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  • 先说一下原理: 对于一个可逆矩阵A,必然会得到它的唯一LU分解,即分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U使得 A=L*U; 我们需要求得的问题是A的矩阵A`,已知 A=LU,A*A`=E,所以 A` = U`*L`; ...

    基于实际需要,需要对五百万阶的方阵进行求逆运算,但查看Spark(v. 2.2.0)的官方api并没有此方面的信息,就自己尝试着实现了一个;

    先说一下原理:

            对于一个可逆矩阵A,必然会得到它的唯一LU分解,即分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U使得 A=L*U;

            我们需要求得的问题是A的逆矩阵A`,已知 A=LU,A*A`=E,所以 A` = U`*L`;

            由线性代数知识可知,一个下三角矩阵的逆必然也是下三角矩阵;

            又因为,逆的转置等于转置的逆,即,(U`)T = (UT),而UT和L一样是下三角矩阵,可以实现代码复用;

    所以问题便转化成了,

        (一)大型可逆矩阵的LU分解

        (二)大型下三角矩阵的求逆

    第一部分由我的同学实现,之后会放出链接;这里主要讲一下大型下三角矩阵求逆的方法和实现;


    大型矩阵运算,因为数据量过大,无法在单台计算机上进行,故需要进行并行化处理,这里采用分块矩阵乘法的思想。

    首先设定一个步长 s,使得阶数为s的方阵可以在单台节点上进行求逆运算。


    根据分块矩阵乘法,

        L1*L1`=E

        L2*L1`+L3*L2`=0

        L3*L3`=E

    化简可知,

        L1`=(L1)`

        L2`=-(L3)`*L2*(L1)`

        L3`=(L3)`

    如此一来。只要知道(L3)`,便可以知道整个矩阵的逆,而(L3)`同样是下三角矩阵,如此一来便可以进行迭代,当迭代到L3的步长不大于s时,便可以在单台节点上进行计算,如此一来,便可以反推回整个矩阵的逆;


    下面进入实际实现部分:

        1.基于Spark的api,将HDFS上的矩阵加载到内存中,类型为 BlockMatrix

     2.调用BlockMatrix.blocks方法得到底层RDD,过滤出行标不大于列标的分块(下三角矩阵上半部分全是0,减少运算量)

     3.首先得到原矩阵右下角的分块,求逆得到(L3)`,行标-1,得到L1和L2,得到(L1)`和L2,如此一来便可以拼凑出原矩阵右下角分块为2的矩阵的逆,迭代运算便可得到最终结果;

        

    期间遇到的难点:

        1.矩阵加载,Spark提供的原生api无法加载CSV文件直接转成BlockMatrix,所以此处进行了封装:

    new IndexedRowMatrix(spark.sparkContext.textFile(path,Main.excutors).map(UDF.line2IndexedRow))
      .toCoordinateMatrix().toBlockMatrix(steps, steps)
    /*
     *输入一行以逗号(英文 , )分割的浮点数,最开始的数字作为索引
     *返回一个IndexRow
     */
    def line2IndexedRow(line:String): IndexedRow ={
      val arrayBuffer = line.split(",").map(_.toDouble).toBuffer
      val index = arrayBuffer.head.toLong
      arrayBuffer.trimStart(1)
      val vector = Vectors.dense(arrayBuffer.toArray)
      new IndexedRow(index,vector)
    }

    2.在计算  L2`=-(L3)`*L2*(L1)`时,由于直接调用矩阵分块乘法api会导致分块最终位置与算法设想不同,需要自行解决;

    3.在本地运行时结果与集群运行结果不一致:由于算法全程使用尾递归进行迭代,有部分全局变量需要广播到各个节点;

    4.性能优化,在矩阵运算过程中,由于是懒执行,部分变量会重复计算造成计算资源浪费,需要在SparkUI上查看,逐项调校;

    5.Spark的persist机制:在调用RDD的persist方法后,RDD并不会马上被缓存,而是要等到第一个action调用时才会执行,但实际上

    本算法中action的调用距离RDD首次生成相隔甚远,所以,需要在persist方法后接一个action来进行显示缓存;由于缓存项目过多

    可能造成大量IO操作,需要及时进行unpersist操作;

    优化后的RDD DAG截图如下:


    可以看到,大部分的RDD操作由于缓存,节省了大量计算资源;

    测试结果表明,在计算20阶,步长为5的矩阵运算时,优化前的计算时间为36.39秒;

