精华内容
下载资源
问答
  • 2018-03-22 20:29:17

    第三章 多维随机变量及其分布

    二维随机变量

    二维随机变量定义

    定义

    设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e}。设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的两个随机变量,它们构成的向量(x,y)称为二维随机变量。

    二维随机变量的分布函数定义

    设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,定义二元函数
    F(x,y)=P[{X≤x}∩{Y≤y}]=P{X≤x,Y≤y}
    F(x,y)称为二维随机变量(x,y)的分布函数

    P{x1

    二维随机变量的分布函数性质

    1. F(x,y)是变量x和y的不减函数,即
    x1≤x2=>F(x1,y)≤F(x2,y)
    y1≤y2=>F(x,y1)≤F(x,y2)
    x1≤x2,y1≤y2=>F(x1,y1)≤F(x2,y2)
    F(x,y)朝东北方向上升
    F(x,y)朝西南方向下降
    因为(x2,y2)左下方的区域较大,随机点落入该区域的概率较大。
    2. 0≤F(x,y)≤1 因为概率在这个范围
    F(- ,y)= limxF(x,y)=0 水平朝左走趋于0
    F(x,- )= limyF(x,y)=0 水平朝下走趋于0
    F(- ,- )= limx,yF(x,y)=0 水平朝左下走趋于0
    F(+ ,-+ )= limx+,y+F(x,y)=1 水平朝左上走趋于1
    3. F(x,y)关于x和y都是右连续
    F(x+0,y)= limδx+0F(x+δx,y)=F(x,y)
    F(x,y+0)= limδy+0+=F(x,y+δy)=F(x,y)
    4.若x1

    离散型二维随机变量的分布律

    定义

    如果二维随机变量(X,Y)所有可能的取值是有限对或者可列无限多对,则称(X,Y)是离散型二维随机变量。
    设(X,Y)所有可能的取值为(xi,yi),且已知P{X=xi,Y=yi}=pij(i,j=1,2…),则称pij(i,j=1,2…)为二维随机变量(X,Y)的分布律

    PX=xi,Y=yj=pij(i,j=1,2...)

    可以用表格或者矩阵表示

    x\yy1 y2 y3 …
    x1p11 p12 p13 …
    x2p21 p22 p23 …
    x3p31 p32 p33 …
    .. . . …

    非负性 pij0
    规范性 j=1i=1pij=1
    分布函数
    F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}= xixyjypij

    连续型二维随机变量

    定义

    如果存在非负可积二元函数f(x,y),使得对应任意实数x,y有
    F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} yxf(u,v)dudv
    则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,
    函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度

    性质

    1.非负性:F(x,y)≥0
    2.规范性: ++f(x,y)dxdy=1
    3.设G是xOy坐标面上的一个区域,则点(X,Y)落入G内的概率
    P{(X,Y)∈G}\int_\int_{G}f(x,y)dxdy等于曲顶柱体的体积V
    4.若f(x,y)在点(x,y)处连续,则在(x,y)处分布律偏导等于概率密度
    2Fxy=f(x,y)

    边缘分布

    定义

    分布函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},而X和Y作为两个随机变量,各自有自己的分布函数,分别记为FX(x)和FY(y):
    FX(x)=P{X≤x}
    FY(y)=P{Y≤y}
    FX(x)和FY(y)分别称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数

    FX(x)=P{X≤x,Y<+ }=F(x,+ )
    FY(y)=P{X<+ ,Y≤y}=F(+ ,y)

    离散型二维随机变量的边缘分布

    设离散型二维随机变量(X,Y)的概率分布律为

    pij=PX=xi,Y=yj(i,j=1,2...)

