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  • 期望方差计算
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    2019-06-18 15:47:11

    1. 期望

    定义
    P ( x ) P(x) P(x)是一个离散概率分布函数,自变量的取值范围为 { x 1 , x 2 , ⋯   , x n } \{x_1, x_2, \cdots, x_n\} {x1,x2,,xn}。其期望被定义为:

    E ( x ) = ∑ k = 1 n x k P ( x k ) E(x)=\sum_{k=1}^n{x_kP(x_k)} E(x)=k=1nxkP(xk)

    p ( x ) p(x) p(x)是一个连续概率密度函数。其期望为:

    E ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ x p ( x ) d x E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xp(x)dx} E(x)=+xp(x)dx

    性质
    1.1 线性运算规则

    期望服从线性性质(可以很容易从期望的定义公式中导出)。因此线性运算的期望等于期望的线性运算:

    E ( a x + b y + c ) = a E ( x ) + b E ( y ) + c E(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+c E(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+c

    这个性质可以推广到任意一般情况:

    E ( ∑ k = 1 n a i x i + c ) = ∑ k = 1 n a i E ( x i ) + c E(\sum_{k=1}^{n}{a_ix_i}+c)=\sum_{k=1}^{n}{a_iE(x_i)}+c E(k=1naixi+c)=k=1naiE(xi)+c

    1.2 函数的期望

    f ( x ) f(x) f(x)为x的函数,则 f ( x ) f(x) f(x)的期望为:

    离散:

    E ( f ( x ) ) = ∑ k = 1 n f ( x k ) P ( x k ) E(f(x))=\sum_{k=1}^n{f(x_k)P(x_k)} E(f(x))=k=1nf(xk)P(xk)

    连续:

    E ( f ( x ) ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) p ( x ) d x E(f(x))=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)p(x)dx} E(f(x))=+f(x)p(x)dx

    一定要注意,函数的期望不等于期望的函数,即 E ( f ( x ) ) ≠ f ( E ( x ) ) E(f(x)) \ne f(E(x)) E(f(x))=f(E(x))!。

    1.3 乘积的期望

    一般来说,乘积的期望不等于期望的乘积,除非变量相互独立。因此,如果x和y相互独立,则 E ( x y ) = E ( x ) E ( y ) E(xy)=E(x)E(y) E(xy)=E(x)E(y)

    期望的运算构成了统计量的运算基础,因为方差、协方差等统计量本质上是一种特殊的期望。

    1.4 条件期望

    如果现在 X {\displaystyle X} X 是一个连续随机变量,而 Y {\displaystyle Y} Y 是一个离散变量,条件期望是:

    E ( X ∣ Y = y ) = ∫ X x f X ( x ∣ Y = y ) d x \mathrm{E}(X | Y=y)=\int_{\mathcal{X}} x f_{X}(x | Y=y) d x E(XY=y)=XxfX(xY=y)dx

    其中, f X (   ⋅   ∣ Y = y ) {\displaystyle f_{X}(\,\cdot \,|Y=y)} fX(Y=y) 是在给定 Y = y {\displaystyle Y=y} Y=y X {\displaystyle X} X 的条件概率密度函数。

    2. 方差

    定义

    方差是一种特殊的期望,被定义为:

    V a r ( x ) = E ( ( x − E ( x ) ) 2 ) Var(x)=E((x-E(x))^2) Var(x)=E((xE(x))2)

    性质

    2.1 展开表示

    反复利用期望的线性性质,可以算出方差的另一种表示形式:

    V a r ( x ) = E ( ( x − E ( x ) ) 2 ) = E ( x 2 − 2 x E ( x ) + ( E ( x ) ) 2 ) = E ( x 2 ) − 2 E ( x ) E ( x ) + ( E ( x ) ) 2 = E ( x 2 ) − 2 ( E ( x ) ) 2 + ( E ( x ) ) 2 = E ( x 2 ) − ( E ( x ) ) 2 \begin{array}{l l l} Var(x) & = & E((x-E(x))^2) \\ & = & E(x^2-2xE(x)+(E(x))^2) \\ & = & E(x^2)-2E(x)E(x)+(E(x))^2 \\ & = & E(x^2)-2(E(x))^2+(E(x))^2 \\ & = & E(x^2)-(E(x))^2 \end{array} Var(x)=====E((xE(x))2)E(x22xE(x)+(E(x))2)E(x2)2E(x)E(x)+(E(x))2E(x2)2(E(x))2+(E(x))2E(x2)(E(x))2

