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  • 大家都知道解析几何中,直线的方程一般式、点斜式、斜截式、两点式、截距式、交点式这6种表示形式,也知道在空间立体几何通过平面的法向量求线面角或二面角的平面角相对容易些。那么,直线是否也有法向量呢?接...

    大家都知道解析几何中,直线的方程有一般式、点斜式、斜截式、两点式、截距式、交点式6种表示形式,也知道在空间立体几何通过平面的法向量求线面角或二面角的平面角相对容易些。那么,直线是否也有法向量呢?接下面我会为同学们具体解释,但在解释之前,还需要把位置向量、方向向量、投影向量、法向量这个4个基本概念进行介绍,以便同学们形成对法向量的对比认识

    首先是位置向量位置向量是针对而言的,因为两个不重复(或不一样的)点唯一确定一条直线,所以谈论直线的基础就是点。无论是在平面还是在空间,咱们把点P

    3f3babe3a9193e8f79133f4524adeb1a.png置于坐标系中,那么就有唯一的一个坐标与之对应,从原点O出发,连OP,则向量181efde641e9e4f19782a23d840c137a.png

    其次是投影向量,投影向量是大学的知识,很多同学会把投影向量跟向量的投影混淆,投影向量仍然是向量,有大小有方向,而向量的投影就是一个标量,计算出来是一个数值,它跟目标向量无关,但跟目标向量的方向有关系,也就是说跟两个向量的夹角有关系。向量的投影是指一个向量a在另一个向量b的投影,计算方法是:|a|*cosθ就是向量a在向量b上的投影,反之向量b在向量上a的投影是|b|*cosθ。在这里,特别注意的是当夹角θ为钝角时,向量的投影就是负值。

    7c2affd710247039356bcc1f1cb2ba83.png

    再次是方向向量与法向量这是本篇文章的重点方向向量顾名思义就是管方向不管大小的向量在空间中,与某一条直线L平行的非零向量就是该直线的方向向量,通常用

    28618985dfa21b76e29a79207dad467c.png表示,由此咱们可以通过该直线上一定点和方向向量就可以确定该直线了。而法向量就是与该直线垂直的非零向量,通常用0d57e17f5590b048ef78775ca525499f.png表示

    新教材选择性必修第一册课本P76对于直线的方向向量和法向量有一些内容,但没有成章节专门讲解,这里作进一步详细说明:

    201aff4ec0f82b06cd350951c71c5649.png

    8fb3198f4512e525531e6d03663ad927.png








     从以上推导过程,咱们不难分析总结如下结论:

    1、直线的点法式方程为:

    f75facab1746e501fadb056d64365548.png

    2、直线的点向式方程为:

    656218a2d957e49959a1d95a0657fa32.png

    3、直线的法线式方程为:过原点向直线l做一条的垂线段,该垂线段所在直线的倾斜角θp是该线段的长度。则该直线方程的法线式为:xcosθ+ysinθ-p=0。其中p为原点到直线的距离,θ为法线与X正方向的夹角。此段还请同学们自行推导,如果解答题要用,需要必要的证明过程,其实跟计算过程一致。

    4、一条直线的方向向量和法向量有无数多个,如何选取需根据题意和简化运算为主来考虑。然后,方向向量与法向量肯定是垂直的。

    5、跟空间法向量类似,针对线线平行或垂直的证明可以等价转化为方向向量的平行或垂直;线面平行或垂直的证明可以等价转化为直线的方向向量与平面法向量的垂直或平行

        通过以上文字和图形说明,希望能让大家对于直线的方向向量和法向量有进一步的认识与理解,并帮助理解平面的法向量,而且将来能在高考题中灵活运用起来,尤其是空间法向量,比起做辅助线、解三角形,法向量的优点实在有点大。

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  • 找自:https://zhidao.baidu.com/question/461037831369263405.html变换方程一般式Ax+By+Cz+D=0,平面的法向量为(A,B,C)。证明:设平面上任意两点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)(1) 满足方程:Ax1+By1+Cz1+D=0,Ax2+...

