精华内容
下载资源
问答
  • geogebra中函数定义域的输入

    万次阅读 2019-03-13 16:07:07
    ggb中函数的输入有如下几种方式: 一、如果if做法 1、区间函数: 做出函数在某区间上的图象:f(x)=if[x>=0&&x<=2,x^2+2x-1] 2、分段函数: 做出分段函数的图象:f(x)=if[x&...

    ggb中函数的输入有如下几种方式:

    一、如果if做法

    1、区间函数:

          做出函数在某区间上的图象:f(x)=if[x>=0&&x<=2,x^2+2x-1]

     2、分段函数:

          做出分段函数的图象:f(x)=if[x>=0&&x<=2,x^2+2x-1,if[x>2&&x<=4,x^3-2x+1]]

     3、逐点序列函数:

           逐点做出函数的图像:Sequence[(a, sin(a)), a, -2pi, -2pi+4pi *n/50, 2pi /t],其中sequence为“集合”中的“序列”命令。使用前需建立两个参数“t”和“n”,他们的起始值设为“0",增量为“1”。
        

    二、函数function做法

    函数[ <函数>, <x-起始值>, <x-终止值> ]

    如:函数[ x^2+1, 5, 6 ]

    举例:

    法一:
    f(x)=If[x<=3&&x>=1,x^2]
    可以作出x的平方在1到3范围内的图像
    法二:
    Function[x^2,1,3]
    等价于法一

     

    三、另外两个常用命令:

    画圆弧:弧[圆[(2, 1), 4], C, D]

         字母下标:F_1

         曲线命令:曲线[(cos(a θ))cos(θ),(cos(a θ))sin(θ),θ,0,2pi]

    展开全文
  • §8.8 多元函数极值及其求法 一、多元函数的极值 1、多元函数极值定义函数在点的某个邻域内有定义,对该邻域内异于的点,如果都适合不等式 则称函数在点取极大值; 如果都适合不等式 则称函数在点取极小...

    §8.8  多元函数极值及其求法

    一、多元函数的极值

    1、多元函数极值定义

    设函数在点的某个邻域内有定义,对该邻域内异于的点,如果都适合不等式

    则称函数在点极大值

    如果都适合不等式

    则称函数在点极小值

    极大值与极小值统称为函数的极值;使函数取得极值的点称为极值点

    注:二元函数的极值是一个局部概念,这一概念很容易推广至元函数。

    【例1】讨论下述函数在原点是否取得极值。

    (1)、

    (2)、

    (3)、

    解:由它们的几何图形可知:

    是开口向上的旋转抛物面,在取得极小值;

    是开口向下的锥面,在取得极大值;

    马鞍面, 在不取得极值。

    2、函数取得极值的必要条件

    【定理一】设函数在点具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为零,即

    【证明】不妨设在点处有极大值。

    依极值定义,点的某一邻域内的一切点适合不等式

    特殊地,在该邻域内取,而的点,也应有不等式

    这表明:一元函数处取得极大值,因而必有

    同理可证

    【注一】当时, 曲面在点处有切平面

    此切平面平行于水平面面。

    例如,在点取得极小值, 它在点处,

    其切平面为

    即        

    此切平面就是(面)。

    使同时成立的点,称为函数驻点

    【注二】定理一表明,可(偏)导函数的极值点必为驻点,反过来,函数的驻点却不一定是极值点。例如,在点不取得极值,但却是驻点。这告诉我们,驻点仅仅是函数可疑的极值点,要判断它是否真为极值点,需要另作判定。

    【注三】偏导数不存在的点也是函数的可疑极值点。

    例如,在点有极大值,但

     不存在。

    当然,也不存在。

    当然,定理一的结论也可推广至元函数。

    3、函数取得极值的充分条件

    【定理二】设函数在点的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续的偏导数,又  ,记

     ,  ,

    则函数在处是否取得极值的条件如下

    (1)、时具有极值,且当时有极大值,

     当时有极小值;

    (2)、时没有极值;

    (3)、时可能有极值,也可能没有极值,需另作判定。

    对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:

    【例2】求函数的极值。

    解:函数具有二阶连续偏导数, 故可疑的极值点只可能为驻点,

    先解方程组

    求出全部驻点为

    再求二阶偏导数

    在点处,

    函数取得极小值

    在点处,

    函数不取得极值;

    在点处,

    函数不取得极值;

