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  • 逆矩阵、伪逆矩阵、数据的压缩和复原:这一块知识虽然很简单,但在光学各种实验情况下经常用到,特此总结。 矩阵的乘法(观测矩阵):C = A* B C:M*1 A:M*N B:N*1 A可以理解为一个转化矩阵,或者说 观测...

    逆矩阵、伪逆矩阵、数据的压缩和复原:这一块知识虽然很简单,但在光学各种实验情况下经常用到,特此总结。

     

    矩阵的乘法 (观测矩阵):C = A* B

    C:M*1

    A:M*N

    B:N*1

    A可以理解为一个转化矩阵,或者说 观测矩阵。

    矩阵B在观测矩阵A上,观察到的效果是矩阵C

    这个思想在物理思想上非常重要,尤其是光学。

    实际生活中,往往我们需要通过观测矩阵(A)和观察到的结果(C),来求出原矩阵(B)

    也就是解非线性齐次方程,M个方程,N个未知数。

     

    求逆矩阵当矩阵A必须是方阵的时候,A才是可逆矩阵,这时M=N,有唯一解,B = inv(A) * C,matlab中测试如下。

    %测试逆矩阵
    A = rand(10,10);
    B = rand(10,1);
    C = A*B;
    BB = inv(A)*C;
    B'
    BB'
    
    结果:
    
    ans =
    
        0.0986    0.1420    0.1683    0.1962    0.3175    0.3164    0.2176    0.2510    0.8929    0.7032
    
    
    ans =
    
        0.0986    0.1420    0.1683    0.1962    0.3175    0.3164    0.2176    0.2510    0.8929    0.7032
    
    

    求伪逆矩阵:伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵,但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。理解其实就是求不存在逆矩阵的逆矩阵。

    M>N的时候,也就是说我们探测到的数据量大于原数据量,此时方程数量大于未知数数量,可以直接通过求伪逆求出矩阵B,B = pinv(A) * C

    %测试伪逆,M > N
    A = rand(10,8);
    B = rand(8,1);
    C = A*B;
    BB = pinv(A)*C;
    B'
    BB'
    
    结果:
    ans =
    
        0.1375    0.3900    0.9274    0.9175    0.7136    0.6183    0.3433    0.9360
    
    
    ans =
    
        0.1375    0.3900    0.9274    0.9175    0.7136    0.6183    0.3433    0.9360

    N>M的时候,也就是说我们探测到的数据量大于原数据量,此时方程数量小于未知数数量,方程没有唯一解,不能通过B = pinv(A) * C 求出B(压缩感知情况另外考虑 :https://blog.csdn.net/tyfwin/article/details/88902091

    %测试伪逆 M<N
    A = rand(8,10);
    B = rand(10,1);
    C = A*B;
    BB = pinv(A)*C;
    B'
    BB'
    
    结果:
    ans =
    
        0.7360    0.7947    0.5449    0.6862    0.8936    0.0548    0.3037    0.0462    0.1955    0.7202
    
    
    ans =
    
        0.7045    0.7584    0.6073    0.5426    1.0107    0.0920    0.2619    0.1060    0.2999    0.6264

     

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  • 奇异矩阵的判断方法:首先,看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等,那就谈不奇异矩阵和非奇异矩阵)。 然后,再看此方阵的行列式|A|是否等于0,若等于0,称矩阵A为奇异矩阵;若不...

    奇异矩阵就是Singular Matrix 的中文翻译。

    Singular 就是唯一的,可以想成是单身狗,所以他没有对象 逆矩阵。
    Non-singular的非奇异矩阵就是Couple 有逆矩阵。

    奇异矩阵

    奇异矩阵是线性代数的概念,就是对应的行列式等于0的矩阵。

    奇异矩阵的判断方法:首先,看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等,那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。 然后,再看此方阵的行列式|A|是否等于0,若等于0,称矩阵A为奇异矩阵;若不等于0,称矩阵A为非奇异矩阵。 同时,由A0|A|≠0可知矩阵A可逆,这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵,非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵,则AX=0AX=0有无穷解,AX=bAX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵,则AX=0AX=0有且只有唯一零解,AX=bAX=b有唯一解。

    如果A(n×m)A(n×m)为奇异矩阵(singular matrix)<=> A的秩Rank(A)<n.

    如果A(n×m)A(n×m)为非奇异矩阵(nonsingular matrix)<=> A满秩,Rank(A)=n.