    最近,有所疑惑,网上查找,找到有一个相关回答,所以此处记录。

    找自:https://zhidao.baidu.com/question/461037831369263405.html


    • 变换方程为一般式Ax+By+Cz+D=0,平面的法向量为(A,B,C)。

    • 证明:设平面上任意两点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)

      (1) 满足方程:Ax1+By1+Cz1+D=0,Ax2+By2+Cz2+D=0

      (2)PQ的矢量为(x2-x1,y2-y1,z2-z1),该矢量满足A(x2-x1)+B(y2-y1)+C(z2-z1)=0

      (3)矢量PQ⊥矢量(A,B,C)

      (4)平面上任意直线都垂直于矢量(A,B,C)

      (5)矢量(A,B,C)垂直于该平面

      (6)平面的法向量为(A,B,C)

    • 平面方程:空间中处在同一平面的对应的方程。而平面是最简单、最常用的一种特殊曲面。

    • 平面方程的一般式:Ax+By+Cz+D=0,其中A,B,C,D为已知常数,并且A,B,C不同时为零。


    此处第(3)步我刚看的时候有疑惑,想为什么PQ就垂直于(A,B,C)。

    然后再回看(2)步,这个式子就是两个向量的点积公式,点积为0,所以向量垂直。


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  • 本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布平面方程假设平面的法向量. 一般式:. 点法式:. 截距式:. 三点式:直线方程设直线的方向向量为 一般式: 点向式:. 参数式: 两点式:公式证明(1).平面方程 设是平面上一点,为该点的...

    本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布

    平面方程

    假设平面的法向量

    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn%7D%3D%28A%2CB%2CC%29.

    一般式:
    equation?tex=Ax%2BBy%2BCz%2BD%3D0.

    点法式:
    equation?tex=A%28x-x_0%29%2BB%28y-y_0%29%2BC%28z-z_0%29%3D0.

    截距式:
    equation?tex=%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%2B%5Cfrac%7By%7D%7Bb%7D%2B%5Cfrac%7Bz%7D%7Bc%7D%3D1.

    三点式:
    equation?tex=%5Cleft+%7C%5Cbegin%7Baligned%7D%26x-x_1%5Cquad+y-y_1%5Cquad+z-z_1%5C%5C+%26x-x_2%5Cquad+y-y_2%5Cquad+z-z_2%5C%5C%26x-x_3%5Cquad+y-y_3+%5Cquad+z-z_3%5Cend%7Baligned%7D%5Cright%7C%3D0

    直线方程

    设直线的方向向量为

    equation?tex=%5Cboldsymbol%7B%5Ctau%7D%3D%28l%2Cm%2Cn%29

    一般式:
    equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+A_1x%2BB_1y%2BC_1z%2BD_1%3D0%2Cn_1%3D%28A_1%2CB_1%2CC_1%29%5C%5CA_2x%2BB_2y%2BC_2z%2BD_2%3D0%2Cn_2%3D%28A_2%2CB_2%2CC_2%29%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.

    点向式:
    equation?tex=%7Bx-x_0%5Cover+l%7D%3D%7By-y_0%5Cover+m%7D%3D%7Bz-z_0%5Cover+n%7D.

    参数式:
    equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x%3Dx_0%2Btl%5C%5C%26y%3Dy_0%2Btm%5Cquad%28t%E4%B8%BA%E5%8F%82%E6%95%B0%29+%5C%5C%26z%3Dz_0%2Btn%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.

    两点式:
    equation?tex=%7Bx-x_1%5Cover+x_1-x_2%7D%3D%7By-y_1%5Cover+y_1-y_2%7D%3D%7Bz-z_1%5Cover+z_1-z_2%7D

    公式证明

    (1).平面方程

    equation?tex=P_0%28x_0%2Cy_0%2Cz_0%29是平面上一点,
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Br_0%7D为该点的位置向量.
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn%7D%3D%28a%2Cb%2Cc%29是一个非零向量.
    equation?tex=P为平面上任意一点,位置向量为
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Br%7D.那么平面方程即为
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn%5Ccdot%28r-r_0%29%3D0%7D.将向量计算展开即为点法式方程.将括号去掉用D代表常数即为一般方程.方程同时除以-D即为截距式方程.

