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  • 本节我们讨论如何用LUP分解法求解线性方程组,对于含有n个未知变量x1,x2,x3,…,xn的线性方程组: 同时满足方程组中所有方程的一个数值集:x1,x2,…,xn称为方程组的解。 将方程组改写成矩阵向量等式: 记为: ...

    本节我们讨论如何用LUP分解法求解线性方程组,对于含有n个未知变量x1,x2,x3,…,xn的线性方程组:

    image

    同时满足方程组中所有方程的一个数值集:x1,x2,…,xn称为方程组的解。

    将方程组改写成矩阵向量等式:

    image

    记为:

    Ax=b

    如果A为非奇异矩阵,那么A存在逆矩阵,亦即方程组有解。

    LUP分解的思想是找出三个n*n的矩阵,L、U和P,满足

    PA=LU

    其中,L是一个单位下三角矩阵,U是一个上三角矩阵,P是一个置换矩阵。则称满足上述等式的L、U和P为矩阵A的LUP分解

    等式Ax=b两边同乘以P,变形为PAx=Pb,亦即:

    LUx=Pb

    设y=Ux,其中x就是我们要求的向量解。我们首先通过正向替换求解下三角系统:

    Ly=Pb

    得到未知变量y。然后,通过正向替换求解上三角系统:

    Ux=y

    得到未知变量x。

    由于置换矩阵P是可逆的,等式PA=LU两边同乘以P-1,得:

    A=P-1LU

    =P-1Ly

    =P-1Pb

    =b

    于是x就是Ax=b的解。

    调用方法:

        linear::CLinearEqualtion l(3);
        l.init_A("A.txt");
        l.init_b("b.txt");
        l.lu_decomposition();
        l.lup_solve();
        l.show_y();
        l.show_x();
        l.save_solution();

    C++实现:

    #include <iostream>
    #include <vector>
    #include <cassert>
    #include <fstream>
    
    using namespace std;
    
    namespace linear
    {
    #define array_1(__type) std::vector<__type>
    #define array_2(__type) std::vector<array_1(__type)>
    
        class CLinearEqualtion
        {
            /*
            使用方法:
            1. 定义计算方程组的类对象,并初始化其系数矩阵的大小
            linear::CLinearEqualtion l(3);
    
            2. 读取系数阵 A
            l.init_A("A.txt");
    
            3. 读取 b
            l.init_b("b.txt");
    
            4. 对系数矩阵进行lu分解
            l.lu_decomposition();
    
            5. 求解方程组
            l.lup_solve();
    
            6. 显示反向替换的解
            l.show_y();
    
            7. 显示正向替换的解
            l.show_x();
    
            8. 保存方程的解
            l.save_solution();
    
            A.txt
            1    5    4
            2    0    3
            5    8    2
    
            b.txt
            12
            9
            5
    
            x[0] = -0.157895
            x[1] = -0.0526316
            x[2] = 3.10526
            */
        private:
            array_2(double) A;
            array_2(double) L;
            array_2(double) U;
    
            array_1(double) b;
            array_1(int) p;
    
            array_1(double) x;
            array_1(double) y;
    
        public:
            CLinearEqualtion(int n)
            {
                assert(n>1);
    
                A = array_2(double)(n);
                L = array_2(double)(n);
                U = array_2(double)(n);
                for (int i= 0; i < n;i++)
                {
                    A[i] = array_1(double)(n);
                    L[i] = array_1(double)(n);
                    U[i] = array_1(double)(n);
                }
                b = array_1(double)(n);
                x = array_1(double)(n);
                y = array_1(double)(n);
                p = array_1(int)(n);
            } // !CLinearEqualtion(int n)
            virtual ~CLinearEqualtion(){} // !virtual ~CLinearEqualtion()
    
        public:
            void init_A(array_2(double) _A)
            {
                for (int i = 0; i < _A.size(); i++)
                    A[i].assign(_A[i].begin(), _A[i].end());
            } // !void init_A(array_2(double) _A)
    
            void init_A(std::string _fileName)
            {
                std::ifstream in(_fileName.c_str());
                int i = 0;
                int j = 0;
                while(!in.eof())
                {
                    double e = 0;
                    in>>e;
                    std::cout<<e<<std::endl;
                    A[i][j] = e;
                    if (j==A.size() - 1)
                    {
                        i++;
                        j = 0;
                    }
                    else
                    {
                        j++;
                    }
                }
            } // !void init_A(std::string _fileName)
    
            void init_b(std::string _fileName)
            {
                std::ifstream in(_fileName.c_str());
                int i = 0;
                while(!in.eof())
                {
                    double e = 0;
                    in>>e;
                    std::cout<<e<<std::endl;
                    b[i++] = e;
                }
            } // !void init_b(std::string _fileName)
    
            void lu_decomposition()
            {
                int n = A.size(); // get array size
                for (int i = 0; i < n; i++)
                    p[i] = i;
                for (int k = 0; k < n; k++)
                {
                    int max = 0;
                    int k_ = k;
                    // get max e in col k.
                    for (int i = k; i < n; i++)
                    {
                        if (fabs(A[i][k]) > max)
                        {
                            max = fabs(A[i][k]);
                            k_ = i;
                        }
                    }
                    // make sure not all is zero.
                    if (max == 0)
                        assert("singular matrix");
    