    则(X,Y)关于X和Y的边缘分布律分别是:
    PX=xi=PX=xi,Y=y1+PX=xi,Y=y2+...=j=1PX=xi,Y=yj=j=1Pij=pi·(y)
    PY=yj=PX=x1,Y=yj+PX=x2,Y=yj+...=i=1PX=xi,Y=yj=i=1Pij=p·j(x)

    x\yy1 y2 y3 …
    x1p11 p12 p13 …
    x2p21 p22 p23 …
    x3p31 p32 p33 …
    .. . . …
    +P·1 P·2 P·3

    它们在概率分布表边缘,所以叫边缘分布
    \sum_{j=1}^{\intfy}\sum_j=1}^{\infty}p_{ij}=1

    连续型二维随机变量边缘分布函数

    X的边缘分布函数:
    FX(x) =P{X≤x,Y<+ }=F(x,+ )
    = x[+f(u,y)dy]du
    X是连续型随机变量
    求导得其概率密度 fX(x)=/int+f(x,y)dy
    Y的边缘分布函数:
    FY(y) =P{X<+ ,Y≤y}=F(+ ,y)
    = y[+f(x,y)dx]du
    Y是连续型随机变量
    求导得其概率密度 fY(y)=/int+f(x,y)dx

    条件分布

    离散型随机变量的条件分布

    定义

    设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若 P·j =P{Y= yj }>0
    则称
    P{X= xi |Y= yj }= {P{X= xi ,Y= yj }} \over {P{Y= yj }}= { pij } \over {P{·j}}
    为在条件Y= yj 下,随机变量X的条件分布律
    反之同理。。。

    例子

    设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为

    x\y0 1 2
    00.840 0.060 0.010
    10.030 0.010 0.005
    20.020 0.008 0.004
    30.010 0.002 0.001

    1.求边缘分布律
    2.求在X=1的条件下,Y的条件分布律
    3.求在Y=0的条件下,X的条件分布律

    1.

    x\y0 1 2 pi· =P{X= xi }
    00.840 0.060 0.010 0.091
    10.030 0.010 0.005 0.045
    20.020 0.008 0.004 0.032
    30.010 0.002 0.001 0.013
    p·j =P{Y= yj }0.900 0.080 0.020 1

    2.

    Y=j0 1 2
    P{X=1Y=j}

    3.

    X=i0 1 2 3
    P{X=iY=o}

    连续型随机变量的条件分布

    定义

    设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为 fY (y)。若对于固定的y, fY (y)>0,则称f(x,y)/ fY (y)为在条件Y=y下,X的条件概率密度,记为
    fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)
    xfXY(x|y)dx 为条件Y=y下,X的条件分布函数,记为
    FXY(x|y) =P{X≤x|Y=y}= xfXY(x|y)dx = 1fY(y)xf(x,y)dx
    反之
    Y的条件概率密度
    fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x)
    yfYX(y|x)dy 为条件X=z下,Y的条件分布函数,记为
    FYX(y|x) =P{Y≤y|X=x}= yfYX(y|x)dy = 1fX(x)xf(x,y)dx

    例子

    相互独立的随机变量

    将两个事件的独立性推广到随机变量
    两个事件A,B互相独立p(AB)=P(A)P(B)

    设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为
    Pij =P{X= xi ,Y= yj }
    则(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别是
    Pi· =P{X= xi }= j=1Pij
    p·j =P{Y= yj }=\sum_{i=1}^{\infty}P_{ij}

    离散型独立性

    定义

    设(X,Y)是二维离散型随机变量若
    P{X= xi ,Y= yj }=P{X= xi }P{Y= yj }

    Pij = Pi·p·j
    则称随机变量X和Y相互独立

    例子

    随机变量X和Y具有联合分布律

    x\y1 2
    01/6 1/6
    12/6 2/6

    X和Y是否相互独立?
    先求边缘分布律

    x\y1 2 Pi·
    01/6 1/6 1/3
    12/6 2/6 2/3
    P·j 1/2 1/2

    对于所有i,j均有 Pij = Pi·p·j

    连续型对立性

    定义

    设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的联合分布函数, FX(x) FY(y) 分别是(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。
    若对于任意实数x和y,有
    P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}
    即 F(x,y)= FX(x) FY(y)
    则称随机变量X和Y相互独立。
    联合分布函数等于边缘分布之积

