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  • 计算某天是星期几推导
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    2019-05-29 17:14:22

    如何计算某一天是星期几?

    转载自:https://www.cnblogs.com/dxywx/p/3362626.html


    —— 蔡勒(Zeller)公式
    历史上的某一天是星期几?未来的某一天是星期几?关于这个问题,有很多计算公式(两个通用计算公式和一些分段计算公式),其中最著名的是蔡勒(Zeller)公式。即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1

    公式中的符号含义如下,w:星期;c:世纪-1;y:年(两位数);m:月(m大于等于3,小于等于14,即在蔡勒公式中,某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算,比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日来计算);d:日;[ ]代表取整,即只要整数部分。(C是世纪数减一,y是年份后两位,M是月份,d是日数。1月和2月要按上一年的13月和 14月来算,这时C和y均按上一年取值。)

    算出来的W除以7,余数是几就是星期几。如果余数是0,则为星期日。

    以2049年10月1日(100周年国庆)为例,用蔡勒(Zeller)公式进行计算,过程如下:
    蔡勒(Zeller)公式:w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1
    =49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26× (10+1)/10]+1-1
    =49+[12.25]+5-40+[28.6]
    =49+12+5-40+28
    =54 (除以7余5)
    即2049年10月1日(100周年国庆)是星期5。

    你的生日(出生时、今年、明年)是星期几?不妨试一试。

    不过,以上公式只适合于1582年10月15日之后的情形(当时的罗马教皇将恺撒大帝制订的儒略历修改成格里历,即今天使用的公历)。

    过程的推导:(对推理不感兴趣的可略过不看)

    星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六
    天时间创世纪,第七天休息,所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生
    活,而星期日是休息日。从实际的角度来讲,以七天为一个周期,长短也比较合适。所
    以尽管中国的传统工作周期是十天(比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”,即是
    指官员的工作每十日为一个周期,第十日休假),但后来也采取了西方的星期制度。

    在日常生活中,我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候,我们还想知
    道历史上某一天是星期几。通常,解决这个方法的有效办法是看日历,但是我们总不会
    随时随身带着日历,更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中
    计算某一天是星期几,预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是不是有办法通
    过什么公式,从年月日推出这一天是星期几呢?

    答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如,知道
    了2004年5月1日是星期六,那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出
    来。我们可以掰着指头从1日数到31日,同时数星期,最后可以数出5月31日是星期一。
    其实运用数学计算,可以不用掰指头。我们知道星期是七天一轮回的,所以5月1日是星
    期六,七天之后的5月8日也是星期六。在日期上,8-1=7,正是7的倍数。同样,5月15
    日、5月22日和5月29日也是星期六,它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28,也
    都是7的倍数。那么5月31日呢?31-1=30,虽然不是7的倍数,但是31除以7,余数为2,
    这就是说,5月31日的星期,是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。

    这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路:首先,先要知道在想算的日子
    之前的一个确定的日子是星期几,拿这一天做为推算的标准,也就是相当于一个计算的
    “原点”。其次,知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天,用7除这个日期
    的差值,余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。如果余数是
    0,就表示这两天的星期相同。显然,如果把这个作为“原点”的日子选为星期日,那
    么余数正好就等于星期几,这样计算就更方便了。

    但是直接计算两天之间的天数,还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月
    1日之间相隔7947天,就不是一下子能算出来的。它包括三段时间:一,1982年7月29
    日以后这一年的剩余天数;二,1983-2003这二十一个整年的全部天数;三,从2004年
    元旦到5月1日经过的天数。第二段比较好算,它等于21*365+5=7670天,之所以要加
    5,是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了,比如第三段,需要把
    5月之前的四个月的天数累加起来,再加上日期值,即31+29+31+30+1=122天。同理,第
    一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来,再加上7月剩下的天数,一共是155天。
    所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。

    仔细想想,如果把“原点”日子的日期选为12月31日,那么第一段时间也就是一个
    整年,这样一来,第一段时间和第二段时间就可以合并计算,整年的总数正好相当于两
    个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日(或者天文
    学家所使用的公元0年12月31日),这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这
    样简化之后,就只须计算两段时间:一,这么多整年的总天数;二,想算的日子是这一
    年的第几天。巧的是,按照公历的年月设置,这样反推回去,公元前1年12月31日正好是
    星期日,也就是说,这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就
    只有一个:这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。

    我们知道,公历的平年是365天,闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在
    2月加一天,但能被100整除的不闰,能被400整除的又闰。因此,像1600、2000、2400
    年都是闰年,而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年,按公历也是闰年。

    因此,对于从公元前1年(或公元0年)12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年
    中的闰年数,就等于

    [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400],

    [...]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数,第二项表示需要去掉
    被100整除的年份数,第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y要减一,这
    样,我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式:

    W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D. (1)

    其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年(或公元0年)12月
    31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除,余数是几,这一天就是星期几。比如我们来
    算2004年5月1日:

    W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] +
    (31+29+31+30+1)
    = 731702,

    731702 / 7 = 104528……6,余数为六,说明这一天是星期六。这和事实是符合的。

    上面的公式(1)虽然很准确,但是计算出来的数字太大了,使用起来很不方便。仔
    细想想,其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是
    不是可以简化这个W值,只要找一个和它余数相同的较小的数来代替,用数论上的术语
    来说,就是找一个和它同余的较小的正整数,照样可以计算出准确的星期数。

    显然,W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。其实,

    (Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1)
    = (Y-1) * (7*52+1)
    = 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1),

    这个结果的第一项是一个7的倍数,除以7余数为0,因此(Y-1)*365除以7的余数其实就
    等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为:

    (Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7).

