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  • MATLAB笔记5:矩阵的转置、求逆、旋转、翻转;矩阵的行列式、秩、迹;矩阵的特征值、特征向量
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    2020-03-13 22:29:18

    矩阵的转置、求逆、旋转、翻转

    inv(A):求矩阵A的逆矩阵;
    转置:A.'为矩阵A的转置,A’为矩阵A的共轭转置;
    rot90(A,k):将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍,k为1时可省略;
    fliplr(A):将矩阵A左右翻转;
    flipud(A):将矩阵A上下翻转。

    矩阵的行列式、秩、迹

    det(A):求矩阵A的行列式;
    rank(A):求矩阵A的秩;
    trace(A):求矩阵A的迹;

    矩阵的特征值、特征向量

    E=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成特征向量E;
    [X,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成对角矩阵D,并产生矩阵X,X各列是相应的特征向量;

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  • 1,逆矩阵公式 对于n阶矩阵来说,逆可以...简单的理解就是,第i行的元素分别乘以对应的第j行元素的代数余子式,就相当于把原行列式的第j行元素替换成第i行元素,再按第j行展开。那么第i行与第j行是相同的,行列式也就为0

    1,逆矩阵公式
    在这里插入图片描述
    对于n阶矩阵来说,逆可以这样求出来,其中C矩阵为对应元素代数余子式组成的矩阵,C的转置就是我们熟悉的伴随矩阵.也可以用来求A的逆.

    那么为什么会这样呢?我们应该证明这个公式
    首先,如果一个元素来自某一行,但是它×另一行元素的对应列数的代数余子式那么结果为0.如上图中第一行[a,b]×第二列[-b,a]=0
    为什么这样呢?简单的理解就是,第i行的元素分别乘以对应的第j行元素的代数余子式,就相当于把原行列式的第j行元素替换成第i行元素,再按第j行展开。那么第i行与第j行是相同的,行列式也就为0.

    所以就有
    在这里插入图片描述
    这里注意detA×I是矩阵相乘而不是行列式.

    从这里我们可以得到,如果我们改变a11的元素,那么逆矩阵会发生什么样的变化.

    2,AX=B,克拉默法则
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这里B表示C的转置×b,B1表示将A矩阵的第几列用b的对应列代替,这里x就表示解的分量.
    在这里插入图片描述
    虽然克拉默法则只使用代数运算,但是运算太过于复杂,所以不经常使用.

    3,通过行列式求体积
    在这里插入图片描述
    我们求一个方阵n×n的行列式,其实是在一个盒子的体积.它的三条边是由对应行元素组成的向量,这样在空间中就构成了一个盒子,行列式的绝对值就表示为它的体积.其实行列式正负表示方向,但是不重要.
    所以,单位矩阵对应单位立方体.
    再往下想,Q正交矩阵,表示的是I立方体的旋转,所以说Q的行列式是正负1.
    在这里插入图片描述

    如何证明盒子体积就等于行列式?
    这里用的是证明体积符合行列的三个基本性质.
    其中第一条单位方阵性质,第二条互换两行,行列式绝对值变,以及3a性质都容易证明.
    在这里插入图片描述
    那么我们求平行四边形的面积,就不需要求底×高,而是将两条边顶点坐标构成一个矩阵,但是这个平行四边形需要有一个点在原点,但是也非常方便了,这样平行四边形的面积就成了行列式的值.三角形的面积就成了行列式值得一半.

    那么如果顶点不在原点上呢?
    在这里插入图片描述
    这样就可以计算任意一个三角形的面积了.
    这里不予证明.

    4,特征值与特征向量
    特征向量:AX与X是同方向的,也可以说输入X得到的输出AX与X同方向.
    在这里插入图片描述
    如果说一个方阵不可逆,那么0一定是这个方阵的特征值之一.
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    对于我们熟悉的投影平面,特征向量就是处于投影平面内的任意一个向量.
    并且投影矩阵如果是一个奇异矩阵,那么0也必然是它的特征值.对应于与投影空间相垂直的向量.
    所以投影矩阵的特征值只能是1或0.并且这里为空间,所以有三个特征值.

