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  • 计算逆矩阵求解线性方程组   对于这样的线性方程组: x + y + z = 6 2y + 5z = -4 2x + 5y - z = 27   可以表示成矩阵的形式: [11102525−1][xyz]=[6−427]\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 ...

    求解线性方程组

      对于Ax=b,已知Ab,怎么算出x?

      调用solve方法直接求解:

      还可以验证一下:

    计算逆矩阵求解线性方程组

      对于这样的线性方程组:

    • x + y + z = 6
    • 2y + 5z = -4
    • 2x + 5y - z = 27

      可以表示成矩阵的形式:

    [ 1 1 1 0 2 5 2 5 − 1 ] [ x y z ] = [ 6 − 4 27 ] \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 6 \\ -4 \\ 27 \end{array}\right] 102125151xyz=6427

      用公式可以表示为:Ax=b,其中A是矩阵,x和b都是列向量

    • 逆矩阵(inverse matrix)的定义

      设A是数域上的一个n阶矩阵,若存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E ,则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。注:E为单位矩阵。

    • 使用逆矩阵求解线性方程组的方法

      两边都乘以 A − 1 A^{-1} A1,变成 A − 1 A x = A − 1 b A^{-1}Ax=A^{-1}b A1Ax=A1b,因为任何矩阵乘以单位矩阵都是自身,所以 x = A − 1 b x = A^{-1}b x=A1b

    求解逆矩阵

      np.linalg.inv()方法就可以求解逆矩阵:

    验证矩阵和逆矩阵的乘积是单位矩阵

    验证线性方程组

    展开全文
  • c++代码,利用eigen矩阵库,求解线性方程组。 c++代码,利用eigen矩阵库,求解线性方程组。 c++代码,利用eigen矩阵库,求解线性方程组。 c++代码,利用eigen矩阵库,求解线性方程组。 c++代码,利用eigen矩阵库,...
  • 解线性方程组 用矩阵分解法求解线性方程组 用矩阵分解法求解线性方程组
  • 在MVG(多视图几何)和机器学习领域,求解线性方程组几乎是所有算法的根本,本文旨在帮助读者搞懂矩阵分解与线性方程组的关系,并给出利用SVD求解线性方程组的实战代码。


    在MVG(多视图几何)和机器学习领域,求解线性方程组几乎是所有算法的根本,本文旨在帮助读者搞懂矩阵分解与线性方程组的关系,并给出利用SVD求解线性方程组的实战代码。


    本文解决的问题

    看完本文后,应解决以下问题:

    • 投影矩阵怎么通过QR分解得到相机内外参?

    • 求解非齐次线性方程组Ax=b的方法有哪些?

      • 其他一些方法通用性不大,比如克莱姆法则只用于方阵,这里不考虑。
      • 高斯消元法 | 常规方法。主要思路是讲矩阵通过初等行变换,转变为行阶矩形,然后后向代入(或者称为回代算法)可以很容易求解。
        • 根据增系数矩阵A和广矩阵B = (A, b) 的秩可判断解的个数。
        • 对于齐次线性方程组Ax=0,用初等行变换将A变为行最简形矩阵A’,即可得到同解方程组A’x=0,然后计算
        • 对于非齐次线性方程组Ax=0,用初等行变换将增广矩阵B = (A, b)变为行最简形矩阵A’,即可得到同解方程组A’x=0,然后计算
      • 方程Ax=b ,其中 A 为mxn。
        • 当m >n时,对于这样的方程不能直接利用高斯或者其他的分解法进行求解 , 往往需要把方程转换为另外一种更容易求解的模式,也就是我们常常说的各种分解。
        • 当m<n时,有无穷解,高斯消元等常规方法能解,但是如果我们要求使得二范数最小的最小二乘解,还是需要用SVD分解。
        • 当m=n时,一般可以用高斯消元等方法解。但是如果秩小于n,此时有无穷解,如果我们要求使得二范数最小的最小二乘解,还是需要用SVD分解。
      • 通过分解,将矩阵分解为特殊的形式,这些形式求逆或者对方程求解比较简单,比如上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵、正交矩阵(求逆简单,就是其转职)。分解完后,方程可以转换为比较好求解的形式,用常规方法求解即可。常用方法有:LU分解、QR分解、Cholesky分解
      • 通过分解,求出矩阵广义逆矩阵 A + A^+ A+ ,则解为 x = A + b x = A^+b x=A+b 。常用方法:正规方程( x = ( A T A ) − 1 A T b x = (A^TA)^{-1}A^Tb x=(ATA)1ATb)、SVD分解

      总结:

      参考:知呼

      • LU需要矩阵A可逆,Cholesky是其特殊情况,Cholesky分解的时间复杂度是 m n 2 + ( 1 / 3 ) n 3 mn^2+(1/3)n^3 mn2+(1/3)n3

      • QR分解的时间复杂度是 2 m n 2 2 mn^2 2mn2 ,因为m>n,所以QR往往比Cholesky慢

      • 在实际应用中,因为数值稳定性的要求 ,稠密矩阵往往用QR求解 ,对于大型的稀疏矩阵则多用Cholesky分解。

      • SVD分解,比QR分解慢,但是比QR分解稳定。

    • 非齐次线性方程组Ax=b,什么时候有精确解,什么时候只有最小二乘解?

      • 若矩阵A为列满秩矩阵,
        • 当A为方阵时,有精确解
        • 当A为mxn的矩阵(m>n)时,方程个数大于未知数个数;这时候多出来的方程可能会与前面的方程矛盾,这时候没有精确解,只有最小二乘解,所以不能直接用高斯消元等方法,只能用分解的方法找其主要特征,然后再正常求解。若多出来的方程与前面方程不矛盾,即多出来的方程都可以由前面的方程线性组合得到,这时候还是有精确解的。
      • 若矩阵A为亏秩矩阵 | 即矩阵A独立方程个数小于未知变量个数,这时候有无穷多个解。
        • 此时也只有最小二乘解
    • TODO: 为什么要用QR分解来求解非齐次线性方程组Ax=b?