    2.2 常数的方差

    常数的方差为0,由方差的展开表示很容易推得。

    2.3 线性组合的方差

    方差不满足线性性质,两个变量的线性组合方差计算方法如下:

    V a r ( a x + b y ) = a 2 V a r ( x ) + b 2 V a r ( y ) + 2 C o v ( x , y ) Var(ax+by)=a^2Var(x)+b^2Var(y)+2Cov(x,y) Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)+2Cov(x,y)

    其中 C o v ( x , y ) Cov(x,y) Cov(x,y)为x和y的协方差。

    2.4 独立变量的方差

    如果两个变量相互独立,则:

    V a r ( a x + b y ) = a 2 V a r ( x ) + b 2 V a r ( y ) Var(ax+by)=a^2Var(x)+b^2Var(y) Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)

    作为推论,如果x和y相互独立: V a r ( x + y ) = V a r ( x ) + V a r ( y ) Var(x+y)=Var(x)+Var(y) Var(x+y)=Var(x)+Var(y)

    3. 协方差

    定义

    两个随机变量的协方差被定义为:

    C o v ( x , y ) = E ( ( x − E ( x ) ) ( y − E ( y ) ) ) Cov(x,y)=E((x-E(x))(y-E(y))) Cov(x,y)=E((xE(x))(yE(y)))

    因此方差是一种特殊的协方差。当x=y时, C o v ( x , y ) = V a r ( x ) = V a r ( y ) Cov(x,y)=Var(x)=Var(y) Cov(x,y)=Var(x)=Var(y)

    性质
    1、独立变量的协方差

    独立变量的协方差为0,可以由协方差公式推导出。

    2、线性组合的协方差

    协方差最重要的性质如下:

    C o v ( ∑ i = 1 m a i x i , ∑ j = 1 n b j y j ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i b j C o v ( x i , y j ) Cov(\sum_{i=1}^m{a_ix_i}, \sum_{j=1}^n{b_jy_j})=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{a_i b_j Cov(x_i, y_j)}} Cov(i=1maixi,j=1nbjyj)=i=1mj=1naibjCov(xi,yj)

    很多协方差的计算都是反复利用这个性质,而且可以导出一些列重要结论。

    作为一种特殊情况:

    C o v ( a + b x , c + d y ) = b d C o v ( x , y ) Cov(a+bx,c+dy)=bdCov(x,y) Cov(a+bx,c+dy)=bdCov(x,y)

    另外当x=y时,可以导出方差的一般线性组合求解公式:

    V a r ( ∑ k = 1 n a i x i ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i a j C o v ( x i , x j ) Var(\sum_{k=1}^n{a_ix_i})=\sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^n{a_ia_jCov(x_i,x_j)}} Var(k=1naixi)=i=1nj=1naiajCov(xi,xj)

    4. 相关系数

    定义
    相关系数通过方差和协方差定义。两个随机变量的相关系数被定义为:

    C o r r ( x , y ) = C o v ( x , y ) V a r ( x ) V a r ( y ) Corr(x,y)=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt{Var(x)Var(y)}} Corr(x,y)=Var(x)Var(y) Cov(x,y)

    性质

    1、有界性

    相关系数的取值范围为-1到1,其可以看成是无量纲的协方差。

    2、统计意义

    值越接近1,说明两个变量正相关性(线性)越强,越接近-1,说明负相关性越强,当为0时表示两个变量没有相关性。


    参考:

    1. 期望
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    1.期望和方差的性质

    1.1 性质一

    当只有一个随机变量 X X X,利用期望的定义来计算 E [ a 1 g 1 ( X ) + a 2 g 2 ( X ) ] E[a_1g_1(X)+a_2g_2(X)] E[a1g1(X)+a2g2(X)]