    对于置换矩阵,
    在这里插入图片描述
    由于这里是两阶所以有两个特征值.并且这里由于是对称矩阵,所以求出来的两个特征向量相互垂直.

    这里特征值有一个性质就是:n×n的矩阵有n个特征值.
    并且特征值的和等于对角线元素的和.这个数叫做迹.
    在这里插入图片描述
    5,如何求解特征值与特征向量
    在这里插入图片描述
    这里为什么从λ变成了λI,因为λI与x相乘也能起到λx的作用.
    另外这个矩阵必然是奇异矩阵,因为如果矩阵可逆,那么x就只有0向量了.0空间中只有0向量.

    所以,奇异矩阵行列式为0
    在这里插入图片描述
    并由此解出λ,并由此解出特征向量.

    例子
    在这里插入图片描述
    这是二维的情况,注意这里结果中的6就是迹,而8是矩阵行列式,也是特征值的乘积.
    在这里插入图片描述
    这就是求解的完整过程,一般来说每一个特征值都对应着特征向量.

    用这个例子与置换矩阵的例子相对比,只是将对角线加上了3I,那么特征值会如何变化,特征向量又会如何变化?
    特征值都加上3,特征向量不变.
    在这里插入图片描述
    证明如上.
    在这里插入图片描述
    但是对于两个矩阵来说,由于特征向量是不同的,所以不可以将特征值相加.
    在这里插入图片描述
    注意这个例子,其中Q为90度旋转矩阵,就是前面的sin,cos矩阵中取90度,这个矩阵的作用是将向量旋转90度
    所以特征向量是旋转90度任然等于原向量的方向.
    这里就出现了复数.
    在这里插入图片描述
    这里结果为一组共轭复数.
    这里可以说一下,如果矩阵越接近对称矩阵,那么得到的结果就是实数的.而上面例子中Q的转置是Q的反对称矩阵,与对称矩阵相差较大,所以得到了纯虚数的矩阵.这是一种比较坏的情况.

    还有一种更坏的情况
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    这个矩阵虽然特征值有两个都是3,但是特征向量只有一个.

    6,相似对角化
    在这里插入图片描述
    将A的特征向量按列排布,组成S矩阵就可以对A矩阵进行相似对角化,得到特征值矩阵.
    所以我们需要n个线性无关的特征向量,不然S的逆不存在
    在这里插入图片描述
    公式推导过程如上.这也就是为什么特征值要与对应的特征向量保持一致才可以相似对角化.

    上面提到有些矩阵并没有有n个线性无关的特征向量,也就无法相似对角化.
    在这里插入图片描述
    这里我们得到了另一种矩阵分解方法,不同于A=LU,A=QR
    在这里插入图片描述
    这里我们可以看出A平方的特征值为λ平方,特征向量不变同理可以得到K
    次方的情况.

    这就提供给我们一种求解矩阵幂的方法.
    并且有如下定理.
    在这里插入图片描述
    这些推理都建立在A可相似对角化的情况下.

    7,哪些矩阵可以相似对角化.
    (1)有n个不同的特征向量,因为特征方程保证了行列式一定为0,就每个特征值至少有一个特征向量.
    在这里插入图片描述
    这里补充一个小知识,单位矩阵的特征值为1,特征向量为n维空间,意思是,n维空间中每一个向量乘以单位矩阵都为本身.方向自然不会改变.
    如果是对角矩阵和三角矩阵,那么对角元素就是该矩阵特征值.
    (2),有重复的特征值,但是代数重数(相同的特征值数量)=几何重数(对应0空间的维数)

    8,回到可相似对角化的情况
    求解动态问题
    在这里插入图片描述
    适用于重复操作的情况.
    在这里插入图片描述
    由于x维线性无关的特征向量,所以通过c向量的线性组合可以表示U0,并且U0=Sc
    那么A矩阵的100次方乘以U0就可以写成以上形式,AU0=S×对角矩阵×S的逆×S×c所以说,这个公式中的S应该左乘对角矩阵而不是右乘.