      • A x = b ⇒ Q R x = b ⇒ R x = Q T b Ax=b \Rightarrow QRx=b \Rightarrow Rx=Q^Tb Ax=bQRx=bRx=QTb 因为R是上三角矩阵,因此很容易求得方程组的解。 Q T Q^T QT表示Q的转置。由于R是三角形,因此方程组通过右侧的简单矩阵矢量乘法和向后替换来求解。
      • QR分解数值稳定性较好。
    • TODO: 为什么要用SVD分解来求解非齐次线性方程组Ax=b?

    • 为什么大多数解线性方程组用LU分解,而不用QR分解?因为QR分解时间复杂度较高,且LU分解容易并行。注意:SVD分解不容易并行看这里

    • TODO: 求解线性方程组Ax=b时,什么时候用QR分解,什么时候用SVD分解?

    • 齐次线性方程组Ax=0的最小二乘解怎么求?

      • 对 A 进行SVD分解后, A 的最小奇异值的右奇异向量就是方程组的一个解。

    QR分解

    注意:除特殊说明外,讨论的矩阵均为实矩阵。

    QR分解是一种正交三角分解。

    • 定义 8.1.1 如果非奇异实矩阵 A 能够表示为正交矩阵 Q 与上三角矩阵 R 的积,即
      A = Q R (8.1.1) A=QR \tag{8.1.1} AQR(8.1.1)
      与 QR 分解类似,还有 RQ、QL, LQ 分解,其中 L 表示下三角矩阵,R表示上三角矩阵。矩阵的 QR 分解、 RQ 分解、 QL 分解、LQ 分解统称为矩阵的正交三角分解。其它类型分解可通过类似 QR 分解的方法获得。

    • 定理 8.1.1 对任意非奇异实矩阵 A 总可以分解为正交矩阵 Q 与上三角矩阵 R 的积,如果要求上三角阵 R 的对角元素均为正数,则分解是唯一的。

      非奇异矩阵是行列式不为 0 的矩阵,也就是可逆矩阵。意思是n 阶方阵 A 是非奇异方阵的充要条件是 A 为可逆矩阵,也即A的行列式不为零。 即矩阵(方阵)A可逆与矩阵A非奇异是等价的概念。——参考360百科

      反之则是非奇异矩阵。

      注意:只有方阵才有奇异矩阵和非奇异矩阵的说法。

    • 定理 8.1.2 定理 8.1.1 可以推广到非方阵的情形。对任意列满秩的实矩阵 A 总可以分解为列正交的矩阵 Q 与上三角矩阵 R 的积, 如果
      要求上三角阵 R 的对角元素均为正数,则这种分解是唯一的。

    • 上面用 Schmidt 正交化方法构造性地证明了非奇异矩阵总可以进行 QR 分解,但是在实践中并不使用 Schmidt 正交化方法对矩阵作 QR 分解,而是利用实用的方法: Givens 方法或 Houesholder方法。

      • Givens 旋转方法,对于 n 阶矩阵需要作 n(n-1)/2 个 Givens 旋转矩阵的积,计算量较大。对于高阶矩阵而言,用下述 Householder(反射)矩阵变换进行 QR 分解更有效。它只需要作(n-1)个 Householder 矩阵的积,其计算量大约是 Givens 旋转方法的一半。

    投影矩阵分解得到内外参

    参考:《计算机视觉中的数学方法》——吴朝福 P182、知乎Camera Calibration

    RQ 分解是实现摄像机内参数、外参数求解的最为简便的方法。令摄像机内参数矩阵为 K,外参数矩阵为 (R, t) ,由于此时的摄像机矩阵是欧氏的,所以可写成下述形式:
    P = α K [ R , t ] = [ α K R , α K t ] P = αK[R, t] = [αKR, αKt] P=αK[R,t]=[αKR,αKt]
    将 P 表示成 P = [ H , p 4 ] P = [H, p_4] P=[H,p4] ,则有
    H = α K R p 4 = α K t H = αKR\\ p_4 = αKt H=αKRp4=αKt
    其中, p 4 p_4 p4 表示P矩阵的第4列。对 H 作 RQ 分解: H = K ^ R ^ H = \hat{K}\hat{R} H=K^R^ ,其中 K ^ \hat{K} K^ 是对角元均为正数的上三角矩阵, R ^ \hat{R} R^ 为正交矩阵,并且种分解是唯一的。三角矩阵 K ^ \hat{K} K^ 与摄像机参数矩阵相差一个正常数倍,由于内参数矩阵最后一个元素为1,所以内参数矩阵必为: K = K ^ 33 − 1 K ^ K = \hat{K}_{33}^{-1}\hat{K} K=K^331K^ ,其中 K ^ 33 \hat{K}_{33} K^33 是矩阵 K ^ \hat{K} K^ 的第(3, 3)元素。最后得到的K有如下形式:
    K = [ f x k c x f y c y 1 ] K = \begin{bmatrix} f_x & k & c_x \\ & f_y & c_y \\ & & 1 \end{bmatrix} K=fxkfycxcy1
    其中 k = t a n θ k = tan\theta k=tanθ θ \theta θ 是图像轴之间的夹角。

    如果正交矩阵 R ^ \hat{R} R^ 是一个旋转矩阵,则它就是摄像机关于世界坐标系的姿态。如果 R ^ \hat{R} R^ 是不是旋转矩阵,则表明所估计的摄像机矩阵与实际的(欧氏)摄像机矩阵反号,即 P 中的齐次子的符号 s g n α = − 1 sgnα = −1 sgnα=1 ,于是 R = − R ^ R = −\hat{R} R=R^ 就是所要求解旋转矩阵。对于平移参数 t,可通过下式来确定:
    { t = K − 1 P 4 , 若 R ^ 是 旋 转 矩 阵 t = − K − 1 P 4 , 若 R ^ 不 是 旋 转 矩 阵 \left\{\begin{array}{l} t = K^{-1}P_4,若\hat{R}是旋转矩阵\\ t = -K^{-1}P_4,若\hat{R}不是旋转矩阵 \end{array}\right. {t=K1P4,R^t=K1P4,R^
    这样,就得到了摄像机内、外参数。