    即X和Y相互独立当且仅当它们的联合分布函数等于关于它们的边缘分布函数的乘积。这时,
    可以证明:对应连续型二维随机变量(X,Y)X和相互独立当且仅当
    f(x,y)= FX(x) FY(y)
    在平面上几乎处处成立,这时,联合概率密度可由边缘概率密度唯一确定。

    在条件Y=y下,X的条件概率密度
    fXY(x|y) = f(x,y)fY(y) = FX(x)FY(y)fY(y) = fX(x)
    同理,在条件X=x下,Y的条件概率密度
    f_{YX}(y|y)={f(x,y)} \over {f_X(x)}={$F_X(x)$$F_Y(y)$} \over {f_X(x)} =f_Y(y)
    条件概率密度=边缘密度

    例子

    设二维随机变量(X,Y)的联合密度为

    f(x,y)={(1+xy)/4,|x|<1,|y|<10,

    问:X与Y是否相互独立

    用以下等式验证独立性:
    f(x,y)=fX(x)fY(y)
    需求边缘概率密度
    求x的边缘概率密度
    当|x|>1时,f(x,y)=0
    fX(x) =0
    当|x|≤1时,x在-1到1之间
    fX(x) = 111+xy4dy = 14(11dy+11xydy) = 14 (1-(-1) + 12 - 12) = 12
    yxdy = y22

    fX(x) =1/2 |x|≤1
    类似得y的边缘概率密度
    fY(y) =1/2 |x|≤1
    当 |x|<1,|y|<1时
    f(x,y)=fX(x)fY(y)=1/2 × 1/2 = 1/4≠ 。(1+xy)/4
    所以不相互独立

    二维正态分布

    两个随机变量的函数的分布

    更多相关内容
  • 二维随机变量

    千次阅读 2021-04-04 12:09:56
    由他们构成的个向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量 二维随机变量的分布函数的定义及性质 定义 设(X,Y)(X,Y)(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,yx,yx,y,二元函数: ${F(x,y)=P{(X \le x) \cap...

    什么是二维随机变量?

    E E E是一个随机试验,它的样本空间是 S = { e } S=\{e\} S={e},设 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e) Y = Y ( e ) Y=Y(e) Y=Y(e)是定义在 S S S上的随机变量

    由他们构成的一个向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)叫做二维随机向量二维随机变量

    二维随机变量的分布函数的定义及性质

    • 定义

    ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二维随机变量,对于任意实数 x , y x,y x,y,二元函数:

    称为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)分布函数,或称为随机变量 X X X Y Y Y联合分布函数

    • 性质
    1. F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)是变量 x x x y y y的不减函数,即对于任意固定的 y y y,当 x 2 > x 1 x_2>x_1 x2>x1 F ( x 2 , y ) ≥ F ( x 1 , y ) F(x_2,y) \ge F(x_1,y) F(x2,y)F(x1,y),对固定的 x x x同理
    2. 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 \le F(x,y) \le 1 0F(x,y)1 F ( − ∞ , ∞ ) = 0 F(-\infty,\infty) = 0 F(,)=0 F ( ∞ , ∞ ) = 1 F(\infty,\infty) = 1 F(,)=1
    3. 对于任意固定的 y y y F ( − ∞ , y ) = 0 F(-\infty,y)=0 F(,y)=0,对于任意固定的 x x x F ( x , − ∞ ) = 0 F(x,-\infty)=0 F(x,)=0
    4. F ( x + 0 , y ) = F ( x , y ) F(x+0,y)=F(x,y) F(x+0,y)=F(x,y) F ( x , y + 0 ) = F ( x , y ) F(x,y+0)=F(x,y) F(x,y+0)=F(x,y),即 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 x x x y y y右连续
    5. 对于任意的 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1) ( x 2 , y + 2 ) (x_2,y+2) (x2,y+2) x 1 < x 2 x_1 < x_2 x1<x2 y 1 < y 2 y_1 < y_2 y1<y2有: P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) ≥ 0 \\P\{x_1 < X \le x_2,y_1 < Y \le y_2\} = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) - F(x_1,y_2) + F(x_1,y_1) \ge 0 P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)0

