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  • 一维正态分布的定义
    2022-06-09 23:30:18

    在这里插入图片描述
    (1)绘制二维正态分布的密度曲面图;

    library("shape") #需要用drapecol()函数
    library("MASS") #需要用fractions()函数 
    x <- seq(-
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    首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    这只图好大啊~~

    但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用在matlab里画图不太方面,下面换一个

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    这个公式与上面的等价,只不过把向量和矩阵展开,计算出来。我们可以用这个式子画图。

    因为二维函数的形式是:z=f(x,y)

    所以必须先选择一些点,然后计算出f(x,y)。这些点分布在一个平面上,而z则在三维空间。

    如何选择平面上的点阵?

    [x,y]=meshgrid(a,b)

    meshgrid就是这样一个生成点阵的函数,这个meshgrid理解起来有点绕,不过举个例子就马上能力明白了。下面是matlab里面的一段截图:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    我们可以看到meshgrid生成了两个同样大小的矩阵,第一个矩阵是通过把第一个参数[1:3]顺着行的方向复制了4次,4是第二个参数的长度,同样第二个矩阵是第二个参数顺着列的方向复制了三次,3是第一个参数向量的长度。而这个点阵就是:

    (1,2)   (2,2)   (3,2)

    (1,3)   (2,3)   (3,3)

    ...

    看出什么意思了吧?就这个意思。

    至于这两个参数到底怎么选,这样根据你的正态分布的均值,尽量使点阵的中心与分布的均值靠近。

    好了,有了平面上的点,就来算这些点对应的函数值。往函数里套就行,下面是代码:

    最后一句mesh(x,y,Z) 是画图函数,画出的图行大概是下面这个样子:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

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  • 用matlab可以做出二维正态分布密度函数的图像。本文简单介绍二维正态分布及其性质,并给出用matlab的做图程序。...二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。其中最后一个参数r表示的是X与Y的相关系数。如果(X,Y)服...

    用matlab可以做出二维正态分布密度函数的图像。本文简单介绍二维正态分布及其性质,并给出用matlab的做图程序。

    很多现象服从二维正态分布。例如某年龄段小女孩的身高和腿长,某种昆虫的触角长和翼长,成年男子的身高和体重等等。

    二维正态分布概率密度函数的解析式为:

    a6679137fcbf590161ea8b1eb5290530.png

    有的地方记为

    显然,二维正态分布有5个参数。

    二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。其中

    最后一个参数r表示的是X与Y的相关系数。

    如果(X,Y)服从二维正态分布,则X、Y不相关和X、Y独立等价。但是特别注意:若X与Y不独立,则(X,Y)不一定服从二维正态分布,即便r=0的时候。

    用matlab做二维正态分布密度函数图像的程序如下:

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

    u=[1,2];d=[1,2];r=0.3;%给出5个参数值,u是期望向量,d是标准差向量,r是相关系数x=u(1)-3*d(1):0.05:u(1)+3*d(1);%给出x的三倍标准差范围y=u(2)-3*d(2):0.05:u(2)+3*d(2);%给出y的三倍标准差范围[X,Y]=meshgrid(x,y);%生成以x为行,y为列的矩阵part1=(2*pi*d(1)*d(2)*sqrt(1-r^2))^(-1);part2=-1/(2*(1-r^2));partx=(X-u(1)).^2./d(1)^2;party=(Y-u(2)).^2./d(2)^2;partxy=2*r.*(X-u(1)).*(Y-u(2))./(d(1)*d(2));z=part1*exp(part2*(partx-partxy+party));%计算密度函数值mesh(X,Y,z)

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

    运行结果:

    5396531c976b35bc33b520b09892ccce.png

    一般的n维正态分布的定义为:

    e9836feaf401d2dc46d0ca412e4afa53.png

    二维正态分布也可以写成一般正态分布的形式。其中协方差矩阵为:

    2e750633adc55628b50266ed8bc925c1.png

    协方差矩阵的行列式:

    协方差矩阵的逆矩阵:

    39595e5a30d4db7c604448be4f6cdd66.png

    822ded653a3f820a5bdf5c4d01286038.png

    代入n维正态分布密度函数的一般式即可得二维正态分布密度函数解析式。

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  • 本节目录正态分布和相关定义一元正态分布的性质多元正态分布的性质正态分布和相关定义首先是个重要的积分, 即泊松积分, 它在求有关正态分布的一些量时往往有强大的作用. 引理4.1.1 设 , , 则 注记 (1). 特别地, 令...

    本节目录

    • 正态分布和相关定义
    • 一元正态分布的性质
    • 多元正态分布的性质

    正态分布和相关定义

    首先是一个重要的积分, 即泊松积分, 它在求有关正态分布的一些量时往往有强大的作用.

    引理4.1.1

    ,
    , 则

    注记 (1). 特别地, 令
    ,
    可得

    (2). 该引理可以利用留数定理证明; 但也有相对初等的办法, 见课本pp132和pp252.

    定义4.1.2 若随机变量

    有密度函数

    其中

    ,
    ; 则称
    服从
    正态分布
    .
    注记 (1). 要验证
    的确是一个密度函数, 只需要应用引理4.1.1即可.

