第一个问题，连续变量是什么？
 
一个人的年级，统计出来有1、2、3……
 一个人的年纪，统计出来有18、19、20……
 
但是，虽然都是数字，只有年纪是连续变量。
 
为什么？顾名思义，年纪是连续的，18 - 19之间可以无限划分，而年级不行，你只能位于这几个数之间的一个，而不能在他们中间。
 
所以我们定义连续变量为：在一定区间内可以任意取值的变量。
 
下面进入正题，连续变量的描述统计。
 
概述
 
对于统计学和SPSS来说，描述统计很直观，非常适合入门，它的作用就是进行描述。
 
描述一组数据，最普及的当然是平均数了，它属于集中趋势的量数，那么在数据工作中，我们可以从以下几个方面对数据进行描述：
 
集中趋势 central tendency
离散趋势 dispersion tendency
分布特征 distribution tendency
 
下面一个个介绍
 
集中量数
 
它用来体现一组数据的一般水平，集中意为数据们向某一点集中，众数据奔它而来。
 这一点并不固定，我们会根据数据的不同分布状况进行选择，比如：
 
算术平均数：观察值总和与总频数之商；这是最常用的指标，但不适合对严重偏态分布的变量进行描述。譬如一个很常用的比分：一名CEO 的薪资为50w，10名员工薪资为3000，他们的算数平均数能代表该公司的平均薪资水平吗？显然不能。
中位数：将全体数据从大到小排列，在数列中处于中间位置的数。
众数：出现次数最多的数。
还有截尾均数、几何均数、调和均数，其中截尾均数用得相对较多，截尾截尾，截去头尾，再求算术平均数；它能够有效防止极端值影响，一个很广泛的场景是：比赛计算得分时，去掉最高分和最低分，再求算术平均数。
 
差异量数
 
差异量数用来描述数据分布的变异性，能够量化描述数据的延伸、聚集状态，也就是我们常说的分散还是集中。
 集中量数和差异量数密不可分，在推断统计中，我们会同时用这两组数据来进行分析。
 常用的差异量数有以下几种：
 
全距 range：最大值与最小值之差，很简单，不过也没什么用hhh
百分位数、四分位数、四分位距一起说 
  
百分位数用来表示位置，如P99，就是将观察值分为两部分，理论上有99%的观察值比它小，1%比它大，是非常靠前的位置了。
四分位数就是3个特定的百分位数，P25/P50/P75，可以发现，在同一组数据中，这三个四分位数是按上面的顺序升序排列的。（也可这样表示：Q1=P25;Q2=P50;Q3=P75）
四分位距就是中间50%的数据的全距，也就是P75-P25。
 
 
标准差和方差：这是一种算起来麻烦但是应用非常广泛的量数，大概仅次于算数平均数。标准差描述的是分布中每一个个体与均值之间的距离，也就是说，这组数据离中心偏离了多远。
 
变异系数：当你要比较两组数据离散程度大小的时候，很多时候不能直接比较，主要为以下两种情况： 
  
测量尺度相差太大；比如蚂蚁的体重和大象的体重，显然不是一个量级，大象一点点的变化，在蚂蚁身上都会显得非常大，直接用标准差是不合适的；
数据量纲不同；比如想要比较人的身高和体重离散程度大小，cm和kg如何比较呢？
所以我们推出了变异系数CV（Coefficient of Variation），它的公式很简单，就是**（标准差/平均值）**，用除法消除了量纲，又按照均数大小进行了标准化。
 
 
分布特征
 
最常见的分布就是正态分布了，我们知道正态分布的形态，那么偏离的那些如何描述呢？于是偏度系数、峰度系数也被推出来，描述当前数据偏离正态分布的程度。
 这些用得比较少，我们只介绍一下其含义：
 
偏度：分布不对称的方向和程度，记为g1；他是与正态分布比较而言的。 
  
g1>0时，呈正偏态分布，长尾在右边
g1=0时，对称
g1<0时，呈负偏态分布，长尾在左边
 
峰度：分布的尖峭程度或峰凸程度，记为g2；仍然是与正态分布相比较而言的统计量。 
  
g2>0，峰的形状比较尖
g2=0，正态峰
g2<0，峰的形状比正态分布要平坦
 
 
SPSS实现
 
在SPSS中呢，想要知道这些数据都是非常非常方便的！
 
 
他们在哪里？
 
 
在“描述统计”子菜单中
 
 
 
频率：这里能够产生原始数据的频数表以及百分位数等各种统计数据；
 
 
 