    二维离散型随机变量的分布率及性质

    • 定义

    设二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)所有可能取的值为 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi) i , j = 1 , 2 , ⋯ i,j = 1,2,\cdots i,j=1,2,

    我们称 P ( X = x i , Y = y i ) = p i j P(X=x_i,Y=y_i) = p_{ij} P(X=xi,Y=yi)=pij i , j = 1 , 2 , . . . i,j=1,2,... i,j=1,2,...,为二维离散型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布率

    • 性质

    P ( X = x i , Y = y i ) = p i j P(X=x_i,Y=y_i) = p_{ij} P(X=xi,Y=yi)=pij i , j = 1 , 2 , . . . i,j=1,2,... i,j=1,2,...,则由概率的定义有 p i j ≥ 0 p_{ij} \ge 0 pij0 ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1 i=1j=1pij=1

    二维离散型随机变量的分布函数计算公式

    设二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)所有可能取的值为 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi) i , j = 1 , 2 , ⋯ i,j = 1,2,\cdots i,j=1,2,

    F ( x , y ) = ∑ i = 1 x ∑ j = 1 y p x y F(x,y) = \sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} p_{xy} F(x,y)=i=1xj=1ypxy

    二维连续型随机变量的概率密度及性质

    对于二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)如果存在非负可积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)使得对于任意 x , y x,y x,y

    F ( x , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v F(x,y) = \int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^x f(u,v) dudv F(x,y)=yxf(u,v)dudv

    则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)二维连续性随机变量,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为二维连续性随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)概率密度,或称为随机变量 X X X Y Y Y联合概率密度

    • 性质
    1. f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y) \ge 0 f(x,y)0
    2. ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y = F ( ∞ , ∞ ) = 1 \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dxdy = F(\infty,\infty) = 1 f(x,y)dxdy=F(,)=1
    3. G G G x O y xOy xOy平面上的区域,点 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在 G G G内的概率为 P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y) \in G\} = \iint_G f(x,y)dxdy P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdy
    4. f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)连续,则有 ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x \partial y} = f(x,y) xy2F(x,y)=f(x,y)

    二维连续性随机变量的分布函数计算公式

    F ( x , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v F(x,y) = \int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^x f(u,v) dudv F(x,y)=yxf(u,v)dudv

    如何求连续型随机变量落在区域 G G G内概率 P { ( X , Y ) ∈ G } P\{(X,Y) \in G\} P{(X,Y)G}的公式

    P = { ( X , Y ) ∈ G } = ∫ ∫ G ( x , y ) d x d y P= \{(X,Y) \in G\} = \int\int_G(x,y)dxdy P={(X,Y)G}=G(x,y)dxdy

    常见的二维分布

    均匀分布 f ( x , y ) = { 1 S , ( x , y ) ∈ D 0 , 其 他 f(x,y) = \left\{\begin{aligned}& \frac{1}{S} ,(x,y) \in D \\&0 \qquad ,其他\end{aligned}\right. f(x,y)=S1(x,y)D0,

    二维正态分布

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 一维随机变量及分布分布函数性质常见随机变量及其分布离散型分布律常见离散型随机变量及分布0-1分布项分布泊松分布连续型性质随机变量函数的概率分布 分布函数 随机变量:通俗说,随机变量就是一次随机试验产生的...