    期望的定义


    当有两个不同的随机变量 X = X 1 + X 2 X=X_1+X_2 X=X1+X2

    1.2 性质二

    如果 g i ( X i ) = c g_i(X_i)=c gi(Xi)=c,那么 E [ g i ( X i ) ] = c E[g_i(X_i)]=c E[gi(Xi)]=c

    1.3 性质三

    先给出方差的定义

    1.4 性质四



    计算 E [ 2 μ X X ] E[2\mu_XX] E[2μXX] 时联想性质 E [ a X ] = a E [ X ] E[aX]=aE[X] E[aX]=aE[X],故 E [ 2 μ X X ] = 2 μ X E [ X ] E[2\mu_XX]=2\mu_XE[X] E[2μXX]=2μXE[X]
    计算 E [ μ X 2 ] E[\mu_X^2] E[μX2] 时联想性质 E [ c ] = c E[c]=c E[c]=c,故 E [ μ X 2 ] = μ X 2 E[\mu_X^2]=\mu_X^2 E[μX2]=μX2

    1.5 性质五




    计算 E [ μ X ] E[\mu_X] E[μX] 时联想性质 E [ c ] = c E[c]=c E[c]=c,故 E [ μ X ] = μ X E[\mu_X]=\mu_X E[μX]=μX

    1.6 性质六



    根据方差的定义来证明上式

    1.7 性质七

    展开全文
  • 正态分布N(μ,σ^2)期望即μ,方差即σ^2区间[a,b]上均匀分布 期望为(a+b)/2,方差为(b-a)^2/12为什么计算均匀分布的方差要除以12? 注:均匀分布U(a,b)的方差Var(X)=(b-a)^2/12 随机变量:U(a,b)X的概率密度...

    数学正态分布和均匀分布问题。 正态分布N(μ,σ^2)期望即μ,方差即σ^2区间[a,b]上均匀分布 期望为(a+b)/2,方差为(b-a)^2/12

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    随机变量服从几何分布,求期望与方差的具体步骤 高中数学教科书新版第三册(选修II)比原来的修订本新增加随机变量的几何分布,但书中只给出了结论: (1) (2),而未加以证明。几何分布的期望与方差计算要用到级数求和。

    随机变量的期望与方差有着怎样的含义 期望可以看成是变量变动的最终归宿,是变动结束后应该回归位置的水平,也就是平均水平.数学上研究问题时总体的大小往往不固定,所以平均水平没有办法计算,所以有期望这个指标。.

    常见分布的数学期望和方差

    均匀分布U(a,b)的数学期望和方差分别是 数学期望:E(x)=(a+b)/2方差:D(x)=(b-a)2/12

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  • 期望方差

    万次阅读 2020-10-03 17:19:32
    一、期望方差的定义 随机变量(Random Variable) X 是一个映射,把随机试验的结果与实数建立起了一一对应的关系。而期望方差是随机变量的两个重要的数字特征。 1. 期望(Expectation, or expected value) 期望是...

    一、期望和方差的定义

    随机变量(Random Variable) X 是一个映射,把随机试验的结果与实数建立起了一一对应的关系。而期望与方差是随机变量的两个重要的数字特征。

    1. 期望(Expectation, or expected value)

    期望是度量一个随机变量取值的集中位置或平均水平的最基本的数字特征;

    2. 方差(Variance)

    方差是表示随机变量取值的分散性的一个数字特征。 方差越大,说明随机变量的取值分布越不均匀,变化性越强;方差越小,说明随机变量的取值越趋近于均值,即期望值。
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    (1)百度百科上方差是这样定义的:

    方差(variance):是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。

    (2)方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义,并有不同的公式。
    在这里插入图片描述
    思考:为什么要求差的平方?可以参考这个链接里面的注解https://www.shuxuele.com/data/standard-deviation.html

