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  • 一维正态分布的性质
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    2020-04-19 10:49:19

    待解决的概率论题目

    Alt
    来自《概率论与数理统计》荣腾中,第二版上的第四章A组习题11,我觉得这一题有一定难度。

    概率论基本知识

    1. ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π (1) \int _{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}dx}=\sqrt{\pi} \tag{1} +ex2dx=π (1)
    2. f ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 − ρ 2 exp ⁡ ( − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ X ) 2 σ X 2 − 2 ρ ( x − μ X ) ( y − μ Y ) σ X σ Y + ( y − μ Y ) 2 σ Y 2 ] ) f(x,y) = {\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[{\frac {(x-\mu _{X})^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}-{\frac {2\rho (x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}+{\frac {(y-\mu _{Y})^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}}\right]\right) f(x,y)=2πσXσY1ρ2 1exp(2(1ρ2)1[σX2(xμX)2σXσY2ρ(xμX)(yμY)+σY2(yμY)2])
    3. E ( a X + b ) = a E ( X ) + b (2) E(aX+b) = aE(X)+b \tag{2} E(aX+b)=aE(X)+b(2)
    4. E ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x (3) E(x) = \int _{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx \tag{3} E(x)=+xf(x)dx(3)
      (1)式可以由夹挤定理和二重积分证明,也可以化为伽马函数 Γ ( x ) \Gamma{(x)} Γ(x)1进行计算,为了便于计算,这里给出一个广义的版本
      ∫ − ∞ + ∞ e − a ( x + b ) 2   d x = π a (4) \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}} \tag{4} +ea(x+b)2dx=aπ (4)
      第2条是二元正态分布的概率密度函数,不得不说,课本上给出的这个形式让人有一种无法完成积分的感觉,这里稍微改变一下形式
      f ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 − ρ 2 exp ⁡ [ − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) ( y − μ Y σ Y − ρ x − μ X σ X ) 2 − ( x − μ X ) 2 2 σ X 2 ] f(x,y) = {\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}} \left( {\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}-\rho{\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)^2 -{\frac {(x-\mu _{X})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right] f(x,y)=2πσXσY1ρ2 1exp[2(1ρ2)1(σYyμYρσXxμX)22σX2(xμX)2]

    解题方法

    对于这种参数不是(0,1)的正态分布,不妨加强原题目,求解在一般情况下 ( μ , σ ) (\mu,\sigma) (μ,σ)的计算结果

    解法一 线性变换法

    题目已经给出了提示
    m a x ( X , Y ) = X + Y + ∣ X − Y ∣ 2 max(X,Y) = \frac{X+Y+|X-Y|}{2} max(X,Y)=2X+Y+XY
    E ( m a x ( X , Y ) ) = 1 2 E ( X ) + 1 2 E ( Y ) + 1 2 E ( ∣ X − Y ∣ ) = 1 2 μ X + 1 2 μ Y + 1 2 E ( ∣ X − Y ∣ ) E(max(X,Y)) = \frac{1}{2}E(X)+\frac{1}{2}E(Y) +\frac{1}{2}E(|X-Y|) = \frac{1}{2}\mu_{X}+\frac{1}{2}\mu_{Y}+\frac{1}{2}E(|X-Y|) E(max(X,Y))=21E(X)+21E(Y)+21E(XY)=21μX+21μY+21E(XY)

    这里引入一条可以由二重积分和特殊函数证明的引理
    正态分布的和或差仍然服从正态分布
    所以它的数学期望为 E ( X ± Y ) = E ( X ) ± E ( Y ) E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y) E(X±Y)=E(X)±E(Y)
    方差为 D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 E [ ( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) ] = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 ρ σ X σ Y D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2E\left[(X-E(X))(Y-E(Y))\right]=D(X)+D(Y)\pm 2\rho\sigma_{X}\sigma_{Y} D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(XE(X))(YE(Y))]=D(X)+D(Y)±2ρσXσY
    这两个式子都可以由数学期望和方差的性质推出

