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2020-04-19 10:49:19
待解决的概率论题目
来自《概率论与数理统计》荣腾中，第二版上的第四章A组习题11，我觉得这一题有一定难度。概率论基本知识
- ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π (1) \int _{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}dx}=\sqrt{\pi} \tag{1} ∫−∞+∞e−x2dx=π(1)
- f ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 − ρ 2 exp ( − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ X ) 2 σ X 2 − 2 ρ ( x − μ X ) ( y − μ Y ) σ X σ Y + ( y − μ Y ) 2 σ Y 2 ] ) f(x,y) = {\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[{\frac {(x-\mu _{X})^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}-{\frac {2\rho (x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}+{\frac {(y-\mu _{Y})^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}}\right]\right) f(x,y)=2πσXσY1−ρ21exp(−2(1−ρ2)1[σX2(x−μX)2−σXσY2ρ(x−μX)(y−μY)+σY2(y−μY)2])
- E ( a X + b ) = a E ( X ) + b (2) E(aX+b) = aE(X)+b \tag{2} E(aX+b)=aE(X)+b(2)
-
E
(
x
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
f
(
x
)
d
x
(3)
E(x) = \int _{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx \tag{3}
E(x)=∫−∞+∞xf(x)dx(3)
(1)式可以由夹挤定理和二重积分证明，也可以化为伽马函数 Γ ( x ) \Gamma{(x)} Γ(x)1进行计算，为了便于计算，这里给出一个广义的版本
∫ − ∞ + ∞ e − a ( x + b ) 2 d x = π a (4) \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}} \tag{4} ∫−∞+∞e−a(x+b)2dx=aπ(4)
第2条是二元正态分布的概率密度函数，不得不说，课本上给出的这个形式让人有一种无法完成积分的感觉，这里稍微改变一下形式
f ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 − ρ 2 exp [ − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) ( y − μ Y σ Y − ρ x − μ X σ X ) 2 − ( x − μ X ) 2 2 σ X 2 ] f(x,y) = {\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}} \left( {\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}-\rho{\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)^2 -{\frac {(x-\mu _{X})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right] f(x,y)=2πσXσY1−ρ21exp[−2(1−ρ2)1(σYy−μY−ρσXx−μX)2−2σX2(x−μX)2]
解题方法
对于这种参数不是(0,1)的正态分布，不妨加强原题目，求解在一般情况下 ( μ , σ ) (\mu,\sigma) (μ,σ)的计算结果
解法一 线性变换法
题目已经给出了提示
m a x ( X , Y ) = X + Y + ∣ X − Y ∣ 2 max(X,Y) = \frac{X+Y+|X-Y|}{2} max(X,Y)=2X+Y+∣X−Y∣
E ( m a x ( X , Y ) ) = 1 2 E ( X ) + 1 2 E ( Y ) + 1 2 E ( ∣ X − Y ∣ ) = 1 2 μ X + 1 2 μ Y + 1 2 E ( ∣ X − Y ∣ ) E(max(X,Y)) = \frac{1}{2}E(X)+\frac{1}{2}E(Y) +\frac{1}{2}E(|X-Y|) = \frac{1}{2}\mu_{X}+\frac{1}{2}\mu_{Y}+\frac{1}{2}E(|X-Y|) E(max(X,Y))=21E(X)+21E(Y)+21E(∣X−Y∣)=21μX+21μY+21E(∣X−Y∣)这里引入一条可以由二重积分和特殊函数证明的引理：
正态分布的和或差仍然服从正态分布，
所以它的数学期望为 E ( X ± Y ) = E ( X ) ± E ( Y ) E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y) E(X±Y)=E(X)±E(Y)，
