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  • 正态分布的概率密度和边缘分布(数1了解、数3掌握)三、第3章考研必做习题第3章习题:1、2、3、6、9、10、13、14、15、16、17、18、20第二节 边缘分布、边缘分布函数二、离散型随机变量的边缘分布律三、连...
    一、第3章知识结构

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    二、第3章第2节 主要内容及考研要求

    1.边缘分布函数的定义(数1理解、数3掌握)

    2.边缘分布律和边缘概率密度的计算公式(数1理解、数3掌握;重点)

    3.二维正态分布的概率密度和边缘分布(数1了解、数3掌握)

    三、第3章考研必做习题

    第3章习题:1、2、3、6、9、10、13、14、15、16、17、18、20

    第二节 边缘分布

    一、边缘分布函数

    二、离散型随机变量的边缘分布律

    三、连续型随机变量的边缘分布

    四、常见的两个二维分布

    一、边缘分布函数

    ad3b6b9043b4e7dad5c1706c7eec776d.png

    定义1 设(X,Y)为二维随机变量,其分布函为F(x,y)                         

    32ef1e68037df8d4cbe66f0dfda63259.png

    [] 边缘分布函数可以由X与Y的联合分布函F(x,y)唯一确定:

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    二 、 离散型随机变量的边缘分布律

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    离散型随机变量的边缘分布律列表

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    联合分布律是二维离散型随机变量的“根本”, 是解决一切概率问题的前提.这里可将联合分布律看成一个数表, 称之为联合分布矩阵.

    已知联合分布律, 对联合分布矩阵行加列加可得关于随机变量X或Y的边缘分布律; 并非只有联合分布律已知才能求边缘分布律, 某些情况下. 在随机试验下根据随机变量的具体含义可以直接求出随机变量的边缘分布律.三、  连续型随机变量的边缘概率密度设(X,Y) 概率密度为f (x, y),则

    151a29b07fecbea8346583e088a78b05.png

    由此知,X是连续型随机变量,且其概率密度为

    47137c576c28a2db47a95cdb89f102be.png

    同理,Y也是连续型随机变量,其概率密度为

    385c581a333a88ef04080ee61ca12ec6.png

    它们分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度.

    四、常见的两个二维分布1.均匀分布:设G为一面积为A平面有界区域,若 (X,Y)具有概率密度

    3d3957202490e1966b5178179835970f.png

    则称(X,Y)在域G上服从均匀分布.

    例2  设(X,Y)在域

    78937e631ece42e41096a565988a71de.png

    上服从均匀分布,求其边缘概率密度.

    e77ddffadcb7e9d1be3096b2615e6bf9.png

    2. 二维正态分

    设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

    6b676a4456afe8d67e79687487641bc4.png

    bcc4aeea4b8efcd4794809bcb80c4f29.png

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     求(X,Y)的边缘概率密度.

    ccf6d840b0f7e414661a572dbd104139.png

    即X和Y的边缘分布均为正态分布:

    c317f622bca8d2133405eb3175771a8f.png

    注意:二维均匀分布背景是平面上的几何概型;二维正态分布做题的主要思想是降维(通过性质化为一维).
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  • 本节为概率论与数理统计复习笔记的第三部分,一维随机变量及其分布,主要包括:分布函数的定义、两类随机变量及其常见的分布类型,包括0-1分布,二项分布,几何分布,泊松分布,超几何分布,均匀分布,指数分布以及...

