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  • MATLAB:一维插值算法

    2020-11-13 10:52:54
    MATLAB 提供了 interp1(x,y,xq,'Method')函数命令可以进行一维插值,其中一维插值有四种常用的方法,也就是 ‘Method’ 可以选择邻近点插值Nearest,线性插值Linear,三次样条插值Spline和立方插值Pchip。...

    MATLAB 提供了 interp1(x,y,xq,'Method')函数命令可以进行一维插值,其中一维插值有四种常用的方法,也就是 ‘Method’ 可以选择邻近点插值Nearest,线性插值Linear,三次样条插值Spline和立方插值Pchip


    插值效果

    邻近点插值(Nearest)

    邻近点插值

    线性插值(Linear)

    线性插值
    线性插值法是指使用连接两个已知量的直线来确定在这两个已知量之间的一个未知量的值的方法。

    三次样条插值(Spline)

    三次样条插值

    三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)简称Spline插值,是通过一系列形值点的一条光滑曲线,数学上通过求解三弯矩方程组得出曲线函数组的过程。

    实际计算时还需要引入边界条件才能完成计算。一般的计算方法书上都没有说明非扭结边界的定义,但数值计算软件如Matlab都把非扭结边界条件作为默认的边界条件。

    早期工程师制图时,把富有弹性的细长木条(所谓样条)用压铁固定在样点上,在其他地方让它自由弯曲,然后沿木条画下曲线。成为样条曲线。

    立方插值(Pchip)

    立方插值

    实验代码

    下面对MATLAB这四种一维插值(interp1)的方法进行比较。

    close all; clear all; clc
    
    x=0:0.5:2*pi;   % 插值前的矩阵规模
    y=sin(x);
    
    
    %-1-邻近点插值--Nearest interpolation---%
    figure('Position',[50,50,500,400],'Name','Nearest');
    x1=0:0.1:2*pi;    % 插值后的矩阵规模
    y1=interp1(x,y,x1,'Nearest');
    plot(x,y,'.','color','r','MarkerSize',20);  hold on;
    plot(x1,y1,'.','color','b','MarkerSize',10);    hold off;
    xlabel('x','fontsize',20);
    ylabel('y','fontsize',20);
    
    
    %-2-线性插值--Linear interpolation---%
    figure('Position',[100,100,500,400],'Name','Linear');
    x2=0:0.1:2*pi;
    y2=interp1(x,y,x1,'Linear');
    plot(x,y,'.','color','r','MarkerSize',20);  hold on;
    plot(x2,y2,'.','color','b','MarkerSize',10);    hold off;
    xlabel('x','fontsize',20);
    ylabel('y','fontsize',20);
    
    
    %-3-三次样条插值--Spline interpolation---%
    figure('Position',[150,150,500,400],'Name','Spline');
    x3=0:0.1:2*pi;
    y3=interp1(x,y,x1,'Spline');
    plot(x,y,'.','color','r','MarkerSize',20);  hold on;
    plot(x3,y3,'.','color','b','MarkerSize',10);    hold off;
    xlabel('x','fontsize',20);
    ylabel('y','fontsize',20);
    
    
    %-4-立方插值--Pchip interpolation---%
    figure('Position',[200,200,500,400],'Name','Pchip');
    x4=0:0.1:2*pi;
    y4=interp1(x,y,x1,'Pchip');
    plot(x,y,'.','color','r','MarkerSize',20);  hold on;
    plot(x4,y4,'.','color','b','MarkerSize',10);    hold off;
    xlabel('x','fontsize',20);
    ylabel('y','fontsize',20);
    

    参考:百度经验:MATLAB一维插值(interp1)四种方法的比较

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  • matlab一维插值算法

    2018-04-22 20:54:00
    插值算法有多项式插值、艾尔米特插值、分段插值与样条插值、三角函数插值、辛克插值等等 在MATLAB中用函数interp1()函数来进行一维值,代码如下: clear clc; x=0:2*pi; y=sin(x); xx=0:0.5:2*pi; yy...

    出处:https://jingyan.baidu.com/article/19192ad8e0703be53e570797.html

    插值算法有多项式插值、艾尔米特插值、分段插值与样条插值、三角函数插值、辛克插值等等

    在MATLAB中用函数interp1()函数来进行一维值,代码如下:

    clear  clc;

    x=0:2*pi;

    y=sin(x);

    xx=0:0.5:2*pi;

    yy=interp1(x,y,xx);

    plot(x,y,'s',xx,yy);

    interp1(X,Y,Xq,METHOD):

    一维快速傅立叶插值,matlab使用intepft(x,n)函数来实现一维快速傅立叶插值。该函数用傅立叶变换把输入数据变换到频域,然后用更多点的傅立叶逆变换变回时域,来实现对数据的增采样。

    y=intepft(x,n,dim):对x进行傅立叶变换,然后采用n点傅立叶逆变换变回到时域,如果x是一个向量,数据x的长度为m,采样间隔为dx,则数据y的采样间隔是mdx/n(m<n),最后一个参数表示在dim指定的维度上进行操作。