    3. 标准差

    (1)方差和标准差的关系

    方差和标准差的关系很简单,标准差(也称均方差)的平方就是方差。

    • 标准差能反映一个数据集的离散程度 (或理解为数据集的波动大小)。
    • 既然都能反映数据集的离散程度,既生瑜何生亮?因为我们发现,方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的(单位不一致),虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度,但是处理结果是不符合我们的直观思维的。
    • 比如一个班男生的平均身高是170cm,标准差是10cm,那么方差就是100cm^2。可以简便的描述为本班男生身高分布在170±10cm,方差就无法做到这点。
    (2)标准差的应用
    • 基金
      衡量基金波动程度的工具就是标准差(StandardDeviation)。标准差是指基金可能的变动程度。标准差越大,基金未来净值可能变动的程度就越大,稳定度就越小,风险就越高。

    • 股市分析
      股票价格的波动是股票市场风险的表现,因此股票市场风险分析就是对股票市场价格波动进行分析。波动性代表了未来价格取值的不确定性,这种不确定性一般用方差或标准差来刻画。

    • 企业债券
      企业债务性资金和权益性资金完全正相关,即相关系数pDE为1。

    • 衡量球员发挥水平的稳定性
      一支值得信赖的球员队伍,他最不想要的就是表现时好时坏,水平反复无常,波动很大的队员。他需要的是评分高且发挥稳定的球员。

    4. 均方误差

    均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数,也即误差平方和的平均数,计算公式形式上接近方差,它的开方叫均方根误差,均方根误差和标准差形式上接近。均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数 。
    在这里插入图片描述
    总的来说,均方差是数据序列与均值的关系,而均方误差是数据序列与真实值之间的关系。

    5. 极差

    百度百科的解释:极差又称范围误差或全距(Range),以R表示,是用来表示统计资料中的变异量数(measures of variation),其最大值与最小值之间的差距,即最大值减最小值后所得之数据。

    例:求下列数据集的极差

    65、81、73、85、94、79、67、83、82

    解:极差指的是这些数字分开得有多远,计算方法是:用其中最大的数减去最小的数。

    极差是: 94−65=29

    这个数字越大,表示分得越开,最大数和最小数之间的差就越大;该数越小,数字间就越紧密,这就是极差的概念。

    6. 协方差

    可以通俗的理解为:两个变量在变化过程中是同方向变化,还是反方向变化,同向或反向程度如何?

    你变大,同时我也变大,说明两个变量是同向变化的,这时协方差就是正的。
    你变大,同时我变小,说明两个变量是反向变化的,这时协方差就是负的。

    从数值来看,协方差的数值越大,两个变量同向程度也就越大。反之亦然。
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    公式简单翻译一下是:如果有X,Y两个变量,每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其期望。

    下面举个例子来说明吧:
    比如有两个变量X,Y,观察t1-t7(7个时刻)他们的变化情况。
    简单做了个图:分别用红点和绿点表示X、Y,横轴是时间。可以看到X,Y均围绕各自的均值运动,并且很明显是同向变化的。
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    --------LINE---------
    一般的同学看到above the line的内容就ok了。但有一些爱钻研的同学,可能会进一步提问:
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    7. 相关系数

    相关关系是一种非确定性的关系,相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同,相关系数有如下几种定义方式。简单相关系数:又叫相关系数或线性相关系数,一般用字母 ρ \rho ρ 表示,用来度量两个变量间的线性关系。
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    翻译一下:就是用X、Y的协方差除以X的标准差和Y的标准差。
    所以,相关系数也可以看成协方差:一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。
    既然是一种特殊的协方差,那它:

    • 1、也可以反映两个变量变化时是同向还是反向,如果同向变化就为正,反向变化就为负。
    • 2、由于它是标准化后的协方差,因此更重要的特性来了:它消除了两个变量变化幅度的影响,而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。

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    二、期望和方差的运算性质

    1. 期望运算性质

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    2. 方差的运算性质

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    3. 期望与方差的联系

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    三、抽样分布

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    四、区别Y=X+X与Z=2X

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    https://www.zhihu.com/question/20852004/answer/134902061
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/64859161

    展开全文
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    二项分布的期望方差 .
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空空如也

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如何用期望计算方差