    利用性质计算差绝对值的数学期望
    令Z=X-Y,这里令E(Z)=02

    1 2 E ( ∣ Z ∣ ) = 1 2 ∫ − ∞ + ∞ ∣ z ∣ f ( z ) d z = ∫ 0 + ∞ z 2 π σ Z e x p ( − z 2 2 σ Z 2 ) d z = σ Z 2 π \frac{1}{2}E(|Z|)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}|z|f(z)dz=\int_{0}^{+\infty}\frac{z}{\sqrt{2\pi}\sigma_{Z}}exp \left(-\frac{z^2}{2\sigma_{Z}^2} \right)dz=\frac{\sigma_{Z}}{\sqrt{2\pi}} 21E(Z)=21+zf(z)dz=0+2π σZzexp(2σZ2z2)dz=2π σZ

    σ Z = σ X 2 + σ Y 2 − 2 ρ σ X σ Y \sigma _{Z}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}-2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}} σZ=σX2+σY22ρσXσY

    代入本题的数据可得
    E ( m a x ( X , Y ) ) = 2 + 1 − ρ π E(max(X,Y))=2+\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}} E(max(X,Y))=2+π1ρ

    解法二 积分法

    直接莽就完事了,强行积分
    E ( m a x ( x , y ) ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ m a x ( x , y ) f ( x , y ) d x d y E(max(x,y))=\int_{-\infty}^{+\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}{max(x,y)f(x,y)dxdy}} E(max(x,y))=++max(x,y)f(x,y)dxdy
    = ∫ ∫ x > y x f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ y > x y f ( x , y ) d x d y =\int{\int_{x>y}{xf(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{yf(x,y)dxdy}} =x>yxf(x,y)dxdy+y>xyf(x,y)dxdy
    = ∫ ∫ x > y ( x − 2 + 2 ) f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ y > x ( y − 2 + 2 ) f ( x , y ) d x d y =\int{\int_{x>y}{(x-2+2)f(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{(y-2+2)f(x,y)}dxdy} =x>y(x2+2)f(x,y)dxdy+y>x(y2+2)f(x,y)dxdy
    = 2 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ x > y ( x − 2 ) f ( x , y ) d x d y + ∫ ∫ y > x ( y − 2 ) f ( x , y ) d x d y =2\int_{-\infty}^{+\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}}f(x,y)dxdy+\int{\int_{x>y}{(x-2)f(x,y)dxdy}}+\int{\int_{y>x}{(y-2)f(x,y)dxdy}} =2++f(x,y)dxdy+x>y(x2)f(x,y)dxdy+y>x(y2)f(x,y)dxdy
    可以看出第一项等于2,第二三项 x x x y y y可以轮换,所以只计算一个即可,这里进行换元积分
    变 量 代 换 u = x − 2 , v = ( y − 2 ) − ρ ( x − 2 ) 1 − ρ 2 变量代换u=x-2,v=\frac{(y-2)-\rho{(x-2)}}{\sqrt{1-\rho^2}} u=x2,v=1ρ2 (y2)ρ(x2)
    则 J ( u , v ) = ∣ ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ∣ = 1 − ρ 2 则J{ \left( {u,v} \right) }=\left|\frac{{ \partial { \left( {x,y} \right) }}}{{ \partial { \left( {u,v} \right) }}} \right|=\sqrt{1-\rho^2} J(u,v)=(u,v)(x,y)=1ρ2
    2 ∫ ∫ x > y ( x − 2 ) f ( x , y ) d x d y = 1 π ∫ ∫ u > 1 + ρ 1 − ρ v u e x p ( − u 2 + v 2 2 ) d u d v 2\int{\int_{x>y}{(x-2)f(x,y)dxdy}}=\frac{1}{\pi}\int{\int_{u>\sqrt{\frac{1+\rho}{1-\rho}}v}{uexp(-\frac{u^2+v^2}{2})dudv}} 2x>y(x2)f(x,y)dxdy=π1u>1ρ1+ρ vuexp(2u2+v2)dudv
    = 1 π ∫ − ∞ + ∞ ∣ − e x p ( − u 2 + v 2 2 ) ∣ 1 + ρ 1 − ρ v + ∞ d v = ∫ − ∞ + ∞ e x p ( − 1 + ρ 1 − ρ v 2 + v 2 2 ) d v =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\left| -exp(-\frac{u^2+v^2}{2})\right|_{\sqrt{\frac{1+\rho}{1-\rho}}v}^{+\infty}dv}=\int_{-\infty}^{+\infty}{exp(-\frac{\frac{1+\rho}{1-\rho}v^2+v^2}{2})}dv =π1+exp(2u2+v2)1ρ1+ρ v+dv=+exp(21ρ1+ρv2+v2)dv
    = 1 π ∫ − ∞ + ∞ e x p ( − v 2 1 − ρ ) d v = 1 π ( 1 − ρ ) π = 1 − ρ π =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{exp(-\frac{v^2}{1-\rho})}dv=\frac{1}{\pi}\sqrt{(1-\rho)\pi}=\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}} =π1+exp(1ρv2)dv=π1(1ρ)π =π1ρ
    所 以 E ( m a x ( x , y ) ) = 2 + 1 − ρ π 所以E(max(x,y))=2+\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}} E(max(x,y))=2+π1ρ

