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  • 多元:复相关系数和偏相关系数
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    2019-10-21 14:23:11

    本文就对多元统计中的复相关系数和偏相关系数进行阐述和说明。

    1.复相关系数(Multi-correlation coefficient)

    指度量   y \ y  y 与其最优线性预测 y ~ \widetilde y y 之间的相关系数。 也即有一个随机变量   y \ y  y 和一组随机变量   x = ( x 1 , x 2 , … , x p ) ′ \ x=(x_1,x_2,\dots,x_p)'  x=(x1,x2,,xp) , 现在寻找   y \ y  y 和该组   x \ x  x 变量之间的整体相关性。

    在一般情况下,   y \ y  y   x \ x  x组成员   x i \ x_i  xi 都具有一定的相关性。比如在人体素质测试中,若有 肺活量 为   y \ y  y,以及年龄(   x 1 \ x_1  x1)、体重(   x 2 \ x_2  x2)、800米跑步时间(   x 3 \ x_3  x3)、休息时的脉搏(   x 4 \ x_4  x4)和跑步时的脉搏(   x 5 \ x_5  x5)六个测试项目。肺活量与其余5个变量中的每一个都具有相关性。而我们想要研究肺活量与其余五个变量之间的整体相关性。

    为做到这点,首先找到一个线性组合   l ′ x \ l'x  lx   x \ x  x 中包含的关于   y \ y  y 的信息最大限度地提取出来,然后计算   y \ y  y 与 线性组合   l ′ x \ l'x  lx 之间的相关性,此即为复相关系数,表示为 ρ y ⋅ x \rho_{y·x} ρyx / ρ y ⋅ 1 , 2 , 3 , … , p \rho_{y·1,2,3,\dots,p} ρy1,2,3,,p / ρ ( y , l ′ x ) \rho(y,l'x) ρ(y,lx)

    根据相关系数定义,我们有 ρ 2 ( y , l ′ x ) = C o v ( y , l ′ x ) V ( y ) ∗ V ( l ′ x ) = ( σ y x l ′ ) 2 σ y y ∗ l ′ Σ x x l . \rho^{2}(y,l'x)=\frac{Cov(y,l'x)}{V(y)*V(l'x)}=\frac {(\sigma_{yx}l')^2}{\sigma_{yy}*l'\Sigma_{xx}l}. ρ2(y,lx)=V(y)V(lx)Cov(y,lx)=σyylΣxxl(σyxl)2.
    通过柯西—施瓦茨不等式

    设有一   B > 0 \ B>0  B>0,则有   ( x ′ y ) 2 ⩽ ( x ′ B x ) ( y ′ B − 1 y ) . \ (x'y)^2\leqslant (x'Bx)(y'B^{-1}y).  (xy)2(xBx)(yB1y).等号成立当且仅当   x = c B − 1 y \ x=cB^{-1}y  x=cB1y   y = c B x \ y=cBx  y=cBx   c \ c  c为常数。

