高维分布一直都是一个很抽象的概念，本人在学的时候很多概念不太能理解，于是使用了Matlab进行了可视化。并对均值、方差以及相关系数进行了调整。
图中x,y为两个变量的取值，z为出现的概率密度。
x=-20:0.5:20;
y=-20:0.5:20;
u1 = 0;          %均值
u2 = 0;        
sigma1 = 2;      %方差
sigma2 = 2;
rou = 0;     %相关系数
mu=[-1,2];
[X,Y]=meshgrid(x,y); % 产生网格数据并处理
p = 1/(2*pi*sigma1*sigma2*sqrt(1-rou*rou)).*exp(-1/(2*(1-rou^2)).*[(X-u1).*(X-u1)/(sigma1*sigma1)-2*rou*(X-u1).*(Y-u2)/(sigma1*sigma2)+(Y-u2).*(Y-u2)/(sigma2*sigma2)]);
figure(1)
surf(X,Y,p)
shading interp
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数曲线');

变量x的均值为0，方差为2，变量y的均值为0，方差为2，相关系数为0：




x=-20:0.5:20;
y=-20:0.5:20;
u1 = 2;          %均值
u2 = 0;        
sigma1 = 5;      %方差
sigma2 = 2;
rou = 0;     %相关系数
mu=[-1,2];
[X,Y]=meshgrid(x,y); % 产生网格数据并处理
p = 1/(2*pi*sigma1*sigma2*sqrt(1-rou*rou)).*exp(-1/(2*(1-rou^2)).*[(X-u1).*(X-u1)/(sigma1*sigma1)-2*rou*(X-u1).*(Y-u2)/(sigma1*sigma2)+(Y-u2).*(Y-u2)/(sigma2*sigma2)]);
figure(1)
surf(X,Y,p)
shading interp
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数曲线');

变量x的均值为2，方差为5，变量y的均值为0，方差为2，相关系数为0。 发现图像位置发生了平移，而且截面从圆形变成了椭圆：




x=-20:0.5:20;
y=-20:0.5:20;
u1 = 2;          %均值
u2 = 0;        
sigma1 = 5;      %方差
sigma2 = 2;
rou = 0.5;     %相关系数
mu=[-1,2];
[X,Y]=meshgrid(x,y); % 产生网格数据并处理
p = 1/(2*pi*sigma1*sigma2*sqrt(1-rou*rou)).*exp(-1/(2*(1-rou^2)).*[(X-u1).*(X-u1)/(sigma1*sigma1)-2*rou*(X-u1).*(Y-u2)/(sigma1*sigma2)+(Y-u2).*(Y-u2)/(sigma2*sigma2)]);
figure(3)
surf(X,Y,p)
shading interp
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数曲线');

变量x的均值为2，方差为5，变量y的均值为0，方差为2，相关系数为0.5。 发现图像发生了旋转。变量x和变量y开始有同样的变化趋势：





大家可以改变参数自行调试。

原文地址1：https://www.face2ai.com/Math-Probability-5-10-The-Bivariate-Normal-Distributions转载请标明出处
Abstract: 本文介绍第一个多变量连续分布——双变量正态分布(本篇内有未证明定理，需要后续要补充 )

Keywords: The Bivariate Normal Distributions

二维正态分布
今天我们来研究双变量的正态分布，多变量，连续分布。

对于某些研究者，可能用正态分布来非常好的描述某个随机变量，那么如果我们有两个随机变量，都可以用正态分布描述，而且他们之间存在关系，这时候我们就可以用一个双变量正态分布来描述了这两个变量之间的关系，并且这个二维分布的边缘分布，还是这两个随机变量单变量的分布。5.6中 我们介绍了某些有正态分布的独立随机变量的线性组合还是正态分布。但是双变量正态分布（联合分布）可以是相关的。
二维正态分布的定义和来源 Definition and Derivation of Bivariate Normal Distributions

Theorem Suppose that $Z_1$ and $Z_2$ are independent random variables,each of which has the standard normal distribution.Let $\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2$ ,and $\rho$ be constants such that $-\infty<\mu_i<\infty(i=1,2)$ , $\sigma_i>0(i=1,2)$  ,and $-1<\rho<1$ . Define two new random variables $X_1$ and $X_2$ as follows:

$X_1=\sigma_1Z_1+\mu_1\\
X_2=\sigma_2[\rho Z_1+(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}Z_2]+\mu_2 \tag{5.10.1}$