    这个作用就是:将初始量展开称为特征矩阵S与c的乘积之后,就可以看将一个操作重复100次之后的情况.适用于重复操作的情况

    具体例子(斐波那契数列)
    在这里插入图片描述
    对称矩阵特征值相反,并且特征向量相互正交.
    在这里插入图片描述
    这里我们应该先写出从实际问题中抽象出的A矩阵的特征值与特征向量,他的特征值决定了,最终结果是收敛的还是发散的.
    在本题中一个特征值大于1,一个特征值小于1,那么对结果起决定性作用的就是大于1的特征值,因为经过无数次操作后,特征值小于1的会趋近于0
    第二步,将U0写成特征向量的线性组合.
    第三步,带公式就可以得到经过100次操作之后的样子

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  • 行列式的计算方法(课堂讲解版).docx 计算 n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多,除非零元素较少时可利用定义计算(按照某一列或某一行展开完全展开式)外,更多的是利用行列式的性质计算,特别要注意...

    c8da8f5a7cda2d62dda9e5a200b168b9.gif行列式的计算方法(课堂讲解版).docx

    计算 n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多,除非零元素较少时可利用定义计算(按照某一列或某一行展开完全展开式)外,更多的是利用行列式的性质计算,特别要注意观察所求题目的特点,灵活选用方法,值得注意的是,同一个行列式,有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法,并举例说明。1利用行列式定义直接计算例 计算行列式 01020nDn解 Dn 中不为零的项用一般形式表示为 .121nnaa该项列标排列的逆序数 t(n1 n21n)等于 ,故12.nn2利用行列式的性质计算例 一个 n 阶行列式 的元素满足 则称 Dn 为反对称nijDa,1,2,ijjia行列式, 证明奇数阶反对称行列式为零.证明由 知 ,即ijjiaii0,12,i n故行列式 Dn 可表示为 ,由行列式的性质 ,12312331230nnnaaaa A1232132312300nn nnnaDaa 123123312300nnnnaaa nD当 n 为奇数时,得 Dn D n,因而得 Dn 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上,每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式,在一般情况下,计算往往较繁。因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式。例 1 计算行列式 12313795045612D解 这是一个阶数不高的数值行列式,通常将它化为上(下)三角行列式来计算 23145 2342231311-2310100204- 40552 2-D 4352 52413112310404 16 .0066 例 2 计算 n 阶行列式 1231231nnaaDaaa 解 这个行列式每一列的元素,除了主对角线上的外,都是相同的,且各列的结构相似,因此 n 列之和全同将第 2,3,,n 列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第一列的元素全是 1 1223 2311223 231 12,2, 1 11 n n nnin n nniiiinaaaaaDaaaaa 31100 .1nnni i A 例 3 计算 n 阶行列式abbDba 解这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等,根据行列式的性质,把第2,3,,n 列都加到第 1 列上,行列式不变,得11abbaDnaba 11bbanba 00banab 1nn例 4浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2 小题(重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题)的解答中需要计算如下行列式的值1231452121nnDn分析显然若直接化为三角形行列式,计算很繁,所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第 1 列开始;每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的,根据行列式的性质,先从第 n-1 列开始乘以1 加到第 n 列,第 n-2 列乘以1 加到第 n-1 列,一直到第一列乘以1 加到第 2 列。然后把第 1 行乘以1 加到各行去,再将其化为三角形行列式,计算就简单多了。解 112,2, 1121100311 00002120000112iinnnrinr n nDn nnnn 12112nn4降阶法(按行(列)展开法)降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是根据行列式的特点,先利用列式的性质化简,使行列式中有较多的零出现,然后再展开。