      B = Σ x x − 1 \ B=\Sigma_{xx}^{-1}  B=Σxx1,得到复相关系数的平方为 ρ 2 ( y , l ′ x ) ⩽ ( σ x y ′ Σ x x − 1 σ x y ) ( l ′ Σ x x l ) σ y y ∗ ( l ′ Σ x x l ) = σ x y ′ Σ x x − 1 σ x y σ y y . \rho^{2}(y,l'x)\leqslant\frac{(\sigma_{xy}'\Sigma_{xx}^{-1}\sigma_{xy})(l'\Sigma_{xx}l)}{\sigma_{yy}*(l'\Sigma_{xx}l)}=\frac{\sigma_{xy}'\Sigma_{xx}^{-1}\sigma_{xy}}{\sigma_{yy}}. ρ2(y,lx)σyy(lΣxxl)(σxyΣxx1σxy)(lΣxxl)=σyyσxyΣxx1σxy.
      B = Σ x x − 1 , l = Σ x x − 1 σ x y \ B=\Sigma_{xx}^{-1},l=\Sigma_{xx}^{-1}\sigma_{xy}  B=Σxx1l=Σxx1σxy时等式成立。
    因此,复相关系数计算公式 ρ y ⋅ x = m a x ρ ( y , l ′ x ) = σ x y ′ Σ x x − 1 σ x y σ y y . \rho_{y\cdot x}=max \rho(y,l'x)=\sqrt{\frac{\sigma_{xy}'\Sigma_{xx}^{-1}\sigma_{xy}}{\sigma_{yy}}}. ρyx=maxρ(y,lx)=σyyσxyΣxx1σxy .
    其中, σ x y \sigma_{xy} σxy   x 和 y \ x和y  xy的协方差矩阵, Σ x x \Sigma_{xx} Σxx   x \ x  x组的自协方差矩阵。 σ x y ′ Σ x x − 1 x \sigma_{xy}'\Sigma_{xx}^{-1}x σxyΣxx1x   y \ y  y的最优线性预测 y ~ \widetilde y y 。以上公式也可化为 ρ x y ′ R x x − 1 ρ x y \sqrt{\rho_{xy}'R_{xx}^{-1}\rho_{xy}} ρxyRxx1ρxy 利用相关系数 ρ x y \rho_{xy} ρxy和相关矩阵   R x x \ R_{xx}  Rxx求解。

    2.偏相关系数(Partial-correlation coefficient)

    指剔除其他变量的线性影响后,变量   x i 与 x j \ x_i 与 x_j  xixj之间的相关系数。要真正度量两个随机变量之间的相关性,必须要剔除由第三方带来的影响。

    例如:①男生和女生两家相好。他两之间的亲密度可看做是相关系数。两人要想真正走在一起,必须要剔除双方父母带来的影响,测量两个人之间不受其他干扰时剩下的亲密度。这就是偏相关系数。②一个家庭的饮食支出和衣着支出存在较强的正相关性,也就是说一般吃的费用大的一般穿的费用也大,即相关系数大。但实际上,这种“伪强正相关”是由于收入这个第三方变量引起的。一般而言,高收入带动了各方面的消费支出。如果控制收入不变,则饮食和衣着费用之间的相关性则大不相同,甚至变成负相关性。消除第三方变量的影响后两者的相关性,称作偏相关。

    相关系数也称为总相关系数或零阶偏相关系数,包含了一切影响带来的相关性。设有多元随机变量   x \ x  x,对   x \ x  x 及其均值向量 μ \mu μ 、总体自协方差矩阵 Σ \Sigma Σ 做剖分如下:   x = ( x 1 x 2 ) k p − k , μ = ( μ 1 μ 2 ) k p − k , Σ = ( Σ 11 Σ 12 Σ 21 Σ 22 ) k p − k . \ x=\binom{x_1}{x_2}\begin{matrix}k\\p-k\end{matrix},\mu=\binom{\mu_1}{\mu_2}\begin{matrix}k\\p-k\end{matrix},\Sigma=\begin{pmatrix}\Sigma_{11}&\Sigma_{12}\\ \Sigma_{21}&\Sigma_{22}\end{pmatrix}\begin{matrix}k\\p-k\end{matrix}.  x=(x2x1)kpk,μ=(μ2μ1)kpk,Σ=(Σ11Σ21Σ12Σ22)kpk.
    以下讨论消除   x 2 \ x_2  x2的线性影响后   x 1 \ x_1  x1分量之间的相关性,先记为 Σ 11 ⋅ 2 \Sigma_{11\cdot2} Σ112