The joint p.d.f. of $X_1$ and $X_2$ is

$f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})^2-2\rho(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})+(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2]}
\tag{5.10.2}$

上面这个定理的证明需要定理3.9.5 ，而定理3.9.5是个选证题，也就是说会在我们后面的高级课程中进行证明，所以这个定理也就没法证明了，在证明了3.9.5 以后，我们会对此定理进行证明。

Theorem Suppose that $X_1$ and $X_2$ have the joint distribution whose p.d.f. is given by Eq.(5.10.2) Then there exist independent standard normal random variables $Z_1$ and $Z_2$ such that Eqs (5.10.1) hold .Also,the mean of $X_i$ is $\mu_i$ and the variance  of $X_i$ is $\sigma_i^2$ for $i=1,2$ .Furthermore the correlation between $X_1$ and $X_2$ is $\rho$ .Finally,the marginal distribution of $X_i$ is the normal distribution with mean $\mu_i$ and variance $\sigma_i^2$ for $i=1,2$

此定理的证明也需要 3.9.5 的结论，所以我们目前只做不严谨的推理，两个联合分布如5.10.2，那么他们中的一个随机变量的分布（也就是联合变量的边缘分布）就是一个正态分布。均值和方差可求。

Definition Bivariate Normal Distributions.When the joint p.d.f. of two random variables $X_1$ and $X_2$ is of the form in Eq(5.10.2),it is said that $X_1$ and $X_2$ have the bivariate normal distribution with mean $\mu_1$ and $\mu_2$ variance $\sigma_1^2$ and $\sigma_2^2$ ,and correlation $\rho$

以上就是第一部分要讲的内容，两个没证明的定理，和一个定义，这篇文章看起来有点水，确实是这样，但是如果没有知识又不完全，算是个占位符，但是双变量正态分布这个用途确实太多了，举个最简单的例子，我们的身高体重，就经常用双变量的正态分布来建模。
二维正态分布的性质 Properties of Bivariate Normal Distributions
接下来我们来研究一下双变量正态分布的性质

Theorem Independence and Correlation.Two random variables $X_1$ and $X_2$ that have a bivariate normal distribution are independent if and only if they are uncorrelated.

两个随机变量有一个双变量正态分布，那么他们独立的充分必要条件是他们不相关。

来回忆一下独立性和相关性，独立性是两个随机变量分布之间满足 $f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$ 这时 $X,Y$ 独立，不相关是说 $\rho(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X^2\sigma_Y^2}=0$ 的时候两个变量不相关，相关性(点击传送)的介绍中对于任何随机变量的分布，独立性都能推出不相关，但是不相关不能推出独立，所以为了证明本定理我们可以只证明，if过程，也就是不相关来推到独立，另一部分在相关性的文章中已经证明了。

证明 if 过程：

假设两个变量不相关，所以当 $\rho=0$ 从公式 5.10.2 中可以看出 $f(x_1,x_2)$ 可以被分解成两个分布相乘的形式，所以，我们可以得到这两个边缘分布独立。

证毕。

双变量的正态分布，不相关就独立，独立就不相关，在别的分布下不一定成立！

当相关性不为0的时候，我们会得到下面这个定理，就是一个变量再另一个变量给定情况下的分布。

Theorem Conditional Distribution.Let $X_1$ and $X_2$ have the bivariate normal distribution whose p.d.f. is Eq.(5.10.2) .The conditional distribution of $X_2$ given that $X_1=x_1$ is the normal distribution with mean and variance given by

$\begin{aligned}
E(X_2|x_1)&=\mu_2+\rho\sigma_2(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})\\
Var(X_2|x_1)&=(1-\rho^2)\sigma_2^2
\end{aligned}$

当两个变量的联合分布为双变量正态分布，并且他们相关的时候，已知一个变量怎么来计算条件分布呢？

证明：

给定条件 $X_1=x_1$ 等价于给定 $Z_1=\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}$
那么我们只需要证明给定条件 $Z_1=\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}$ 下的 $X_2$ 的分布。
那么把 $Z_1=\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}$ 带入到式子 5.10.1中的第二个公式。
那么给定条件 $X_1=x_1$ 下的 $X_2$ 的分布，等价于给定条件 $Z_1=\frac{(x_1-\mu_1)}{\sigma_1}$ 下，以下关系式的分布：