    SVD分解

    • 定理 8.3.2(奇异值分解, SVD) A ∈ R r m × n A \in R_{r}^{m \times n} ARrm×n ,则存在 m 阶正交矩阵 U 和 n 阶正交矩阵 V 使
      A = U [ Σ 0 0 0 ] V T A = U\begin{bmatrix} \Sigma & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & 0 \end{bmatrix}V^T A=U[Σ000]VT

    其中 Σ = d i a g ( σ 1 , σ 2 , . . . , σ r ) Σ = diag(σ_1,σ_2 ,...,σ_r) Σ=diag(σ1,σ2,...,σr) ,即 σ 1 , σ 2 , . . . , σ r σ_1,σ_2 ,...,σ_r σ1,σ2,...,σr 是 A 的非零奇异值。式(8.3.2)通常记为
    A = U D V T A = UDV^T A=UDVT
    注意:奇异值分解既不要求矩阵 A 是可逆的方阵,也不要求它是方阵。

    • 定理 8.3.4 A ∈ R r m × r A ∈ R_{r}^{m \times r} ARrm×r 的奇异值为 σ 1 ≥ σ 2 ≥ . . . ≥ σ r > σ r + 1 = . . . = σ n = 0 σ_1 ≥ σ_2 ≥ ... ≥ σ_r > σ_{r+1} = ... = σ_n = 0 σ1σ2...σr>σr+1=...=σn=0 ( A + Q ) ∈ R r m × r (A+Q) ∈ R_{r}^{m \times r} (A+Q)Rrm×r 的奇异值为 τ 1 ≥ τ 2 ≥ . . . ≥ τ r > τ r + 1 = . . . = τ n = 0 τ_1 ≥ τ_2 ≥ ... ≥ τ_r > τ_{r+1} = ... = τ_n = 0 τ1τ2...τr>τr+1=...=τn=0 ,则必有
      ∣ σ j − τ j ∣ ≤ ∣ ∣ Q ∣ ∣ 2 ( j = 1 , 2 , . . . , n ) |σ_j − τ_j| ≤ || Q ||_2 ( j = 1,2,...,n) σjτjQ2(j=1,2,...,n)
      定理表明,矩阵 A 在摄动 Q 下,奇异值的变化量不超过 ∣ ∣ Q ∣ ∣ 2 || Q ||_2 Q2 。因此,矩阵奇异值的计算具有良好的数值稳定性质。

    • 奇异值分解还可以表示为

      A = σ 1 u 1 v 1 T + σ 2 u 2 v 2 T + . . . + σ r u r v r T (8.3.8) A = σ_1u_1v_1^T + σ_2u_2v_2^T + ... + σ_ru_rv_r^T \tag{8.3.8} A=σ1u1v1T+σ2u2v2T+...+σrurvrT(8.3.8)
      并且称 u i u_i ui 为奇异值 σ i σ_i σi 的左奇异向量, v i v_i vi 为奇异值 $σ_i $的右奇异向量。

    顺便一提:SVD的代码实现中,可以选择只计算U,也可以U和V一起计算,他们的时间复杂度是不一样的。所以你可以根据自己的需求,选择合适的方法。

    最小二乘问题

    考虑线性系统:
    A x = b ( A ∈ R m × n ( m > n ) , b ∈ R m , x ∈ R n ) (8.4.1) Ax = b (A ∈ R^{m \times n} (m > n),b ∈ R^m, x ∈ R^n ) \tag{8.4.1} Ax=b(ARm×n(m>n),bRm,xRn)(8.4.1)
    正常来看,这个方程是没有解的的,但在数值计算领域,我们通常的是其最小二乘解。即求 x ∈ R n x ∈ R^n xRn 使得
    ∣ ∣ A x − b ∣ ∣ 2 = m i n { ∣ ∣ A v − b ∣ ∣ 2 : v ∈ R n } (8.4.2) || Ax-b ||_2 = min\{|| Av-b ||^2 : v \in R^n\} \tag{8.4.2} Axb2=min{Avb2:vRn}(8.4.2)

    X L S = { x ∈ R n : x 是 ( 8.4.1 ) 的 解 } X_{LS} = \{ x \in R^n : x 是(8.4.1)的解\} XLS={xRn:x(8.4.1)}
    则称 X L S X_{LS} XLS 是最小二乘问题(8.4.1)的解集; X L S X_{LS} XLS中范数最小者称为最小范数解,并记作 X L S X_{LS} XLS ,即
    ∣ ∣ x L S ∣ ∣ 2 = m i n { ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 : x ∈ X L S } || x_{LS} ||_2 = min\{|| x ||_2 : x \in X_{LS}\} xLS2=min{x2:xXLS}

    • 命题 8.4.1 x ∈ X L S ⇔ A T ( A x − b ) = 0 x \in X_{LS} ⇔ A^T (Ax − b) = 0 xXLSAT(Axb)=0 。其中,方程 A T ( A x − b ) = 0 A^T (Ax − b) = 0 AT(Axb)=0 称为 A x − b = 0 Ax − b = 0 Axb=0 的正规方程。

    根据命题 8.4.1,有下述推论:

    • 推论 8.4.1: (1) X L S X_{LS} XLS 是凸集; (2) x L S x_{LS} xLS 是唯一的; (3) X L S = { x L S } X_{LS} = \{x_{LS}\} XLS={xLS} 的充分必要条件是 r a n k ( A ) = n rank(A) = n rank(A)=n