    下面我们通过一个简单的一个简单的例子来进一步说明:

    %使用一维快速傅立叶插值实现指定函数的数据增采样

    clear clc;

    x=1:10;

    y=exp(x);

    %实现一倍增采样

    n=2*length(x);

    yi=interpft(y,n);

    xi=1:0.5:10.5;

    hold on;

    plot(x,y,'ro');

    plot(xi,yi,'b*-');

    title('一维快速傅立叶插值');

    legend('原始数据','插值结果');

    在某些特定情况下,一维快速傅立叶插值法有奇效哦。最后提一点,当数据点呈现周期分布时,上面几种插值算法的误差很大,此时可采用快速fourier算法.

    转载于:https://www.cnblogs.com/rjjhyj/p/8894160.html

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  • c语言插值算法.pptx

    2020-02-18 01:33:17
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  • 1、面向一维插值和线性拟合,含有牛顿插值、线性插值等四种插值方式; 2、设计了可用鼠标直接操作的GUI界面
  • 一维插值问题 插值法的定义 插值法的分类 一般插值多项式原理 拉格朗日插值法 龙格现象(Runge phenomenon) 分段线性插值 分段二次插值 牛顿插值法 两种插值法的对比 两种插值法的另一个缺点 ...

    第三讲:插值算法

    在这里插入图片描述

    一维插值问题

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    插值法的定义

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    插值法的分类

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    一般插值多项式原理

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    拉格朗日插值法

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    龙格现象(Runge phenomenon)

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    分段线性插值

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    分段二次插值

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    牛顿插值法

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    两种插值法的对比

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    两种插值法的另一个缺点

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    埃尔米特(Hermite)插值

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    埃尔米特(Hermite)插值原理

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    分段三次埃尔米特插值

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    三次样条插值

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    三次样条多项式满足的条件

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    三次样条插值

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    插值结果对比

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    n维数据的插值

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    一个小技巧:上面学的这些插值算法可用于短期预测

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    建模实例

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    华中农业大学特等奖文章

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    课后作业

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    参考效果

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    本节拓展资料说明

    在这里插入图片描述

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  • 插值算法是图像缩放中的项基本且重要的算法;在图像缩放中,输出图像像素点坐标可能对应输入图像上几个像素点之间的位置,这个时候就需要通过灰度插值处理来计算出该输出点的灰度值。图像插值是图像超分辨率的重要...

    插值算法是图像缩放中的一项基本且重要的算法;在图像缩放中,输出图像像素点坐标可能对应输入图像上几个像素点之间的位置,这个时候就需要通过灰度插值处理来计算出该输出点的灰度值。图像插值是图像超分辨率的重要环节,不同的插值算法有不同的进度,插值算法的好坏也直接影像着图像的失真程度。常用的插值算法有以下三种:最近邻插值算法、双线性插值算法以及双三次插值算法。

    最近邻插值算法

    最近邻插值算法是最简单的插值算法,同时也叫零阶插值法。即选择里它所映射位置最近的输入像素的灰度值为结果。对二维图像,是去待采样点周围4个相邻像素点中距离最近的1个点的灰度值作为待采样点的像素值。
    在这里插入图片描述

    最近邻插值算法
    如上图所示,当需要求的A的坐标落在蓝色框内,会对其坐标(x,y)采用四舍五入的方式,将A点坐标映射到P1~P4上的某一个点,并以该点的灰度值作为采样点A的灰度值。

    双线性插值算法

    双线性插值素算法又叫一阶插值法,它对经过三次插值才能得到最终结果,是对最邻插值算法的一种改进,先对水平x方向进行一阶线性插值(需要两次一阶线性插值),然后在在垂直y方向进行一阶线性插值(只需要一次一阶线性插值)。
    在这里插入图片描述

    双线性插值算法

    假设上图中,Q11,Q12,Q21,Q22Q_{11},Q_{12},Q_{21},Q_{22}四个红色点的坐标点信息及灰度值是已知,分别为Q11=(x1,y1),Q12=(x1,y2),Q21=(x2,y1),Q22=(x2,y2)Q_{11}=(x_1,y_1),Q_{12}=(x_1,y_2),Q_{21}=(x_2,y_1),Q_{22}=(x_2,y_2),通过双线性插值计算出P点的灰度值。
    首先进行x方向的线性插值,得去R1,R2R_1,R_2两点的灰度值,然后再进行y方向的线性插值,最终获取PP点的灰度值。计算过程如下所示:
    1. 计算x方向的线性插值
        f(R1)=x2xx2x1f(Q11)+xx1x2x1f(Q21)WhereR1=(x,y1)f(R1) = \frac{x_2 - x}{x_2-x_1}f(Q_{11}) + \frac{x - x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21}) \quad Where \quad R_1 =(x,y_1)

        f(R2)=x2xx2x1f(Q12)+xx1x2x1f(Q22)WhereR1=(x,y2)f(R2) = \frac{x_2 - x}{x_2-x_1}f(Q_{12}) + \frac{x - x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22}) \quad Where \quad R_1 =(x,y_2)