    优化后,将时间缩减到10.809秒,优化成果显著;




        



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  • C语言之单位下三角矩阵求逆

    千次阅读 2015-10-26 17:51:46
    //矩阵第一列求逆  for(i = 1; i ; i++ )  {  l[i][0]=-l[i][0];    }  //bs表示矩阵的维数  for(n=1;n;n++)  {      for(i = n+1; i ; i++)  {  for(j = 0; j ...
    #include<stdio.h>

    int main()

    {

    //矩阵保存在二位数组也可以随机生成

       double l[4][4]={1,0,0,0,2,1,0,0,3,2,1,0,5,4,2,1};
       long bs=4,i,j,n;
    //矩阵第一列求逆
     for(i = 1; i < bs; i++ )
       {

           l[i][0]=-l[i][0];
       
       } 
    //bs表示矩阵的维数

       for(n=1;n<bs-1;n++)
       {
       
       
           for(i = n+1; i < bs; i++)
           {


               for(j = 0; j < n; j++)
               {
             
                  l[i][j]-=l[n][j]*l[i][n];
               }
                   l[i][n]=-l[i][n];


           }
       
       }


    //求逆后保存在原矩阵

    //打印矩阵


       for(i=0;i<bs;i++)
      {
        for(j=0;j<bs;j++)
        {
           printf("%.2f ",l[i][j]);
        }
       printf("\n");
      }
       
        return 0;
    }
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  • 答2、下三角矩阵矩阵将下三角矩阵划分成块矩阵,如上图所示,则其矩阵结果如下图。3、只有主对角线不为零的矩阵主对角元素取倒数,原位置不变。4、只有副对角线不为零的矩阵副对角元素取倒数,位置颠倒。示例...

    1、上三角矩阵的逆矩阵

    cf586df4ec11d73a08a02fe1a667fa3a.png

    将上三角矩阵划分成块矩阵,如上图所示,则其逆矩阵结果如下回图。答

    8192ed38f2bd870e179e548ee3b09bb5.png

    2、下三角矩阵的逆矩阵

    de64bc1007a6c9e2ffb8ff777578d4ea.png

    将下三角矩阵划分成块矩阵,如上图所示,则其逆矩阵结果如下图。

    1d9c4b6f7e024d1bcb6039f8ce117cc6.png

    3、只有主对角线不为零的矩阵

    主对角元素取倒数,原位置不变。

    4、只有副对角线不为零的矩阵

    副对角元素取倒数,位置颠倒。

    示例如下:

    bd98d5164d15a4ffbbea3011ea9c08cf.png

    扩展资料

    矩阵求逆的求法

    (1)初等变换法,通过初等变换将A矩阵变换成单位矩阵,则对应的单位矩阵变换成B矩阵,B矩阵即为A矩阵的逆矩阵,(A I)->(I  B);

    (2)伴随阵法,公式为:c02497dce28aeff4663fe834586f18d4.png

    (3)利用定义求逆矩阵

    设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E,则称A为可逆矩阵,而称B为A的逆矩阵。

    (4)恒等变形法

    恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义,此方法也常用与矩阵的理论推导上,就是通过恒等变形把要求的值化简出来,题目中的逆矩阵可以不求,利用 b4d935cebedbb4f03d6ff51e6ae857c4.png ,把题目中的逆矩阵化简掉。

    参考资料来源:百度百科--矩阵求逆

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  • 矩阵计算中第一次实验题,计算下三角矩阵矩阵的详细算法,可以正常运行,有所有的测试数据与运行结果
  • A的逆等于U的逆乘于L的逆,L的逆就利用下三角矩阵求逆算法进行求解,U的逆可以这样求:先将U转置成下三角矩阵,再像对L求逆一样对U的转置求逆,再将得到的结果转置过来,得到的就是U的逆。因此,关键是下三角矩阵的...