    最小二乘问题的求解方法

    (列)满秩最小二乘问题

    如果(8.4.1)中的矩阵 A 是列满秩的,即 rank(A) = n ,则称它为满秩最小二乘问题。下面考虑满秩最小二乘问题的数值算法。

    正规化方法

    将求解问题(8.4.1)转化为求解正规化方程组
    A T A x = A T b (8.4.8) A^TAx = A^Tb \tag{8.4.8} ATAx=ATb(8.4.8)
    由于 rank(A) = n ,所以 A T A A^TA ATA对称正定矩阵,正定矩阵可逆,所以 x L S = ( A T A ) − 1 A T b x_{LS} = (A^TA)^{-1}A^Tb xLS=(ATA)1ATb 但由于逆矩阵 ( A T A ) − 1 (A^TA)^{-1} (ATA)1 不是特殊的矩阵,求解逆矩阵复杂度会很高,所以一般用其他方法。

    因为 A T A A^TA ATA对称正定矩阵,所以(8.4.8)的唯一解 x L S x_{LS} xLS 还可以用 **Cholesky 分解法(它是LU分解的特殊情况)**求得。基本步骤为:

    1. 计算 C = A T A , d = A T b C = A^TA, d = A^Tb C=ATA,d=ATb
    2. 对 C 进行 Cholesky 分解 C = G G T C = GG^T C=GGT ;其中 G 为对角元素均大于零的上三角矩阵;
    3. 求解三角方程 G y = d Gy = d Gy=d 以及 G T x = y G^Tx = y GTx=y 。由于是上三角矩阵,后向迭代的高斯消元即可。

    Cholesky 分解是LU分解的特殊情况。这种算法的缺点很明显:首先, A T A A^TA ATA有时候不可逆,不能得出结果,其次,即便可逆, A T A A^TA ATA数值稳定性不好,会造成误差。

    QR分解方法

    正规化方法通常比较低效,下面介绍QR分解法。

    设 A 有 QR 分解:
    A = Q m × m [ R n × n 0 ] m × n = Q 1 R A = Q_{m \times m}\begin{bmatrix} R_{n \times n} \\ \mathbf{0} \end{bmatrix}_{m \times n} = Q_1R A=Qm×m[Rn×n0]m×n=Q1R
    其中 Q ∈ R m × m Q \in R^{m×m} QRm×m 是正交矩阵, [ R 0 ] ∈ R m × n \begin{bmatrix} R \\ \mathbf{0}\end{bmatrix} \in R^{m×n} [R0]Rm×n, Q1 是 Q 的前 n 列组成的矩阵,即 Q = ( Q 1 n ∣ Q 2 m − n ) Q = ( \underset{n}{Q_1} | \underset{m-n}{Q_2} ) Q=(nQ1mnQ2) R ∈ R n × n R \in R^{n×n} RRn×n 是对角线上元素均为正数的上三角矩阵。

    由于正交矩阵保持范数不变,所以问题 (8.4.1) 等价于
    ∣ ∣ Q T ( A x − b ) ∣ ∣ 2 = m i n { ∣ ∣ Q T ( A v − b ) ∣ ∣ 2 : v ∈ R n } ||Q^T(Ax-b)||_2 = min\{||Q^T(Av-b)||_2:v\in R^n\} QT(Axb)2=min{QT(Avb)2:vRn}

    d = Q T b = [ Q 1 T Q 2 T ] b = [ d 1 d 2 ] d = Q^Tb = \begin{bmatrix} Q_1^T \\ Q_2^T \end{bmatrix}b = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \end{bmatrix} d=QTb=[Q1TQ2T]b=[d1d2]
    则有
    ∣ ∣ Q T ( A x − b ) ∣ ∣ 2 2 = ∣ ∣ [ R 0 ] x − [ d 1 d 2 ] ∣ ∣ 2 2 = ∣ ∣ R x − d 1 ∣ ∣ 2 2 + ∣ ∣ d 2 ∣ ∣ 2 2 ||Q^T(Ax-b)||_2^2 = || \begin{bmatrix} R \\ 0 \end{bmatrix} x- \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \end{bmatrix} ||_2^2 = ||Rx-d_1||_2^2 + ||d_2||_2^2 QT(Axb)22=[R0]x[d1d2]22=Rxd122+d222
    因此, x 是 (8.4.1) 的解当且仅当 x 是方程 R x = d 1 Rx=d_1 Rx=d1 的解。这样 (8.4.1) 的解可由上三角方程组 R x = d 1 Rx=d_1 Rx=d1 求得。

    而上三角方程组用后向迭代的高斯消元是很好求的。

    QR 分解方法的基本步骤如下:

    1. 求 A 的 QR 分解;
    2. 计算 d 1 = Q 1 T b d_1 = Q_{1}^{T}b d1=Q1Tb
    3. 解方程组 R x = d 1 Rx = d_1 Rx=d1

    注意: QR 分解方法比正规化方法有较好的数值稳定性,并且计算结果比正规化方法要精确。当然, QR 方法比正规化方法会付出更大的计算代价。

    SVD 分解方法

    由于 rank(A) = n ,所以 A 必有下述形式的 SVD 分解
    A = U [ Σ n 0 ] V T A = U\begin{bmatrix} \Sigma_n \\ \mathbf{0} \end{bmatrix}V^T A=U[Σn0]VT

    于是,A的广义逆矩阵 A + = V [ Σ n − 1 , 0 ] U T A^+ = V[\Sigma_n^{-1}, \mathbf{0}]U^T A+=V[Σn1,0]UT 。所以,问题(8.4.1)的解为
    x = A + b = V ( Σ n − 1 , 0 ) U T b = u 1 T b σ 1 v 1 + u 2 T b σ 2 v 2 + ⋯ + u n T b σ n v n = ∑ j = 1 n u j T b σ j v j (8.4.9) x = A^+b = V(\Sigma_n^{-1}, 0)U^Tb = \frac{u_1^Tb}{\sigma_1}v_1 + \frac{u_2^Tb}{\sigma_2}v_2 + \dots + \frac{u_n^Tb}{\sigma_n}v_n = \sum_{j=1}^{n}\frac{u_j^Tb}{\sigma_j}v_j \tag{8.4.9} x=A+b=V(Σn1,0)UTb=σ1u1Tbv1+σ2u2Tbv2++σnunTbvn=j=1nσjujTbvj(8.4.9)
    上式给出了 SVD 分解方法关于最小二乘解的计算公式。