    总结

    • 概率论与数理统计课程一般不要求掌握这种带相关性的计算,最多也就是两个独立的正态分布求一些期望,这时没有相关系数 ρ \rho ρ直接积分就可以了,也可以利用独立变量正态分布可加性3来计算

    1. Gamma公式 Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! ∀ n ∈ N \Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N Γ(n)=(n1)!nN 通过欧拉积分,有
      Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t   . \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,. Γ(z)=0tz1etdt. ↩︎

    2. 若E(Z)不等于0,需要用到erf(x)来计算这个积分,这样的积分并不是初等函数可以求解的 e r f ( x ) = 1 π ∫ − x x e − x 2 d x erf(x) = \frac{1}{\sqrt\pi}\int_{-x}^{x}e^{-x^2}dx erf(x)=π 1xxex2dx这里不展开讨论 ↩︎

    3. X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) X\sim N(\mu_1,\sigma_{1}^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_{2}^2) XN(μ1,σ12),YN(μ2,σ22),且X,Y相互独立,那么
      a X + b Y + c ∼ N ( a μ 1 + b μ 2 + c , a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2 ) aX+bY+c \sim N(a\mu_{1}+b\mu_{2}+c,a^2\sigma_{1}^2+b^2\sigma_{2}^2) aX+bY+cN(aμ1+bμ2+c,a2σ12+b2σ22) ↩︎

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    一:一维正态分布

    在这里插入图片描述


    二:二维正态分布/多维正态分布


    三:各向同性正态分布

    各向同性的高斯分布(球形高斯分布)指的是各个方向方差都一样的多维高斯分布,协方差为正实数与identity matrix(单位矩阵)相乘。
    在这里插入图片描述
    注:即方差都是一样的,均值不一样,方差的值可以单独用标量表示。


    参考链接:
    https://www.cnblogs.com/jiangkejie/p/12939776.html
    https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/92842869#comments_13760339

    展开全文
  • 利用微积分和矩阵代数的基本知识,证明了n维正态随机变量各分量的线性组合一定服从正态分布的结论。
  • 维正态分布参数rho的作用

    千次阅读 2021-10-01 21:37:49
    维正态分布参数ρ\rhoρ的作用 我们知道,个随机向量X=X=X=(X1,⋯ ,Xn)\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)(X1​,⋯,Xn​)的分布FFF足以决定其任一分量XiX_{i}Xi​的(\left(\...而二维正态分布就是个典型例子. 例

    二维正态分布参数 ρ \rho ρ的作用

    我们知道,一个随机向量 X = X= X= ( X 1 , ⋯   , X n ) \left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right) (X1,,Xn)的分布 F F F足以决定其任一分量 X i X_{i} Xi ( \left(\right. (边缘)分布 F i F_{i} Fi, 但反过来不对: 即使知道了所有 X i X_{i} Xi的边缘分布 F i , i = 1 , ⋯   , n F_{i}, i=1, \cdots, n Fi,i=1,,n, 也不足以决定 X X X的分布 F F F.而二维正态分布就是一个典型例子.