方差为 D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 E [ ( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) ] = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 ρ σ X σ Y D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2E\left[(X-E(X))(Y-E(Y))\right]=D(X)+D(Y)\pm 2\rho\sigma_{X}\sigma_{Y} D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X−E(X))(Y−E(Y))]=D(X)+D(Y)±2ρσXσY
这两个式子都可以由数学期望和方差的性质推出利用性质计算差绝对值的数学期望
令Z=X-Y，这里令E(Z)=021 2 E ( ∣ Z ∣ ) = 1 2 ∫ − ∞ + ∞ ∣ z ∣ f ( z ) d z = ∫ 0 + ∞ z 2 π σ Z e x p ( − z 2 2 σ Z 2 ) d z = σ Z 2 π \frac{1}{2}E(|Z|)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}|z|f(z)dz=\int_{0}^{+\infty}\frac{z}{\sqrt{2\pi}\sigma_{Z}}exp \left(-\frac{z^2}{2\sigma_{Z}^2} \right)dz=\frac{\sigma_{Z}}{\sqrt{2\pi}} 21E(∣Z∣)=21∫−∞+∞∣z∣f(z)dz=∫0+∞2πσZzexp(−2σZ2z2)dz=2πσZ
σ Z = σ X 2 + σ Y 2 − 2 ρ σ X σ Y \sigma _{Z}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}-2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}} σZ=σX2+σY2−2ρσXσY
代入本题的数据可得
E ( m a x ( X , Y ) ) = 2 + 1 − ρ π E(max(X,Y))=2+\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}} E(max(X,Y))=2+π1−ρ解法二 积分法
直接莽就完事了，强行积分
E ( m a x ( x , y ) ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ m a x ( x , y ) f ( x , y ) d x d y E(max(x,y))=\int_{-\infty}^{+\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}{max(x,y)f(x,y)dxdy}} E(max(x,y))=∫−∞+∞∫−∞+∞max(x,y)f(x,y)dxdy
= ∫ ∫ x > y x f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ y > x y f ( x , y ) d x d y =\int{\int_{x>y}{xf(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{yf(x,y)dxdy}} =∫∫x>yxf(x,y)dxdy+∫∫y>xyf(x,y)dxdy
= ∫ ∫ x > y ( x − 2 + 2 ) f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ y > x ( y − 2 + 2 ) f ( x , y ) d x d y =\int{\int_{x>y}{(x-2+2)f(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{(y-2+2)f(x,y)}dxdy} =∫∫x>y(x−2+2)f(x,y)dxdy+∫∫y>x(y−2+2)f(x,y)dxdy
= 2 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ x > y ( x − 2 ) f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ y > x ( y − 2 ) f ( x , y ) d x d y =2\int_{-\infty}^{+\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}}f(x,y)dxdy+\int{\int_{x>y}{(x-2)f(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{(y-2)f(x,y)dxdy}} =2∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy+∫∫x>y(x−2)f(x,y)dxdy+∫∫y>x(y−2)f(x,y)dxdy
可以看出第一项等于2,第二三项 x x x和 y y y可以轮换，所以只计算一个即可,这里进行换元积分
变 量 代 换 u = x − 2 , v = ( y − 2 ) − ρ ( x − 2 ) 1 − ρ 2 变量代换u=x-2,v=\frac{(y-2)-\rho{(x-2)}}{\sqrt{1-\rho^2}} 变量代换u=x−2,v=1−ρ2(y−2)−ρ(x−2)
则 J ( u , v ) = ∣ ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ∣ = 1 − ρ 2 则J{ \left( {u,v} \right) }=\left|\frac{{ \partial { \left( {x,y} \right) }}}{{ \partial { \left( {u,v} \right) }}} \right|=\sqrt{1-\rho^2} 则J(u,v)=∣∣∣∣∂(u,v)∂(x,y)∣∣∣∣=1−ρ2