    在点处,

    函数取得极大值 

    二、多元函数的最值

    1、有界区域上连续函数的最值确定

    如果二元函数有界闭区域连续,则在上必定取得最值。使函数取得最值的点既可能在的内部,也可能在的边界上。

    若函数在的内部取得最值,那未这个最值也是函数的极值。而函数取得极值的点使的驻点或使不存在的点。

    若函数在的边界上取得最值,可根据的边界方程,将化成定义在某个闭区间上的一元函数,进而利用一元函数求最值的方法求出最值。

    综合上述讨论,有界闭区域上的连续函数最值求法如下:

    (1)、求出在的内部,使,同时为零的点及使不存在的点;

    (2)、计算出的内部的所有可疑极值点处的函数值;

    (3)、求出的边界上的最值;

    (4)、比较上述函数值的大小,最大者便是函数在上的最大值;最小者便是函数在上的最小值。

    【例3】求二元函数在矩形区域

    上的最值。

    解:

    得驻点,且

    在边界 上,,

     且

    在边界上,   , 则

    在边界 上, , 则 ,

    则 

    在边界上,  , 因

    , 故单调增加, 从而

    比较上述讨论, 有

     为最大值,

     为最小值。

    2、开区域上函数的最值确定

    求函数在开区域上的最值十分复杂。

    但是,当所遇到的实际问题, 据问题的性质可断定函数的最值一定在上取得,而函数在上又只有一个驻点, 那么就可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最值。

    【例4】某厂要用铁板做成一个体积为立方米的有盖长方体水箱, 当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能用料最省?

    令 

    解方程组得唯一驻点 ,

    据问题的实际背景, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域内取得,又函数在内只有唯一的驻点, 因此, 可断定当 时, 取得最小值。

    这表明: 当水箱的长、宽、高分别为米时, 所用材料最省, 此时的最小表面积为

    三、条件极值与拉格朗日乘数法

    前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制它在定义域内之外,再无其它的约束条件,因此,我们称这类极值为无条件极值

    但是,在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加限制条件的极值问题。

    例如: 求体积为2而表面积最小的长方体尺寸。

    若设长方体的长宽高分别为,则其表面积为

    这里除了外,还需满足限制条件

    象这类自变量有附加条件的极值称为条件极值

    有些实际问题,可将条件极值化为无条件极值,如上例;但对一些复杂的问题,条件极值很难化为无条件极值。因此,我们有必要探讨求条件极值的一般方法。

    1、函数取得条件极值的必要条件

    欲寻求函数                                     (1)

    在限制条件                                         (2)

    下的取得条件极值的条件。

    函数若是在处取得条件极值,那么它必满足方程(2),即

                                       (3)

    另外,方程(2)可确定一个隐函数,将之代入(1)有

                                      (4)

    这样,函数(1)在取得条件极值,也就相当于函数(4)在处取得无条件极值。

    据一元函数取得极值的必要条件有

                 (5)

    由(2)式有

    代入到第(5)式有

                       (6)

    由上面的讨论可知,(3)与(6)便是函数在点取得条件极值的必要条件,只是这一式子的形式不够工整,不便于记忆,为此,我们作适当的变形。

    令  ,有

    这三个式子恰好是函数

    的三个偏导数在点的值。

    2、拉格朗日乘数法

    要求函数在限制条件下的可能极值点,可先作拉氏函数

    再解方程组

    求出点,这样求出的点就是可疑条件极值点

    【注记】拉氏乘数法可推广到一般元函数或限制条件多于一个的情形:

    例如:求    在限制条件

    下的极值。

    作拉氏函数

    解方程组

    这样求出就是可疑极值点的坐标。

     

    展开全文
  • 为什么t的定义域是(0,2)呢,为什么t不能等于2呢 转载于:https://www.cnblogs.com/heben/p/10679304.html

     

    为什么t的定义域是(0,2)呢,为什么t不能等于2呢

    转载于:https://www.cnblogs.com/heben/p/10679304.html

    展开全文
  • 多元函数极值及其求法

    万次阅读 2015-11-13 21:02:18
    §8.8 多元函数极值及其求法 一、多元函数的极值 1、多元函数极值定义函数在点的某个邻域内有定义,对该邻域内异于的点,如果都适合不等式 则称函数在点取极大值; 如果都适合不等式 则称函数在点取极小...