    其中,≡是数论中表示同余的符号,mod 7的意思是指在用7作模数(也就是除数)的情
    况下≡号两边的数是同余的。因此,完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365,这样我们就得到
    了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式:

    W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D. (2)

    这个公式虽然好用多了,但还不是最好用的公式,因为累积天数D的计算也比较麻
    烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢?答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各
    个月的日数,列表如下:

    月 份:1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
    --------------------------------------------------------------------------
    天 数: 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

    如果把这个天数都减去28(=4*7),不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张
    表:

    月 份:1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
    ------------------------------------------------------------------------
    剩余天数: 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3
    平年累积: 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29
    闰年累积: 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30

    仔细观察的话,我们会发现除去1月和2月,3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,
    3;8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3,正好是一个重复。相应的累积天数中,
    后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的
    存在,平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达:

    ╭ d; (当M=1)
    D = { 31 + d; (当M=2) (3)
    ╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i. (当M≥3)

    其中[...]仍表示只取整数部分;M和d分别是想算的日子的月份和日数;平年i=0,闰年
    i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下:[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的
    平年累积值,再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一
    个很巧妙的办法,利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如,对2004年5月1日,有:

    D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1
    = 122,

    这正是5月1日在2004年的累积天数。

    假如,我们再变通一下,把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”,不仅仍
    然符合这个公式,而且因为这样一来,闰日成了上一“年”(一共有14个月)的最后一
    天,成了d的一部分,于是平闰年的影响也去掉了,公式就简化成:

    D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d. (3≤M≤14) (4)

    上面计算星期几的公式,也就可以进一步简化成:

    W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7
    + (M-1) * 28 + d.

    因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除,所以去掉这两项,W除以7的余数不变,
    公式变成:

    W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d.
    (5)

    当然,要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月,因此在计算1月和2月的日子
    的星期时,除了M要按13或14算,年份Y也要减一。比如,2004年1月1日是星期四,用这
    个公式来算,有:

    W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5]
    + 1
    = 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1
    = 2524;
    2524 / 7 = 360……4.这和实际是一致的。

    公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了,但它还不是最简练的,对于年
    份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期,列
    表如下:

    年份: 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101)
    --------------------------------------------------------------------
    星期: 4 2
    ==============================================
    年份:201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301)
    --------------------------------------------------------------------
    星期: 0 5

    可以看出,每隔四个世纪,这个星期就重复一次。假如我们把301(701,1101,…,2301)
    年3月1日的星期数看成是-2(按数论中对余数的定义,-2和5除以7的余数相同,所以可
    以做这样的变换),那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此,我们
    可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式:

    W = (4 - C mod 4) * 2 - 4. (6)

    式中,C是该世纪的世纪数减一,mod表示取模运算,即求余数。比如,对于2001年3月
    1日,C=20,则:

    W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4
    = 8 - 4
    = 4.

    把公式(6)代入公式(5),经过变换,可得:

    (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1
    (mod 7). (7)

    因此,公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项,在计算
    每个世纪第一年的日期的星期时,可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写
    出来就是:

    W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d. (8)

    有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式,计算这个世纪其他各年的日期星期的公式
    就很容易得到了。因为在一个世纪里,末尾为00的年份是最后一年,因此就用不着再考
    虑“一百年不闰,四百年又闰”的规则,只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)
    简化为公式(2)的方法,我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意
    一天是星期几的公式:

    W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d. (9)

    式中,y是年份的后两位数字。

    如果再考虑到取模运算不是四则运算,我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写
    成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系:

    4q + r = C,

    其中r即是 C mod 4,因此,有:

    r = C - 4q
    = C - 4 * [C/4]. (10)



    (4 - C mod 4) * 2 = (4 - C + 4 * [C/4]) * 2
    = 8 - 2C + 8 * [C/4]
    ≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7). (11)

    把式(11)代入(9),得到:

    W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1. (12)

    这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W,再除以7,得到的余数是
    几就表示这一天是星期几,唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月,
    C和y都按上一年的年份取值。因此,人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的
    公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒(Christian Zeller, 1822-
    1899)在1886年推导出的,因此通称为蔡勒公式(Zeller’s Formula)。为方便口算,
    式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。

    现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期,显然C=20,y=4,M=5,d=1,代入蔡勒
    公式,有:

    W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1
    = -15.

    注意负数不能按习惯的余数的概念求余数,只能按数论中的余数的定义求余。为了方便
    计算,我们可以给它加上一个7的整数倍,使它变为一个正数,比如加上70,得到55。
    再除以7,余6,说明这一天是星期六。这和实际是一致的,也和公式(2)计算所得的结
    果一致。

    最后需要说明的是,上面的公式都是基于公历(格里高利历)的置闰规则来考虑
    的。对于儒略历,蔡勒也推出了相应的公式是:

    W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1. (13)

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    前言

    这一周的题,真的是很扎实的基础题。

    今天的题目是来自usaco training 1.2。

    最近在家呆的有时候会有一点焦虑。
    在这里插入图片描述

    题目

    十三号星期五真的很不常见吗?

    每个月的十三号是星期五的频率是否比一周中的其他几天低?

    请编写一个程序,计算 N 年内每个月的 13 号是星期日,星期一,星期二,星期三,星期四,星期五和星期六的频率。

    测试的时间段将会开始于 1900 年 1 月 1 日,结束于 1900+N−1 年 12 月 31日。

    一些有助于你解题的额外信息:

    1900 年 1 月 1 日是星期一。
    在一年中,4 月、6 月、9 月、11 月每个月 30 天,2 月平年 28 天,闰年 29 天,其他月份每个月31天。
    公历年份是 4 的倍数且不是 100 的倍数的年份为闰年,例如 1992 年是闰年,1990 年不是闰年。
    公历年份是整百数并且是 400 的倍数的也是闰年,例如1700年,1800年,1900年,2100年不是闰年,2000年是闰年。
    输入格式
    共一行,包含一个整数 N。

    输出格式
    共一行,包含七个整数,整数之间用一个空格隔开,依次表示星期六,星期日,星期一,星期二,星期三,星期四,星期五在十三号出现的次数。

    数据范围
    1≤N≤400

    输入样例:
    20
    输出样例:
    36 33 34 33 35 35 34
    

    在这里插入图片描述

    详细题解

    写法1 O ( n ) O(n) O(n)