2 ∫ ∫ x > y ( x − 2 ) f ( x , y ) d x d y = 1 π ∫ ∫ u > 1 + ρ 1 − ρ v u e x p ( − u 2 + v 2 2 ) d u d v 2\int{\int_{x>y}{(x-2)f(x,y)dxdy}}=\frac{1}{\pi}\int{\int_{u>\sqrt{\frac{1+\rho}{1-\rho}}v}{uexp(-\frac{u^2+v^2}{2})dudv}} 2∫∫x>y(x−2)f(x,y)dxdy=π1∫∫u>1−ρ1+ρvuexp(−2u2+v2)dudv
= 1 π ∫ − ∞ + ∞ ∣ − e x p ( − u 2 + v 2 2 ) ∣ 1 + ρ 1 − ρ v + ∞ d v = ∫ − ∞ + ∞ e x p ( − 1 + ρ 1 − ρ v 2 + v 2 2 ) d v =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\left| -exp(-\frac{u^2+v^2}{2})\right|_{\sqrt{\frac{1+\rho}{1-\rho}}v}^{+\infty}dv}=\int_{-\infty}^{+\infty}{exp(-\frac{\frac{1+\rho}{1-\rho}v^2+v^2}{2})}dv =π1∫−∞+∞∣∣∣∣−exp(−2u2+v2)∣∣∣∣1−ρ1+ρv+∞dv=∫−∞+∞exp(−21−ρ1+ρv2+v2)dv
= 1 π ∫ − ∞ + ∞ e x p ( − v 2 1 − ρ ) d v = 1 π ( 1 − ρ ) π = 1 − ρ π =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{exp(-\frac{v^2}{1-\rho})}dv=\frac{1}{\pi}\sqrt{(1-\rho)\pi}=\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}} =π1∫−∞+∞exp(−1−ρv2)dv=π1(1−ρ)π=π1−ρ
所 以 E ( m a x ( x , y ) ) = 2 + 1 − ρ π 所以E(max(x,y))=2+\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}} 所以E(max(x,y))=2+π1−ρ总结
- 概率论与数理统计课程一般不要求掌握这种带相关性的计算，最多也就是两个独立的正态分布求一些期望，这时没有相关系数 ρ \rho ρ直接积分就可以了，也可以利用独立变量正态分布可加性3来计算
Gamma公式 Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! ∀ n ∈ N \Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N Γ(n)=(n−1)!∀n∈N 通过欧拉积分，有
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t . \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,. Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt. ↩︎若E(Z)不等于0，需要用到erf(x)来计算这个积分，这样的积分并不是初等函数可以求解的 e r f ( x ) = 1 π ∫ − x x e − x 2 d x erf(x) = \frac{1}{\sqrt\pi}\int_{-x}^{x}e^{-x^2}dx erf(x)=π1∫−xxe−x2dx这里不展开讨论 ↩︎
若 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) X\sim N(\mu_1,\sigma_{1}^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_{2}^2) X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22),且X,Y相互独立,那么
a X + b Y + c ∼ N ( a μ 1 + b μ 2 + c , a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2 ) aX+bY+c \sim N(a\mu_{1}+b\mu_{2}+c,a^2\sigma_{1}^2+b^2\sigma_{2}^2) aX+bY+c∼N(aμ1+bμ2+c,a2σ12+b2σ22) ↩︎
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概率论笔记（六）一维正态分布/二维正态分布/多维正态分布
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一：一维正态分布
二：二维正态分布/多维正态分布
三：各向同性正态分布
各向同性的高斯分布（球形高斯分布）指的是各个方向方差都一样的多维高斯分布，协方差为正实数与identity matrix（单位矩阵）相乘。
注：即方差都是一样的，均值不一样，方差的值可以单独用标量表示。
参考链接：
https://www.cnblogs.com/jiangkejie/p/12939776.html
https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/92842869#comments_13760339
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我们知道,一个随机向量 X = X= X= ( X 1 , ⋯ , X n ) \left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right) (X1,⋯,Xn)的分布 F F F足以决定其任一分量 X i X_{i} Xi的 ( \left(\right. (边缘)分布 F i F_{i} Fi, 但反过来不对: 即使知道了所有 X i X_{i} Xi的边缘分布 F i , i = 1 , ⋯ , n F_{i}, i=1, \cdots, n Fi,i=1,⋯,n, 也不足以决定 X X X的分布 F F F.而二维正态分布就是一个典型例子.