    我们讨论的方法是

    • 首先找到   x 2 \ x_2  x2   x 1 \ x_1  x1各分量   x i \ x_i  xi的最优线性预测 x ~ i \widetilde x_i x i,将   x 2 \ x_2  x2中包含的   x i \ x_i  xi的信息尽可能提取出来;
    • 计算预测误差   e i = x i − x ~ i \ e_i=x_i - \widetilde x_i  ei=xix i,表示   x 2 \ x_2  x2无法解释的部分;
    • 度量   e i \ e_i  ei之间的相关性,计算   V ( e ) \ V(e)  V(e)
    • 利用相关系数公式,代入   V ( e ) \ V(e)  V(e)成分计算偏相关。

    由最优线性预测公式

    y ~ = μ y + σ x y ′ Σ x x − 1 ( x − μ x ) \widetilde y=\mu_y+\sigma_{xy}'\Sigma_{xx}^{-1}(x-\mu_x) y =μy+σxyΣxx1(xμx)

    可知 e ~ i = x i − [ μ i + a i ′ Σ 12 Σ 22 − 1 ( x 2 − μ 2 ) ] . \widetilde e_i=x_i-[\mu_i+a_i'\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(x_2-\mu_2)]. e i=xi[μi+aiΣ12Σ221(x2μ2)].
    其中   a i = ( 0 , … , 0 , 1 , 0 , … , 0 ) ′ : k × 1 \ a_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)':k×1  ai=(0,,0,1,0,,0):k×1,1出现在第   i \ i  i个位置。导出   e = x 1 − [ μ 1 + ( a 1 , … , a k ) ′ Σ 12 Σ 22 − 1 ( x 2 − μ 2 ) ] \ e=x_1-[\mu_1+(a_1,\dots,a_k)'\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(x_2-\mu_2)]  e=x1[μ1+(a1,,ak)Σ12Σ221(x2μ2)]   = x 1 − [ μ 1 + Σ 12 Σ 22 − 1 ( x 2 − μ 2 ) ] . \ =x_1-[\mu_1+\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(x_2-\mu_2)].  =x1[μ1+Σ12Σ221(x2μ2)].
    计算   x i \ x_i  xi各分量间的相关性,则有   V ( e ) = V ( x 1 − [ μ 1 + Σ 12 Σ 22 − 1 ( x 2 − μ 2 ) ] ) \ V(e)=V(x_1-[\mu_1+\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(x_2-\mu_2)])  V(e)=V(x1[μ1+Σ12Σ221(x2μ2)])   = V ( x 1 − Σ 12 Σ 22 − 1 x 2 ) = Σ 11 − Σ 12 Σ 22 − 1 Σ 21 = Σ 11 ⋅ 2 . \ =V(x_1-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}x_2)=\Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}=\Sigma_{11\cdot2}.  =V(x1Σ12Σ221x2)=Σ11Σ12Σ221Σ21=Σ112.

    于是,我们称 Σ 11 ⋅ 2 = ( σ i j , k = 1 , … , p ) \Sigma_{11\cdot2}=(\sigma_{ij,k=1,\dots,p}) Σ112=(σij,k=1,,p)为偏协方差矩阵,非对角元素称为偏协方差,对角元素称为偏方差。根据相关系数的公式推导出   x 2 \ x_2  x2给定时,   x i \ x_i  xi   x j \ x_j  xj   ( p − k ) \ (p-k)  (pk)偏相关系数的计算公式 ρ i j ⋅ k + 1 , … , p = σ i j ⋅ k + 1 , … , p σ i i ⋅ k + 1 , … , p ∗ σ j j ⋅ k + 1 , … , p , 1 ⩽ i , j ⩽ k . \rho_{ij\cdot k+1,\dots,p}=\frac{\sigma_{ij\cdot k+1,\dots,p}}{\sqrt {\sigma_{ii\cdot k+1,\dots,p}*\sigma_{jj\cdot k+1,\dots,p}}},1\leqslant i,j\leqslant k. ρijk+1,,p=σiik+1,,pσjjk+1,,p σijk+1,,p,1i,jk.

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    怎么看相关系数显著性检验表?