    例如,考察边际分布为 N ( 25 , 16 ) N\left(25, 16\right) N(25,16) N ( 25 , 64 ) N\left(25, 64\right) N(25,64)在不同 ρ \rho ρ下的联合分布.下面三张图展示了 ρ = 0 , 0.5 , − 0.5 \rho=0,0.5,-0.5 ρ=0,0.5,0.5时对应的概率密度.他们显然是不同的分布.

    那么,为什么 ρ \rho ρ不同,分布就不同?书中给出的解释是 ρ \rho ρ刻画了两个分量 X 1 X_1 X1, X 2 X_2 X2的关系,不同的关系导致不同的联合分布.那么,究竟是如何刻画的呢?我认为可以从两个角度考察.

    中心点

    ( X 1 , X 2 ) \left(X_{1}, X_{2}\right) (X1,X2)服从二维正态分布 N ( a , b , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) N\left(a, b, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right) N(a,b,σ12,σ22,ρ). 在给定 X 1 = x 1 X_{1}=x_{1} X1=x1的条件下, X 2 X_{2} X2的条件密度函数
    f 2 ( x 2 ∣ x 1 ) = 1 2 π σ 2 1 − ρ 2 ⋅ exp ⁡ [ − ( x 2 − ( b + ρ σ 2 σ 1 − 1 ( x 1 − a ) ) ) 2 2 ( 1 − ρ 2 ) σ 2 2 ] \begin{aligned} f_{2}\left(x_{2} \mid x_{1}\right)=& \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}}} \\ & \cdot \exp \left[-\frac{\left(x_{2}-\left(b+\rho \sigma_{2} \sigma_{1}^{-1}\left(x_{1}-a\right)\right)\right)^{2}}{2\left(1-\rho^{2}\right) \sigma_{2}^{2}}\right] \end{aligned} f2(x2x1)=2π σ21ρ2 1exp[2(1ρ2)σ22(x2(b+ρσ2σ11(x1a)))2]
    这正是正态分布 N ( b + ρ σ 2 σ 1 − 1 ( x 1 − a ) , σ 2 2 ( 1 − ρ 2 ) ) N\left(b+\rho \sigma_{2} \sigma_{1}^{-1}\left(x_{1}-a\right), \sigma_{2}^{2}\left(1-\rho^{2}\right)\right) N(b+ρσ2σ11(x1a),σ22(1ρ2))的概率密度函数.

    根据这个公式,我们可以推出,若 ρ > 0 \rho>0 ρ>0, 则随着 x 1 x_{1} x1的增加, X 2 X_{2} X2(在 X 1 = x 1 X_{1}=x_{1} X1=x1之下) 的条件分布的中心点 m ( x 1 ) m\left(x_{1}\right) m(x1) x 1 x_{1} x1的增加而增加. 可以看出: 这意味着当 x 1 x_{1} x1增加时, X 2 X_{2} X2取大值的可能性增加, 即 X 2 X_{2} X2有随着 X 1 X_{1} X1的增长而增长.若 ρ < 0 \rho<0 ρ<0则情况相反.若 ρ = 0 \rho=0 ρ=0则无关.

    回到之前的例子,我们考察 r h o = 0.5 rho=0.5 rho=0.5时, X 1 = 15 , 25 , 35 X_1=15,25,35 X1=15,25,35 X 2 X_2 X2的条件分布.结果如下.可以看到,随着 x 1 x_1 x1的增加, X 2 X_2 X2的条件分布的中心值不断右移.