    (2). 正态分布的分布函数

    不是一个初等函数.
    (3). 习惯上将服从正态分布的随机变量称为 正态变量.
    (4). 分布函数为
    单点分布 [1]可以看作退化的正态分布
    , 正态分布满足的性质退化分布也能算进来.

    (5). 课本pp156-157说明了正态分布是如何导出的.

    称为
    标准正态分布. 若
    , 则可通过标准化
    [2]
    使得
    .

    标准正态分布的密度函数一般记为

    73424e3827a41d456800f9a5f4bfd7aa.png
    φ(x)的图像(截取自课本pp131)

    相应的分布函数一般记为

    2f06f03cafec40a5ff0e9d9d8076b817.png
    Φ(x)的图像(截取自课本pp132)

    一元正态分布的性质

    下设

    .

    定理4.2.1

    ,
    .
    证明 先考虑
    的情况.

    利用柯西判别法能确定
    上绝对可积, 又
    是一个奇函数, 因此
    存在且等于
    .

    利用柯西判别法能确定
    上绝对可积, 因此二阶原点矩
    存在, 且易得

    利用分部积分和引理4.1.1即可得
    , 从而
    .

    利用公式


    即可得在一般情况
    ,
    .
    注记 在求连续型随机变量的矩时务必先验证相应函数是绝对可积的. 课本是直接按一般情况求的期望和方差, 这里利用期望和方差的性质能略微减少计算的难度.

    定理4.2.2

    证明 先考虑标准化了的
    , 这时

    利用
    可知

    利用引理4.1.1知上式等于
    .

    而由于
    是(关于
    )的奇函数, 因此易得

    (注意, 上面的几个广义积分我们都略去了验证绝对可积这一步骤)
    因此
    .

    利用
    即得要证等式.

    对于某种分布(例如正态分布), 如果一对相互独立的随机变量

    服从这种分布蕴含了
    也服从这种分布, 那么称这种分布具有
    再生性. 很多分布都具有再生性, 包括二项分布、泊松分布等等, 验证这类性质用特征函数最为简便.

    定理4.2.3 正态分布具有再生性. 事实上, 若

    ,
    , 且
    相互独立, 那么

    只需看
    的乘积即可.

    多元正态分布的性质

    我们先来看二维正态分布.

    定义4.3.1 若随机向量

    有联合密度函数

    则称

    服从二元正态分布
    .
    注记 (1).
    有典型分解

    可以注意到等号右边, 前一部分是
    的密度函数, 后一部分是
    的密度函数. 对称地可以把相应参数进行对换.

    (2). 利用典型分解可以说明

    即二元正态分布的边际分布也是正态分布.

    定理4.3.2 在定义4.3.1的叙述中,

    的相关系数.
    证明
    的协方差为

    作变量代换

    则上述重积分化为

    上面被积分的函数可以表达为形如
    的形式, 这时可以求得
    , 因此相关系数为
    .
    注记 求二元正态分布相关的量一定要熟悉一些变量代换.

    注意到

    时, 联合密度函数变为

    因此可知

    推论4.3.3 对于服从二元正态分布的随机向量

    ,
    独立当且仅当
    不相关, 当且仅当参数
    .

    课本上pp212的 [例9] 作为反例是值得注意的, 囿于篇幅不再赘述.

    现在我们来定义一般的多元正态分布.

    定义4.3.4 考虑两个列向量

    和一个正定矩阵
    , 定义

    这里矩阵的上标中

    表示取转置,
    表示取逆.
    可以验证(课本pp261)

    若存在某一

    维随机向量
    为联合密度函数, 则称
    服从
    元正态分布
    . 以下讨论(整理自课本第四章第六节)中给定一服从
    元正态分布
    的随机向量
    .

    定理4.3.5

    ,
    的协方差矩阵.

    定理4.3.6

    的特征函数为

    注记 在上式中如果把
    放宽半正定的条件, 则可以拓宽定义4.3.4中正态分布的范围. 当
    时,
    可以看作称为一个
    维子空间上的概率分布, 这类分布称为退化正态分布.

    推论4.3.7 考虑

    的前
    行构成的
    (
    ), 则

    这里

    的前
    行构成的,
    的前
    行前
    列构成的.

    推论4.3.8

    的各个分量两两不相关当且仅当各个分量相互独立.

    定理4.3.9(线性变换不变性)

    , 则
    维随机向量, 且

    条件分布的内容从略, 见课本pp269-271.


    正态分布相当典型, 题目也相当多. 如果有不足之处欢迎指出. 下一节我们整理其他典型分布, 除了熟悉的二项分布、泊松分布、超几何分布, 我们还要整理

    分布、柯西分布等.

    参考

    1. ^也叫退化分布, 即随机变量取值只有某个常数c的分布.
    2. ^标准化的概念是上一节引入的, 但注意我们这时还没有说明正态分布的两个参数μ和σ是期望和方差. 不过通过这一线性变换能将一般正态分布化为标准正态分布是容易验证的.
    展开全文
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