    #include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    
    int months[13] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
    int weekdays[7];
    
    int main()
    {
        int n;
        cin >> n;
        
        int days = 0;
        for (int y = 1900; y < 1900 + n; ++ y )
        {
            for (int m = 1; m <= 12; ++ m )
            {
                weekdays[(days + 12) % 7] ++;
                days += months[m];
                if (m == 2)
                    if ((y % 100 && y % 4 == 0) || (y % 400 == 0))
                        ++ days;
            }
        }
        
        for (int i = 5, j = 0; j < 7; i = (i + 1) % 7, ++ j )
            cout << weekdays[i] << " ";
        cout << endl;
        
        return 0;
    }
    

    毫无疑问,这是一个枚举的题,需要注意的是闰年啥的。

    最后提交,AC😁
    在这里插入图片描述

    推导证明

    首先需要注意的是,十三号,即不是从月初一号开始算的;

    其次需要注意的是,闰年的二月份是29天,但是闰年的条件需要注意;

    最后需要注意的是,输出的顺序是从周五开始的。

    举一反三

    掌握两种方法的互相优化,如果面试官需要更低的时间复杂度,那么可以使用空间复杂度去置换,如果面试官需要更低的空间复杂度,或者不需要额外的空间复杂度,那么使用双指针。

    总结

    继续努力,坚持更新,13th打卡。

    推荐一个神剧,犯罪心理
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    犯罪心理研究小组隶属FBI,他们跨州行动,主要针对连环杀人案,从嫌疑人的犯罪心理和行为模式入手建立人物侧写,圈定罪犯的性别、年龄、职业特征、居住环境乃至成长经历,从而预测罪犯下一步行为,直至缉拿罪犯。他们的成员包括:高智商、强记忆力的少年天才斯拜瑟尔·瑞德博士(马修·格雷·古柏勒 Matthew Gray Gubler 饰)——负责数据和资料分析;外冷内热的硬汉阿伦·哈奇(托马斯·吉布森 Thomas Gibson 饰)——沟通能力极强,波多黎各小伙德里克·摩根(谢默·摩尔 Shemar Moore 饰)——强制性犯罪行为专家;打扮招摇的小胖妹佩妮洛普·格西娅(克里斯汀·范奈丝 Kirsten Vangsness 饰)——数据库专家,美女媒体联络员JJ(A·J·库克 A.J. Cook 饰)等,在老探员戴维·罗西(乔·曼特纳 Joe Mantegna 饰)带领下,飞往全美各地,展开一场场缉凶行动。

    很棒!!!
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 我们先用1月份的第一个星期一作为起点,然后以七天为一个间隔,查看一个星期一的日期,如果是新的一个月星期一,则输出,如果在已经输出的这个月,则继续加上7天向寻找,知道找完这一年为止。 基本思路就是...

    获取当年年份

    #include<time.h>

    main()
    {
    time_t timep;
    struct tm *p;
    time (&timep);
    p=gmtime(&timep);
    printf("%d\n",p->tm_sec); /*获取当前秒*/
    printf("%d\n",p->tm_min); /*获取当前分*/
    printf("%d\n",8+p->tm_hour);/*获取当前时,这里获取西方的时间,刚好相差八个小时*/
    printf("%d\n",p->tm_mday);/*获取当前月份日数,范围是1-31*/
    printf("%d\n",1+p->tm_mon);/*获取当前月份,范围是0-11,所以要加1*/
    printf("%d\n",1900+p->tm_year);/*获取当前年份,从1900开始,所以要加1900*/
    printf("%d\n",p->tm_yday); /*从今年1月1日算起至今的天数,范围为0-365*/

    }

    https://zhidao.baidu.com/question/558299804.html


    月份判断星期几 

    #include "stdio.h"
    #include <stdlib.h>  // 缺少头文件 
     
    main()
    {
        int y,m,d,a,b;
        b=0;
        scanf("%d%d%d",&y,&m,&d); 
        if(m>12||m<0) 
        {
            b=1;                          // b=1 后面少了逗号 
            printf("month is error.\n");  // 最后面少了逗号
        }                                 // 这里结尾的分号去掉
        else 
        {
            if(d<0) 
            {
                b=1; 
                printf("day is error.\n");// 最后面少了逗号
            }                             // 这里结尾的分号去掉
        else
        switch(m)
        {
        case 1: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号 
        case 2: if((y%4==0&&y%100!=0)||(y%400==0)) a=1;            
                            // 这里把 a==1 改成 a=1 
        else a==2;                                                 
                            // 这里把 a==2 改成 a=2
        if(a==1&&d>30) {b=1; printf("day is error.\n");}; break;   
                            // 问题同上,少逗号
        if(a==2&&d>29) {b=1; printf("day is error.\n");}; break;   
                            // 问题同上,少逗号
        case 3: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 4: if(d>31) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 5: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 6: if(d>31) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 7: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 8: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 9: if(d>31) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 10: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break;
                            // 问题同上,少逗号
        case 11: if(d>31) {b=1; printf("day is error.\n");}; break;
                            // 问题同上,少逗号
        case 12: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break;
                            // 问题同上,少逗号
        }
        }
        if(m==1||m==2) {
            m+=12;
            y--;} 
         
        if(b==0) {int iWeek=(d+2*m+3*(m+1)/5+y+y/4-y/100+y/400)%7; 
           // 这里把 b=0 改成 b==0 
        switch(iWeek)
        {
        case 0: printf("1\n"); break;
        case 1: printf("2\n"); break;
        case 2: printf("3\n"); break;
        case 3: printf("4\n"); break;
        case 4: printf("5\n"); break;
        case 5: printf("6\n"); break;
        case 6: printf("0\n"); break;
        } 
        }
        system("pause"); 
    }

    https://zhidao.baidu.com/question/1238216961329183379.html

    作者:陈默
    链接:https://www.zhihu.com/question/51789552/answer/127750014
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

    蔡勒公式:
    &amp;lt;img src=&quot;https://pic2.zhimg.com/v2-31a2c831436a892f14b15fcb38e3b5c9_b.jpg&quot; data-rawwidth=&quot;1042&quot; data-rawheight=&quot;114&quot; class=&quot;origin_image zh-lightbox-thumb&quot; width=&quot;1042&quot; data-original=&quot;https://pic2.zhimg.com/v2-31a2c831436a892f14b15fcb38e3b5c9_r.jpg&quot;&amp;gt;

    公式中的符号含义如下:

    • w:星期(0-星期日;1-星期一;2-星期二;3-星期三;4-星期四;5-星期五;6-星期六)
    • c:年份前两位数
    • y:年份后两位数
    • m:月(m的取值范围为3至14,即在蔡勒公式中,某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算)
    • d:日
    • [ ]:称作高斯符号,代表向下取整,即,取不大于原数的最大整数。
    • mod:同余(这里代表括号里的答案除以7后的余数)
    &amp;lt;img src=&quot;https://pic1.zhimg.com/v2-ed68522e8b1e9bbd358dad973c78625c_b.png&quot; data-rawwidth=&quot;1089&quot; data-rawheight=&quot;338&quot; class=&quot;origin_image zh-lightbox-thumb&quot; width=&quot;1089&quot; data-original=&quot;https://pic1.zhimg.com/v2-ed68522e8b1e9bbd358dad973c78625c_r.png&quot;&amp;gt; https://zh.wikipedia.org/zh-hans/蔡勒公式
    有一个公式可以计算:w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1 
    w:星期;c:世纪-1;y:年(两位数);m:月(m大于等于3,小于等于14,即在蔡勒公式中,某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算,比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日来计算);d:日;[ ]代表取整,即只要整数部分。(C是世纪数减一,y是年份后两位,M是月份,d是日数。1月和2月要按上一年的13月和 14月来算,这时C和y均按上一年取值。)
    算出来的W除以7,余数是几就是星期几。如果余数是0,则为星期日。
    
    https://zhidao.baidu.com/question/243564537.html
    

    简单,用蔡勒公式即可:

    #include <stdio.h>

    int main ()

    {

      int y, m, d, c, w;

      printf ("输入年 月 日(空格间隔):");

      scanf ("%d %d %d", &y, &m, &d);

      if (m ==1 || m == 2) { //判断月份是否为1或2

        y--;

        m += 12;

      }

      c = y / 100;

      y = y - c * 100;

      w = (c / 4) - 2 * c + (y + y / 4) + (13 * (m + 1) / 5) + d - 1;

      while (w < 0) w += 7;

      w %= 7;

      if (w == 0) printf ("星期日");

      else printf ("星期%d", w);

      return 0;

    }

    https://zhidao.baidu.com/question/1510495711879567580.html

    如何写个程序计算出每个月的第一个星期一对应的日期

    在前面,我们分别利用泰勒公式和C标准库中的mktime()函数推算了某个特定日期所对应的星期几,刚做完这些,就又遇到了一个与日期相关的新任务:

    老板把每个月例会的时间定在了每个月的第一个星期一,他让我把具体日期整理出来,发给每一个成员,提醒大家准时参加。

    简单地讲,也就是把每个月的第一个星期一对应的日期提取出来。如果时间范围比较短(比如一年),自己翻翻日历勉强也能解决,如果要是时间范围比较长(比如十年),再去一个个翻日历,就麻烦了。怎么办?

    还记得我们在学了C语言,如何统计一篇英文文章中的单词数?中所认识和体会到的:

    程序,就是用来帮助人们完成这些看起来枯燥繁琐但是带有一定规律性的事情的。

    面对这个麻烦而又有一定规律的问题,我们同样可以用C语言写个程序来解决。

    如何解决呢?想想我们是如何在日历中找出每个月的第一个星期一的?我们先用1月份的第一个星期一作为起点,然后以七天为一个间隔,查看下一个星期一的日期,如果是新的一个月的星期一,则输出,如果在已经输出的这个月,则继续加上7天向下寻找,知道找完这一年为止。

    基本思路就是这样,但是,我们这里还用到了mktime()函数的一个特点,也就是如果输入的分解时间的日期tm_mday超出了其取值范围[0,30],mktime()会将其折算成相邻月份的日期,比如,某个月的tm_mday 为32,而这个月只有30天,mktime()会将其视作下个月的第二天,而不会将其视作日期错误。利用这个特性,我们就可以通过递增tm_mday完成整个一年的遍历访问量了。

    按照上面分析的思路,我们可以将其实现如下:

    #include <string.h> #include <time.h> #include <stdio.h> //#include <stdbool.h> #define YEAR 2017 int main() {     struct tm t;     memset(&t,0,sizeof(t));     //用年月日填充分解时间t     //这里指定1月中的第一个星期为起点     t.tm_year = YEAR - 1900; // 年份,减去起始年份     t.tm_mon = 1 - 1; // 月份     t.tm_mday = 1;  // 2013年1月7日是1月份的第一个星期一  修改处     (这儿我们写成第一个星期日)     puts("the first mondays in 2017 are");     // 记录已经输出的月份     int lastmon = -1;     while(1)     {         //将分解时间t转换为日历时间ct         time_t ct = mktime(&t);         if(-1 == ct) //日期错误         {             break;         }         else         {             //用localtime()函数获取日历时间ct对应的分解时间             struct tm* bt = localtime(&ct);             //判断是否在2013年内             if(bt->tm_year != YEAR-1900)             {                 break;             }             //判断这个星期一是否是本月的第一个星期一             if(t.tm_mon != lastmon)             {                 //如果是,输出对应的日期                 printf("%d - %d\n",bt->tm_mon+1,bt->tm_mday);                 //记录本月已经输出                 lastmon = bt->tm_mon;             }             t = *bt;  //更新日期             t.tm_mday += 7; //检查下一个星期一         }     }     return 0; }
    http://www.cnblogs.com/kingshow123/archive/2013/11/01/firstmonday.html
    
    2017年每个月份第一个星期日对应的日期:
    #include <string.h>
    #include <time.h>
    #include <stdio.h>
    int getxq();


    //#include <stdbool.h>
    //#define YEAR 2016   //宏规定时间
    int YEAR ;
    int main()
    {    