                    // swap cur row,max row.
                    if (k != k_)
                    {
                        swap(p[k], p[k_]);
                        for (int i = 0; i < n; i++)
                            swap(A[k][i], A[k_][i]);                    
                    }
                    
                    for (int i = k + 1; i < n; i++)
                    {
                        // gen v
                        A[i][k] /= A[k][k];
                        for (int j = k + 1; j < n; j++)
                        {
                            A[i][j] -= A[i][k] * A[k][j];
                        }
                    }
                }
    
                init_LU();
            } // !void lu_decomposition()
    
            void init_LU()
            {
                int n = A.size(); // get array size
    
                for (int i = 0; i < n; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < n; j++)
                    {
                        if (i > j)
                        {
                            L[i][j] = A[i][j];
                        } 
                        else
                        {
                            U[i][j] = A[i][j];
                            if (i == j)
                                L[i][i] = 1;
                        }
                    }
                }
    
            } // !void init_LU()
    
            void lup_solve()
            {
                int n = A.size();
                int i = 0, j = 0;
                for (i = 0; i < n; i++)
                {
                    x[i] = 0;
                    y[i] = 0;
                }
    
                for (i = 0; i < n; i++)
                {
                    y[i] = b[p[i]];
                    for (j = 0; j < i; j++)
                        y[i] -= L[i][j] * y[j];
                }
                for (i = n - 1; i >= 0; i--)
                {
                    double delt = y[i];
                    for (j = n - 1; j > i; j--)
                        delt -= U[i][j] * x[j];
                    x[i] = delt / U[i][j];
                }
            } // !void lup_solve()
    
            void show_y()
            {
                int n = A.size();
                std::cout << "###" << std::endl;
                for (int i = 0; i < n; i++)
                {
                    std::cout << "y[" << i << "]=" << y[i] << std::endl;
                }
            } // !void show_y()
    
            void show_x()
            {
                int n = A.size();
                std::cout << "###" << std::endl;
                for (int i = 0; i < n; i++)
                    std::cout << "x[" << i << "]=" << x[i] << std::endl;
            } // !void show_x()
    
    
            void save_solution()
            {
                int n = A.size();
                ofstream out("result.txt", ios::out);
                out << "-------------------------------------" << std::endl;
                std::cout << "-------------------------------------" << std::endl;
                for (int i = 0; i < n; i++)
                {                
                    out << "x[" << i << "] = " << x[i]<< std::endl;
                    std::cout << "x[" << i << "] = " << x[i]<< std::endl;
                }
                out << "-------------------------------------" << std::endl;
                std::cout << "-------------------------------------" << std::endl;
                out.close();
            }
        };
    }

    链接:http://pan.baidu.com/s/1hqJes4k 密码:elwz

    转载于:https://www.cnblogs.com/BigBigLiang/p/4962553.html

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  • 前期回顾 在上期教程中,我们学习了下面的知识点: 如何声明、定义、调用函数(文件)。...在数学中经常遇见的一个问题就是方程求解,特别是线性代数中,很经常遇见线性方程组求解问题,今天就来Matla...

    前期回顾

    在上期教程中,我们学习了下面的知识点:

    1. 如何声明、定义、调用函数(文件)。
    2. 给函数传递参数、接受函数的返回值。
    3. matlab中矩阵的简单使用和下标索引。
    4. 给我们代码模块化
    5. matlab中for循环(遍历)的使用。
    6. 如何从一个文件调用另一个函数文件。

    本期目标:

    在数学中经常遇见的一个问题就是方程求解,特别是线性代数中,很经常遇见线性方程组的求解问题,今天就来用Matlab来探讨线性方程组的求解问题。

    正文开始啦

    一般方程:

    一般来讲,我们看到的方程都是这个样式的:ax = b,其中a、b都是常数,很显然,这时候 x 的解就是b/a。

    也就是说,我们拿后面的值除以前面的系数,即可得到解X。

    方程组(目前仅讨论方程个数和未知数个数一样的情况):

    刚刚我们讲的是一般方程,那推广到线性方程组,假设我们现在有个这样的方程:

    \left\{\begin{matrix} 4x_{1} + x_{2} -2x_{3} = 1 \\2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2 \\3x_{1} + x_{2} - x_{3} = 3 \end{matrix}\right.