$(1-\rho^2)^{1/2}\sigma_2Z_2+\mu_2+\rho\sigma_2(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})\tag{5.10.7}$
上式可见 $Z_2$ 是唯一的随机变量，并且 $Z_1$ 和 $Z_2$ 是独立的，所以 $X_2$ 在给定 $X_1=x_1$ 的条件下是 5.10.7 的边缘分布
所以条件期望和条件方差如 5.10.6 所写。
证毕

同理可以证明，

给定条件 $X_2=x_2$ 时 $X_1$ 的分布也是正态分布，并且其期望和方差如下

$E(X_1|x_2)=\mu_1+\rho\sigma_1(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})\\
Var(X_1|x_2)=(1-\rho^2)\sigma_1^2$
上面这两个结论可以看出，当两个变量相关的 $\rho\neq 0$ 时， $E(X_2|x_1)$ 是 $x_1$ 的线性函数，并且 $\rho$ 是斜率。并且此时条件方差是不依赖于条件的。条件方差比边缘概率的方差小，也就是说 $Var(X_1|X_2=x_2)< \sigma_2$ .

这里可以简单的给个🌰 的大概描述：

在一群人中进行建模，得到一个身高和体重的二维联合分布，是正态分布。已知一个人的身高预测他的体重，和不知道身高预测体重，是完全不同的两个过程，一个是条件期望，一个是边缘分布的期望，因为两个随机变量相关，所以必然用条件期望更准确一些（误差更小一点）。

Linear Combination
线性组合我们只证明一个定理：

Theorem Linear Combination of Bivariate Normals.Suppose that two random variables $X_1$ and $X_2$ have a bivariate normal distribution ,for which the p.d.f is specified by Eq.(5.10.2).Let $Y=a_1X_1+a_2X_2+b$ ,where $a_1,a_2$ and $b$ are arbitrary given constants .Then $Y$ has the normal distribution with mean $a_1\mu_1+a_2\mu_2+b$ and variance

$a_1^2\sigma_1^2+a_2^2\sigma_2^2+2a_1a_2\rho\sigma_1\sigma_2$

当两个变量的联合分布是双变量正态分布的时，其和是一个正态分布，并且期望和方差满足上述关系。
证明：

依据双变量正态分布的定义，我们可以用 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的线性组合来表示 $X_1$ 和 $X_2$ 的线性组合。
$Z_1$ 和 $Z_2$ 独立（已知条件）
$Y$ 可以表示成$Z_1$ 和 $Z_2$ 的线性组合
根据5.6中推论 Y还是正态分布，并且期望为：

$\begin{aligned}
E(Y)&=a_1E(X_1)+a_2E(X_2)+b\\
&=a_1\mu_1+a_2\mu_2+b
\end{aligned}$
根据4.6 中的推论： $Var(Y)=a_1^2 Var(X_1)+a_2^2 Var(X_2)+2a_1a_2 Cov(X_1,X_2)$
证毕

总结
给出了两个变量的正态分布的定义（这个定理中给出了双变量正态分布的所有有用性质的根本），双变量正态分布的性质的证明主要用到这个定理（本篇第一个定理），所以本篇第一个定理是关键中的关键。

正态分布也称为高斯分布。客观世界中很多变量都服从或近似服从正态分布，且正态分布具有很好的数学性质，所以正态分布也是人们研究最多的分布之一。本文对正态分布的性质做归纳总结，方便日后查找。

一、单变量正态分布 

单元正态分布的概率密度函数为： 

 $$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\{-\frac12(\frac{x-\mu}{\sigma})^2\} \tag{1}$$  

其中，$x$为随机变量，$\mu$为$x$的期望，$\sigma$为$x$的标准差，$\sigma^2$为$x$的方差，记作：$N(\mu,\sigma^2)$，即： 

 $$\mu=E\{x\}=\int_{-\infty}^{\infty}xp(x)dx \tag{2}$$  

 $$\sigma^2=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2p(x)dx \tag{3}$$  

当$\mu=0,\sigma^2=1$时称为标准正态分布 

其图像就长成这个样子： 

 

单元正态分布有以下规律：



$\sigma$越大，图形越扁平，数据分散程度越大；$\sigma$越小，图形越瘦高，数据分散程度越小。
约69.27%的样本落在$(\mu-\sigma,\mu+\sigma)$之间
约95%的样本落在$(\mu-2\sigma,\mu+2\sigma)$之间
约99%的样本落在$(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$之间