    集中程度

    根据公式 N ( b + ρ σ 2 σ 1 − 1 ( x 1 − a ) , σ 2 2 ( 1 − ρ 2 ) ) N\left(b+\rho \sigma_{2} \sigma_{1}^{-1}\left(x_{1}-a\right), \sigma_{2}^{2}\left(1-\rho^{2}\right)\right) N(b+ρσ2σ11(x1a),σ22(1ρ2))可知条件分布的参数 σ = σ 2 2 ( 1 − ρ 2 ) \sigma=\sigma_{2}^{2}\left(1-\rho^{2}\right) σ=σ22(1ρ2).而 σ \sigma σ刻画了数据的集中程度. ∣ σ ∣ |\sigma| σ越大,数据越是集中于中心点.

    ∣ ρ ∣ = 0 |\rho|=0 ρ=0,则 σ = σ 2 \sigma=\sigma_2 σ=σ2,说明 X 2 X_2 X2分布的集中程度不受 X 1 X_1 X1影响.现在考虑极端情况,假如 ∣ ρ ∣ = 1 |\rho|=1 ρ=1,那么 σ = 0 \sigma=0 σ=0,由一维正态分布的性质可以知道 X 2 X_2 X2的取值全部集中于 m ( X 1 ) m(X_1) m(X1).也就是说, X 2 X_2 X2 X 1 X_1 X1的函数,其取值由 X 1 X_1 X1完全决定.

    下图为 ρ = 0.999 \rho=0.999 ρ=0.999 X 2 X_2 X2的条件分布

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  • 在正式开始之前,还是把维基百科上面的科普拎出来过正态分布又名高斯分布,是个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。1. 正态分布的定义如果对于任何实数a&...

    今天想总结一下正太分布,但是如果按照维基百科上面的讲法,就太过复杂了,所以这里着重讲正态分布在实际生活中的作用以及简单的计算方法,也就是高中所学过的关于正态分布的知识。

    在正式开始之前,还是把维基百科上面的科普拎出来过一遍

    正态分布又名高斯分布,是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。

    1. 正态分布的定义

    如果对于任何实数a<b,随机变量X满足:

          

    则称X的分布为正态分布。


    正态分布由参数μ、σ唯一确定,μ、σ分别表示总体的平均数和标准差。正太分布记作N(μ, σ²). 其中图像称为正太曲线。

    如果随机变量X服从正态分布,则记作:

    X~N(μ, σ²)。(EX=μ  DX=σ)


    2. 正态曲线的性质

    具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

    (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交。

    (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称。

    (3)曲线在x=μ处达到峰值

    (4)曲线与x轴之间的面积为1.

    (5)方差相等、平均数不等的正态分布图示


    (6)平均数相等、方差不等的正态分布图示

    σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;

    σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中。

    (7)正态曲线下的概率规律(*)

    • 对称区域面积相等

    3. 特殊区间的概率:

    若X~N(μ, σ²),则对于任何实数a>0, 概率

    特别地有(熟记)

    我们从上图看到,正态总体在(μ-2σ,μ+2σ)以外取值的概率只有4.6%,在(μ-3σ, μ+3σ)以外取值的概率只有0.3%。

    由于这些概率值很小(一般不超过5%),通常称这些情况发生为小概率时间。

    实际运用中就只考虑这个区间,称为3σ原则。


    4. 应用举例

    例1: 若X~N(5,1), 求P(6<X<7)。

    解:μ=5,σ=1

          正态总体在(3,7)的区间内取值的概率为0.954

          正态总体在(4,6)区间内取值的概率为0.683

          P(6<X<7) = (0.954-0.683)/2 = 0.1355


    例2:在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,及ξ~N(90,100)。

    (1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少? 0.954

    (2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)见的考生大约有多少人?