    §8.8  多元函数极值及其求法

    一、多元函数的极值

    1、多元函数极值定义

    设函数在点的某个邻域内有定义,对该邻域内异于的点,如果都适合不等式

    则称函数在点极大值

    如果都适合不等式

    则称函数在点极小值

    极大值与极小值统称为函数的极值;使函数取得极值的点称为极值点

    注:二元函数的极值是一个局部概念,这一概念很容易推广至多元函数。

    【例1】讨论下述函数在原点是否取得极值。

    (1)、

    (2)、

    (3)、

    解:由它们的几何图形可知:

    是开口向上的旋转抛物面,在取得极小值;

    是开口向下的锥面,在取得极大值;

    马鞍面, 在不取得极值。

    2、函数取得极值的必要条件

    【定理一】设函数在点具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为零,即

    【证明】不妨设在点处有极大值。

    依极值定义,点的某一邻域内的一切点适合不等式

    特殊地,在该邻域内取,而的点,也应有不等式

    这表明:一元函数在 处取得极大值,因而必有

    同理可证

    【注一】当时, 曲面在点处有切平面

    此切平面平行于水平面

    例如,在点取得极小值, 它在点处,

    其切平面为 

    即         

    此切平面就是(面)。

    使同时成立的点,称为函数驻点

    【注二】定理一表明,可(偏)导函数的极值点必为驻点,反过来,函数的驻点却不一定是极值点。例如,在点不取得极值,但却是驻点。这告诉我们,驻点仅仅是函数可疑的极值点,要判断它是否真为极值点,需要另作判定。

    【注三】偏导数不存在的点也是函数的可疑极值点。

    例如,在点有极大值,但

     不存在。

    当然,也不存在。

    当然,定理一的结论也可推广至多元函数。

    3、函数取得极值的充分条件

    【定理二】设函数在点的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续的偏导数,又  ,记

     ,  , 

    则函数在处是否取得极值的条件如下

    (1)、时具有极值,且当时有极大值,

     当时有极小值;

    (2)、时没有极值;

    (3)、时可能有极值,也可能没有极值,需另作判定。

    对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:

    【例2】求函数的极值。

    解:函数具有二阶连续偏导数, 故可疑的极值点只可能为驻点,

    先解方程组

    求出全部驻点为 

    再求二阶偏导数

    在点处,

    函数取得极小值 

    在点处,

    函数不取得极值;

    在点处,

    函数不取得极值;

    在点处,

    函数取得极大值  

    二、多元函数的最值

    1、有界区域上连续函数的最值确定

    如果二元函数有界闭区域连续,则在上必定取得最值。使函数取得最值的点既可能在的内部,也可能在的边界上。

    若函数在的内部取得最值,那未这个最值也是函数的极值。而函数取得极值的点是的驻点或使不存在的点。

    若函数在的边界上取得最值,可根据的边界方程,将化成定义在某个闭区间上的一元函数,进而利用一元函数求最值的方法求出最值。

    综合上述讨论,有界闭区域上的连续函数最值求法如下:

    (1)、求出在的内部,使,同时为零的点及使不存在的点;

    (2)、计算出的内部的所有可疑极值点处的函数值

    (3)、求出的边界上的最值;

    (4)、比较上述函数值的大小,最大者便是函数在上的最大值;最小者便是函数在上的最小值。

    【例3】求二元函数在矩形区域

    上的最值。

    解: 

    得驻点,且

    在边界 上,,

     且 

    在边界上,   , 则

    在边界 上, , 则 ,

    则  

    在边界上,  , 因

    , 故单调增加, 从而 

    比较上述讨论, 有

     为最大值,

     为最小值。

    2、开区域上函数的最值确定

    求函数在开区域上的最值十分复杂。

    但是,当所遇到的实际问题, 据问题的性质可断定函数的最值一定在上取得,而函数在上又只有一个驻点, 那么就可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最值。

    【例4】某厂要用铁板做成一个体积为立方米的有盖长方体水箱, 当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能用料最省?

    令  

    解方程组得唯一驻点 ,

    据问题的实际背景, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域内取得,又函数在内只有唯一的驻点, 因此, 可断定当 时, 取得最小值。

    这表明: 当水箱的长、宽、高分别为米时, 所用材料最省, 此时的最小表面积为

    三、条件极值与拉格朗日乘数法

    前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制它在定义域内之外,再无其它的约束条件,因此,我们称这类极值为无条件极值

    但是,在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加限制条件的极值问题。

    例如: 求体积为2而表面积最小的长方体尺寸。

    若设长方体的长宽高分别为,则其表面积为

    这里除了外,还需满足限制条件 

    象这类自变量有附加条件的极值称为条件极值

    有些实际问题,可将条件极值化为无条件极值,如上例;但对一些复杂的问题,条件极值很难化为无条件极值。因此,我们有必要探讨求条件极值的一般方法。

    1、函数取得条件极值的必要条件

    欲寻求函数                                     (1)