例 1、计算 20 阶行列式 201318920276198321D分析这个行列式中没有一个零元素,若直接应用按行(列)展开法逐次降阶直至化许许多多个2 阶行列式计算,需进行 20*201 次加减法和乘法运算,这人根本是无法完成的,更何况是 n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素,则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列(行)的对应元素仅差 1,因此,可按下述方法计算解 1120 2018,2,0 911318920227316 1198322013402210iii crD 8例 2 计算 n 阶行列式010010naDa解 将 Dn 按第 1 行展开1000000nn aa aa .12nnna2na例 3 计算 n(n2)阶行列式 001100aDa 解 按第一行展开,得 100000naD aa 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开,则可得到 112221nnn nnnDaaaa5递(逆)推公式法递推法是根据行列式的构造特点,建立起 与 的递推关系式,逐步推下去,从而求出 的值。 有时也可以找到 与 , 的递推关系,最后利用 , 得到 的值。 注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话,即很难找出递推关系式,从而不能使用此方法。例 1 计算行列式 .100010 nD解将行列式按第 列展开,有 ,n 2nnn D11211,n nDD得 。nnnn 232同理得 , nnD1.,;1nn例 2 计算 ayyxxayn 解111 000 nnnnxayDa xaxyaxyy ayxxyaxyaD 同理 1n联立解得 ,yxyxnn )当 时,yx 12112 1n nnn nDaaaDxaxx x 例 3 计算 n 阶行列式 12211000nnnxDxaa 解 首先建立递推关系式按第一列展开,得 1 1111232110000 00n nnn n nnnx xDaxDaxDaxaa ,这里 与 有相同的结构,但阶数是 的行列式1nD 1n现在,利用递推关系式计算结果对此,只需反复进行代换,得 22 122211321 1 nnnnnnnn nnxaxDaxDaxxDaxa ,因 ,故 1 1最后,用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当 时,显然成立设对 阶的情形结果正确,往证对 n 阶的情形也正确由nn、12 11 21 1 n nn nDxaxaxaxaxa ,可知,对 n 阶的行列式结果也成立根据归纳法原理,对任意的正整数 n,结论成立例 4 证明 n 阶行列式 2100112nDn 证明 按第一列展开,得 2000011212120000n 其中,等号右边的第一个行列式是与 有相同结构但阶数为 的行列式,记作 ;第二nD1n1nD个行列式,若将它按第一列展开就得到一个也与 有相同结构但阶数为 的行列式,记2作 2nD这样,就有递推关系式 12nnD因为已将原行列式的结果给出,我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当 时, ,结论正确当 时, ,结论正确1n12213D设对 的情形结论正确,往证 时结论也正确 k kn由 可知,对 n 阶行列式结果也成立121nnD根据归纳法原理,对任意的正整数 n,结论成立例 5、2003 年福州大学研究生入学考试试题第二大题第 10 小题要证如下行列式等式001001nD1,n证 明 其 中(虽然这是一道证明题,但我们可以直接求出其值,从而证之。 )分析此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外,其余的元素都为零,这种行列式称“三对角”行列式 1。从行列式的左上方往右下方看,即知 Dn-1与 Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明D n按第 1 列展开,再将展开后的第二项中 n-1 阶行列式按第一行展开有12nnnD ( ) 这是由 Dn-1 和 Dn-2表示 Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从 n 阶逐阶往低阶递推,计算较繁,注意到上面的递推关系式是由 n-1 阶和 n-2 阶行列式表示 n 阶行列式,因此,可考虑将其变形为 11212nnnnn ( )或 ( )现可反复用低阶代替高阶,有 2311 42 211nnnnnnnDDDD ( ) ( ) ( ) ( ) 同样有 2311 42 212nnnnnnn ( ) ( ) ( ) ( )因此当 时由(1) (2)式可解得 ,证毕。1nD6利用范德蒙行列式根据行列式的特点,适当变形(利用行列式的性质如提取公因式;互换两行(列) ;一行乘以适当的数加到另一行(列)去; ... 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。 例 1 计算行列式122 21121nnnnxxDx解 把第 1 行的1 倍加到第 2 行,把新的第 2 行的1 倍加到第 3 行,以此类推直到把新的第 n1 行的1 倍加到第 n 行,便得范德蒙行列式 1221112nijijnnxxDxxx例 2 计算 阶行列式 其1n1211122221211nnnnnnnabaabD 中 1210na解 这个行列式的每一行元素的形状都是 , 0,1,2,,n即 按降幂排列,nkiiabia按升幂排列,且次数之和都是 n,又因 ,若在第 i 行( 1,2,,n)提出公因子 ,ib 0i ni则 D 可化为一个转置的范德蒙行列式,即 21112221121 112111 .nn jnn nii ijijji jinnnnbbaaba baabbaa 例 3 计算行列式 .xyzyD22解

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  • 18_行列式及性质

    2021-05-27 09:54:57
    行列式特征值 行列式是一个和矩阵每个数字都有关的数字 非常神奇的数 把尽可能多的信息包含在这一个数字 矩阵可逆等价于行列式非零 直接上来给性质 一、单位矩阵行列式为1 二、交换行,行列式的符号相反 结合性质...