    附表11(1)相关系数界值表附表11(2)相关系数界值表

    如何使用SPSS进行皮尔森相关系数分析??Pearson’s希望能说的具体些,SPSS我很白

    18d565838afde4671d7b8021f0b5beac.png

    如果用SPSSAU进行在线spss数据分析,选择通用方法->相关进行,结果格式为三线表格式,属于规范的格式不用重新整理。 分析结果上看会输出包括平均值和标准差,以及相关系数和P值。 前两列即为各变量的平均值和标准差。

    请问spss相关分析结果怎么看?

    打开spss主页输入对应的数据,在分析那里选择非参数检验下的相关样本。

    下一步进入一个新的界面,直接按照图示来设置检验对以及勾选威尔科克森。

    等完成上述操作以后,需要点击确定。

    SPSS中pearson(皮尔逊相关系数)确定相关性,数据两个值都要看,r值表示在样本中变量间的相关系数,表示相关性的大小;p值是检验值,是检验两变量在样本来自的总体中是否存在和样本一样的相关性。 一般来说相关性大小要看显著性达到什么程度。显著性越小说明相关程度越高。

    SPSS中pearson(皮尔逊相关系数)看r值还是P值,确...两个值都要看,r值表示在样本中变量间的相关系数,表示相关性的大小;p值是检验值,是检验两变量在样本来自的总体中是否存在和样本一样的相关性。

    SPSS进行皮尔森相关系数分析 相关系数和显著性有什我想知道判断两个变量想不相关就看相关系数就可以了,为什么还要看显著皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient),统计检验:可以用t 统计量对总体相关系数为0的原假设进行检验。若t 检验显著,则拒绝原假设。

    SPSS中的皮尔森相关系数分析,不知道怎么分析

    年级与是否使用之间相关性: 性别与是否使用之间的相关性:

    从你的统计结果看,两者均不相关(SIG均大于0.05) 但是,你采用方法可能不对,年级、性别都是定序变量。

    相关系数多少算具有相关性?

    我做教育统计,发放过问卷后统计相关性,我想问下相关性系数怎么界定具相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标,是研究变量之间线性相关程度的量,一般用字母 r 表示。由于研究对象的不同,相关系数有多种定义方式,较为常用的是皮尔逊相关系数。 相关系数r的绝对值一般在0.8以上。

    皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ,是一种线性相关系数。皮尔森相关系数是用来反映两个变量线性相关程度的统计量。

    SPSS进行皮尔森相关系数分析后的结果如何判断

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    一、相关系数第一次理解

    概念:Pearson相关系数 (Pearson CorrelationCoefficient)是用来衡量两个数据集合是否在一条线上面,它用来衡量定距变量间的线性关系。[1]
    注:

    【定距变量】[2][3]
    若想理解定距变量,需要与其他变量类型进行比对。
    统计学依据数据的计量尺度将数据划分为四大类 ,即定距型数据、定序型数据、定类型数据和定比型数据。


           1.    定距型数据是数字型变量,可以求加减平均值等,但不存在基准0值,即当变量值为0时不是表示没有,如温度变量,当温度为0时,并不是表示没有温度,这样温度就为定距变量,而不是定比变量。
         2. 定序型数据具有内在固有大小或高低顺序,如职称变量可以有低级、中级和高级三个取值,可以分别用1、2、3等表示。有大小或高低顺序,但数据之间却是不等距的,因为低级和中级职称之间的差距与中级和高级职称之间的差距是不相等的,因此可以排序,但不能加减。
         3. 定类型数据是指没有内在固定大小或高低顺序,如性别男和女;
          4. 定比型变量就是常说的数值变量,既有测量单位,也有绝对零点。例如职工人数,身高。


    线性关系

    【线性关系】[4]
    两个变量之间存在一次方函数关系,就称它们之间存在线性关系。正比例关系是线性关系中的特例,反比例关系不是线性关系。更通俗一点讲,如果把这两个变量分别作为点的横坐标与纵坐标,其图象是平面上的一条直线,则这两个变量之间的关系就是线性关系。即如果可以用一个二元一次方程来表达两个变量之间关系的话,这两个变量之间的关系称为线性关系。