    亏秩最小二乘问题

    如果在最小二乘问题(8.4.1)中,矩阵 A 是亏秩的,即 r = rank(A) < n 。此时(8.4.1)有无穷多解在上面介绍的处理满秩问题(8.4.1)的正规化方法, QR 分解方法都将失败,不能给出最小范数解 x L S x_{LS} xLS 。但是 SVD 分解方法仍然有效。具体地说,若 rank(A) = r ,则 A 有 SVD 分解:
    A = U [ Σ r 0 0 0 ( m − r ) × ( n − r ) ] V T A = U\begin{bmatrix} \Sigma_r & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}_{(m-r)\times(n-r)} \end{bmatrix}V^T A=U[Σr000(mr)×(nr)]VT

    因此,
    x = A + b = V [ Σ r − 1 0 0 0 ] U T b = ∑ j = 1 r u j T b σ j v j (8.4.10) x = A^+b = V\begin{bmatrix} \Sigma_r^{-1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & 0 \end{bmatrix}U^Tb = \sum_{j=1}^{r}\frac{u_j^Tb}{\sigma_j}v_j \tag{8.4.10} x=A+b=V[Σr1000]UTb=j=1rσjujTbvj(8.4.10)
    在这里, 可以看到 SVD 分解在数值计算中的作用,不论是满秩的还是亏秩的最小二乘问题, SVD分解方法总能给出它们的求解计算公式,并且有统一的形式。

    齐次最小二乘问题

    对于齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的最小二乘解,有一点不同。

    考虑齐次线性方程组:
    A x = 0 ( A ∈ R m × n ( m > n ) , x ∈ R n , m > n ) Ax = 0 (A ∈ R^{m×n} (m > n), x ∈ R^n ,m > n) Ax=0(ARm×n(m>n),xRn,m>n)
    对应的最小二乘问题是
    ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 = m i n { ∣ ∣ A v ∣ ∣ 2 : v ∈ R n } (8.4.13) || Ax ||_2 =min\{||Av||_2 : v \in R^n\} \tag{8.4.13} Ax2=min{Av2:vRn}(8.4.13)

    显然, x = 0 总是上述最小二乘问题的最小范数解。在实际中,人们所关心的并非是齐次最小二乘问题的零解,而是它的非零解因此,我们总是考虑相应的约束最小二乘问题:(之所以取单位特征向量v,是因为若v是一个解,那乘以任意一个尺度s后还是方程的解)
    ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 = m i n { ∣ ∣ A v ∣ ∣ 2 : v ∈ R n , ∣ ∣ v ∣ ∣ 2 = 1 } (8.4.13) || Ax ||_2 =min\{||Av||_2 : v \in R^n, ||v||_2=1\} \tag{8.4.13} Ax2=min{Av2:vRn,v2=1}(8.4.13)
    或者等价地写成:
    { m i n    ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 s u b j e c t    t o    ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = 1 (8.4.15) \left\{ \begin{aligned} & min \; ||Ax||_2^2 \\ & subject \; to \; ||x||_2 = 1 \end{aligned} \right. \tag{8.4.15} {minAx22subjecttox2=1(8.4.15)

    • 推论 8.4.6 若 rank(A) = n −1 时, (8.4.15)有唯一解(rank(A)=n时齐次线性方程组只有零解),这个唯一解是 A T A A^TA ATA零特征值的单位特征向量,或者说是 A 的零奇异值的右奇异向量。当数据有误差时, A T A A^TA ATA最小特征值的单位特征向量(或者说是 A 的最小奇异值的右奇异向量)是(8.4.15)的一个解(当数据无误差时,最小特征值就是零)。

      个人证明一下,可能不严谨:

      矩阵 A ∈ R r m × n ( m > n ) , x ∈ R n , m > n A ∈ R_r^{m×n} (m > n), x ∈ R^n ,m > n ARrm×n(m>n),xRn,m>n .

      一、若矩阵A的秩rank(A) = r ( r<n),对矩阵A进行SVD分解
      A = U [ Σ r 0 0 0 ( m − r ) × ( n − r ) ] V T A = U\begin{bmatrix} \Sigma_r & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0}_{(m-r)\times(n-r)} \end{bmatrix}V^T A=U[Σr000(mr)×(nr)]VT
      其中正交矩阵 U m × m U_{m \times m} Um×m V n × n V_{n \times n} Vn×n 的列向量分别为 u 1 , u 2 , . . . , u m u_1,u_2,...,u_m u1,u2,...,um v 1 , v 2 , . . . , v m v_1,v_2,...,v_m v1,v2,...,vm ,则将SVD分解写成向量的形式:
      A = σ 1 u 1 v 1 T + σ 2 u 2 v 2 T + . . . + σ r u r v r T A = \sigma_1u_1v_1^T + \sigma_2u_2v_2^T + ... + \sigma_ru_rv_r^T A=σ1u1v1T+σ2u2v2T+...+σrurvrT
      其中 σ i \sigma_i σi 是矩阵A的奇异值,也是 Σ r \Sigma_r Σr 对角线上元素,并且 σ 1 ≥ σ 2 ≥ . . . ≥ σ r ≥ 0 \sigma_1 \ge \sigma_2 \ge ... \ge \sigma_r \ge 0 σ1σ2...σr0 。则
      ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 = ∣ ∣ σ 1 u 1 v 1 T x + σ 2 u 2 v 2 T x + . . . + σ r u r v r T x ∣ ∣ 2 2 ||Ax||_2^2 = ||\sigma_1u_1v_1^Tx + \sigma_2u_2v_2^Tx + ... + \sigma_ru_rv_r^Tx||_2^2 Ax22=σ1u1v1Tx+σ2u2v2Tx+...+σrurvrTx22
      由于 V n × n V_{n \times n} Vn×n 是正交矩阵,它的列向量都为单位向量并且相互正交(向量积为0),所以当取 x = v i , i > r , 满 足 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = 1 x = v_i, i \gt r, 满足||x||_2 = 1 x=vi,i>r,x2=1 时, v i v_i vi v 1 , v 2 , . . . , v r v_1,v_2,...,v_r v1,v2,...,vr 都正交,向量积为0,所以 ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 = 0 ||Ax||_2^2 = 0 Ax22=0 x = v i , i > r x = v_i, i \gt r x=vi,i>r 是(8.4.15)的解(若rank(A)=n-1则这个解是唯一解,否则若rank(A)<n-1,则这个解只是其中的一个解,事实上,在带约束的条件下,它所有的解就是所有0奇异值对应的右奇异向量)。