    在限制条件                                         (2)

    下的取得条件极值的条件。

    函数若是在处取得条件极值,那么它必满足方程(2),即

                                       (3)

    另外,方程(2)可确定一个隐函数,将之代入(1)有

                                      (4)

    这样,函数(1)在取得条件极值,也就相当于函数(4)在处取得无条件极值。

    据一元函数取得极值的必要条件有

                 (5)

    由(2)式有

    代入到第(5)式有

                       (6)

    由上面的讨论可知,(3)与(6)便是函数在点取得条件极值的必要条件,只是这一式子的形式不够工整,不便于记忆,为此,我们作适当的变形。

    令  ,有

    这三个式子恰好是函数

    的三个偏导数在点的值。

    2、拉格朗日乘数法

    要求函数在限制条件下的可能极值点,可先作拉氏函数

    再解方程组

    求出点,这样求出的点就是可疑条件极值点

    【注记】拉氏乘数法可推广到一般多元函数或限制条件多于一个的情形:

    例如:求    在限制条件

    下的极值。

    作拉氏函数

    解方程组

    这样求出就是可疑极值点的坐标。

    展开全文
  • 使用函数语句定义,this 关键字牢牢指向当前函数定义;而若使用函数表达式定义,则随着函数附着的对象不同,this 关键字也随之改变。 另外一个显著的区别是在内存管理和垃圾回收方面。因为,函数表达式不像...
  • 多元函数的极值及其求法

    万次阅读 多人点赞 2018-04-29 10:00:56
    定义:设函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)D,P0(x0,y0)D,P_0(x_0,y_0)为DDD的内点。若存在P0P0P_0的某个邻域U(P0)⊂DU(P0)⊂DU(P_0)\subset D。 若对于该邻域内异与P0P0P_0的任何点(x,y)(x,y...
  • 1、宗函数f(t)的右截取函数f(t)ξ(t)与它的左截取函数的相反函数-f(t)ξ(-t)具有相同形式的拉普拉斯变换F(s),即ζ[f(t)ξ(t)]=ζ[-f(t)ξ(-t)],宗函数的原函数为F(t),且该函数在拉普拉斯变换式中有F(+∞)=F(-∞)。...
  • 高等数学 函数极限求法(一) 代入

    万次阅读 多人点赞 2018-01-29 01:24:08
    高数 函数极限求法(一) 代入 极限是什么? 极限就像你坐着宇宙飞船去探索宇宙的边界一样,无限接近 却 没法到达! 大学高数中极限部分可以简单分为两部分:函数极限 和 数列极限 ; 本篇...
  • JavaScript函数,作用以及闭包

    千次阅读 2017-04-30 01:27:53
    函数定义:函数使用function关键字定义,它可以用在函数定义表达式或者函数声明定义。 a. 函数的两种定义方式: * function functionName() {} * var functionName = function(){} b. 两种函数定义不同之处 1). ...
  • 关于定义域有界性的三种判断

    万次阅读 2016-12-19 19:57:32
    关于定义域有界性的三种判断@(微积分)给定一个函数,讨论其在定义域上是否有界,有三种方法。不敢说常见,提出来思考。 理论:若f(x)在定义域[a,b]上连续,或者放宽到常义可积(有限个第一类间断点),则f(x)在[a,...
  • 拉格朗日乘子1 无约束问题2 等式约束问题3 不等式约束问题KTT条件4 拉格朗日乘子问题罚函数法1 定义2 外罚函数法3 内罚函数法广义乘子1 等式约束广义乘子2 不等式约束广义乘子3 一般约束广义乘子本文...
  • 第九章(8)多元函数的极值及求法

    千次阅读 2019-10-05 12:16:51
    (1)已知函数定义域为D (2)特定点是D的内点,即是且 (3)对于任何的 点(x,y),,恒有 则是极大值点。 类似地, (1)已知函数定义域为D (2)特定点是D的内点,即是且 (3)对于任何的 点(x,y),,恒有 ...
  • 候选键算法 最小函数依赖集 关系模式R(U,D,DOM,F) R:关系名,符号化的元组定义 U:一组属性 D:属性组U中的属性所来自的 DOM:属性到的映射 F:属性组U上的一组数据依赖 函数依赖集的闭包 F:FD...
  • 此方法可用于非线性可分情况...将上述分类思想数学化,需定义点处的位势函数,它应该满足: = 是连续光滑函数 是与之间距离的单值单调下降函数。当且仅当x=时,达到最大值。当x与之间的距离趋于无穷大时,趋于零。...
  • 8.8小节 函数作用和闭包