    我们已经学习了很多长方阵的知识,现在把注意力转向方阵,讨论两个大的话题

    行列式和特征值

    行列式是一个和矩阵每个数字都有关的数字
    非常神奇的数
    把尽可能多的信息包含在这一个数字
    矩阵可逆等价于行列式非零
    直接上来给性质
    一、单位矩阵行列式为1
    二、交换行,行列式的符号相反
    结合性质一,我们可以得到置换矩阵的特征值 为1or -1
    在这里插入图片描述

    三、
    在这里插入图片描述
    来总结一下,行列式是一个线性函数,
    只是针对第一行,或者说是某一行,不能同时组合多行
    下面从这三个性质推导出其他的

    四、两行相等使行列式为零
    五、把某行或者某列k倍加至其它,行列式值不变。
    六、一行为零,行列式为零
    七、上三角行列式的值为对角线元素乘积,注意如果需要换行才能变成上三角,则符号由换行次数决定
    八、A的行列式为零等价于矩阵可逆
    前八个性质是行列式自身的性质,后面是行列式之间的性质
    九、detAB=detAdetB
    他们不具备线性关系但是却满足性质九
    可以推出detA-1=1/detA
    detA2=(detA)2
    det2A=2ndetA
    十、detA=detAT
    有了性质十,上述所有关于行的描述对列也成立
    性质十的证明可以用A=LU

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    线性方程 Ax=bAx=bAx=b 是稳定状态的问题,特征值在动态问题中有着巨大的重要性。du/dt=Audu/dt=Audu/dt=Au 的解随着时间增长、衰减或者震荡,是不能通过消元来求解的。接下来,我们进入线性代数一个新的部分,基于 ...
  • 线性代数笔记【特征值

    千次阅读 2021-06-23 16:14:46
    对角矩阵和三角形矩阵的特征值就是他们的对角元 特别地,实方阵的特征值不一定都是实数,也可能是复数 特征向量:设λi\lambda_iλi​是A的特征值,则齐次线性方程组(λiE−A)x=0(\lambda_i E-A)x=0(λi​E−A)x=0的...
  • 此前咱们推送过跨考数学教研室包新卓老师做的线性代数中的矩阵重难点的分析,今天咱们继续分享来自包新卓老师的小课堂——线性代数中的行列式重难点分析。准备好小板凳,上课啦!行列式是线性代数的最基本的...
  • 线性代数(1)—— 行列式

    千次阅读 2020-09-22 04:32:44
    文章目录一、行列式发展史1. 行列式2. 从行列式到矩阵二、从线性方程组讲起1. 线性方程组和系数行列式 一、行列式发展史 1. 行列式 行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,在很长一段时间内,...
  • 这里我们将标准正交矩阵,并且只有在Q为方阵的情况才,简称为正交矩阵. 强调方阵是因为可逆 也许有一个问题是正交矩阵是否可逆,但是正交矩阵符合可逆的定义,我们还找出了它的可逆矩阵,(如果这两个矩阵乘积为单位...
  • 行列式 4.2.1 行列式的定义1 4.2.2 行列式的定义2 4.2.2.1 检测三维旋转 4.2.2.2 行列式的定义2 4.2.2.3 雅可比行列式 4.2.2.4 行列式的定义3 五、矩阵的特征值与特征向量 六、线性代数核心定理 七、线性空间和线性...
  • 线性代数——行列式

    2022-04-14 14:17:15
    【复习】线性代数——行列式,来源于2022张宇考研九讲
  • 图像特征与描述1.1 颜色特征1.1.1 量化颜色直方图1.1.2 聚类颜色直方图1.1.3对相似但不相同的颜色之间的相似度的处理1.1.4 颜色直方图OpenCV实现1.2 几何特征1.2.1 边缘(Edge)1.2.2 特征点/关键点1.2.2.1 Harris角...

空空如也

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下三角行列式特征值

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