    这里写图片描述

    线性关系的显著特征是图像为过原点的直线(没有常数项的情况下,如:y=kx+jz,(k,j为常数,x,z为变量);而当图像为不过原点的直线时,函数称为直线关系。线性关系与直线关系是不同的,经常被大家混淆。
    线性关系的函数具备如下特点:
    (1)每一项(常数项除外)的次数必须是一次的(这是最重要的)。如:x=y+z+c+v+b。如果出现平方,这些就肯定不是线性关系。
    如果每项的次数不是一次就不是线性关系:x=yz(这里假定y,z是变量而不是常数),那么x与y,或x与z就不是线性关系。
    (2)常数对是否构成直线关系没影响(假定常数不为0)如:x=ky+l*z+a。

    用途:[5] pearson系数用来描述两组线性的数据一同变化移动的趋势。
    公式:[5]
    用数学公式表示,皮尔森相关系数等于两个变量的协方差除于两个变量的标准差。

    这里写图片描述

    X、Y线性相关时,两个变量的协方差等于两个变量各自标准差的乘积,此时皮尔森相关系数为1。

    公式理解:

    值域:[-1,1]
    使用情况:

    Pearson相关系数常用于基于用户的推荐系统,比其他对比用户的方法更胜一筹。(相对的,在基于物品的推荐系统中,常使用余弦相似度方法。)[6]

    由于pearson描述的是两组数据变化移动的趋势,所以在基于user-based的协同过滤系统中,经常使用。描述用户购买或评分变化的趋势,若趋势相近则pearson系数趋近于1,也就是我们认为相似的用户。[5]
    缺陷: 笔者尚未理解明白,所以只粘贴原文了。
    (1)存在一些所有人都喜爱的物品,让两个用户对有争议的物品达成共识会比对广受欢迎的物品达成共识更有价值,但Pearson这样的相似度方法无法将这种情况考虑在内。[6] Page10
    (2)某博主关于重叠项的思考。 [5]
    该部分如有了解的朋友,还请留下指点,不胜感谢。
    皮尔森系数与修正余弦相似度的区别:[8]
    两者在公式形式上极其相似,所以需要进行对比区分。
    由于没有实际应用过,尚且没有明白透彻,所以此处只提几点表面上的理解。

    两者计算的形式很类似,但是有具体的细节差别,在分母和分子上都有体现。归纳起来:差别就在去中心化的方式上。

    修正余弦公式和皮尔森相关系数公式都是针对item-based CF计算item-item之间相似性的,所以修正余弦公式减去了用户的打分均值,皮尔森相关系数公式减去了item得分均值。(换句话说,修正cosine考虑的是对item i打过分的每个user u,其打分的均值,Pearson考虑的是每个item i 的被打分的均值。)

    这里写图片描述
    两者为什么要去中心化呢?(两种方式减去均值)
    (1)修正cosine相似度的目的是解决cosine相似度仅考虑向量维度方向上的相似而没考虑到各个维度的量纲的差异性,所以在计算相似度的时候,做了每个维度减去均值的修正操作。
    (2)Pearson correlation 相关系数主要考虑线性相关性,定义为两个变量之间的协方差和标准差的商,所以自然的考虑了均值的修正操作。

    简便记忆方法
    可以看出,公式比较长,可以使用点积进行记忆。公式形式上简单后,也更便于理解。

    各种相似度与点积关系的推演:
    cosine相似度,其实就是归一化后的点积结果,
    Pearson相关系数是去中心化&归一化的点积结果
    修正cosine相似度,也是去中心化&归一化的点积结果,与Pearson的差别就在于去中心化的差异(上面描述的)
    公式参考如下:
    点积:

    这里写图片描述

    cosine相似度:

    这里写图片描述

    Pearson相关系数:

    这里写图片描述

    ##参考文献
    [1] Pearson相关系数_百度百科
    [2] 定距变量_百度百科
    [3] 举例说明定类数据,定序数据,定距数据和定比数据的区别_百度知道
    [4] 线性关系_百度百科
    [5] Pearson 相关系数–最佳理解及相关应用-CSDN博客
    [6] 《推荐系统 》书籍 Dietmar Jannach, Markus Zanker etc 蒋帆译
    [7] 皮尔森相关系数及原理_smilingflowers
    [8] 修正余弦相似度和皮尔森系数什么关系?- 知乎

    二、相关系数第二次理解

    相关系数可以看做协方差

    2.1 协方差

    概率论和统计学中的协方差,评估两个向量如何一起变化,通俗的说,即是否同时偏离均值。

    考虑两个数值属性A、B和n次观测的集合{(a1,b1),…,(an,bn)},A、B的均值又称为A、B的期望值。

    A、B的协方差定义为:
    Cov(A,B) = E((A - \overline{A})(B - \overline{B}))

    可以看出,当A、B同时大于或小于均值时,协方差为正数;当一个大于均值,一个小于均值时,协方差为负数。

    协方差的作用、缺点、及改进。
    作用:在A、B量纲相同时,协方差对描述X、Y的相关程度有一定作用。

    具体的,当A、B不相关(即独立)时,E(A\cdot B) = E(A)E(B),所以,协方差Cov(A,B) = E(A\cdot B) - \overline{A} \overline{B}。然而,反过来不成立。
    所以,上面才说,只有“一定作用”。。。而已。真正判断两个变量的相关性,还是得用Pearson相关系数鸭!

    缺点:在A、B量纲不同时,协方差在数值上差异很大。
    改进:为了解决上述缺点,将协方差除以A的标准差和B的标准差,从而剔除量纲的影响。这便是后来引入的Pearson相关系数。

    2.2 Pearson 相关系数

    又叫Pearson积矩系数、协相关系数,表示为rA,B。

    公式即

    C_{A,B} = Cov(A,B) / \sigma A \sigma B

    相关系数作用:
    在描述两个变量的相关性上,协方差的作用有限。
    相关系数比协方差更好,因为相关系数剔除了量纲的影响。并且
    相关系数 > 0 ,变量正相关;
    相关系数 < 0 ,变量负相关;
    相关系数 = 0 ,变量不相关;
    可以看出,描述两个变量的相关性时,相关系数的作用更全面。

    参考文献:
    [1] [统计学理论基础] 协方差与相关系数
    [2] 协方差-百度百科

    三、协方差和相关系数 第三次理解

    3.1 协方差、相关系数的前提

    • 数学期望的一个重要性质是:

           设X、Y是两个随机变量,

    E(X+Y)=E(X)+E(Y)
    E(XY)=E(X)E(Y)

    • 方差的定义是:

    D(X) = E{[X - E(X)]}^{2}

    注:
    方差描述随机变量X与其均值的偏离程度,所以直观上应为E{|X-E(X)|}
    但上式带有绝对值,运算不方便,为了数学计算上的方便,使用平方代替绝对值E{[X-E(X)]}^{2}

    方差的一个重要性质是:
    设X、Y是两个随机变量,则 D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2E[ (X-E(X)) (Y-E(Y)) ]
    证明:

    在这里插入图片描述
    将上面的结论摘录下来,即:
    D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2E{ [X-E(X)] [Y-E(Y)] }
    E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} = E(XY)-E(X)E(Y)
    由数学期望的性质2   E(XY) = E(X)E(Y)) 知,若随机变量X、Y相互独立,则:

    E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} = 0


    注意:该公式将成为推导协方差和相关系数的源头


    故 D(X+Y)=D(X)+D(Y)