    分布函数

    随机变量:通俗说,随机变量就是一次随机试验产生的结果。这个结果在实验前我们不知道是什么,之后在试验后才之后,所以称为随机,因为大多数试验的结果是多个,所以称为变量,综上所述是我个人理解的随机变量。
    分布函数:设X为随机变量,x是任意实数,则函数F(x)=P{X≤x}(-∞<x<∞)为随机变量X的分布函数。
    在一个样本空间中,不同的随机变量取值的概率是不同的,假如随机变量取值是有限的,分布函数F(a)就是将随机变量X取值小于a的概率相加。如果随机变量取值是无限的,那分布函数F(a)则是在概率密度图像上x=a直线左边曲线与x轴的面积。什么是概率密度?下面我们在讨论。

    性质

    1.单调不减
    由于概率是大于等于0的,分布函数实质上是概率的求和,假如我们实数a越大,包含的实验结果就越多,相加的概率值就越大,所以是单调不减的
    2.有界
    因为一个随机试验所有结果的概率和为1,所以当我们实数a趋于+∞,这时候已经能包含我们所有的实验结果了,所以F(+∞)=1;同理,当a趋于-∞,这时候a不能涵盖我们任何的实验结果,所以F(-∞)=0。
    3.右连续
    在这里插入图片描述
    我们在看一边分布函数定义式:F(a)=P{X≤a}(-∞<a<∞),X≤a说明F(a)的取值需要加上a的概率,从左无限趋近于a但始终没有取到a,所以F(a-0)+P{X = a} = F(a);从右无限趋近于a,这时已经取到了a,所以F(a+0)=F(a)。

    常见随机变量及其分布

    离散型

    定义:若随机变量X的可能取值为有限个或者可列无限个,称X为离散型随机变量。

    可列无限个是指取值时无限个,但每个取值可以用函数表示出来。如:
    X = n+1,0<n<∞

    分布律

    在这里插入图片描述
    考试的时候让你写分布律,就是要这样画表格,上面是随机变量取值,下面是对于每个随机变量的概率。
    离散型随机变量的分布函数:就是将X≤a的那些概率加起来即可,很简单。

    该分布函数的特征有
    1.阶梯状
    2.F(x)间断点即可能取值点,间断点左极限与右极限之差即随机变量取该点的概率

    常见离散型随机变量分布

    0-1分布

    若随机变量的实验结果只有0,1两个值,设离散型随机变量的分布律为在这里插入图片描述
    其中k=0,1。p为k=1时的概率(0<p<1),则称X服从0-1分布,0-1分布又叫 两点分布,记为:X~B(x,p)

    二项分布

    n次独立重复试验(每次试验的结果只有0和1,而且试验之间没有影响)。
    设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X的可能取值为0,1,…,n,且对每一个k(0≤k≤n),事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”,随机变量X的离散概率分布即为二项分布。
    在这里插入图片描述
    从组合数学的角度理解这个公式:n次独立重复试验,有k次成功,则有n-k次失败,所以要从n次试验中选出k次成功的试验的可能数
    在这里插入图片描述
    然后再乘以p的k次方和(1-p)的n-k次方。

    泊松分布

    啥也不说了,直接上公式,同上👆
    在这里插入图片描述

    注意:当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。通常当n≥20,p≤0.05时,就可以用泊松公式近似得计算。(考试中可能会出类似的题目哦)

    连续型

    定义:对于随机变量X,若存在一个非负的可积函数f(x),使得对任意实数x,有
    在这里插入图片描述
    则称X为连续性随机变量。其中f(x)为X的概率密度函数

    性质

    1.若f(x)在点x连续,则有F’(x)=f(x)
    2.f(x)是可积,则它的原函数F(x)连续;
    3.若x1<x2,都有
    在这里插入图片描述

    f(x)不代表X=x的概率值,而为0。所以连续型概率密度函数区间闭区间或者开区间无所谓,因为区间端点处的概率密度函数值为0。

    常见连续型随机变量分布

    均匀分布

    若X的密度函数
    在这里插入图片描述

    称X在(a,b)服从均匀分布,X~U(a,b),分布函数为:
    在这里插入图片描述

    随机变量X在区间(a,b)内的概率与其位置无关,只与区间的长度有关。

    指数分布

    若X的密度函数为
    在这里插入图片描述
    称X服从参数λ>0的指数分布,X~E(λ),分布函数为:

    指数分布有无记忆性。
    假设灯泡的寿命服从指数分布,假如一个灯泡已经使用了10年,那么这个灯泡再使用10年的概率与另外一个未使用的灯泡使用20年的概率相等,不存在说是灯泡在使用了10年的条件下使用20年的概率大于新灯泡使用20年的概率。

    正态分布

    若随机变量X服从一个参数为μ、σ^2的概率分布,且其概率密度函数为
    在这里插入图片描述
    称X的分布服从正态分布,X~N(μ,σ^2)。
    为了便于描述和应用,常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。
    在这里插入图片描述
    在中学我们都学过正态分布,从上述概率密度可以看出,σ越大,图像越矮胖σ越小,图像越高瘦。同时还关于μ对称。正态分布是连续型随机变量中十分重要,在之后的数字特征和大数定律以及样本内容中经常出现。
    由于正态分布是关于x=μ的偶函数,所以在求概率的时候我们可以根据图像转换来计算。
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 概率论基础(6)连续型二维随机变量

    千次阅读 多人点赞 2019-06-19 23:16:00
    概率论基础(3)一维随机变量(离散型和连续型) 概率论基础(4)五种重要的分布(二项、泊松、均匀、指数、正态分布) 概率论基础(5)离散型二维随机变量 连续型二维随机变量 知识点 概率密度 边缘...

    概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也顺便巩固巩固基础。
    这是基础篇的第六篇知识点总结
    注意:复杂的公式例如卷积公式等将在概率论高阶中提到

    基础:下面前五篇的链接地址:
    概率论基础(1)古典和几何概型及事件运算
    概率论基础(2)条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
    概率论基础(3)一维随机变量(离散型和连续型)
    概率论基础(4)五种重要的分布(二项、泊松、均匀、指数、正态分布)
    概率论基础(5)离散型二维随机变量

    连续型二维随机变量

    知识点

    • 概率密度
    • 边缘概率密度
    • 条件概率密度
    • 独立性
    • 需要有二重积分相关知识

    定义可自行查询

    常用性质:
    根据前面几节的回顾,加上了解其定义,不难理解有以下性质:
    在这里插入图片描述
    例题
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    理解:在这里用到了第一个公式性质,运用二重积分的计算,可直接求出 c 的值为4。求出 c 后,要求解P(X+Y<1)重点是分析D的取值范围,如果较为熟悉二重积分,很快就能确定其范围

    在这里插入图片描述
    理解:求x的边缘概率密度,其实就是对y进行求偏微分,反之亦然。

    注意:写概率密度的形式,一般是大括号,然后标清区间的位置,其他为0.
    在这里插入图片描述
    理解:注意条件概率密度的计算公式即可,根据前面求的,直接代入。

    在这里插入图片描述
    理解:根据最后一条性质,根据其式子直接判断即可。

    在这里插入图片描述
    注意:它的区间不再是简单的孤立,而是相互关联起来。

    仿照上述题目,即可解决问题:
    在这里插入图片描述
    注意:当从x的范围到y不好分析时,可以利用y来求解x的范围,注意一下求解技巧。

    在这里插入图片描述
    理解:与上题1类似。

    在这里插入图片描述
    理解:可以直接利用第二问求解的值,来判断。

    放一点额外的练习题,来巩固基础
    在这里插入图片描述

    连续型二维随机变量函数的分布

    知识点

    • Z = X + Y 分布
    • Z = XY 分布
    • Z = max{X, Y} 分布

    Z = X + Y 分布
    它有一个常用的解题步骤
    在这里插入图片描述
    具体选择哪一种的依据:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    注意:可以画图来分析Z在坐标轴上的分布情况,从而分类处理
    最终结果:
    在这里插入图片描述