例如,考察边际分布为 N ( 25 , 16 ) N\left(25, 16\right) N(25,16)和 N ( 25 , 64 ) N\left(25, 64\right) N(25,64)在不同 ρ \rho ρ下的联合分布.下面三张图展示了 ρ = 0 , 0.5 , − 0.5 \rho=0,0.5,-0.5 ρ=0,0.5,−0.5时对应的概率密度.他们显然是不同的分布.
那么,为什么 ρ \rho ρ不同,分布就不同?书中给出的解释是 ρ \rho ρ刻画了两个分量 X 1 X_1 X1, X 2 X_2 X2的关系,不同的关系导致不同的联合分布.那么,究竟是如何刻画的呢?我认为可以从两个角度考察.
中心点
设 ( X 1 , X 2 ) \left(X_{1}, X_{2}\right) (X1,X2)服从二维正态分布 N ( a , b , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) N\left(a, b, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right) N(a,b,σ12,σ22,ρ). 在给定 X 1 = x 1 X_{1}=x_{1} X1=x1的条件下, X 2 X_{2} X2的条件密度函数
f 2 ( x 2 ∣ x 1 ) = 1 2 π σ 2 1 − ρ 2 ⋅ exp [ − ( x 2 − ( b + ρ σ 2 σ 1 − 1 ( x 1 − a ) ) ) 2 2 ( 1 − ρ 2 ) σ 2 2 ] \begin{aligned} f_{2}\left(x_{2} \mid x_{1}\right)=& \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}}} \\ & \cdot \exp \left[-\frac{\left(x_{2}-\left(b+\rho \sigma_{2} \sigma_{1}^{-1}\left(x_{1}-a\right)\right)\right)^{2}}{2\left(1-\rho^{2}\right) \sigma_{2}^{2}}\right] \end{aligned} f2(x2∣x1)=2πσ21−ρ21⋅exp[−2(1−ρ2)σ22(x2−(b+ρσ2σ1−1(x1−a)))2]
这正是正态分布 N ( b + ρ σ 2 σ 1 − 1 ( x 1 − a ) , σ 2 2 ( 1 − ρ 2 ) ) N\left(b+\rho \sigma_{2} \sigma_{1}^{-1}\left(x_{1}-a\right), \sigma_{2}^{2}\left(1-\rho^{2}\right)\right) N(b+ρσ2σ1−1(x1−a),σ22(1−ρ2))的概率密度函数.根据这个公式,我们可以推出,若 ρ > 0 \rho>0 ρ>0, 则随着 x 1 x_{1} x1的增加, X 2 X_{2} X2(在 X 1 = x 1 X_{1}=x_{1} X1=x1之下) 的条件分布的中心点 m ( x 1 ) m\left(x_{1}\right) m(x1)随 x 1 x_{1} x1的增加而增加. 可以看出: 这意味着当 x 1 x_{1} x1增加时, X 2 X_{2} X2取大值的可能性增加, 即 X 2 X_{2} X2有随着 X 1 X_{1} X1的增长而增长.若 ρ < 0 \rho<0 ρ<0则情况相反.若 ρ = 0 \rho=0 ρ=0则无关.
回到之前的例子,我们考察 r h o = 0.5 rho=0.5 rho=0.5时, X 1 = 15 , 25 , 35 X_1=15,25,35 X1=15,25,35下 X 2 X_2 X2的条件分布.结果如下.可以看到,随着 x 1 x_1 x1的增加, X 2 X_2 X2的条件分布的中心值不断右移.
集中程度
根据公式 N ( b + ρ σ 2 σ 1 − 1 ( x 1 − a ) , σ 2 2 ( 1 − ρ 2 ) ) N\left(b+\rho \sigma_{2} \sigma_{1}^{-1}\left(x_{1}-a\right), \sigma_{2}^{2}\left(1-\rho^{2}\right)\right) N(b+ρσ2σ1−1(x1−a),σ22(1−ρ2))可知条件分布的参数 σ = σ 2 2 ( 1 − ρ 2 ) \sigma=\sigma_{2}^{2}\left(1-\rho^{2}\right) σ=σ22(1−ρ2).而 σ \sigma σ刻画了数据的集中程度. ∣ σ ∣ |\sigma| ∣σ∣越大,数据越是集中于中心点.
