi cn);
        title_m = ['psi   n = ', num2str(cn)] ;
        title(title_m,'Fontsize',10);
        subplot(nMax,2,2*cn);
        y1 = prob(:,cn) ./ max(prob(:,cn));
        y2 = 1 + 2 * U ./ (max(U) - min(U));
        plot(x,y1,'lineWidth',2)
        hold on
        plot(x,y2,'r','lineWidth',1)
        title_m = ['psi^2   n = ', num2str(cn)] ;
        title(title_m,'Fontsize',10);
        axis off
    end
    toc

    m文件simpson1d.m

    function integral = simpson1d(f,a,b)
    % [1D] integration - Simpson's 1/3 rule
    % f function  a = lower bound  b = upper bound
    % Must have odd number of data points
    % Simpson's coefficients   1 4 2 4 ... 2 4 1
    numS = length(f);  % number of data points
    if mod(numS,2) == 1
        sc = 2*ones(numS,1);
        sc(2:2:numS-1) = 4;
        sc(1) = 1; 
        sc(numS) = 1;
        h = (b-a)/(numS-1);
        integral = (h/3) * f * sc;
    else 
        integral = 'Length of function must be an ODD number' 
    end

    参考资料:

    http://www.physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/mphome.htm

    展开全文
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一维列向量的值