      二、若矩阵A的秩rank(A) = n (列满秩),对矩阵A进行SVD分解
      A = U [ Σ n 0 ( m − n ) × 1 ] V T A = U\begin{bmatrix} \Sigma_n \\ \mathbf{0}_{(m-n)\times1} \end{bmatrix}V^T A=U[Σn0(mn)×1]VT
      写成向量的形式:
      A = σ 1 u 1 v 1 T + σ 2 u 2 v 2 T + . . . + σ n u n v n T A = \sigma_1u_1v_1^T + \sigma_2u_2v_2^T + ... + \sigma_nu_nv_n^T A=σ1u1v1T+σ2u2v2T+...+σnunvnT
      当取 x = v n , 满 足 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = 1 x = v_n, 满足||x||_2 = 1 x=vn,x2=1 时, v n v_n vn v 1 , v 2 , . . . , v n − 1 v_1,v_2,...,v_{n-1} v1,v2,...,vn1 都正交,向量积为0,而 v n , u n v_n,u_n vn,un 都是单位正交向量,有 v n T v n = 1 , ∣ ∣ u n ∣ ∣ 2 2 = 1 v_n^Tv_n = 1, ||u_n||_2^2 = 1 vnTvn=1,un22=1 ,所以 ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 = ∣ ∣ σ n u n ∣ ∣ 2 2 = σ n 2 ∣ ∣ u n ∣ ∣ 2 2 = σ n 2 ||Ax||_2^2 = ||\sigma_nu_n||_2^2 = \sigma_n^2||u_n||_2^2 = \sigma_n^2 Ax22=σnun22=σn2un22=σn2 ,而 σ n \sigma_n σn 是所有奇异值中最小的。

      注意:这里没有证明为什么 x = v n x = v_n x=vn 是此时最小二乘解,只是说明了当取这个值时,似乎它能使得(8.4.15)在约束条件下最小。

      第二种情况还可以参考《计算机视觉中的数学方法》:

      在这里插入图片描述

      另外,看一下《计算机视觉中的多视图几何 第一版》,讲得特别好,言简意赅且容易理解:

      在这里插入图片描述

    数值稳定性问题

    参考:视觉SLAM常见的QR分解SVD分解等矩阵分解方式求解满秩和亏秩最小二乘问题(最全的方法分析总结)

    为什么需要矩阵分解?

    • 一方面,由于一些超定方程或欠定方程,没有精确解,只能通过分解矩阵的方式求其最小二乘解;
    • 另一方面,当数据量很大时,将一个矩阵分解为若干个矩阵的乘积可以大大降低存储空间;
    • 其次,可以减少真正进行问题处理时的计算量,毕竟算法扫描的元素越少完成任务的速度越快,这个时候矩阵的分解是对数据的一个预处理;
    • 再次,矩阵分解可以高效和有效的解决某些问题;
    • 最后,矩阵分解可以提高算法数值稳定性,关于这一点下面有进一步的说明。

    当数据不存在误差时,用一般的方法求解线性方程组即可;但是当我们得到的数据有误差,或者由于计算机精度问题导致误差时,一般的方法求解线性方程组往往会产生很大误差,这里举例说明。例如方程:
    { 5 x 1 + 7 x 2 = 0.7 7 x 1 + 10 x 2 = 1 ⇒ A x = b A = [ 5 7 7 10 ] , x = [ x 1 x 2 ] , b = [ 0.7 1 ] . \left\{ \begin{aligned} & 5x_1 + 7x_2 = 0.7 \\ & 7x_1 + 10x_2 = 1 \end{aligned} \right. \Rightarrow Ax=b \\ A = \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 7 & 10 \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 0.7 \\ 1 \end{bmatrix}. {5x1+7x2=0.77x1+10x2=1Ax=bA=[57710],x=[x1x2],b=[0.71].
    直接对方程组求解可以得到:
    x = [ 0.0 0.1 ] x = \begin{bmatrix} 0.0 \\ 0.1 \end{bmatrix} x=[0.00.1]
    现在对方程中的 b 进行一个微小扰动:
    b = [ 0.69 1.01 ] , 其 中 扰 动 项 为 [ − 0.01 0.01 ] b = \begin{bmatrix} 0.69 \\ 1.01 \end{bmatrix}, 其中扰动项为 \begin{bmatrix} -0.01 \\ 0.01 \end{bmatrix} b=[0.691.01],[0.010.01]
    扰动后,直接对方程组求解可以得到:
    x = [ − 0.17 0.22 ] x = \begin{bmatrix} -0.17 \\ 0.22 \end{bmatrix} x=[0.170.22]
    结果变成了上式,可以看出当方程组中的常数矩阵发生微小的扰动时,会导致最终的结果发生较大的变化,这种结果的不稳定不是因为方程求解的方法,而是方程组矩阵本身的问题。这回给我们带来很大的危害,例如像上面的情况,计算机求解出现舍入误差,矩阵本身不好的话会直接导致结果失败。
    当对矩阵A或者b进行小扰动的时候,最后影响结果的是 ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ ||A|| \cdot ||A^{-1}|| AA1,与矩阵病态性成正相关。定义矩阵的条件数 c o n d ( A ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ cond(A)= ||A|| \cdot ||A^{-1}|| cond(A)=AA1 来描述矩阵的病态程度,一般认为小于100的为良态,条件数在100到1000之间为中等程度的病态,条件数超过1000存在严重病态。以上面的矩阵A为例,采用2范数的条件数 c o n d ( A ) = 222.9955 cond(A)=222.9955 cond(A)=222.9955 矩阵处于中等病态程度。
    矩阵其实就是一个给定的线性变换,特征向量描述了这个线性变换的主要方向,而特征值描述了一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例,对开篇的例子进一步观察发现,A是个对称正定矩阵,A的特征值分别为 λ 1 = 14.93303437 λ1=14.93303437 λ1=14.93303437 λ 2 = 0.06696563 λ2=0.06696563 λ2=0.06696563 ,两个特征值在数量级上相差很大,这意味着b发生扰动时,向量x在这两个特征向量方向上的移动距离是相差很大的——对于λ1对应的特征向量只需要微小的移动就可到达b的新值,而对于λ2,由于它比起λ1太小了,因此需要x做大幅度移动才能到达b的新值,于是悲剧就发生了.