    Z = XY 分布
    这种分布也有常用的解题方法步骤:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    理解:需要注意的是,当z <= 0 时,由于z的范围是0 < z < x ,因此它是没有意义的,所以取0

    Z = man{X, Y}的分布
    它的常用解题步骤:
    在这里插入图片描述
    例题
    在这里插入图片描述
    理解:先用公式解出z的分布函数,其概率密度就是其分布函数的求导结果

    这里给两个常用的结论:
    在这里插入图片描述
    额外放一点练习题:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 该思维导图为概率论以为随机变量及其分布的大纲以及基本解题思路,内容较为详细。该思维导图为本人依照张宇闭关修炼2020所制作,希望能帮助大家顺利上岸
  • 在上章节聊完离散型二维随机变量,这章节我们来到连续型随机变量。由于连续型随机变量的计算过程经常涉及积分运算,而连续型二维随机变量必然涉及到二重积分的运算。所以对于定积分不是很了解的朋友,建议先回去...
  • 概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也顺便巩固巩固基础。 这是基础篇的第四篇知识点总结 知识点:二维离散型随机变量 ...
  • /**本人用的TP框架,因此该函数只需要放入common中即可*$value:变量 $array二维数组*return bool*/function deep_in_array($value, $array) {foreach($array as $item) {if(!is_array($item)) {if ($item == $value)...
  • () 一维随机变量及其分布

    千次阅读 2020-03-23 22:54:46
    随机变量:Ω为随机试验E的样本空间,若∀ω∈Ω,∃唯一确定的实数X(ω)ω对应,称X = X(ω)为随机变量 随机变量X的范围本质上就是随机事件 分布函数:X为随机变量,P{X <= x} = F(x), -∞<x<+∞ 0 <= F...
  • 概率论基础(3)一维随机变量(离散型和连续型)

    千次阅读 多人点赞 2019-06-12 18:08:21
    概率论对于学习 NLP 方向的人,重要性不言而喻。于是我打算从概率论基础篇开始复习,也顺便巩固巩固基础。...知识点:离散型随机变量的分布律、分布函数和函数的分布、连续型随机变量的分布律、分布函数和函数的分布
  • 随机变量及其分布之一维随机变量

    千次阅读 2020-04-09 00:17:13
    1.一维随机变量 ​ 首先需要介绍,分布函数和密度函数的概念,离散型和连续型都有分布函数,定义为: P(X≤k)=F(x) P(X\le k) = F(x) P(X≤k)=F(x) 称F(x)F(x)F(x)为分布函数,简写为dfdfdf。 对于连续型随机变量而...
  • 二维随机变量知识点整理

    千次阅读 2020-04-01 20:54:27
  • 设EEE是个随机试验,它的样本空间是S=eS={e}S=e,设X=X(e)X=X(e)X=X(e)和Y=Y(e)Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在SSS上的随机变量,由它们构成的个向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)叫做二维随机向量。 分布函数: 设(X,Y)(X,Y)(X,Y)是...
  • 用指向一维数组a的指针变量实现对二维数组b中各元素的输入和输出 编写程序,用指向一维数组的指针变量p实现对二维数组b中各元素的输入和输出。要求:输出用指针变量的多种表现形式进行数组元素的多次输出。 完蛋 ...
  • 数组用于同种数据类型的存储,常规的数组选取的是块连续内存空间来存储同种类型的数据。 1、 静态数组静态数组是在声明时已经确定子数组大小的数组,即数组元素的个数固定不变。在编译期间在栈中分配好内存的...
  • 一维随机变量X与二维随机变量(X,Y)(及以上)比较 二维离散型随机变量(X,Y), 联合分布 X和Y的联合概率函数为 P(X=xi,Y=yj)=piji,j=1,2,... P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} \quad i,j=1,2,... P(X=xi​,Y=yj​)=...
  • 概率论-二维随机变量及其分布