若 ∣ ρ ∣ = 0 |\rho|=0 ∣ρ∣=0,则 σ = σ 2 \sigma=\sigma_2 σ=σ2,说明 X 2 X_2 X2分布的集中程度不受 X 1 X_1 X1影响.现在考虑极端情况,假如 ∣ ρ ∣ = 1 |\rho|=1 ∣ρ∣=1,那么 σ = 0 \sigma=0 σ=0,由一维正态分布的性质可以知道 X 2 X_2 X2的取值全部集中于 m ( X 1 ) m(X_1) m(X1).也就是说, X 2 X_2 X2是 X 1 X_1 X1的函数,其取值由 X 1 X_1 X1完全决定.
下图为 ρ = 0.999 \rho=0.999 ρ=0.999时 X 2 X_2 X2的条件分布
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连续型概率分布——正态分布（一维）
2018-05-24 17:49:26在正式开始之前，还是把维基百科上面的科普拎出来过一遍正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。1. 正态分布的定义如果对于任何实数a&...展开全文今天想总结一下正太分布，但是如果按照维基百科上面的讲法，就太过复杂了，所以这里着重讲正态分布在实际生活中的作用以及简单的计算方法，也就是高中所学过的关于正态分布的知识。
在正式开始之前，还是把维基百科上面的科普拎出来过一遍
正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
1. 正态分布的定义
如果对于任何实数a<b，随机变量X满足：
则称X的分布为正态分布。
正态分布由参数μ、σ唯一确定，μ、σ分别表示总体的平均数和标准差。正太分布记作N(μ, σ²). 其中图像称为正太曲线。
如果随机变量X服从正态分布，则记作：
X~N(μ, σ²)。（EX=μ DX=σ）
2. 正态曲线的性质
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。
（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称。
（3）曲线在x=μ处达到峰值
。
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（5）方差相等、平均数不等的正态分布图示
（6）平均数相等、方差不等的正态分布图示
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。
（7）正态曲线下的概率规律（*）
- 对称区域面积相等
3. 特殊区间的概率：
若X~N(μ, σ²)，则对于任何实数a>0, 概率
特别地有（熟记）
我们从上图看到，正态总体在（μ-2σ，μ+2σ）以外取值的概率只有4.6%，在（μ-3σ， μ+3σ）以外取值的概率只有0.3%。
由于这些概率值很小（一般不超过5%），通常称这些情况发生为小概率时间。
实际运用中就只考虑这个区间，称为3σ原则。
4. 应用举例
例1： 若X~N(5,1), 求P(6<X<7)。
解：μ=5，σ=1
正态总体在（3，7）的区间内取值的概率为0.954
正态总体在（4，6）区间内取值的概率为0.683
P(6<X<7) = （0.954-0.683）/2 = 0.1355
例2：在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，及ξ~N(90,100)。
（1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110）上的概率是多少？ 0.954
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）见的考生大约有多少人？
解： 0.683*2000 = 1366
这里主要讲的是一维正态分布，接下来会讲一下二维正态分布。
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正态分布及其性质
2015-08-20 13:43:41正态分布也称为高斯分布。客观世界中很多变量都服从或近似服从正态分布，且正态分布具有很好的数学性质，所以正态分布也是人们研究最多的分布之一。本文对正态分布的性质做归纳总结，方便日后查找。 -
【python讲概率】S05E06 多元正态分布及其性质
2020-12-23 09:58:12在前面的章节中，我们介绍了多元随机变量的有关概念，重点围绕着多元随机变量的联合概率、条件与边缘概率分布以及独立...1.再谈相关性：基于多元正态分布很简单，我们举一个例子，之前我们介绍过随机变量的正态分布... -
正态分布的KL散度