    现在推导三点式方程.设
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7BA%7D%3D%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2C%5Cboldsymbol%7BB%7D%3D%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29%2C%5Cboldsymbol%7BC%7D%3D%28x_3%2Cy_3%2Cz_3%29三点不共线.
    equation?tex=P为平面上任意一点,位置向量为
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Br%7D%3D%28x%2Cy%2Cz%29.那么
    equation?tex=%5Cvec%7BPA%7D%3D%28x-x_1%2Cy-y_1%2Cz-z_1%29%2C%5Cvec%7BPB%7D%3D%28x-x_2%2Cy-y_2%2Cz-z_2%29%2C%5Cvec%7BPC%7D%3D%28x-x_3%2Cy-y_3%2Cz-z_3%29 四点共面
    equation?tex=%5CRightarrow三向量共面
    equation?tex=%5CRightarrow
    equation?tex=%5Cvec%7BPA%7D%5Ctimes%5Cvec%7BPB%7D%5Ccdot%5Cvec%7BPB%7D%3D%5Cvec%7B0%7D%5CRightarrow
    equation?tex=%5Cleft+%7C%5Cbegin%7Baligned%7D%26x-x_1%5Cquad+y-y_1%5Cquad+z-z_1%5C%5C+%26x-x_2%5Cquad+y-y_2%5Cquad+z-z_2%5C%5C%26x-x_3%5Cquad+y-y_3+%5Cquad+z-z_3%5Cend%7Baligned%7D%5Cright%7C%3D0. 平面的参数方程:

    equation?tex=M_0%28x_0%2Cy_0%2Cz_0%29为平面上一点,
    equation?tex=M%28x%2Cy%2Cz%29为平面上任意一点.
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bu_1%7D%3D%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2C%5Cboldsymbol%7Bu_2%7D%3D%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29为平面上两个不共线的向量.那么存在
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bs%2Ct%7D,使得该式成立:
    equation?tex=%5Cvec%7BM_0M%7D%3D%5Cboldsymbol%7Bsu_1%2Btu_2%7D.

    即:
    equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+x-x_0%3Dsx_1%2Btx_2%5C%5Cy-y_0%3Dsy_1%2Bty_2%5C%5Cz-z_0%3Dsz_1%2Btz_2%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5CRightarrow%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x%3Dx_0%2Bsx_1%2Btx_2%5C%5C%26y%3Dy_0%2Bsy_1%2Bty_2%5Cquad%28s%2Ct%E4%B8%BA%E5%8F%82%E6%95%B0%29+%5C%5C%26z%3Dz_0%2Bsz_1%2Btz_2%5Cend%7Baligned%7D%5Cright. (2).直线方程

    在空间直角坐标系中,直线是由平面定义的,其几何意义为两平面的交线.
    一般式:
    equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+A_1x%2BB_1y%2BC_1z%2BD_1%3D0%2Cn_1%3D%28A_1%2CB_1%2CC_1%29%5C%5CA_2x%2BB_2y%2BC_2z%2BD_2%3D0%2Cn_2%3D%28A_2%2CB_2%2CC_2%29%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.

    一般情况下直线有空间中一个确定的点和方向向量就可以确定.假设直线方向向量为
    equation?tex=%5Ctau%3D%28l%2Cm%2Cn%29

    直线同时垂直于两平面的法向量,因此
    equation?tex=%5Ctau%3Dn_1%5Ctimes+n_2得到方向向量.

    再令两平面方程其中一个坐标为一个常数(比如令
    equation?tex=z%3Dz_0),解二元一次方程得到两平面的一个公共点
    equation?tex=M_0%28x_0%2Cy_0%2Cz_0%29.

    由此得出直线的参数方程:
    equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+%26x%3Dx_0%2Btl%5C%5C%26y%3Dy_0%2Btm%5Cquad%28t%E4%B8%BA%E5%8F%82%E6%95%B0%29+%5C%5C%26z%3Dz_0%2Btn%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.