    //变量获取时间


    time_t timep;
    struct tm *p;
    time (&timep);
    p=gmtime(&timep);
    YEAR=1900+p->tm_year;












        struct tm t;
        memset(&t,0,sizeof(t));
        //用年月日填充分解时间t
        //这里指定1月中的第一个星期为起点
        t.tm_year = YEAR - 1900; // 年份,减去起始年份
        t.tm_mon = 1 - 1; // 月份


        t.tm_mday = 1+7-getxq();  // 2013年1月7日是1月份的第一个星期一  修改处     (这儿我们写成第一个星期日)
        puts("the first mondays in 2017 are");
        // 记录已经输出的月份
        int lastmon = -1;
        while(1)
        {
            //将分解时间t转换为日历时间ct
            time_t ct = mktime(&t);
            if(-1 == ct) //日期错误
            {
                break;
            }
            else
            {
                //用localtime()函数获取日历时间ct对应的分解时间
                struct tm* bt = localtime(&ct);
                //判断是否在2013年内
                if(bt->tm_year != YEAR-1900)
                {
                    break;
                }
                //判断这个星期一是否是本月的第一个星期一
                if(t.tm_mon != lastmon)
                {
                    //如果是,输出对应的日期
                    printf("%d - %d\n",bt->tm_mon+1,bt->tm_mday);
                    //记录本月已经输出
                    lastmon = bt->tm_mon;
                }
                t = *bt;  //更新日期
                t.tm_mday += 7; //检查下一个星期一
            }
        }


        return 0;
    }


    int getxq()
    {/*int YEAR ;
    time_t timep;
    struct tm *p;
    time (&timep);
    p=gmtime(&timep);
    YEAR=1900+p->tm_year;*/




        int y,m,d,a,b;
        b=0;
      y=YEAR;
      m=1;
      d=1; //当年1月1号的星期几


        if(m>12||m<0) 
        {
            b=1;                          // b=1 后面少了逗号 
            printf("month is error.\n");  // 最后面少了逗号
        }                                 // 这里结尾的分号去掉
        else 
        {
            if(d<0) 
            {
                b=1; 
                printf("day is error.\n");// 最后面少了逗号
            }                             // 这里结尾的分号去掉
        else
        switch(m)
        {
        case 1: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号 
        case 2: if((y%4==0&&y%100!=0)||(y%400==0)) a=1;            
                            // 这里把 a==1 改成 a=1 
        else a==2;                                                 
                            // 这里把 a==2 改成 a=2
        if(a==1&&d>30) {b=1; printf("day is error.\n");}; break;   
                            // 问题同上,少逗号
        if(a==2&&d>29) {b=1; printf("day is error.\n");}; break;   
                            // 问题同上,少逗号
        case 3: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 4: if(d>31) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 5: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 6: if(d>31) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 7: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 8: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 9: if(d>31) {b=1; printf("day is error.\n");}; break; 
                            // 问题同上,少逗号
        case 10: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break;
                            // 问题同上,少逗号
        case 11: if(d>31) {b=1; printf("day is error.\n");}; break;
                            // 问题同上,少逗号
        case 12: if(d>32) {b=1; printf("day is error.\n");}; break;
                            // 问题同上,少逗号
        }
        }
        if(m==1||m==2) {
            m+=12;
            y--;} 
         
        if(b==0) {int iWeek=(d+2*m+3*(m+1)/5+y+y/4-y/100+y/400)%7; 
           // 这里把 b=0 改成 b==0 
        switch(iWeek)
        {
        case 0: return 1; break;
        case 1: return 2; break;
        case 2: return 3; break;
        case 3: return 4; break;
        case 4: return 5; break;
        case 5: return 6; break;
        case 6: return 7; break;
        } 
        }
      
    }






    展开全文
  • 假如,我们再变通一下,把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”,不仅仍 然符合这个公式,而且因为这样一来,闰日成了上一“年”(一共有14个月)的最后一 天,成了d的一部分,于是平闰年的影响也去掉了,公式...

    /***********************************************************************************

        引用的网址:

               基姆拉尔森公式推导:https://www.cnblogs.com/hanxi/archive/2012/06/12/2545828.html

               蔡勒公式推导:        https://www.cnblogs.com/carekee/articles/4529720.html

    **********************************************************************************/


    历史上的某一天是星期几?未来的某一天是星期几?关于这个问题,有很多计算公式。


    一、—— 蔡勒(Zeller)公式 


       
    计算星期几的算法中,最著名的是蔡勒(Zeller)公式。即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1 

        公式中的符号含义如下,w:星期;c:世纪-1;y:年(两位数);m:月(m大于等于3,小于等于14,即在蔡勒公式中,某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算,比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日来计算);d:日;[ ]代表取整,即只要整数部分。(C是世纪数减一,y是年份后两位,M是月份,d是日数。1月和2月要按上一年的13月和 14月来算,这时C和y均按上一年取值。) 

        算出来的W除以7,余数是几就是星期几。如果余数是0,则为星期日。 

        以2049年10月1日(100周年国庆)为例,用蔡勒(Zeller)公式进行计算,过程如下: 
    蔡勒(Zeller)公式:w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1 
    =49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26× (10+1)/10]+1-1 
    =49+[12.25]+5-40+[28.6] 
    =49+12+5-40+28 
    =54 (除以7余5) 
    即2049年10月1日(100周年国庆)是星期5。 

    你的生日(出生时、今年、明年)是星期几?不妨试一试。 

    不过,以上公式只适合于1582年10月15日之后的情形(当时的罗马教皇将恺撒大帝制订的儒略历修改成格里历,即今天使用的公历)。 


    二、—— 基姆拉尔森(Kim larsson calculation formula)计算公式 

    计算公式: W= (d+2*m+3*(m+1)/5+y+y/4-y/100+y/400) mod 7

        在公式中d表示日期中的日数,m表示月份数,y表示年数。


    注意:把一月和二月看成是上一年的十三月和十四月,例:如果是2004-1-10则换算成:2003-13-10来代入公式计算。



    过程的推导:(对推理不感兴趣的可略过不看) 

    1、蔡勒公式
        星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六天时间创世纪,第七天休息,所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生 活,而星期日是休息日。从实际的角度来讲,以七天为一个周期,长短也比较合适。所 以尽管中国的传统工作周期是十天(比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”,即是 指官员的工作每十日为一个周期,第十日休假),但后来也采取了西方的星期制度。 

        在日常生活中,我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候,我们还想知道历史上某一天是星期几。通常,解决这个方法的有效办法是看日历,但是我们总不会 随时随身带着日历,更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中 计算某一天是星期几,预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是不是有办法通 过什么公式,从年月日推出这一天是星期几呢? 