    本节为概率论与数理统计复习笔记的第三部分,一维随机变量及其分布,主要包括:分布函数的定义、两类随机变量及其常见的分布类型,包括0-1分布,二项分布,几何分布,泊松分布,超几何分布,均匀分布,指数分布以及正态分布。

    1. 分布函数

      设XX是随机变量,xx是任意函数,称函数F(x)=P{Xx}(xR)F(x)=P\{X\leq x\}(x\in R)为随机变量XX的分布函数,或称XX服从分布F(x)F(x),记为XF(x)X\sim F(x)。其中xx取遍(,)(-\infty,\infty)PP也从0变为1。

      F(x)F(x)有几个重要的性质:

    • 单调不减函数
    • 右连续函数,即limxx0+F(x)=F(x0+0)=F(x0)lim_{x\rightarrow x_0^+}F(x)=F(x_0+0)=F(x_0)
    • F()=limxF(x)=0F(+)=1F(-\infty)=lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0;F(+\infty)=1

    2. 常见的两类随机变量

      即离散型和连续型。前者XX有有限个或可列个值。对于连续型,若随机变量XX的分布函数可表示为F(x)=xf(t)dt(xR)F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt(x\in R),其中f(x)f(x)是非负可积函数,则称XX为连续型随机变量。f(x)f(x)XX的概率密度函数,记为Xf(x)X\sim f(x)。【f(x)f(x)为某一随机变量的概率密度的充要条件是f(x)0f(x)dx=1f(x)\geq 0且\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1

      离题小知识:事件AA为空集可以得出AA发生的概率为0,但是反过来却不成立。比如几何概型中的一个点,属于测不准。

    3. 常见随机变量分布类型

    3.1. 离散型

    伯努利分布的三种情况

    • “1”: 0-1分布:XB(1,p)X\sim B(1,p),[P{X=k}=pk(1p)k1,k=0,1P\{X=k\}=p^k(1-p)^{k-1},k=0,1]
    • “n”:二项分布:XB(n,p)X\sim B(n,p),[P{X=k}=Cnkpk(1p)nk),k=0,1,...,nP\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}),k=0,1,...,n]
    • \infty”:几何分布:XG(p)X\sim G(p),[P{X=k}=qk1p,k=1,...,n,q=1pP\{X=k\}=q^{k-1}p,k=1,...,n,q=1-p],“首中即停”

    泊松分布

      XP(λ)X\sim P(\lambda),[P{X=k}=λkk!eλP\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}],其中λ\lambda表示强度,为X的数学期望;kk是一个非负整数。

      泊松分布可用于研究稀有事件发生的概率或者某时间段某场合源源不断的质点来流的个数。

    超几何分布

      XH(n,N,M)X\sim H(n,N,M),[P{X=k}=(CMkCNMnk)/CNnP\{X=k\}=(C_M^kC_{N-M}^{n-k})/C_N^n],表示的是N件产品中有M件正品,从中任取n件,取出k件正品的概率。

    3.2. 连续型

    均匀分布XU(a,b)X\sim U(a,b)

      X的的概率密度函数和分布函数分别为“f(x)=1ba,a<x<b;0f(x)=\frac1{b-a},a< x< b;其他情况为0”和“F(x)=xaba,axb;x<a,0;x>b,1F(x)=\frac{x-a}{b-a},a\leq x\leq b;x< a,0;x>b,1

    指数分布XE(λ),λ>0X\sim E(\lambda),\lambda>0

      X的概率密度和分布函数分别为“f(x)=λeλx,x>0f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x>0;其余情况为0”和“F(x)=1eλx,x0;0F(x)=1-e^{-\lambda x},x\geq 0;其余情况为0”。

    正态分布 XN(u,σ2)X\sim N(u,\sigma^2)

      概率密度“f(x)=12πσe(xu)22σ2f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}”。当u=0,σ=1u=0,\sigma=1时称正态分布为标准正态分布,概率密度函数ϕ(x)=12πe12x2\phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12x^2},分布函数记为“Φ(x)\Phi(x)”且Φ(0)=12,Φ(x)=1Φ(x)\Phi(0)=\frac12,\Phi(-x)=1-\Phi(x)。此时若P{Xua}=aP\{X\geq u_a\}=a,则称aa为标准正态分布的上侧aa分位数。