    把参数方程中的t隐去,就得到了点向式方程:
    equation?tex=%7Bx-x_0%5Cover+l%7D%3D%7By-y_0%5Cover+m%7D%3D%7Bz-z_0%5Cover+n%7D. 如果已知两点
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7BA%7D%3D%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2C%5Cboldsymbol%7BB%7D%3D%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29,那么向量
    equation?tex=%5Cvec%7BAB%7D%3D%28x_2-x_1%2Cy_2-y_1%2Cz_2-z_1%29就可以作为方向向量,由此推出两点式方程:
    equation?tex=%7Bx-x_1%5Cover+x_1-x_2%7D%3D%7By-y_1%5Cover+y_1-y_2%7D%3D%7Bz-z_1%5Cover+z_1-z_2%7D

    (3).位置关系
    1.点到平面的距离
    equation?tex=P_0%28x_0%2Cy_0%2Cz_0%29到平面
    equation?tex=Ax%2BBy%2BCz%2BD%3D0的距离d.

    平面的法向量
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn%7D%3D%28A%2CB%2CC%29,取平面上一点
    equation?tex=P_1%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29,满足
    equation?tex=Ax_1%2BBy_1%2BCz_1%2BD%3D0.
    equation?tex=d%3D%7C%7B%5Cvec%7BP_1P_0%7D%5Ccdot%5Cboldsymbol%7Bn%7D%5Cover%7C%5Cboldsymbol%7Bn%7D%7C%7D%7C%3D%7B%7CA%28x_0-x_1%29%2BB%28y_0-y_1%29%2BC%28z_0-z_1%29%7C%5Cover%5Csqrt%7BA%5E2%2BB%5E2%2BC%5E2%7D%7D%3D%7B%7CAx_0%2BBy_0%2BCz_0%7C%5Cover%5Csqrt%7BA%5E2%2BB%5E2%2BC%5E2%7D%7D

    2.直线间的关系
    设直线
    equation?tex=L_1%2CL_2的方向向量分别为
    equation?tex=%5Ctau_1%3D%28l_1%2Cm_1%2Cn_1%29%2C%5Ctau_2%3D%28l_2%2Cm_2%2Cn_2%29

    1).
    equation?tex=L_1%5Cperp+L_2%5CLeftrightarrow%5Ctau_1%5Cperp+%5Ctau_2%5CLeftrightarrow+l_1l_2%2Bm_1m_2%2Bn_1n_2%3D0

    2).
    equation?tex=L_1%5Cparallel+L_2%5CLeftrightarrow+%5Ctau_1%5Cparallel%5Ctau_2%5CLeftrightarrow%7Bl_1%5Cover+l_2%7D%3D%7Bm_1%5Cover+m_2%7D%3D%7Bn_1%5Cover+n_2%7D.

    3.平面间的关系
    设平面
    equation?tex=%5Cpi_1%2C%5Cpi_2的法向量为
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn_1%7D%3D%28A_1%2CB_1%2CC_1%29%2C%5Cboldsymbol%7Bn_2%7D%3D%28A_2%2CB_2%2CC_2%29

    1).
    equation?tex=%5Cpi_1%5Cparallel%5Cpi_2%5CLeftrightarrow%5Cboldsymbol%7Bn_1%5Cparallel+n_2%7D%5CLeftrightarrow%7BA_1%5Cover+A_2%7D%3D%7BB_1%5Cover+B_2%7D%3D%7BC_1%5Cover+C_2%7D

    2).
    equation?tex=%5Cpi_1%5Cperp%5Cpi_2%5CLeftrightarrow%5Cboldsymbol%7Bn_1%5Cperp+n_2%7D%5CLeftrightarrow+A_1A_2%2BB_1B_2%2BC_1C_2%3D0

    4.平面与直线的关系
    设直线
    equation?tex=L的方向向量为
    equation?tex=%5Ctau%3D%28l%2Cm%2Cn%29,平面
    equation?tex=%5Cpi的法向量为
    equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bn%7D%3D%28A%2CB%2CC%29.