最简单的，把你需要统计的变量移到右边的“变量”框内再按“确定”就可以了；
 
 
右边的“统计”提供了百分位值、集中量数、差异量数、分布等的选项，勾选了就可以在输出中显示啦；“图表”可以勾选你需要显示的条形图、饼图等噢；默认是全部不勾选的，欢迎diy~
 
 
描述：它用于一般性的统计描述，不能作图，可选项也没有那么多，但是简单高效，使用频率非常高，一般用于正态分布。
 
 
探索：都是描述统计，为什么explore听起来高级一点？因为他是用于连续性资料分布状况不清时进行探索式分析。除了常用统计量，还可以做截尾均数、极端值列表等，当然也可以画图，功能非常强大。
 
 
其实SPSS对新手真的非常友好，基本就是“所见即所得”，新手可以直接点开一个数据集，尝试各种功能，相信能够进步非常快~

一、离散化原因
 数据离散化是指将连续的数据进行分段，使其变为一段段离散化的区间。分段的原则有基于等距离、等频率或优化的方法。数据离散化的原因主要有以下几点：
 
算法需要
 比如决策树、朴素贝叶斯等算法，都是基于离散型的数据展开的。如果要使用该类算法，必须将离散型的数据进行。有效的离散化能减小算法的时间和空间开销，提高系统对样本的分类聚类能力和抗噪声能力。
离散化的特征相对于连续型特征更易理解，更接近知识层面的表达
 比如工资收入，月薪2000和月薪20000，从连续型特征来看高低薪的差异还要通过数值层面才能理解，但将其转换为离散型数据（底薪、高薪），则可以更加直观的表达出了我们心中所想的高薪和底薪。
可以有效的克服数据中隐藏的缺陷，使模型结果更加稳定
 
二、离散化的优势
 在工业界，很少直接将连续值作为逻辑回归模型的特征输入，而是将连续特征离散化为一系列0、1特征交给逻辑回归模型，这样做的优势有以下几点：
 
离散特征的增加和减少都很容易，易于模型的快速迭代；
稀疏向量内积乘法运算速度快，计算结果方便存储，容易扩展；
离散化后的特征对异常数据有很强的鲁棒性：比如一个特征是年龄>30是1，否则0。如果特征没有离散化，一个异常数据“年龄300岁”会给模型造成很大的干扰；
逻辑回归属于广义线性模型，表达能力受限；单变量离散化为N个后，每个变量有单独的权重，相当于为模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合；
离散化后可以进行特征交叉，由M+N个变量变为M*N个变量，进一步引入非线性，提升表达能力；
特征离散化后，模型会更稳定，比如如果对用户年龄离散化，20-30作为一个区间，不会因为一个用户年龄长了一岁就变成一个完全不同的人。当然处于区间相邻处的样本会刚好相反，所以怎么划分区间是门学问；
特征离散化以后，起到了简化了逻辑回归模型的作用，降低了模型过拟合的风险。
 
三、离散化的方法
 1、无监督学习方法
 
1.1等宽法
 
等宽法即是将属性值分为具有相同宽度的区间，区间的个数k根据实际情况来决定。比如属性值在[0，60]之间，最小值为0，最大值为60，我们要将其分为3等分，则区间被划分为[0,20] 、[21,40] 、[41，60]，每个属性值对应属于它的那个区间
 　　缺点是对离群点比较敏感，不均匀地分布数据。
 
1.2等频法
 
将相同数量的记录放进每个区间。
 
缺点是可能将相同的数据分到不同的区间。
 
1.3基于聚类的方法
 基于聚类的方法分为两个步骤，即：
 选定聚类算法将其进行聚类
 将在同一个簇内的属性值做为统一标记。
 注：基于聚类的方法，簇的个数要根据聚类算法的实际情况来决定，比如对于k-means算法，簇的个数可以自己决定，但对于DBSCAN，则是算法找寻簇的个数。
 
2、有监督学习方法：
 
1R方法
基于信息熵的方法
基于卡方的方法
 
四、总结
 模型是使用离散特征还是连续特征，其实是一个“海量离散特征+简单模型” 同 “少量连续特征+复杂模型”的权衡。既可以离散化用线性模型，也可以用连续特征加深度学习。就看是喜欢折腾特征还是折腾模型了。通常来说，前者容易，而且可以n个人一起并行做，有成功经验；后者目前看很赞，能走多远还须拭目以待。
 
大多数人都以为是才智成就了科学家，他们错了，是品格。—爱因斯坦

遇到有一个二进制变量与一个连续变量相乘的形式，可以通过大M算法来线性化，转化后的形式也可以被cvx接受。
 
大M算法见以下链接：
 https://or.stackexchange.com/questions/39/how-to-linearize-the-product-of-a-binary-and-a-non-negative-continuous-variable