      若是一般意义下的正态分布,则分布函数F(x)=P{Xx}=Φ(xuσ)F(x)=P\{X\leq x\}=\Phi(\frac{x-u}{\sigma}),且有:

    • F(ux)+F(u+x)=1F(u-x)+F(u+x)=1
    • P{a<x<b}=Φ(buσ)Φ(auσ)P\{a< x< b\}=\Phi(\frac{b-u}{\sigma})-\Phi(\frac{a-u}{\sigma})
    • ax+bN(au+b,a2σ2),a0ax+b\sim N(au+b,a^2\sigma^2),a\neq 0

    4. 一维随机变量函数的分布

      此种类型的题目多给定随机变量XX的概率密度,然后求新的随机变量比如说Y=X2+1Y=X^2+1的分布函数,解题思路即:FY(y)=P{Yy}=P{X2+1y}F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{X^2+1\leq y\},之后可以分情况讨论y的取值映射到X的概率密度函数中,并且积分求分布函数。最后若还要求YY的概率密度,可以令分布函数对tt求导。


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  • 读者知识背景:微积分,概率统计目录(1) Beta分布及其函数公式推导(2) Beta 函数和 Gamma 函数的关系(3) Beta 分布的期望与方差(4) Beta分布与二项分布的关系(5) Beta分布与均匀分布的关系Beta分布是种连续型概率...

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    读者知识背景:微积分,概率统计


    目录

    (1) Beta分布及其函数公式推导
    (2) Beta 函数和 Gamma 函数的关系
    (3) Beta 分布的期望与方差
    (4) Beta分布与二项分布的关系
    (5) Beta分布与均匀分布的关系

    Beta分布是一种连续型概率密度分布,表示为

    ,由两个参数
    决定,称为形状参数

    由于其定义域为(0,1),一般被用于建模伯努利试验事件成功的概率的概率分布:

    对于硬币或者骰子这样的简单实验,我们事先能很准确地掌握系统成功的概率
    然而通常情况下,系统成功的概率是未知的,但是根据频率学派的观点,我们可以通过频率来估计概率
    为了测试系统的成功概率,我们做n次试验,统计成功的次数k,于是很直观地就可以计算出。然而由于系统成功的概率是未知的,这个公式计算出的只是系统成功概率的最佳估计。也就是说实际上也可能为其它的值,只是为其它的值的概率较小。因此我们并不能完全确定硬币出现正面的概率就是该值,所以也是一个随机变量,它符合Beta分布,其取值范围为0到1

    用一句话来说,beta分布可以看作一个概率的概率密度分布,当你不知道一个东西的具体概率是多少时,它可以给出了所有概率出现的可能性大小

    1. Beta分布及其函数公式推导

    如果随机变量

    服从参数为
    的二项分布,那么它的概率由概率质量函数(对于连续随机变量,则为概率密度函数)为:

    表示为变量
    的函数,即只有
    这一个变量,写成如下形式

    其中

    是常量,

    为了把

    变成一个分布,可以给它乘上一个因子,使它对
    从0到1积分为1即可,即

    令其积分为1

    ,则
    ,所以

    那么规范化后的 (2) 就是一个分布了

    这就是Beta分布的最原始的来源

    对(5)进行适当的改造:取

    ,并将积分
    中的
    改为
    ,我们就得到了我们在教材上看到的Beta函数了:

    另外,将(5)中的q改为x,则我们就得到了我们在教材上看到的Beta分布的函数:

    到这里我们已经完整地推出了Beta函数(公式(6))和Beta分布(公式(7))

    2. Beta 函数和 Gamma 函数的关系

    先做一下前期的推导:

    6495fe15aba75f12952449900eaee37e.png

    假设向长度为1的桌子上扔一个红球(如上图),它会落在0到1这个范围内,设这个长度值为

    ,再向桌上扔一个白球,那么这个白球落在红球左边的概率即为
    。 若一共扔了
    次白球,其中每一次都是相互独立的,假设落在红球左边的白球数量为
    ,那么随机变量
    服从参数为
    的二项分布,即
    ,有