    答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如,知道了2004年5月1日是星期六,那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出来。我们可以掰着指头从1日数到31日,同时数星期,最后可以数出5月31日是星期一。 
    其实运用数学计算,可以不用掰指头。我们知道星期是七天一轮回的,所以5月1日是星期六,七天之后的5月8日也是星期六。在日期上,8-1=7,正是7的倍数。同样,5月15日、5月22日和5月29日也是星期六,它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28,也都是7的倍数。那么5月31日呢?31-1=30,虽然不是7的倍数,但是31除以7,余数为2, 
    这就是说,5月31日的星期,是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。 

    这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路:首先,先要知道在想算的日子之前的一个确定的日子是星期几,拿这一天做为推算的标准,也就是相当于一个计算的“原点”。其次,知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天,用7除这个日期的差值,余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。如果余数是0,就表示这两天的星期相同。显然,如果把这个作为“原点”的日子选为星期日,那 
    么余数正好就等于星期几,这样计算就更方便了。 

    但是直接计算两天之间的天数,还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月1日之间相隔7947天,就不是一下子能算出来的。它包括三段时间:一,1982年7月29日以后这一年的剩余天数;二,1983-2003这二十一个整年的全部天数;三,从2004年元旦到5月1日经过的天数。第二段比较好算,它等于21*365+5=7670天,之所以要加5,是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了,比如第三段,需要把5月之前的四个月的天数累加起来,再加上日期值,即31+29+31+30+1=122天。同理,第 
    一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来,再加上7月剩下的天数,一共是155天。 
    所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。 

    仔细想想,如果把“原点”日子的日期选为12月31日,那么第一段时间也就是一个整年,这样一来,第一段时间和第二段时间就可以合并计算,整年的总数正好相当于两个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日(或者天文学家所使用的公元0年12月31日),这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这样简化之后,就只须计算两段时间:一,这么多整年的总天数;二,想算的日子是这一年的第几天。巧的是,按照公历的年月设置,这样反推回去,公元前1年12月31日正好是星期日,也就是说,这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就 
    只有一个:这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。 

    我们知道,公历的平年是365天,闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在2月加一天,但能被100整除的不闰,能被400整除的又闰。因此,像1600、2000、2400年都是闰年,而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年,按公历也是闰年。 

    因此,对于从公元前1年(或公元0年)12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年中的闰年数,就等于 
    [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400], 

    [...]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数,第二项表示需要去掉被100整除的年份数,第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y要减一,这 
    样,我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式: 

    W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D. (1) 

    其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年(或公元0年)12月31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除,余数是几,这一天就是星期几。比如我们来算2004年5月1日: 

    W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] +(31+29+31+30+1)= 731702, 
    731702 / 7 = 104528……6,余数为六,说明这一天是星期六。这和事实是符合的。 

    上面的公式(1)虽然很准确,但是计算出来的数字太大了,使用起来很不方便。仔细想想,其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是不是可以简化这个W值,只要找一个和它余数相同的较小的数来代替,用数论上的术语来说,就是找一个和它同余的较小的正整数,照样可以计算出准确的星期数。 

    显然,W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。其实, 

    (Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1) 
    = (Y-1) * (7*52+1) 
    = 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1), 

    这个结果的第一项是一个7的倍数,除以7余数为0,因此(Y-1)*365除以7的余数其实就等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为: 

    (Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7). 

    其中,≡是数论中表示同余的符号,mod 7的意思是指在用7作模数(也就是除数)的情况下≡号两边的数是同余的。因此,完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365,这样我们就得到了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式: 

    W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D. (2) 

    这个公式虽然好用多了,但还不是最好用的公式,因为累积天数D的计算也比较麻 
    烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢?答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各 
    个月的日数,列表如下: 

    月 份:1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 
    -------------------------------------------------------------------------- 
    天 数: 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 

    如果把这个天数都减去28(=4*7),不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张 
    表: 

    月 份:1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 
    ------------------------------------------------------------------------ 
    剩余天数: 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 
    平年累积: 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29 
    闰年累积: 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30 

    仔细观察的话,我们会发现除去1月和2月,3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,3;8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3,正好是一个重复。相应的累积天数中, 后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的 存在,平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达: 

    ╭ d; (当M=1) 
    D = { 31 + d; (当M=2) (3) 
    ╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i. (当M≥3) 

    其中[...]仍表示只取整数部分;M和d分别是想算的日子的月份和日数;平年i=0,闰年 i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下:[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的 平年累积值,再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一 个很巧妙的办法,利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如,对2004年5月1日,有: 

    D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1 
    = 122, 

    这正是5月1日在2004年的累积天数。 

    假如,我们再变通一下,把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”,不仅仍 然符合这个公式,而且因为这样一来,闰日成了上一“年”(一共有14个月)的最后一 天,成了d的一部分,于是平闰年的影响也去掉了,公式就简化成: 

    D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d. (3≤M≤14) (4) 

    上面计算星期几的公式,也就可以进一步简化成: 

    W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d. 

    因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除,所以去掉这两项,W除以7的余数不变, 公式变成: 

    W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d.(5) 

    当然,要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月,因此在计算1月和2月的日子 的星期时,除了M要按13或14算,年份Y也要减一。比如,2004年1月1日是星期四,用这个公式来算,有: 

    W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5] 
    + 1 
    = 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1 
    = 2524; 
    2524 / 7 = 360……4.这和实际是一致的。 

    公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了,但它还不是最简练的,对于年份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期,列表如下: 

    年份: 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101) 
    -------------------------------------------------------------------- 
    星期: 4 2 
    ============================================== 
    年份:201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301) 
    -------------------------------------------------------------------- 
    星期: 0 5 

    可以看出,每隔四个世纪,这个星期就重复一次。假如我们把301(701,1101,…,2301)年3月1日的星期数看成是-2(按数论中对余数的定义,-2和5除以7的余数相同,所以可以做这样的变换),那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此,我们 可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式: 

    W = (4 - C mod 4) * 2 - 4. (6) 

    式中,C是该世纪的世纪数减一,mod表示取模运算,即求余数。比如,对于2001年3月1日,C=20,则: 

    W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4 
    = 8 - 4 
    = 4. 