    Ax=0与Ax=b的选择

    对于有些问题比较灵活,既可以构建出Ax=0的方程组,也可以构建出Ax=b的方程组,那么该如何选择呢?

    根据我看到的,好像大都选择构建成Ax=0的形式去解,我也不知道为什么,这里说一下我个人的看法。

    解Ax=b需要求解A的SVD分解 A = U D V T A=UDV^T A=UDVT ,解Ax=0的最小二乘解,只需要用V的最后一列向量作为解即可,而SVD分解是可以讲U、D和V分开求的,可以只求部分,只求部分时,时间复杂度会大大降低,所以Ax=0的一个优势就是:不用求解完整的SVD,从而减少时间复杂度。(具体SVD的求法,可以自行搜索)

    代码实现

    为了更好地理解本章的内容,下面给出两个求解线性方程组的实战代码。

    如果你不知道怎么运行下面代码,可以点击这里下载完整的工程,工程采用VS2015构建。

    利用SVD求解非齐次线性方程组Ax=b

    下面代码仅依赖于eigen库,在VS2015上调试通过。

    #include <iostream>
    #include <ctime>
    #include "Eigen/Dense"
    
    using namespace std;
    using namespace Eigen;
    
    const int MOD = 100;
    int main() {
    
    	// 构造输入数据
    	uint32_t seed = time(0);
    	srand(seed); // 随机初始化种子
    	MatrixXd A(3, 3);
    	// 当 A 是一个正常的可逆矩阵时,x的解应该是唯一的
    	A << rand() % MOD, rand() % MOD, rand() % MOD,
    		rand() % MOD, rand() % MOD, rand() % MOD, 
    		rand() % MOD, rand() % MOD, rand() % MOD;
    
    	 当 A 的秩为2时,Ax=b是一个欠定方程组,x的解有无数个,求解出来的可能与真值不同,但是Ax的结果仍然为b
    	 注释这一行去查看一下结果
    	//A << rand() % MOD, rand() % MOD, rand() % MOD,
    	//	rand() % MOD, rand() % MOD, rand() % MOD,
    	//	0, 0, 0;
    
    	// TODO:当 A 为4x3矩阵时,Ax=b是一个超定方程组,只能求其最小二乘解
    
    	cout << "A: \n" << A << "\n\n";
    
    	MatrixXd x(3, 1);
    	x << rand() % MOD, rand() % MOD, rand() % MOD;
    
    	MatrixXd b = A*x;
    
    	// 求解方程 Ax=b,未知量为x
    	// 对系数矩阵A进行SVD,A = U*D*V^t
    	JacobiSVD<MatrixXd> svd(A, ComputeFullU | ComputeFullV); // SVD时不仅计算奇异值,还计算完整的U和V
    
    	MatrixXd U_inv = svd.matrixU().transpose(); //正交矩阵的逆就是它的转置
    	MatrixXd V = svd.matrixV(); 
    	cout << "U_inv: \n" << U_inv << "\n\n";
    	cout << "V: \n" << V << "\n\n";
    
    	// 求对角矩阵的逆,注意由于有0奇异值,对角阵只对左上角非0子矩阵求逆,其他部分为0
    	MatrixXd d = svd.singularValues();
    	MatrixXd D_inv(3, 3);
    	for (int i = 0; i < d.size(); ++i) {
    		// 若奇异值大于0
    		if (d(i) > 1e-6)
    			D_inv(i, i) = 1.0/d(i);
    		else
    			break;
    	}
    	cout << "D_inv: \n" << D_inv << "\n\n";
    
    	// 求A的伪逆。A_inv = V*D_inv*U^t
    	MatrixXd A_inv = V * D_inv * U_inv;
    
    	// 求解x,并对比与真值是否相同。
    	// 当 A 的秩为2时,Ax=b是一个欠定方程组,x的解有无数个,求解出来的可能与真值不同,但是Ax的结果仍然为b
    	MatrixXd x_solve = A_inv * b;
    	cout << "x: \n" << x << "\n\n";
    	cout << "x_solve: \n" << x_solve << "\n\n";
    