二、多元正态分布 

多元的正态分布看起来是有点复杂啦，性质也比较多，小编记不住，只好烂笔头啦。 

1.概率密度函数 

多元正态分布的概率密度函数是： 

 $$p(x)=\frac{1}{(2\pi)^\frac{d}{2}|\Sigma|^\frac{1}{2}}exp\{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\} \tag{4}$$  

这个式子看起来很复杂，不过一般是不用记住，但是要了解里面各项的含义： 

$x=[x_1,x_2,\cdots,x_d]^T$是$d$维列向量，也是变量； 

$\mu=[\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_d]^T$是$d$维均值向量； 

$\Sigma$是$d\times d$维协方差矩阵，$\Sigma^{-1}$是$\Sigma$的逆矩阵，$|\Sigma|$是$\Sigma$的行列式； 

向量$(x-\mu)^T$是向量$(x-\mu)$的转置。


更具体的说，对于以上变量中的每一项： 

 $$\mu_i=E\{x_i\}=-\int_{-\infty}^{\infty}x_ip(x_i)dx_i \tag{5}$$  

 $$p(x_i)=\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}p(x)dx_1dx_2\cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_d \tag{6}$$  

 $$\sigma_{ij}=E[(x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)]=\\\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}(x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)p(x_i,x_j)dx_idx_j \tag{7}$$  

 $$\Sigma=\left[ \begin{matrix}   \sigma_{11} & \sigma_{12} & ... & \sigma_{1d} \\   \sigma_{12} & \sigma_{22} & ... & \sigma_{2d}\\ ... & ... & ... & ... \\   \sigma_{1d} & \sigma_{2d} & ... & \sigma_{dd}\end{matrix} \right] \tag{8}$$  

可以看到，$x_i$的方差就是对角线身上的元素$\sigma_{ii}=\sigma_i^2$,非对角线上的元素$\sigma_{ij}$为$x_i$和$x_j$的协方差。 

2.多元正态分布的性质 

多元正态分布有很多易于分析的性质，这里就对几个常用的性质进行说明。 

(1)参数的决定性 

由定义公式(4)可以看出，整个分布是由参数$\mu$和$\Sigma$决定的，同时$\mu$中有$d$个参数（因为是$d$维向量），$\Sigma$之中的独立元素是$\frac{d(d+1)}{2}$（因为$\Sigma$是对称矩阵），所以整个分布是由$d+\frac{d(d+1)}{2}$个元素决定的。 

(2)不相关性等价于独立性 

一般来说，如果两个随机变量$x_i,x_j$之间不相关，并不能说明它们之间独立。若$x_i,x_j$相互独立则两者一定不相关，反之则不成立。两者定义如下： 

 $$\begin{cases}
E\{x_ix_j\}=E\{x_i\}E\{x_j\} & 随机变量x_i,x_j不相关\\
p\{x_ix_j\}=p\{x_i\}p\{x_j\} & 随机变量x_i,x_j独立
\end{cases}$$  

但，对于多元正态分布，对任意两个分量$x_i,x_j$，若两者不相关，则两者一定独立。换句话说，在正态分布中，不相关性等价于独立性。 

(3)多元正态分布的边缘分布和条件分布仍然是正态分布 

(4)多元正态随机向量的线性变换仍然为多元正态分布的随机向量 

即：若$x=[x_1,x_2,\cdots,x_d]^T$为正态分布随机变量，$y=Ax$且A是非奇异线性变换矩阵，则$y$也是正态分布，且均值为$A\mu$，协方差矩阵为$A\Sigma A^T$ 

(5)线性组合保持正态性 

若$x$是多元正态随机向量，$\alpha$是与$x$同维的向量，则$y=\alpha^Tx$是一维的正态随机变量。

分析正态分布的艺术
待解决的概率论题目
概率论基本知识
解题方法
解法一 线性变换法
解法二 积分法
总结

待解决的概率论题目


来自《概率论与数理统计》荣腾中，第二版上的第四章A组习题11，我觉得这一题有一定难度。
概率论基本知识

$\int _{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}dx}=\sqrt{\pi} \tag{1}$
$f(x,y) = {\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[{\frac {(x-\mu _{X})^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}-{\frac {2\rho (x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}+{\frac {(y-\mu _{Y})^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}}\right]\right)$
$E(aX+b) = aE(X)+b \tag{2}$
$E(x) = \int _{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx \tag{3}$