    把公式(6)代入公式(5),经过变换,可得: 

    (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1 
    (mod 7). (7) 

    因此,公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项,在计算每个世纪第一年的日期的星期时,可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写出来就是: 

    W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d. (8) 

    有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式,计算这个世纪其他各年的日期星期的公式就很容易得到了。因为在一个世纪里,末尾为00的年份是最后一年,因此就用不着再考虑“一百年不闰,四百年又闰”的规则,只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)简化为公式(2)的方法,我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意一天是星期几的公式: 

    W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d. (9) 

    式中,y是年份的后两位数字。 

    如果再考虑到取模运算不是四则运算,我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系: 

    4q + r = C, 

    其中r即是 C mod 4,因此,有: 

    r = C - 4q 
    = C - 4 * [C/4]. (10) 

    则 

    (4 - C mod 4) * 2 = (4 - C + 4 * [C/4]) * 2 
    = 8 - 2C + 8 * [C/4] 
    ≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7). (11) 

    把式(11)代入(9),得到: 

    W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1. (12) 

    这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W,再除以7,得到的余数是几就表示这一天是星期几,唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月, C和y都按上一年的年份取值。因此,人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒(Christian Zeller, 1822-1899)在1886年推导出的,因此通称为蔡勒公式(Zeller's Formula)。为方便口算,式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。 

    现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期,显然C=20,y=4,M=5,d=1,代入蔡勒 
    公式,有: 

    W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1 
    = -15. 

    注意负数不能按习惯的余数的概念求余数,只能按数论中的余数的定义求余。为了方便 计算,我们可以给它加上一个7的整数倍,使它变为一个正数,比如加上70,得到55。 再除以7,余6,说明这一天是星期六。这和实际是一致的,也和公式(2)计算所得的结果一致。 

    最后需要说明的是,上面的公式都是基于公历(格里高利历)的置闰规则来考虑的。对于儒略历,蔡勒也推出了相应的公式是: 

    W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1. (13) 

    这样,我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。


    2、基姆拉尔森公式

    下面我们完全按自己的思路由简单到复杂一步步进行推导…… 

    推导之前,先作两项规定: 
    ①用   y,   m,   d,   w   分别表示   年   月   日   星期(w=0-6   代表星期日-星期六 
    ②我们从   公元0年1月1日星期日   开始 


    (1)只考虑最开始的   7   天,即   d   =   1---7   变换到   w   =   0---6 
            很直观的得到: 
            w   =   d-1 

    (2)扩展到整个1月份 
            模7的概念大家都知道了,也没什么好多说的。不过也可以从我们平常用的日历中看出来,在周历里边每列都是一个按7增长的等差数列,如1、8、15、22的星期都是相同的。所以得到整个1月的公式如下: 
            w   =   (d-1)   %   7     ---------   公式⑴ 

    (3)按年扩展 
            由于按月扩展比较麻烦,所以将年扩展放在前面说 

            ①   我们不考虑闰年,假设每一年都是   365   天。由于365是7的52倍多1天,所以每一年的第一天和最后一天星期是相同的。 
            也就是说下一年的第一天与上一年的第一天星期滞后一天。这是个重要的结论,每过一年,公式⑴会有一天的误差,由于我们是从0年开始的,所以只须要简单的加上年就可以修正扩展年引起的误差,得到公式如下: 
            w   =   (d-1   +   y)   %   7   

            ②   将闰年考虑进去 
            每个闰年会多出一天,会使后面的年份产生一天的误差。如我们要计算2005年1月1日星期几,就要考虑前面的已经过的2004年中有多少个闰年,将这个误差加上就可以正确的计算了。 
            根据闰年的定义(能被4整但不能被100整除或能被400整),得到计算闰年的个数的算式:y/4   -   y/100   +   y/400。 
            由于我们要计算的是当前要计算的年之前的闰年数,所以要将年减1,得到了如下的公式: 
            w   =   [d-1+y   +   (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400]   %   7   -----公式⑵ 

            现在,我们得到了按年扩展的公式⑵,用这个公式可以计算任一年的1月份的星期 

    (4)扩展到其它月 
            考虑这个问题颇费了一翻脑筋,后来还是按前面的方法大胆假才找到突破口。 

            ①现在我们假设每个月都是28天,且不考虑闰年 
            有了这个假设,计算星期就太简单了,因为28正好是7的整数倍,每个月的星期都是一样的,公式⑵对任一个月都适用   :) 

            ②但假设终究是假设,首先1月就不是28天,这将会造成2月份的计算误差。1月份比28天要多出3天,就是说公式⑵的基础上,2月份的星期应该推后3天。 
            而对3月份来说,推后也是3天(2月正好28天,对3月的计算没有影响)。 
            依此类推,每个月的计算要将前面几个月的累计误差加上。 
            要注意的是误差只影响后面月的计算,因为12月已是最后一个月,所以不用考虑12月的误差天数,同理,1月份的误差天数是0,因为前面没有月份影响它。 

            由此,想到建立一个误差表来修正每个月的计算。 
    ================================================== 
    月     误差   累计     模7 
    1       3         0           0 
    2       0         3           3 
    3       3         3           3 
    4       2         6           6 
    5       3         8           1 
    6       2         11         4 
    7       3         13         6 
    8       3         16         2 
    9       2         19         5 
    10     3         21         0 
    11     2         24         3 
    12     -         26         5 
            (闰年时2月会有一天的误差,但我们现在不考虑) 
    ================================================== 

            我们将最后的误差表用一个数组存放 
            在公式⑵的基础上可以得到扩展到其它月的公式 

            e[]   =   {0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5} 
            w   =   [d-1+y   +   e[m-1]   +   (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400]   %   7   --公式⑶ 

            ③上面的误差表我们没有考虑闰年,如果是闰年,2月会一天的误差,会对后面的3-12月的计算产生影响,对此,我们暂时在编程时来修正这种情况,增加的限定条件是如果当年是闰年,且计算的月在2月以后,需要加上一天的误差。大概代码是这样的: 
            
            w   =   (d-1   +   y   +   e[m-1]   +   (y-1)/4   -   (y-1)/100   +   (y-1)/400); 
            if(m> 2   &&   (y%4==0   &&   y%100!=0   ||   y%400==0)   &&   y!=0) 
                    ++w; 
            w   %=   7; 
            