          解: 0.683*2000 = 1366


    这里主要讲的是一维正态分布,接下来会讲一下二维正态分布。





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    一维正态分布的KL散度证明思路 记q(x)=N(x;μ1,σ12),p(x)=N(x;μ2,σ22),ϕ(x)=log⁡q(x)p(x)=c2x2+c1x+c0q(x) = \mathcal{N}(x; \mu_1, \sigma_1^2), p(x) = \mathcal{N}(x; \mu_2, \sigma_2^2), \phi(x) = \log \...
  • n元(正态分布(The multivariate normal distribution)

    万次阅读 多人点赞 2017-12-18 14:51:13
    在学习高斯判别分析(Gaussian discriminant analysis)时,出现了n元正态分布的密度函数,函数中出现了矩阵,弄得大家一头雾水。其实这个公式在大部分概率论书籍中都没有提到,不过,简要推导一下,就可以得到结果...
  • 详解Box-Muller方法生成正态分布

    千次阅读 2021-07-14 01:05:35
     4}) plt.title('PDF Normal 1D from 2D') plt.show() Box-Muller 原理 虽然无法直接用逆变换方法生成一维正态分布,但我们却能通过先生成二维的正态分布,利用上面一节的性质,生成一维正态分布。 而 Box-...
  • numpy生成正态分布数组的问题

    千次阅读 2020-12-21 19:36:56
    正态分布(平均值为0,标准差为1)的ndarraynormal(size=(N,M,...)) 生成个NM...的正态(高斯)分布的ndarray>>> import numpy as np>>> np.random.normal(size=(3,4))array([[-0.80403424...
  • 多元正态分布性质和定理

    千次阅读 2018-04-11 22:38:56
    X_n]^T服从多元高斯分布,均值为μ∈Rnμ∈Rn\mu \in R^n(这里μμ\mu是个n向量),协方差矩阵为Σ∈S++nΣ∈S++n\Sigma \in {S_{++}}^n ,(S++nS++n{S_{++}}^n 是对称的正定矩阵),概率密度函数: p(x;μ,Σ)...
  • 极大似然估计详解下面用MATLAB实现正态分布的ML估计% 二维正态分布的两分类问题 (ML估计)clc;clear;% 两个类别数据的均值向量Mu = [0 0; 3 3]';% 协方差矩阵S1 = 0.8 * eye(2);S(:, :, 1) = S1;S(:, :, 2) = S1;% ...
  • 正态分布图的制作方法excel有个数据分析工具,里面可以做直方图,但是正态分布图不能直接做。 若要两种图都显示,那么就需要用到函数了。
  •  4}) plt.title('PDF Normal 1D from 2D') plt.show() Box-Muller 原理 虽然无法直接用逆变换方法生成一维正态分布,但我们却能通过先生成二维的正态分布,利用上面一节的性质,生成一维正态分布。 而 Box-...
  • 维正态分布的概率密度和边缘分布(数1了解、数3掌握)三、第3章考研必做习题第3章习题:1、2、3、6、9、10、13、14、15、16、17、18、20第二节 边缘分布、边缘分布函数二、离散型随机变量的边缘分布律三、连...
  • 多元正态分布

    千次阅读 2019-10-06 14:48:08
    随即变量概率分布  我们将p个随机变量X1,X2,X3...Xp整体称为p维随机向量,... 其概率分布参照一维随机变量即可  离散型随机变量:  连续型随机变量:  考点:  1.证明某函数是密度函数  ...
  • 正态分布(normal distribution)什么是正态分布编辑本段回目录正态分布种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布,第参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值,第二个参数σ2是此随机...
  • 正态分布简单介绍

    千次阅读 2019-12-10 18:49:34
    若随机变量X服从个数学期望为μ、标准方差为σ2σ^2σ2的高斯分布,记为:X∼N(μ,σ2σ^2σ2)。         其概率密度函数为: f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2,−∞<x<...

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一维正态分布的性质

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