    非奇异矩阵:

    若n阶矩阵A的行列式不为零,即 A0|A|≠0,则称A为非奇异矩阵或满秩矩阵,否则称A为奇异矩阵或降秩矩阵。

    若n阶矩阵A的行列式不为零,即 A0|A|≠0,则称A为非奇异矩阵,否则称A为奇异矩阵。

    判定方法
    n 阶方阵 A 是非奇异方阵的充要条件是 A 为可逆矩阵,也即A的行列式不为零。 即矩阵(方阵)A可逆与矩阵A非奇异是等价的概念。

    对一个 n 行 n 列的非零矩阵A,如果存在一个矩阵 B 使 AB=BA=EAB = BA =E( E是单位矩阵),则称 A 是可逆的,也称 A 为非奇异矩阵,此时A和B互为逆矩阵。

    一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。

    一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

    一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

    一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

    一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n

    AX=bAX=b 有唯一解

    AX=0AX=0 有且仅有零解

    A可逆

    如果n 阶方阵A奇异,则一定存在一个n*1阶非零向量X使: XAX=0X'AX=0;成立

    注意:若A为非奇异矩阵,其顺序主子阵Aii=1,...,n1A_i(i=1,...,n-1)不一定均非奇异

    方阵A可逆的充要条件是
    在线性代数中,给定一个 n 阶方阵 A,若存在一 n 阶方阵 B 使得 AB=BA=InAB = BA = I_n,其中 InI_n 为 n 阶单位矩阵,则称 A 是可逆的,且 B 是 A 的逆阵,记作 A 。 若方阵 A 的逆阵存在,则称 A 为非奇异方阵或可逆方阵。 给定一个 n 阶方阵 A,则下面的叙述都是等价的: A 是可逆的、A 的行列式不为零、A 的秩等于 n(A 满秩)、A 的转置矩阵 A也是可逆的、AA 也是可逆的、存在一 n 阶方阵 B 使得 AB=InAB = I_n、存在一 n 阶方阵 B 使得 BA=InBA = I_n。 A是可逆矩阵的充分必要条件是A0︱A︱≠0(方阵A的行列式不等于0)。

    n方阵可逆的条件有以下几种判断,满足其中一项即可

    1,RA=nR(A)=n
    2,存在n阶方阵B使得AB=BA=EAB=BA=E
    3,A经有限次的初等变换可化为EnEn
    4,Ax=0Ax=0,有唯一解。

    伪逆矩阵

    对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,使得AB=BA=IAB=BA=I,其中II为与A,B同维数的单位阵,就称A为可逆矩阵(或者称A可逆),并称B是A的逆矩阵,简称逆阵。(此时的逆称为凯利逆)
    矩阵A可逆的充分必要条件是A0|A|≠0
    奇异矩阵阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵,但可以用函数pinv(A)pinv(A)求其伪逆矩阵。
    基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol)X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中toltol为误差:max(size(A))norm(A)epsmax(size(A))*norm(A)*eps。函数返回一个与A的转置矩阵A’ 同型的矩阵X,并且满足:AXA=A,XAX=XAXA=A,XAX=X.此时,称矩阵X为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵。
    pinv(A)pinv(A)具有inv(A)inv(A)的部分特性,但不与inv(A)inv(A)完全等同。
    如果A为非奇异方阵,pinv(A)=inv(A)pinv(A)=inv(A),但却会耗费大量的计算时间,相比较而言,inv(A)inv(A)花费更少的时间。
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    https://blog.csdn.net/xml1990/article/details/39340195

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  • 矩阵的逆、伪逆

    万次阅读 2018-07-23 14:10:09
    1、矩阵的逆 定义: 设A是数域的一个n阶方阵,若在相同数域存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=I。 则我们称B是A的矩阵,而A则被称为可逆矩阵。 可逆条件: A是可逆矩阵的充分必要条件是,即可矩阵就是非...

    1、矩阵的逆

    定义:

    A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=I 则我们称BA的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。

    可逆条件:

    A是可逆矩阵的充分必要条件是,即可逆矩阵就是非奇异矩阵。(当https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144239964-1757600011.png 时,A称为奇异矩阵)

    性质:

    • 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0
    • 可逆矩阵一定是方阵。
    • 如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的。
    • 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
    • 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
    • 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
    • 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

    求逆方法:

    伴随矩阵法、初等变换法

    https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144240432-533208687.png

    https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144240885-1240362445.png

    2、矩阵的伪逆和左右逆

    伪逆矩阵:

    伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵,但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol为误差,pinvpseudo-inverse的缩写:max(size(A))*norm(A)*eps。函数返回一个与A的转置矩阵A' 同型的矩阵X,并且满足:AXA=A,XAX=X.此时,称矩阵X为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵。pinv(A)具有inv(A)的部分特性,但不与inv(A)完全等同。  如果A为非奇异方阵,pinv(A)=inv(A),但却会耗费大量的计算时间,相比较而言,inv(A)花费更少的时间。

    伪逆矩阵求法:

    A m*n矩阵,r代表矩阵的秩:

    若矩阵A是方阵,且|A|!=0,则存在AA-1=E

    A不是方阵,或者|A|=0,那么只能求A的伪逆,所谓伪逆是通过SVD计算出来的;

    pinv(A)表示A是伪逆:

    如果A列满秩,列向量线性无关,r=nAx=b为超定方程组,存在0个或1个解,那么https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144241354-1824910489.png,因为https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144241589-1173905890.png,因此也称为左逆;

    如果A行满秩,行向量线性无关,Ax=b为欠定方程组,存在0个或无穷个解,那么https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144241839-208457513.png,因为https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144242323-1800737137.png,因此也称为右逆;

    如果秩亏损,那么只好先做奇异值分解https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144242682-594466796.pngU,V是正交阵,D是对角阵;然后取对角阵S,如果D(i,i)=0,那么S(i,i)=0,如果D(i,i)<>0,那么S(i,i)=1/D(i,i)。于是https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144243010-561856883.png

    二、矩阵的左逆与最小二乘

    关于最小二乘可以参考:最小二乘的几何意义及投影矩阵http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5053354.html

    其实,最小二乘就是一个超定方程组的求解问题,根据上述的了解,超定方程组的求解方法之一就是通过求伪逆的形式,具体来说就是求左逆。即:

    https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144243776-996072283.png

    最小二乘也可以从几何的角度来考虑,那就是下面要说的投影矩阵。

    三、左右逆与投影矩阵

    左逆中, https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144244198-1572969896.png,如果将左逆写在A右边将得不到单位矩阵了,那么 https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144244464-924554401.png是什么?是在A矩阵列空间(A矩阵各列张成的子空间)投影的投影矩阵,它会尽量靠近单位矩阵,一个投影矩阵很想成为单位矩阵,但不可能做到。

    右逆中, https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144244932-801045701.png,如果将右逆写在A左边也不是单位矩阵了,那https://images2015.cnblogs.com/blog/585228/201512/585228-20151228144245307-129461338.png是什么?是在A矩阵行空间(A矩阵各行张成的子空间)投影的投影矩阵。

     

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  • 矩阵的逆、伪逆、左右逆 矩阵的左逆与最小二乘 左右逆与投影矩阵 一、矩阵的逆、伪逆、左右逆 1、矩阵的逆 定义: 设A是数域的一个n阶方阵,若在相同数域存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=I。 则我们称B是A的逆...

    主要内容:

    1. 矩阵的逆、伪逆、左右逆
    2. 矩阵的左逆与最小二乘
    3. 左右逆与投影矩阵

    一、矩阵的逆、伪逆、左右逆

    1、矩阵的逆

    定义:

    设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=I。 则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。

    可逆条件:

    A是可逆矩阵的充分必要条件是,即可逆矩阵就是非奇异矩阵。(当 时,A称为奇异矩阵)

    性质:

    • 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。
    • 可逆矩阵一定是方阵。
    • 如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的。
    • 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
    • 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
    • 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
    • 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

    求逆方法:

    伴随矩阵法、初等变换法

    2、矩阵的伪逆和左右逆

    伪逆矩阵:

    伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵,但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol为误差,pinv为pseudo-inverse的缩写:max(size(A))*norm(A)*eps。函数返回一个与A的转置矩阵A' 同型的矩阵X,并且满足:AXA=A,XAX=X.此时,称矩阵X为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵。pinv(A)具有inv(A)的部分特性,但不与inv(A)完全等同。  如果A为非奇异方阵,pinv(A)=inv(A),但却会耗费大量的计算时间,相比较而言,inv(A)花费更少的时间。

    伪逆矩阵求法:

    A 为m*n矩阵,r代表矩阵的秩:

    若矩阵A是方阵,且|A|!=0,则存在AA-1=E;

    若A不是方阵,或者|A|=0,那么只能求A的伪逆,所谓伪逆是通过SVD计算出来的;

    pinv(A)表示A是伪逆:

    如果A列满秩,列向量线性无关,r=n,Ax=b为超定方程组,存在0个或1个解,那么,因为,因此也称为左逆;

    如果A行满秩,行向量线性无关,Ax=b为欠定方程组,存在0个或无穷个解,那么,因为,因此也称为右逆;

    如果秩亏损,那么只好先做奇异值分解,U,V是正交阵,D是对角阵;然后取对角阵S,如果D(i,i)=0,那么S(i,i)=0,如果D(i,i)<>0,那么S(i,i)=1/D(i,i)。于是

    二、矩阵的左逆与最小二乘

    关于最小二乘可以参考:最小二乘的几何意义及投影矩阵http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5053354.html

    其实,最小二乘就是一个超定方程组的求解问题,根据上述的了解,超定方程组的求解方法之一就是通过求伪逆的形式,具体来说就是求左逆。即:

    最小二乘也可以从几何的角度来考虑,那就是下面要说的投影矩阵。

    三、左右逆与投影矩阵

    左逆中, ,如果将左逆写在A右边将得不到单位矩阵了,那么 是什么?是在A矩阵列空间(A矩阵各列张成的子空间)投影的投影矩阵,它会尽量靠近单位矩阵,一个投影矩阵很想成为单位矩阵,但不可能做到。

    右逆中, ,如果将右逆写在A左边也不是单位矩阵了,那是什么?是在A矩阵行空间(A矩阵各行张成的子空间)投影的投影矩阵。

    四、参考文章

    http://baike.baidu.com/link?url=whnNGl6wlBJ7bIzn-ldxZ3KfXj03WlXxuJvLw2VPLcCjLvFtSU_7csPUyNQ57cMzk9zz-y6sG_7hrt88NHcg2a

    http://baike.baidu.com/link?url=9BBn2Hc2IgUjr2bwr8CGOFvNRfSWZB3AW6_p5DjTxY74OtZJJYvXIMQPmQ3zDpDsX36HLkEbeskvVczEruqHFa

    http://shijuanfeng.blogbus.com/logs/206966888.html

    http://www.blogbus.com/shijuanfeng-logs/238839798.html

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_438e26440102vsm8.html

    转载自: https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5082508.html

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  • 高维矩阵逆的方法,inv、pinv、/

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    1、inv 与 pinv原文地址:点击打开链接对于方阵A,如果为非奇异方阵,则存在逆矩阵inv(A)对于奇异矩阵或者非方阵,并不存在逆矩阵,但可以使用pinv(A)求其伪逆(1)invinv(A)*B 实际可以写成A\BB*inv(A) 实际...
  • 这部分我们通过选择更好基底来产生更好的矩阵。...事实,所有对 AAA 分解都可以看作是一个基改变。在这里,我们只关注两个突出例子,有一组基 Λ\LambdaΛ 和有两组基 Σ\SigmaΣ。 ...
  • 本文是 Itkin (2014) 中提出方法进一步扩展,应用于另一组跳跃扩散模型:... 所提出方案在时间是无条件稳定,并保留了通过矩阵指数或通过其 Páde 近似计算正性。 提供了各种数值实验来证明这些结果。
  • 矩阵基础知识

    2017-09-08 11:24:30
    (数学概念)矩阵的逆、伪逆、左右逆,最小二乘,投影矩阵 主要内容: 矩阵的逆、伪逆、左右逆 矩阵的左逆与最小二乘 左右逆与投影矩阵 一、矩阵的逆、伪逆、左右逆 1、矩阵的逆 定义: 设A是数域的一个n阶...
  • 矩阵的翻转和旋转(1)矩阵的左右翻转(2)矩阵上下翻转函数(3)多维数组翻转函数(4)矩阵的旋转函数2.4.3 矩阵的逆与伪逆(1)矩阵的逆(2)矩阵的伪逆2.4.4 方阵的行列式2.4.5 矩阵的秩与迹2.4.6 向量和矩阵的范...
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  • 在MATLAB中,我们经常只以函数形式给出线性运算f(),但需要矩阵形式来做线性代数运算:转置、等……此类运算例子有INTERPN、RADON、IMTRANSFORM等... 此提交中文件 FUNC2MAT 计算矩阵 A 给定一个句柄,...
  • 1.6.多元线性回归方程估计 1.6.1.多元线性回归方程 现在有N个样本,每个都是n维的。 ...利用矩阵的求导公式: ...到这里就把a解出来了,也把a的右边的表达式称为X的伪逆矩阵。 情况2,N<n,.
  • 通过Moore-Penrose伪逆在最小二乘进行证明,为其他部分进行规划。 通过最小二乘法对单位质量进行最佳控制。 CAT扫描建模。 习题集5:线性和二次程序,最小二乘非l2正则化 在Julia(Julia)中完成 L1通过凸优化对...
  • 在优化求解问题中,经常要用到矩阵奇异值SVD分解。奇异值分解 (singularvalue decomposition,SVD)是一种可靠地正交矩阵分解法,它比...在Ubuntu下基于eigen C++库测试了eigen SVD算法性能,即SVD求解最小二乘/伪逆
  • 1.雅克比伪逆矩阵...伪逆矩阵两个不共享关节,但是第二个目标在第一个关节,与两个不同控制对比基本一致 5.伪逆矩阵二号杆第一节驱动点在一号机械臂第一节机械臂,程序完成了目标,可以分别控制两个...
  • 学习matlab第16天

    2019-11-04 20:46:46
    2.34逆矩阵 inv(A) A\eye(n) eye(A)/A A^(-1) rref([A,eye(size(A)]) 2.35矩阵的LU分解 将矩阵分解为l*u u为三角...2.38广义逆矩阵又称伪逆矩阵, pinv 2.40矩阵的水平连接和垂直连接 horzcat(A,B) vertcat(...

空空如也

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上矩阵的伪逆