    千次阅读 2020-11-16 11:26:08
    判断独立性: P(X=1,Y=2)=P(X=1)∗P(Y=2)P(X = 1,Y = 2) = P(X = 1)*P(Y = 2)P(X=1,Y=2)=P(X=1)∗P(Y=2) 边缘分布 退化成只含变量的分布图 二维连续型 定义 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫−∞∣x∫−∞yf(s,t)dsdtF(x...
  • 这个条件分布主要只针对二维、离散型随机变量的条件分布 同理固定个X为个常数则可得Y的条件分布律 **注:**离散型的求在什么条件下X或Y的条件分布律,知道他们的联合分布律很重要. 1) 观察这个公式。 ...
  • 1. 二维离散型随机变量的条件分布 2. 二维连续型随机变量的条件分布
  • 、基本概念 1. 样本空间和样本点 我们将随机实验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S。样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点。 2. 频率和概率的关系 概率是种现象的固有属性,比如百一...
  • 004 一维随机变量及分布函数

    千次阅读 2017-11-23 21:46:47
    004 一维随机变量及分布函数
  • (概率论基础1)一维随机变量

    千次阅读 2019-09-18 18:08:53
    离散型随机变量的分布2.1 概率函数分布函数定义2.2 分布函数的性质2.3 几种常见的分布1、项分布,记为$X \sim F$2、泊松分布,记为$X \sim P(\lambda)$3、超几何分布4、负项分布4. 连续型随机变量的分布4.1 ...
  • 直 角 换 极 坐 标 的 情 况 好 点 ) y ∈ ( 0 , 1 ) , x = z − y ∈ ( 0 , 1 ) → y ∈ ( 0 , 1 ) 并 ( z − 1 , z ) y ∈ { ( 0 , z ) 0=1 f z ( z ) = { ∫ 0 z f ( z − y , y ) d y 0=1 由公式f_z(z)=\int_...
  • 二维随机变量的函数的概率密度公式 设连续型随机变量X,YX,YX,Y的联合概率密度为f(x,y)f\left(x,y\right)f(x,y),设Z=ϕ(X,Y)Z=\phi\left(X,Y\right)Z=ϕ(X,Y)为随机变量X,YX,YX,Y的函数且ZZZ可微,则ZZZ的分布函数 ...
  • 对已有数据表进行一维二维之间的转化: import pandas as pd # 读入数据: df = pd.read_excel('2dims.xls','Sheet1') df df的结构为: 如上图所示df是一个二维表。 # 将二维数据表转化为一维数据表: ...
  • 文章目录、为什么是二维随机变量二二维随机变量的分布函数2.1 二维随机变量分布函数的性质2.2 二维随机变量的边缘分布函数三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法 、为什么是二维随机变量 还记得我们...
  • 常见的二维变量使用的绘图形式:散点图、热力图、堆积柱状图、二维线形图  实际操作来看看,首先读取文件 import pandas as pd import warnings warnings.filterwarnings('ignore') reviews = pd.read_csv(&...
  • 概率论第4记:二维随机变量

    千次阅读 2019-01-04 20:45:47
    一般,如果X,Y是定义在样本空间S上的随机变量,那么(X,Y)称为二维随机变量(或称二维随机向量),类似可以定义n维随机变量。 定义:设二维随机变量(X,Y)所有可能的取值为(xi,yj),(i,j=1,2,3…);(X,Y)取(xi...
  • 本文档通过MATLAB来绘制二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。其中X服从标准正态分布,Y服从均匀分布。 【例题】已知随机变量XY相互独立,X~N(0,1);Y在区间[0,2]上服从均匀分布。求: (1)二维随机变量(X,Y)的...
  • 很多的实际应用里面,往往 X 的分布是已知的,实际问题对应的变量是 X 的函数,那么,我们应该如何求 Y 的分布呢?这篇 Blog 将会带给你答案!我们开始吧!

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 308,538
精华内容 123,415
关键字:

一维变量与二维变量区别