    服从
    上的均匀分布,即

    对每一个
    都有上面的分布,对于所有可能的
    的分布为

    现在,我们换一种方式来丢球:

    先将这
    个球都丢出来,再选择一个球作为红球,任何一个球被选中的概率均为
    ,此时红球左边有
    个球的概率均为
    ,有

    再来看看

    函数的定义:

    (4)在定义域为整数时,即

    时,才满足等于

    那么,现在我们就可以推导出

    函数与Beta函数的关系了:

    由于

    根据(3),可令

    ,则

    又由于(4),可得

    因此,Beta分布也可以写成下面的形式:

    3. Beta 分布的期望与方差

    • Beta 分布的期望

    • Beta 分布的方差

    由于

    那么,先求

    接着求

    • Beta分布的概率分布函数

    由于Beta分布是概率密度分布,我们可以通过积分,得到它的概率分布函数


    定义
    ,称为不完全Beta函数(incomplete Beta function)则

    4. Beta分布与二项分布的关系

    进行n次伯努利试验,其出现试验成功的概率p服从一个先验概率密度分布
    ,试验结果出现k次试验成功,则试验成功的概率p的后验概率密度分布为

    证明:

    假设试验场景为棒球击球试验

    该运动员击球时间的概率图模型如下图:

    cbe35db7963432925ea86b805c2168cf.png

    假设该用户的击球率的分布是一个参数为

    的分布(这里
    既表示一个分布,也是这个分布的参数。因为在概率图模型中,我们经常使用某个分布的参数来代替说明某个模型),也就是说
    是用户击球成功的概率

    假设,到目前为止,用户在这个赛季总共打了

    次球,击中的次数是
    ,结果记为
    这是一个二项式分布,即 (
    表示:总共打了
    次球,击中的次数是
    这个事件)
    是离散随机变量,则
    服从的是概率质量函数(probability mass function)
    是连续随机变量,则
    服从的是概率密度函数(probability density function)

    的联合概率密度函数为

    其中,

    无关

    其实就是形状参数为
    的Beta分布

    现在,我们需要求出

    在给定
    情况下的后验分布

    由于

    ,而其中的
    就是上面我们推导出的
    的联合概率密度分布,
    的边际概率密度分布(marginal probability density function)

    因此

    5. Beta分布与均匀分布的关系

    的时候,它就是一个均匀分布


    参考资料:

    (1) 潇水汀寒《认识Beta函数》

    (2) StatLect《Beta distribution》

    展开全文
  • 均匀分布2.指数分布 第四节-----连续型随机变量及其分布 连续型随机变量一切可能取值是充满某区间(a,b) 这区间上有无穷不可列个实数 描述连续型随机变量概率分布 不可能再用分布律形式 而要用概率密度来...

    第四节-----连续型随机变量及其分布

    • 连续型随机变量的一切可能取值是充满某区间(a,b)
      • 这区间上有无穷不可列个实数
    • 描述连续型随机变量概率分布
      • 不可能再用分布律的形式
    • 而要用概率密度来表示

    一 :连续型随机变量的概率密度

    1.定义

    • 随机变量XX的分布函数,存在非负函数f(x)f(x)
    • 使对任意实数xx
      • F(x)=xf(t)dtF(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt
      • 则称XX为连续型随机变量
      • f(x)f(x)XX的概率密度函数

    2.概率密度函数的基本性质

    由分布函数的性质即可验证任一连续型随机变量的概率密度f(x)必具有下
    列基本性质
    (1)非负性(x)=0;

    三、常见的连续型随机变量

    1.均匀分布

    2.指数分布

    在这里插入图片描述

    • XX服从参数为θθ的指数分布,
      • XExp(θ)X\sim Exp(\theta)
    展开全文
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