    3.2 协方差和相关系数

    3.2.1 协方差和相关系数的定义

    由3.1方差性质的证明中,可以看到,若两个随机变量相互独立,则

    E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} = 0
    这意味着,当E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} \neq 0时,X、Y不相互独立,即两者有关系。
    协方差和相关系数的定义:

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    3.2.2 协方差和相关系数 为什么能表示两个随机变量的相关性

    参考博客:协方差为什么能表示两个随机变量的相关性?
    证明的主旨思想使用了 两个向量的夹角的余弦:
    两个不相关,那么他们的夹角为90度,相关,则夹角小于90度。

    在这里插入图片描述

    笔者在测试这一证明时,遇到一个问题,即图中,有一条与向量X重合的黑线L:L左上方的向量Y们,其差向量的方向,全指向(-1,1)方向,只是长度不同,这些向量Y们与X的相关系数cosθ = 1;L右下方的向量Y们,其差向量的方向,全指向(1,-1)方向,只是长度不同,这些向量Y们与X的相关系数cosθ = -1;只有(1,1)方向的向量,其差向量才与X,垂直,此时cosθ = 0。
    也就是说,照这样推导,不管X是什么向量,只有(1,1)方向的向量与之不相关,其他向量都是或者正相关,或者负相关。

    23333333333333,我到底错在哪里了??????感觉自己绕进了某一个圈里,请求看到这儿的朋友指点迷津鸭!!!!!!!!!!!

    3.2.3 协方差矩阵

    X、Y的协方差矩阵,由X、Y的方差和协方差组成:

     

    在这里插入图片描述

     

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    本篇文章将从以下几个方面来讨论动态条件性关系数模型,第一、讨论为什么常相关系数和动态条件相关系数,第二、讨论动态条件相关系数模型形式与类型,第三、比较两种动态相关系数的区别,第四、谈谈动态相关系数的优点与缺点,第五、动态相关系数模型的估计问题;第六、个人的一些看法。45474c64ec8b2bcc0e6c6b19515903fb.png一、为什么引入常相关系数(CCC)和动态条件相关系数(DCC)?

    多元GARCH模型的提出为研究变量之间的波动率溢出效应提供了一种方式,但这些模型都有一个共同的缺点在于待估参数过多。事实上,多元GARCH模型中的待估参数是变量个数的幂函数,当变量个数较多时,估计参数将变得极其困难。此外,多元GARCH还有一个缺点在于,保证方差协方差矩阵正定性的约束条件通常难以实施(BEKK模型除外)。

      为了避开以上两个问题,估计时变方差协方差矩阵,学者们开始从相关系数的角度出发,来间接估计时变方差协方差矩阵。Bollerslev(1990)首次提出了常相关系数模型(Constant Conditional Correlation,CCC),即利用相关系数与方差协方差的关系,在估计出相关系数以及时变方差之后,得到时变的协方差。我们知道,相关系数跟方差协方差存在如下的关系:

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    那么在估计出各个变量的方差和两两变量之间的相关系数之后,就可以得到两个变量的协方差。对于n个变量,假设相关系数矩阵为R,是对角矩阵Dt,对角线上的元素是各个变量的方差。我们可以使用下面的公式得到n个变量的方差协方差矩阵,即

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    首先使用样本估计估计出相关系数矩阵R,然后再分别对单个变量建立波动率模型得到时变的方差,最后利用上面的公式得到时变的方差协方差矩阵。该方法的提出在很大程度上减少了待估参数的个数。对于n个资产,其实我们只需要估计(n(1+p+q)+n(n+1)/2)个未知参数。p,q表示单变量GARCH模型的之后阶数。

      那么CCC模型的提出解决了多元GARCH模型的缺陷了吗?首先就第一个缺陷而言,CCC的提出确实在一定程度上缓解了待估参数过多问题。那么对于方差协方差矩阵正定性的要求呢?观察add06c9b447a4e3997b347ab92174218.png,为了保证方差协方差矩阵的正定性,只需要保证Dt中的对角线元素全部为正并且相关系数矩阵是正定的即可。