    旁听了今天的上机课,收获良多。

    方阵A求逆,先做LU分解。A的逆等于U的逆乘于L的逆,L的逆就利用下三角矩阵求逆算法进行求解,U的逆可以这样求:先将U转置成下三角矩阵,再像对L求逆一样对U的转置求逆,再将得到的结果转置过来,得到的就是U的逆。

    因此,关键是下三角矩阵的求逆。

    1.下三角矩阵求逆算法

    我利用的公式计算公式如下:

    对角元素.png

    对角元素以下的元素.png

    我的代码如下:

    def triInverse(matA):

    '''

    @author:zengwei

    输入:

    matA:一个等待求逆的下三角矩阵,大小为n*n,并且希望里面的元素值是浮点数

    输出:

    matInv:matA的逆矩阵

    '''

    numRows = matA.shape[1]

    matL = matA.copy()

    matInv = np.zeros((numRows,numRows))

    for row in np.arange(0,numRows):

    matInv[row,row] = 1/matL[row,row]

    for k in np.arange(row-1,-1,-1):

    matInv[row,k] = -(np.dot(matInv[row,k+1:row+1],matL[k+1:row+1,k]))/matL[k,k]

    return matInv

    同样,生成一个矩阵来测试一下上面的函数,并得到输出。

    import numpy as np

    test_mat = np.array([[1,0,0,0],[2,3,0,0],[4,5,6,0],[7,8,9,10]],dtype=float)

    '''

    test_mat = array([[ 1., 0., 0., 0.],

    [ 2., 3., 0., 0.],

    [ 4., 5., 6., 0.],

    [ 7., 8., 9., 10.]])

    '''

    Inv = triInverse(test_mat)

    '''

    Inv = array([[ 1. , 0. , 0. , 0. ],

    [-0.66666667, 0.33333333, 0. , 0. ],

    [-0.11111111, -0.27777778, 0.16666667, 0. ],

    [-0.06666667, -0.01666667, -0.15 , 0.1 ]])

    '''

    显然,我不知道解出来对不对,但是我可以用这个逆矩阵Inv和测试矩阵test_mat相乘看看是不是单位矩阵来判断。

    np.dot(test_mat,Inv)

    '''

    array([[1., 0., 0., 0.],

    [0., 1., 0., 0.],

    [0., 0., 1., 0.],

    [0., 0., 0., 1.]])

    '''

    是单位矩阵,说明下三角矩阵求逆成功。接下来,利用上面的函数来进行矩阵的求逆。

    2.矩阵求逆

    首先,先贴出我LU分解的函数:

    def getLandU(A):

    '''

    @author:zengwei

    输入:

    A:系数矩阵;array格式,且数值类型必须为浮点数,否则会出现截断误差。

    输出:

    LU分解中的L和U矩阵

    '''

    matA = A.copy()

    if matA[0,0]==0:

    print('不符合要求!需要换行操作。')

    else:

    numRows = matA.shape[0]

    matL = np.identity(numRows) # 准备给L矩阵用

    for row in np.arange(0,numRows-1): # 前n-1行,row代表第几行

    for k in range(row+1,numRows): # 在第row行的情况下,遍历剩下的行

    matL[k,row] = matA[k,row]/matA[row,row] # 获得L矩阵

    if matA[k,row] != 0:

    matA[k,:]=matA[k,:] - (matA[k,row]/matA[row,row])*matA[row,:]

    return matL,matA # matL为L矩阵,matA变为U矩阵

    然后我们利用getLandU函数和triInverse函数来写矩阵求解函数。如下:

    def matInverse(A):

    '''

    @author:zengwei

    输入:

    A:想要求逆的系数矩阵,n*n,希望里面的数值是浮点数

    输出:

    A的逆矩阵

    '''

    L,U = getLandU(A) #LU分解

    L_inv = triInverse(L) #L求逆

    U_inv = triInverse(U.T).T #U求逆

    return np.dot(U_inv,L_inv)

    下面,我们生成一个随机矩阵来测试,并验证求得的逆矩阵和原矩阵相乘是否为单位矩阵。

    TestMat = np.float64(np.random.randint(0,10,(4,4)))

    '''

    TestMat = array([[3., 7., 4., 0.],

    [8., 3., 9., 3.],

    [5., 4., 2., 4.],

    [7., 0., 7., 6.]])

    '''

    TestMatInv = matInverse(TestMat)

    isI = np.int64(np.dot(TestMatInv,TestMat)) # 验证

    '''

    isI = array([[1, 0, 0, 0],

    [0, 1, 0, 0],

    [0, 0, 1, 0],

    [0, 0, 0, 0]], dtype=int64)

    '''

    可见,逆矩阵乘与原矩阵是单位矩阵,这里用了一下np.int64()函数,是为了让结果好看。否则原本是0的地方就会是非常非常非常小的数,这是由于计算机用浮点数运算得到的效果。

    放假。

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下三角矩阵求逆