            现在,已经可以正确的计算任一天的星期了。 
            注意:0年不是闰年,虽然现在大都不用这个条件,但我们因从公元0年开始计算,所以这个条件是不能少的。 

            ④   改进 
            公式⑶中,计算闰年数的子项   (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400   没有包含当年,如果将当年包含进去,则实现了如果当年是闰年,w   自动加1。 
            由此带来的影响是如果当年是闰年,1,2月份的计算会多一天误差,我们同样在编程时修正。则代码如下 
            
            w   =   (d-1   +   y   +   e[m-1]   +   y/4   -   y/100   +   y/400);   ----   公式⑷ 
            if(m <3   &&   (y%4==0   &&   y%100!=0   ||   y%400==0)   &&   y!=0) 
                    --w; 
            w   %=   7; 
            
            与前一段代码相比,我们简化了   w   的计算部分。 
            实际上还可以进一步将常数   -1   合并到误差表中,但我们暂时先不这样做。 
            
            至此,我们得到了一个阶段性的算法,可以计算任一天的星期了。

        (5)简化 
            现在我们推导出了自己的计算星期的算法了,但还不能称之为公式。 
            所谓公式,应该给定年月日后可以手工算出星期几的,但我们现在的算法需要记住一个误差表才能进行计算,所以只能称为一种算法,还不是公式。 
            下面,我们试图消掉这个误差表…… 

            ============================= 
            消除闰年判断的条件表达式 
            ============================= 

            由于闰年在2月份产生的误差,影响的是后面的月份计算。如果2月是排在一年的最后的话,它就不能对其它月份的计算产生影响了。可能已经有人联想到了文章开头的公式中为什么1,2月转换为上年的13,14月计算了吧   :)

            就是这个思想了,我们也将1,2月当作上一年的13,14月来看待。 
            由此会产生两个问题需要解决: 
            1> 一年的第一天是3月1日了,我们要对   w   的计算公式重新推导 
            2> 误差表也发生了变化,需要得新计算 

            ①推导   w   计算式 
                1>   用前面的算法算出   0年3月1日是星期3 
                      前7天,   d   =   1---7     ===>     w   =   3----2 
                      得到   w   =   (d+2)   %   7 
                      此式同样适用于整个三月份 
                2>   扩展到每一年的三月份 
                      [d   +   2   +   y   +   (y-1)/4   -   (y-1)/100   +   (y-1)/400]   %   7 

            ②误差表 
    ================================================== 
    月     误差   累计     模7 
    3       3         0           0 
    4       2         3           3 
    5       3         5           5 
    6       2         8           1 
    7       3         10         3 
    8       3         13         6 
    9       2         16         2 
    10     3         18         4 
    11     2         21         0 
    12     3         23         2 
    13     3         26         5 
    14     -         29         1 
    ================================================== 

            ③得到扩展到其它月的公式 
            e[]   =   {0,3,5,1,3,6,2,4,0,2,5,1} 
            w   =   [d+2   +   e[m-3]   +y+(y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400]   %   7 
            (3   <=   m   <=   14) 

            我们还是将   y-1   的式子进行简化 
            w   =   [d+2   +   e[m-3]   +y+y/4-y/100+y/400]   %   7 
            (3   <=   m   <=   14) 

            这个式子如果当年是闰年,会告成多1的误差 
            但我们将1,2月变换到上一年的13,14月,年份要减1,所以这个误差会自动消除,所以得到下面的算法: 

            int   e[]   =   new   int[]{0,3,5,1,3,6,2,4,0,2,5,1}; 
            if(m   <   3)   { 
                    m   +=   12; 
                    --y; 
            } 
            int   w   =   (d+2   +   e[m-3]   +y+(y/4)-y/100+y/400)   %   7;   -----公式⑸ 

            我们可以看到公式⑸与公式⑷几乎是一样的,仅仅是误差天和一个常数的差别 
            常数的区别是由起始日期的星期不同引起的,0年1月1日星期日,0年3日1日星期三,有三天的差别,所以常数也从   -1   变成了   2。 

            现在,我们成功的消除了繁琐的闰年条件判断。 


            ============================= 
            消除误差表 
            ============================= 
            假如存在一种m到e的函数映射关系,使得 
                    e[m-3]   =   f(m) 
            则我们就可以用   f(m)   取代公式⑸中的子项   e[m-3],也就消除了误差表。 

            由于误差表只有12个项,且每一项都可以加减   7n   进行调整,这个函数关系是可以拼凑出来的。但是这个过程可能是极其枯燥无味的,我现在不想自己去推导它,我要利用前人的成果。所谓前人栽树,后人乘凉嘛   :)

            文章开头开出的公式中的   2*m+3*(m+1)/5   这个子项引起了我的兴趣 

            经过多次试试验,我运行下面的代码 

            for(m=1;   m <=14;   ++m) 
                    System.out.print((-1+2*m+3*(m+1)/5)%7   +   "   "); 
            System.out.println(); 

            天哪,输出结果与我的误差表不谋而合,成功了,哈哈 

            2   4   0   3   5   1   3   6   2   4   0   2   5   1 
            Press   any   key   to   continue... 

            上面就是输出结果,看它后面的12项,与我的误差表完全吻合!!! 

            现在就简单的,将   f(m)   =   -1   +   2*m   +   3*(m+1)/5   代入公式⑸,得到 

            w   =   (d+1+2*m+3*(m+1)/5+y+(y/4)-y/100+y/400)   %   7   ----公式6 
            约束条件:   m=1,m=2   时   m=m+12,y=y-1; 

            现在,我们得到了通用的计算星期的公式,并且“完全”是按自己的思想推导出来的(那个函数映射关系不算),只要理解了这个推导的步骤,即使有一天忘记了这个公式,也可以重新推导出来! 

            可能有人会注意到公式⑹与文章开头的公式相差一个常数   1,这是因为原公式使用数字0--6表示星期一到星期日,而我用0--6表示星期日到星期六。实际上是一样,你可以改成任意你喜欢的表示方法,只需改变这个常数就可以了。 


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