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  • 首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里 这只图好大啊~~但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用在matlab里...

    首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    这只图好大啊~~

    但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用在matlab里画图不太方面,下面换一个

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    这个公式与上面的等价,只不过把向量和矩阵展开,计算出来。我们可以用这个式子画图。

    因为二维函数的形式是:z=f(x,y)

    所以必须先选择一些点,然后计算出f(x,y)。这些点分布在一个平面上,而z则在三维空间。

    如何选择平面上的点阵?

    [x,y]=meshgrid(a,b)

    meshgrid就是这样一个生成点阵的函数,这个meshgrid理解起来有点绕,不过举个例子就马上能力明白了。下面是matlab里面的一段截图:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    我们可以看到meshgrid生成了两个同样大小的矩阵,第一个矩阵是通过把第一个参数[1:3]顺着行的方向复制了4次,4是第二个参数的长度,同样第二个矩阵是第二个参数顺着列的方向复制了三次,3是第一个参数向量的长度。而这个点阵就是:

    (1,2)   (2,2)   (3,2)

    (1,3)   (2,3)   (3,3)

    ...

    看出什么意思了吧?就这个意思。

    至于这两个参数到底怎么选,这样根据你的正态分布的均值,尽量使点阵的中心与分布的均值靠近。

    好了,有了平面上的点,就来算这些点对应的函数值。往函数里套就行,下面是代码:

    最后一句mesh(x,y,Z) 是画图函数,画出的图行大概是下面这个样子:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

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  • matlab:画二维正态分布密度函数

    万次阅读 2013-07-11 11:20:32
    首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里 这只图好大啊~~ 但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用...

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    首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里

    这只图好大啊~~

    但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用在matlab里画图不太方面,下面换一个

    这个公式与上面的等价,只不过把向量和矩阵展开,计算出来。我们可以用这个式子画图。

    因为二维函数的形式是:z=f(x,y)

    所以必须先选择一些点,然后计算出f(x,y)。这些点分布在一个平面上,而z则在三维空间。

    如何选择平面上的点阵?

    [x,y]=meshgrid(a,b)

    meshgrid就是这样一个生成点阵的函数,这个meshgrid理解起来有点绕,不过举个例子就马上能力明白了。下面是matlab里面的一段截图:

     

    我们可以看到meshgrid生成了两个同样大小的矩阵,第一个矩阵是通过把第一个参数[1:3]顺着行的方向复制了4次,4是第二个参数的长度,同样第二个矩阵是第二个参数顺着列的方向复制了三次,3是第一个参数向量的长度。而这个点阵就是:

    (1,2)   (2,2)   (3,2)

    (1,3)   (2,3)   (3,3)

    ...

    看出什么意思了吧?就这个意思。

    至于这两个参数到底怎么选,这样根据你的正态分布的均值,尽量使点阵的中心与分布的均值靠近。

    好了,有了平面上的点,就来算这些点对应的函数值。往函数里套就行,下面是代码:

    ?
    function Z=drawGaussian(u,v,x,y)
    % u,vector,expactation;v,covariance matrix
    %x=150:0.5:190;  
    %y=35:110;      
    [X,Y]=meshgrid(x,y);
    DX=v(1,1);     %X的方差
    dx=sqrt(DX);
    DY=v(2,2);     %Y的方差
    dy=sqrt(DY);
    COV=v(1,2);     %X Y的协方差
    r=COV/(dx*dy);
    part1=1/(2*pi*dx*dy*sqrt(1-r^2));
    p1=-1/(2*(1-r^2));
    px=(X-u(1)).^2./DX;
    py=(Y-u(2)).^2./DY;
    pxy=2*r.*(X-u(1)).*(Y-u(2))./(dx*dy);
    Z=part1*exp(p1*(px-pxy+py));
    mesh(x,y,Z);

      最后一句mesh(x,y,Z) 是画图函数,画出的图行大概是下面这个样子:

     

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  • %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%本程序用于产生一维正态分布、二维正态分布%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%绘制一维正态分布x=linspace(-3,3);y=normpdf(x,0,1);figure(1)plot(x,y,'r');%...