    	// 对比b,b应该总是相同的
    	cout << "b: \n" << b << "\n\n";
    	cout << "A*x_solve: \n" << A*x_solve << "\n\n";
    
    	return 0;
    }
    

    利用SVD求解齐次线性方程组Ax=0

    下面代码仅依赖于eigen库,在VS2015上调试通过。

    #include <iostream>
    #include <ctime>
    #include "Eigen/Dense"
    
    using namespace std;
    using namespace Eigen;
    
    const int MOD = 100;
    int main() {
    
    	// 构造输入数据
    	uint32_t seed = time(0);
    	srand(seed); // 随机初始化种子
    	MatrixXd A(3, 3);
    	 当 A 是满秩矩阵时,只有零解
    	//A << rand() % MOD, rand() % MOD, rand() % MOD,
    	//	rand() % MOD, rand() % MOD, rand() % MOD, 
    	//	rand() % MOD, rand() % MOD, rand() % MOD;
    
    	// 当 A 是亏秩矩阵时,有非零解
    	// 注释这一行去查看一下结果
    	A << rand() % MOD, rand() % MOD, rand() % MOD,
    		rand() % MOD, rand() % MOD, rand() % MOD,
    		0, 0, 0;
    
    
    	cout << "A: \n" << A << "\n\n";
    
    	// 求解方程 Ax=b,未知量为x
    	// 对系数矩阵A进行SVD,A = U*D*V^t
    	JacobiSVD<MatrixXd> svd(A, ComputeFullV); // SVD时不仅计算奇异值,还计算完整的V,不需要计算U,可以减少SVD的计算量
    	MatrixXd V = svd.matrixV(); 
    	cout << "V: \n" << V << "\n\n";
    
    	// 求解x。Ax=0方程组有无穷多解,V的最后一列列向量是一个非零解,且|x|=1
    	MatrixXd x_solve = V.col(V.cols()-1);
    	cout << "x_solve: \n" << x_solve << "\n\n";
    
    	// 当 A 是满秩矩阵时,只有零解,没有非零解,则A*x_solve 与 0 相差比较大
    	// 当 A 是亏秩矩阵时,有非零解,则 A*x_solve = 0
    	cout << "A*x_solve: \n" << A*x_solve << "\n\n";
    
    	return 0;
    }
    

    附录——一些概念

    • 齐次线性方程组:Ax=0
    • 非齐次线性方程组:Ax=b
    • 超定方程 | 超定方程组是指方程个数大于未知量个数的方程组。对于方程组Ra=y,R为n×m矩阵,如果R列满秩,且n>m。则方程组没有精确解,此时称方程组为超定方程组。超定方程一般是不存在解的矛盾方程,解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。
    • 欠定方程 | 方程个数小于未知量个数的方程组。
    • 正交矩阵一定是方阵

    参考资料

    展开全文
  • 因为的是python(numpy,scipy)求解矩阵,不能跟matlab这样强大的软件对比,有些问题在matlab里面可能不会出现,但是在python里面就会出现,比如下面要讲的这个问题,就是用到了np.linalg.solve求解线性方程组Ax=...

    这里写自定义目录标题

    问题描述

    因为用的是python(numpy,scipy)求解矩阵,不能跟matlab这样强大的软件对比,有些问题在matlab里面可能不会出现,但是在python里面就会出现,比如下面要讲的这个问题,就是用到了np.linalg.solve求解线性方程组Ax=B,时报的错,下面一一讲解,以及修改方法

    问题:Singular matrix

    求解时要求A一定是方阵[n,n],
    x=np.linalg.solve(A,B)
    报错“LinAlgError: Singular matrix” 是指你的A矩阵是奇异矩阵,即A的行列式为0
    np.linalg.det(A) =0
    尤其是你的矩阵比较大的时候,如果是稀疏矩阵,特别容易出现求解的矩阵行列式为0的情况,出现这个问题的时候可以通过将对角线的元素增加一个非常小的量(1e-6),强行改变他的行列式的值(注意如果对角线本来就有元素,只将之前为0的元素改变成小量即可,否则会改变原先的值)

    a = np.ones([100,100])
    b = np.zeros([2,100])
    Y = np.linalg.solve(a, b[0])
    print(Y)
    
    LinAlgError: Singular matrix
    

    修改后

    a = np.ones([100,100])
    b = np.zeros([2,100])
    for i in range(a.shape[0]):
        a[i,i]=1e-6
    Y = np.linalg.solve(a, b[0])
    [0,0,0,     ,0,0,0]
    
    展开全文
  • 五、广义逆矩阵求解线性方程组 1. 广义逆矩阵A+ 为解决各种线性方程组(系数矩阵是非方阵和方阵为奇异),将逆矩阵的概念推广到"不可逆方阵"和"长方形矩阵"上,从而产生了"广义逆矩阵"有了广义逆矩阵之后,可以给出...

    五、广义逆矩阵–求解线性方程组

    1. 广义逆矩阵A+

    为解决各种线性方程组(系数矩阵是非方阵和方阵为奇异),将逆矩阵的概念推广到"不可逆方阵"和"长方形矩阵"上,从而产生了"广义逆矩阵"有了广义逆矩阵之后,可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种"解"的统一描述!

    在这里插入图片描述

    求加号逆的方法有两种:奇异值分解(SVD)、满秩分解(FRD)。其中FRD的实现要简单的多!下面给出用满秩分解求加号逆的定理:在这里插入图片描述

    2. 加号逆求解线性方程组

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    展开全文
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  • 1 ,逆矩阵 : ...矩阵 : 对空间进行线性拉扯 逆矩阵 : 对空间进行反运动 4 ,代数余子式 : 去掉本行本列的行列式 例子 : 求 A11 的代数余子式 注意 : 1 ,去掉本行本列 2 ,符号为 -1 的 (i
  • 可以方便地进行矩阵的分解,求解线性方程组,以及进行多项式操作等。在输入矩阵时可 以直接输入数学表达式包括复数,例如可以直接输入sin(i+1)^2,而不同提前计算具体数值 。可以直接输入pi。使用说明在压缩包里。...
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  • matlab求解线性方程组

    万次阅读 多人点赞 2019-07-18 17:16:13
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空空如也

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如何用矩阵求解线性方程组