    2.计算y方向的线性插值

        f(P)=y2yy2y1f(R1)+yy1y2y1f(R2)f(P)= \frac {y_2 - y}{y_2 - y_1}f(R1) + \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}f(R2)

    3.合并1和2两步计算过程

        f(P)=(x2x)(y2y)(x2x1)(y2y1)f(Q11)+(xx1)(y2y)(x2x1)((y2y1))(f(Q21))+(x2x)(yy1)(x2x1)(y2y1)f(Q12)+(xx1)(yy1)(x2x1)(y2y1)f(Q22)f(P)=\frac{(x_2 - x)(y_2 - y)}{(x_2-x_1)(y_2 - y_1)}f(Q_{11}) + \frac{(x - x_1)(y_2 - y)}{(x_2-x_1)((y_2 - y_1))}(f(Q_{21})) + \frac{(x_2 - x)(y - y_1)}{(x_2-x_1)(y_2 - y_1)}f(Q_{12}) + \frac{(x - x_1)(y - y_1)}{(x_2-x_1)(y_2 - y_1)}f(Q_{22})

    双三次插值(bicubic)算法

    双三次插值算法(Bicubic interpolation)又称立方卷积插值算法,是对双线性插值的改进,是一种比较复杂的插值方式,它不仅考虑到周围4个像素点灰度值的影像,还考虑到它们灰度值变化率的影像。该算法需要利用待采样附近16个像素点的灰度值作三次插值进行计算。
    在这里插入图片描述

    双三次插值(bicubic)算法

      如上图所示,函数ff在点(x,y)(x,y)的值可以通过矩形网络中最近的十六个采样点的甲醛平均得到的,在这里需要使用两个多项式三次插值函数,每个方向使用一个,其函数形式如下:
    f(x,y)={(a+2)x3(a+3)x2+1forx<=1ax35ax2+8ax4afor1<x<=20 f(x,y) = \begin{cases} (a+2)|x|^3 - (a+3)|x|^2 + 1 \quad for \quad |x| <= 1 \\ a|x|^3 - 5a|x|^2 + 8a|x| -4a \quad for \quad 1 < |x| <= 2 \\ 0 \end{cases}
    说明

    • f(0)=1
    • f(x)=0(当x>2)
    • 当x超出范围的时候,f(x)为0
    • 当a取不同值时,可以用来逼近不同的采样条函数(常用值为-0.5,0.75)

    a=1a = -1时,如下:
    f(x,y)={x32x2+1forx<=1x3+5x28x+4for1<x<=20 f(x,y) = \begin{cases} |x|^3 - 2|x|^2 + 1 \quad for \quad |x| <= 1 \\ -|x|^3 + 5|x|^2 - 8|x| + 4 \quad for \quad 1 < |x| <= 2 \\ 0 \end{cases}
    此时,逼近的函数为y=sin(xPI)(xPI)y=\frac{sin(x*PI)}{(x*PI)},如下所示:
    在这里插入图片描述

    a=0.5a=-0.5时,如下:
    f(x,y)={1.5x32.5x2+1forx<=10.5x3+2.5x24x+2for1<x<=20 f(x,y) = \begin{cases} 1.5|x|^3 - 2.5|x|^2 + 1 \quad for \quad |x| <= 1 \\ -0.5|x|^3 + 2.5|x|^2 - 4|x| + 2 \quad for \quad 1 < |x| <= 2 \\ 0 \end{cases}
    此时对应为三次Hermite样条,如下所示:
    在这里插入图片描述

    三种插值算法的优缺点

    最近邻插值算法

    最近邻插值算法 双线性插值算法 双三次插值算法
    采样方式 用距离采样点最近的像素值最为采样点的灰度值 用双线性方式计算采样点周围的4个点,计算其灰度值 根据采样点的周围16个像素值的双线性关系以及像素变化率,计算出采样点的灰度值
    计算性能 计算量最小、最快 计算量比较大,速度居中 计算量最大,性能最慢
    效果 未考虑周围像素点的影像,采样后的灰度值有明显的不连续性,图像质量损失较大,会产生马赛克或者锯齿现象 克服最近邻插值算法的灰度不连续性,未考虑各邻点的灰度值的相互影响,故具有低通滤波的性质,从而导致缩放后的图像的高频分量收到损失、图像边缘在一定程度上变得较为模糊 克服了前两种方法的不足之处,能够产生比双线性茶壶中算法更为平滑的边缘,计算精度很高,处理后的图像质量损失最少,效果最佳的

    :在进行图像缩放时应根据实际情况对三种算法做出选择,既要考虑时间方面的可行性,也要考虑对变化后图像质量可用性,这样才能达到较为理想结果。

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