(1)式可以由夹挤定理和二重积分证明，也可以化为伽马函数$\Gamma{(x)}$进行计算，为了便于计算，这里给出一个广义的版本

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}  \tag{4}$

第2条是二元正态分布的概率密度函数，不得不说，课本上给出的这个形式让人有一种无法完成积分的感觉，这里稍微改变一下形式

$f(x,y) = {\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}} \left( {\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}-\rho{\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)^2 -{\frac {(x-\mu _{X})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right]$

解题方法

对于这种参数不是(0,1)的正态分布，不妨加强原题目，求解在一般情况下$(\mu,\sigma)$的计算结果

解法一 线性变换法
题目已经给出了提示

$max(X,Y) = \frac{X+Y+|X-Y|}{2}$

$E(max(X,Y)) = \frac{1}{2}E(X)+\frac{1}{2}E(Y) +\frac{1}{2}E(|X-Y|) = \frac{1}{2}\mu_{X}+\frac{1}{2}\mu_{Y}+\frac{1}{2}E(|X-Y|)$
这里引入一条可以由二重积分和特殊函数证明的引理：

正态分布的和或差仍然服从正态分布，

所以它的数学期望为$E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y)$，

方差为$D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2E\left[(X-E(X))(Y-E(Y))\right]=D(X)+D(Y)\pm 2\rho\sigma_{X}\sigma_{Y}$

这两个式子都可以由数学期望和方差的性质推出
利用性质计算差绝对值的数学期望

令Z=X-Y，这里令E(Z)=0
$\frac{1}{2}E(|Z|)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}|z|f(z)dz=\int_{0}^{+\infty}\frac{z}{\sqrt{2\pi}\sigma_{Z}}exp \left(-\frac{z^2}{2\sigma_{Z}^2} \right)dz=\frac{\sigma_{Z}}{\sqrt{2\pi}}$
$\sigma _{Z}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}-2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}}$
代入本题的数据可得

$E(max(X,Y))=2+\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}}$
解法二 积分法
直接莽就完事了，强行积分

$E(max(x,y))=\int_{-\infty}^{+\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}{max(x,y)f(x,y)dxdy}}$

$=\int{\int_{x>y}{xf(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{yf(x,y)dxdy}}$

$=\int{\int_{x>y}{(x-2+2)f(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{(y-2+2)f(x,y)}dxdy}$

$=2\int_{-\infty}^{+\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}}f(x,y)dxdy+\int{\int_{x>y}{(x-2)f(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{(y-2)f(x,y)dxdy}}$

可以看出第一项等于2,第二三项$x$和$y$可以轮换，所以只计算一个即可,这里进行换元积分

$变量代换u=x-2,v=\frac{(y-2)-\rho{(x-2)}}{\sqrt{1-\rho^2}}$

$则J{ \left( {u,v} \right) }=\left|\frac{{ \partial { \left( {x,y} \right) }}}{{ \partial { \left( {u,v} \right) }}} \right|=\sqrt{1-\rho^2}$

$2\int{\int_{x>y}{(x-2)f(x,y)dxdy}}=\frac{1}{\pi}\int{\int_{u>\sqrt{\frac{1+\rho}{1-\rho}}v}{uexp(-\frac{u^2+v^2}{2})dudv}}$

$=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\left| -exp(-\frac{u^2+v^2}{2})\right|_{\sqrt{\frac{1+\rho}{1-\rho}}v}^{+\infty}dv}=\int_{-\infty}^{+\infty}{exp(-\frac{\frac{1+\rho}{1-\rho}v^2+v^2}{2})}dv$

$=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{exp(-\frac{v^2}{1-\rho})}dv=\frac{1}{\pi}\sqrt{(1-\rho)\pi}=\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}}$

$所以E(max(x,y))=2+\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}}$
总结

概率论与数理统计课程一般不要求掌握这种带相关性的计算，最多也就是两个独立的正态分布求一些期望，这时没有相关系数$\rho$直接积分就可以了，也可以利用独立变量正态分布可加性来计算




Gamma公式 $\Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall
n\in\mathbb N$ 通过欧拉积分，有

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.$ ↩︎

若E(Z)不等于0，需要用到erf(x)来计算这个积分，这样的积分并不是初等函数可以求解的$erf(x) = \frac{1}{\sqrt\pi}\int_{-x}^{x}e^{-x^2}dx$这里不展开讨论 ↩︎

若$X\sim N(\mu_1,\sigma_{1}^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_{2}^2)$,且X,Y相互独立,那么

$aX+bY+c \sim N(a\mu_{1}+b\mu_{2}+c,a^2\sigma_{1}^2+b^2\sigma_{2}^2)$ ↩︎