2022-05-08 17:08:33一维正态分布的KL散度证明思路 记q(x)=N(x;μ1,σ12),p(x)=N(x;μ2,σ22),ϕ(x)=logq(x)p(x)=c2x2+c1x+c0q(x) = \mathcal{N}(x; \mu_1, \sigma_1^2), p(x) = \mathcal{N}(x; \mu_2, \sigma_2^2), \phi(x) = \log \... -
n元（维）正态分布（The multivariate normal distribution）
2017-12-18 14:51:13在学习高斯判别分析（Gaussian discriminant analysis）时，出现了n元正态分布的密度函数，函数中出现了矩阵，弄得大家一头雾水。其实这个公式在大部分概率论书籍中都没有提到，不过，简要推导一下，就可以得到结果... -
详解Box-Muller方法生成正态分布
2021-07-14 01:05:354}) plt.title('PDF Normal 1D from 2D') plt.show() Box-Muller 原理 虽然无法直接用逆变换方法生成一维正态分布，但我们却能通过先生成二维的正态分布，利用上面一节的性质，生成一维正态分布。 而 Box-... -
numpy生成正态分布数组的问题
2020-12-21 19:36:56的正态分布(平均值为0，标准差为1)的ndarraynormal(size=(N,M,...)) 生成一个NM...的正态(高斯)分布的ndarray>>> import numpy as np>>> np.random.normal(size=(3,4))array([[-0.80403424... -
多元正态分布的性质和定理
2018-04-11 22:38:56X_n]^T服从多元高斯分布，均值为μ∈Rnμ∈Rn\mu \in R^n(这里μμ\mu是一个n维向量)，协方差矩阵为Σ∈S++nΣ∈S++n\Sigma \in {S_{++}}^n ，(S++nS++n{S_{++}}^n 是对称的正定矩阵)，概率密度函数： p(x;μ,Σ)... -
MATLAB实现正态分布ML（极大似然）估计
2021-04-26 19:36:38极大似然估计详解下面用MATLAB实现正态分布的ML估计% 二维正态分布的两分类问题 (ML估计)clc;clear;% 两个类别数据的均值向量Mu = [0 0; 3 3]';% 协方差矩阵S1 = 0.8 * eye(2);S(:, :, 1) = S1;S(:, :, 2) = S1;% ... -
正态分布图的制作方法
2012-12-14 20:14:08正态分布图的制作方法excel有个数据分析工具,里面可以做直方图,但是正态分布图不能直接做。 若要两种图都显示,那么就需要用到函数了。 -
【数学基础】详解Box-Muller方法生成正态分布
2021-07-14 00:35:064}) plt.title('PDF Normal 1D from 2D') plt.show() Box-Muller 原理 虽然无法直接用逆变换方法生成一维正态分布，但我们却能通过先生成二维的正态分布，利用上面一节的性质，生成一维正态分布。 而 Box-... -
如何把密度函数化为标准正态二维分布_概率ch3_2 边缘分布
2020-11-20 13:49:12二维正态分布的概率密度和边缘分布(数1了解、数3掌握)三、第3章考研必做习题第3章习题：1、2、3、6、9、10、13、14、15、16、17、18、20第二节 边缘分布一、边缘分布函数二、离散型随机变量的边缘分布律三、连... -
多元正态分布
2019-10-06 14:48:08随即变量概率分布 我们将p个随机变量X1，X2，X3...Xp整体称为p维随机向量，... 其概率分布参照一维随机变量即可 离散型随机变量： 连续型随机变量： 考点： 1.证明某函数是密度函数 ... -
正态分布-统计百科- 人大经济论坛-经管百科
2021-04-24 13:59:03正态分布(normal distribution)什么是正态分布编辑本段回目录正态分布是一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机... -
正态分布简单介绍
2019-12-10 18:49:34若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2σ^2σ2的高斯分布，记为：X∼N(μ,σ2σ^2σ2)。 其概率密度函数为： f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2,−∞<x<...