    千次阅读 2010-04-20 15:47:00
    当一个函数定义时,当前的链就会作为内部的状态存储起来,成为函数的一部分。 在顶端,链只简单地包含全局对象,和词法作用 没有太大的关系。然而,当你定义一个嵌套函数时,链就包括了它的外部函数。这就是...
  • 交叉熵代价函数
  • §3.5 函数的极值及其求法 一、极值的定义函数在区间内有定义,点是内的一点。若存在点的一个邻域,对于该邻域内任何异于的点,不等式  () 成立,称是函数的一个极大值(极小值);称点是函数 的极大值点(极...
  • 拉格朗日函数、对偶上升、对偶分解

    万次阅读 多人点赞 2018-02-21 01:40:35
    拉格朗日函数 拉格朗日乘子 KKT条件 对偶上升 共轭函数 拉格朗日对偶函数 线性约束下拉格朗日函数对偶函数的共轭形式 对偶问题 对偶上升 对偶分解 拉格朗日函数 用于解决满足约束条件的...
  • 高等数学-多元函数微分

    千次阅读 2019-07-20 21:11:14
    1.2 多元函数极限和连续性的定义方法与一元函数类似(判断多元函数极限是否存在的技巧:从y=kx的方向去趋近;分别从y=x和y=-x两个方向去趋近)。 1.3 有界性与最大值最小值定理。在有界闭区域D上...
  • 判别函数(七)势函数法

    千次阅读 2018-01-18 23:50:07
    用势函数的概念来确定判别函数和划分类别界面。 基本思想 假设要划分属于两种类别ω1和ω2的模式样本,这些样本可看成是分布在n维模式空间中的点xk。把属于ω1的点比拟为某种能源点,在点上,电位达到峰值。随着...
  • 定义函数定义形参,调用函数时传递实参;函数返回值通过return获得;不带返回值时定义为空类型。函数调用形式为函数名 (实参表列)。C语言可以嵌套调用函数。在调用函数时又调用该函数本身为递归,必须有退出条件...
  • 本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分及其应用。讨论中,我们主要以二元函数为主,因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题,而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。 建议同学们在学习中,...
  • 首先是凸集的定义。一个集合S∈RnS\in \mathbb{R}^nS∈Rn称为凸集(Rn\mathbb{R}^nRn表示nnn维实向量空间),如果对于任意两个点a,b∈Sa,b\in Sa,b∈S,连接它们的线段也在集合SSS内,如下图: 任意多个凸集的交集...
  • 牛顿迭代实现平方根函数

    千次阅读 2015-10-20 21:15:06
    牛顿迭代实现平方根函数平方根函数Sqrt() 用来一个数的平方根,如何实现这个函数?有多种方法,这里记录一种比较常用的牛顿迭代。牛顿迭代 牛顿迭代(Newton·s method)又称为牛顿-拉夫逊(拉弗森)方法...
  • 优化设计-外点惩罚函数法-MATLAB编程

    千次阅读 多人点赞 2020-05-23 20:55:27
    优化设计-外点惩罚函数-MATLAB编程优化设计-内点惩罚函数-MATLAB编程外点惩罚函数介绍MATLAB程序...外点是将惩罚函数定义在可行之外,并在整个Rn中进行参数寻优。初始点x0可以在Rn中任选,既可在可行中,亦
  • 函数的理解以及一些等价定义

    万次阅读 2019-01-16 21:00:42
    函数在凸优化中有重要的意义,所谓的凸优化,是指目标函数(objective function)和约束条件(constraint ...函数f:Rn→Rf:{R^n} \to Rf:Rn→R是凸的,如果domfdom fdomf(即函数fff的定义域)是凸集,且对于任意...
  • 专升本高数学习总结——函数

    千次阅读 2017-01-06 23:40:13
    三种常用函数定义域 一元二次方程根方法 十字相乘分解 根公式常见初等函数函数 y=x^R R为常数 指数函数 y=a^x a>0且a≠0 对数函数 y=loga X 读作以a为底,X的对数 a≠1,当a=e时可写做l

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 101,606
精华内容 40,642
关键字:

一般函数定义域的求法