    1).
    equation?tex=L%5Cperp%5Cpi%5CLeftrightarrow%5Ctau%5Cparallel%5Cboldsymbol%7Bn%7D%5CLeftrightarrow%7Bl%5Cover+A%7D%3D%7Bm%5Cover+B%7D%3D%7Bn%5Cover+C%7D

    2).
    equation?tex=L%5Cparallel%5Cpi%5CLeftrightarrow%5Ctau%5Cperp%5Cboldsymbol%7Bn%7D%5CLeftrightarrow+lA%2BmB%2BnC%3D0.
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  • 在前两节中已经总结过了向量以及其运算,本篇内容开始...现在类推,有平面上一点坐标和该平面的法向量即可确定一个平面。 例题 例1 (二)平面的截距式方程 (二)平面的一般方程式 (三)两个平面的夹角 要注

    在前两节中已经总结过了向量以及其运算,本篇内容开始向量应用的相关内容。

    一、空间曲面

    在这里插入图片描述
    上面的定义说,在曲面上任意取一点都能使方程成立,方程的任一一个解都在曲面上,换言之二者存在对应关系,则这个三元方程就是曲面的方程

    二、曲面的特殊情况——平面

    (一)平面的点法式方程
    中学学过直线的点斜式方程,确定一条直线需要两个要素——过直线一点坐标和直线斜率。
    现在类推,有平面上一点坐标和该平面的法向量即可确定一个平面。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    例题

    例1
    在这里插入图片描述
    (二)平面的截距式方程在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (二)平面的一般方程式在这里插入图片描述
    (三)两个平面的夹角
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    要注意的是,两个平面的夹角并不是上图中两个平面所成的钝角,这个钝角是二面角,平面是可以无限延伸的在这里插入图片描述
    两个平面的夹角是上图中的锐角θ(平面的夹角小于90°)

    平面的夹角虽然小于90°,但是平面法向量的夹角却是有两种情况。
    Case1:法向量夹角小于90°
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    Case2:法向量夹角大于90°在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    统一形式

    在这里插入图片描述

    例题

    在这里插入图片描述

    总结

    本篇我们提了一下空间曲面的概念,了解到,看到三元方程就可以将之看成一个空间曲面;紧接着我们讨论了平面——空间曲面的特殊形式的三种方程(点法式、截距式和一般式),知道了如何通过三个不在同一直线的点确定一个平面的方程。最后学习了平面的夹角和其计算方法。

    emmmm这些好像白说呀,还是直接点吧,本篇完。

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    千次阅读 2020-06-03 17:59:04
    平面方程有四种表达方式分别是:截距式,点法式,一般式,法线式。 1.点法式 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 假设n=(A,B,C)为平面的法向量,M=(x,y,z)为平面上任意一点,M'=(x0,y0,z0),则有n·MM'=0,则有A(x-x0)+B(y...
  • 1. 平面的点法式方程 ...4. 平面的一般式方程 5. 平面一般方程的几种特殊情况(过原点、过坐标轴、平行于坐标轴) 6. 平面方程求解示例 解答:使用点法式方程的求解过程如下: 7. 练习 ...
  • 摘要:在平面解析几何中,直线方程有多种形式,在解决不同的问题时,使用适当的方程形式可以使问题...从直线的一般式中可以知道以下信息:斜率:法向量:方向向量:x轴上的截距为:,y轴上的截距为:点斜式:点斜...
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  • 一、 向量代数 分配率: 点乘与叉乘都有分配率 交换律: 点乘有交换率,叉乘交换之后结果相反 ...一般式:Ax+By+C=0 点法式:A(x-x0)+B(y-y0)=0 平面曲线——变量x与y呈非线性关系(甚至不是函数,可能围成了闭合
  • 一:平面方程一般式、点法式、截距式】 二:直线方程一般式、对称式、参数式】 三:平面与直线的位置关系(平行、垂直、夹角) 四:点到面的距离 五:点到直线的距离 六:常考题型与典型例题 ...
  • 平面上两直线的夹角求解析

    千次阅读 2019-04-01 13:21:49
    平面上两直线的夹角求解析 一、内容概述 在2004年审定的人教A和B版教材中,平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到.但是,该问题完全可以作为...直线的一般式方程:不全为. ②平面上两条相交直线夹...
  • 点到平面的距离

    千次阅读 2017-02-06 14:56:29
    平面的一般式方程Ax +By +Cz + D = 0其中n = (A, B, C)是平面的法向量,D是将平面平移到坐标原点所需距离(所以D=0时,平面过原点)向量的模(长度)给定一个向量V(x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)...

空空如也

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一般式方程法向量