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    二、动态相关系数的提出与类型

      似乎CCC模型的提出解决了估计较高维方差协方差矩阵的问题。但是,情况并非想的那样乐观。因为CCC要求各个变量之间的相关系数在时间维度上不变的,这个条件在很多情形下并不能满足,至少在金融市场上,常相关系数的假设难以满足。

      因此,为了刻画时变的相关系数,Engle(2002)和Engle和Sheppard(2002)提出了动态相关系数(Dynamic Conditional Correlation, DCC),模型设定采用GARCH类型的模式,如下:

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      Tse和Tsui(2002)提出了另一种形式的DCC,即把相关系数的时变过程作为一种ARMA过程,模型如下:

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    三、两种动态相关系数的区别

      对比以上两个DCC模型,我们可以发现有以下区别:首先,两种形式对于时变相关系数的设定形式不同,第一种采用的是GARCH形式的设定,第二种采用的是ARMA形式的设定。当然对于哪种形式的设定优劣,各有各的优势。其次,两个模型使用的ut的信息不同,第一种DCC模型只使用了ut滞后一期的信息,而第二种DCC使用了ut多期的信息(m的选择)。

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    四、动态相关系数的优点与缺点

    接下来谈谈动态相关系数模型的优点与缺点。优点表现在:第一、比起直接估计方差协方差矩阵,使用时变相关系数矩阵估计时变方差协方差矩阵,相对来说更容易一些。它将多元波动率的估计分为两步,首先建立单变量的波动率序列,其次建立时变相关系数模型。第二,正定性约束条件施加比较容易。从上面DCC的过程可以看出。

    缺点如下:第一、以上两种形式的动态相关系数,都只是使用两个未知参数来驱动相关系数的动态性。在某种程度上是不合理的。因为很难去验证任意两个变量的相关系数的变化模式都是相同的这种假设。比如在金融市场上,假设任意两个资产之间的相关系数变化形式都是相同的这很难使人信服。

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    五、动态相关系数的估计过程

    Tsay在他的书中(Multivariate Time Series Analysis)简单阐述了动态相关系数的估计过程,简单说来如下:

    第一步:首先估计收益率序列的均值过程,从而得到每个变量的残差序列;对于均值过程的建立,可以使用VAR模型。

    第二步:对每一个建立均值过程之后的变量的残差序列单独建立波动率过程(GARCH模型),从而得到每个序列的时变方差。

    第三步:利用第一步和第二步得到的残差和时变方差,得到标准化后的新息项,然后对建立DCC模型。

        通常对于DCC模型中的参数估计采用的是极大似然估计,因此要假设标准化后的新息项的分布。常用的多元分布为正态分布,当然也可以使用多元学生t分布以及多元拉普拉斯分布(Laplace),这个在R语言rmgarch包中可以实现。

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    六、个人的看法

      回看多元波动率模型的提出,无非有以下两各目的:研究变量之间的波动率溢出和估计时变的方差协方差矩阵。就第一个目的而言,我们更多关注变量之间的波动率关系,关注点在参数的估计上,然而就目前的多元波动率模型,研究波动率溢出的变量个数不宜过多。目前最常用的还是BEKK模型。但在使用BEKK模型时,要注意从估计的参数中并不能直接得出变量之间的波动率溢出关系,要将矩阵形式拆了写成方程的形式。对于第二个目的,估计方差协方差矩阵,很少使用多元波动率模型,原因之一就是待估参数过多。CCC和DCC的提出给出了一种估计时变方差协方差矩阵的方法。但是从CCC和DCC的含义来说,这两个模型并不能用于研究变量之间的波动溢出效应。即使你知道,两个变量之间的相关系数比较大,存在线性关系,但也无法判断究竟是哪个变量的波动率会对另一个变量的波动率产生影响,即不能从相关系数得到因果关系。

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