 
与离散型随机变量相对，连续随机变量的可能结果是不可计数的。例如，如果1.250是连续随机变量的一个可能值，则不能命名下一个更高或更低的可能值。从技术上讲，连续随机变量的可能结果的范围是实线(−∞和∞之间的所有实数)或实线的某些子集。
 
正态分布可能是定量研究工作中应用最广泛的连续概率分布。它在现代投资组合理论和许多风险管理技术中发挥着关键作用。因为它有很多用途，所以是投资专业人士必备知识。
 
正态分布在统计推断和回归分析中的作用被一个称之为中心极限定理的重要结果大大扩展了。中心极限定理指出，大量独立随机变量的和(和均值)近似于正态分布。
 
1733年，法国数学家亚伯拉罕·德莫伊夫(1667-1754)在发展中心极限定理的过程中引入了正态分布。正态分布是对称的，呈钟形，正态分布的可能结果的范围是整个实数：位于−∞和∞之间的所有实数。钟形曲线的尾巴不受限制地向左和向右延伸。
 

  
 
 
正态分布的定义特征如下：
 
正态分布完全由两个参数描述-均值μ和方差σ2.我们表示为X~N(μ，σ2)，读作“X服从正态分布，均值μ和方差σ2”。我们也可以用平均值和标准差σ来定义正态分布，这通常很方便，因为σ是用与X和μ相同的单位来测量的。因此，如果我们知道一个正态随机变量的均值和方差(或标准差)，我们就可以回答它的任何概率问题。
正态分布的偏度为0(它是对称的)。正态分布的峰度为3；由于对称的结果，它的超额峰度(峰度−3.0)等于0.16，对于一个正态随机变量，均值、中值和模都是相等的。
两个或多个正态随机变量的线性组合也是正态分布。
 
这里还有个观点，涉及单变量或单变量正态分布：一个正态随机变量的分布。单变量分布描述单个随机变量。多元分布指定了一组相关随机变量的概率。在投资工作和阅读中，你将遇到多元正态分布，并应了解以下情况。当我们有一组资产时，我们可以分别对每个资产的收益分布进行建模，或者将资产上的收益分配作为一个组来建模。“作为一个群体”意味着我们考虑到所有的统计之间的相互关系返回序列。一个经常用于安全回报的模型是多元正态分布。n种股票收益的多元正态分布完全由三个参数列表定义：
 

  
 
 
单个证券的平均回报列表(n表示总计)；
证券收益差异列表(共计n个差异)；
所有两两回归相关的列表：共计n(n−1)/2。
 
与单变量正态分布相比，需要指出相关性是多元正态分布的一个显著特征。
 
“假定回报是正态分布”的语句有时被用来表示联合正态分布。例如，对于30种证券组合，投资组合回报是30种证券收益的加权平均值。加权平均值是线性组合。因此，如果单个证券收益是(联合)正态分布的，则投资组合收益是正态分布的。为了确定投资组合收益的正态分布，我们需要组合证券的均值、方差和两两相关关系。
 
考虑到这些概念，我们可以返回到一个随机变量的正态分布。正态密度函数如下：
 

  
 
 
虽然不完全准确，但正态分布可被视为回报的近似模型。几乎所有正态随机变量的概率都包含在均值的三个标准差内。对于许多资产的平均回报和回报标准差的实际值，低于−100%的正常概率非常小。这个近似在给定的应用中是否有用是一个经验性的问题。例如，与每日或每周的回报率相比，正态分布更适合多元化股票组合的季度和年度持有期回报。在大多数股票回报序列中，长期偏离常态的是峰度大于3，这就是肥尾问题。因此，当我们用正态分布逼近股票收益分布时，我们应该意识到正态分布往往低估了极端收益的概率。期权收益是倾斜的。由于正态分布是一种对称分布，所以我们应该谨慎地使用正态分布来模拟包含期权中重要头寸的投资组合的收益。
 

  
 
 
因此，正态分布应用于资产价格模型不如应用于回报模型更加精确有用。一个正常的随机变量没有下限，这一特性对投资应用有几个含义，资产价格只能降到0，此时资产变得毫无价值。因此，投资分析人士一般不使用正态分布来模拟资产价格的分布。还请注意，从任何资产价格到0的水平转换为−100%的回报率。由于正态分布不受限制地扩展到0以下，因此它不能作为资产回报的精确模型。后面会提到，要想预测资产价格，模型最实用对数正态分布函数。