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

    %本程序用于产生一维正态分布、二维正态分布

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

    %绘制一维正态分布

    x=linspace(-3,3);

    y=normpdf(x,0,1);

    figure(1)

    plot(x,y,'r');

    %绘制二维正态分布

    x=-20:0.5:20;

    y=-20:0.5:20;

    mu=[-1,2];

    sigma=[1 1; 1 3]; % 输入均值向量和协方差矩阵,可以根据需要修改

    [X,Y]=meshgrid(x,y); % 产生网格数据并处理

    p=mvnpdf([X(:),Y(:)],mu,sigma);

    P=reshape(p,size(X)); % 求取联合概率密度

    figure(2)

    surf(X,Y,P)

    shading interp

    colorbar

    title('条件概率密度函数曲线');

    结果显示:

    一维正态分布:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    二维正态分布:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

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  • 正态分布密度函数,可以一般化地写为 f(x)=kexp⁡[−12(x−b)′A(x−b)] f(x) = k \exp\left[-\dfrac{1}{2}(x-b)' A (x-b)\right] f(x)=kexp[−21​(x−b)′A(x−b)] 事实上,如果某个多维随机变量的密度函数可以...

    正态分布的密度函数,可以一般化地写为
    f(x)=kexp[12(xb)A(xb)] f(x) = k \exp\left[-\dfrac{1}{2}(x-b)' A (x-b)\right]

    事实上,如果某个多维随机变量的密度函数可以写成该形式,那么它就服从正态分布。其中bb是均值,正定矩阵AA是协方差矩阵的逆,它们共同决定了正态分布的形式。而另外一个字母kk,仅仅是归一化系数,它是使得整个密度函数的积分等于11的那个值。

    如果有人背过公式,会发现这个系数的形式比较复杂。本文具体来看看,它是怎么计算出来的。

    由于AA是正定的,必有分解A=CCA=CC'。先做个变换,令xb=(C)1yx-b=(C')^{-1}y,那么
    (xb)A(xb)=yC1A(C)1y=yy (x-b)' A (x-b) = y' C^{-1}A(C')^{-1}y = y'y

    同时,该变换的Jacobian matrix为J=det[(C)1]=1/det(C)J = \det [(C')^{-1}]=1/\det(C)

    假设xxdd维,则yy也是dd维,将其各维写出,有y=(y1,,yd)y = (y_1,\cdots,y_d)'。接下来,对密度函数进行积分:
    f(x)dx1dxd=kexp(12yy)Jdy1dyd=kdet(C)i=1dexp(12yi2)dy1dyd=kdet(C)i=1dexp(12yi2)dyi=kdet(C)i=1d2π=kdet(C)(2π)d/2=k[det(A)]1/2(2π)d/2 \begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx_1 \cdots dx_d\\ =& \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} k\exp(-\dfrac{1}{2}y'y) |J| dy_1 \cdots dy_d\\ =& \dfrac{k}{|\det(C)|} \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \prod_{i=1}^{d}\exp(-\dfrac{1}{2} y_i^2) dy_1 \cdots dy_d\\ =& \dfrac{k}{|\det(C)|} \prod_{i=1}^{d} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\dfrac{1}{2} y_i^2) dy_i \\ =& \dfrac{k}{|\det(C)|} \prod_{i=1}^{d} \sqrt{2\pi} \\ =& \dfrac{k}{|\det(C)|} (2\pi)^{d/2} \\ =& k [\det(A)]^{-1/2} (2\pi)^{d/2} \end{aligned}

    上述积分必定等于11,因此,
    k=(2π)d/2[det(A)]1/2 k=(2\pi)^{-d/2} [\det(A)]^{1/2}

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一维正态分布密度函数