    相信大家运用高中知识也能很快的求出这个方程的答案,但是,如果四阶?五阶甚至更高呢?不如转换为矩阵的方法。

    根据线性代数的知识,我们可以得到这样一个增广矩阵:

    \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & 1\\ 2 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}

    那我们令系数矩阵是A,结果矩阵是B,这个解矩阵X该怎么算呢?

    额外知识 

    此部分提供给还未学过线性代数的同学看,如果知道基本知识可以先行跳过。

    上面的矩阵方程可以视为这样的矩阵方程:\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}

    其中,令X为未知数的矩阵,前面的三乘三的系数矩阵称为A,等号右边的结果矩阵称为B,方程组即可表述为:

    AX = B,求X。

    矩阵A的列数和矩阵X的行数相同时才可写成此种形式,因为当A的列数(这里是三列)等于X的行数(这里是三行)才能进行矩阵乘法运算。

    矩阵乘法运算是这样的:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}*b_{1} + a_{12}*b_{2} \\ a_{21}*b_{1} + a_{22}*b_{2} \end{bmatrix}

    易看出:如果A是 n 行 m 列,则X需要是 m 行 s 列才可相乘,且结果矩阵必是 n 行 s 列。

    所以按照上面的运算法则,我们就可以看出,矩阵方程和原来的方程组是等价的。

    回到正文:

    我们已经得到了方程组对应的矩阵方程:\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix},那么编程的第一件事就应该是在程序里面表述这个方程组。下面看代码:

    %% 方程组求解
    clc;
    clear;
    A = [4 1 -2;
         2 2  1;
         3 1 -1];
    % 定义一个3行3列的矩阵A,行与行之间使用分号隔开,每一行之间的元素使用空格隔开
    B = [1;
         2; 
         3]; %定义矩阵B
    disp(A);disp(B); %显示A和B

    现在我们便可以在程序中得到两个矩阵,分别是A和B,定义的时候也可以不换行,但是换行定义看起来毕竟方便、易读。

    运行代码就能看到我们定义的这两个矩阵:

    同样,我们也可以在右边的工作区查看我们的这两个变量:

    在这个工作区,我们看到的数据会更加的直观,就像图中这样:

    现在,我们得到了两个矩阵,万事俱备,只欠东风,我们现在只需要一个除法即可得出这个解矩阵X。

    现在在最后面加入这个代码:

    X = A\B;  % 左除
    disp(X);

    可能会有些人觉得奇怪,怎么A在左边并且这个写的是斜杠呢?

    如果我们学习过矩阵便知道,矩阵的乘法是没法前后调换的,即 AB 不等于 BA,也就是说,AX = B,要求这个X,我们需要在两边的左边同时除以A(严谨说法叫做乘以A的逆矩阵),即 1/A * A *X = 1/A * B,也叫做左除,而在matlab中,左除符号就是这个“ \ ”符号,所以应这样使用,即 A \ B代表 1/A * B(严谨来说,就是A的逆矩阵*B),即可得到X。

    运行后我们便可看到解矩阵的结果:

    大家可以手动动手验证一下看看对不对哈哈哈。

    左除和右除

    上面讲的是左除,下面我们来说说右除,也就是在右边乘以1/A(严谨说法叫做A的逆矩阵),那么这个方程组应该是这样的:

    XA = B

    如果A和B不变的话,对应的矩阵应该是这样的:

    \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}

    然后根据乘法的运算法则,可以发现,这个方程是没法解的(因为根本就没法乘,前面矩阵1列,后面矩阵3行,不相等,没法进行乘法运算)

    所以,如果进行这样的乘法运算,我们需要把X的解矩阵变换(注意,变换后乘出来的结果和之前的方程组不一样,不一样!):

    \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 2& 3 \end{bmatrix}

    那么根据运算律,我们可以得到现在的方程组是:

    \left\{\begin{matrix} 4x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 1\\ x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2\\ 2x_{1} + x_{2} - x_{3} = 3 \end{matrix}\right.

    注:不一定有解,毕竟是现改的。

    那么这个X如何求呢?

    根据原方程: XA = B,我们需要在等号两端的右边同时乘以 1/A(严谨来说是A的逆矩阵),即:

    X * A * 1/A = B * 1/A(左右千万不能放错) ==> X = B*1/A

    在代码中,右除是这样写的(注意代码改动,因为矩阵B变了):

    %% 方程组求解,右除
    clc;
    clear;
    A = [4 1 -2;
         2 2  1;
         3 1 -1];
    % 定义一个3行3列的矩阵A,行与行之间使用分号隔开,每一行之间的元素使用空格隔开
    B = [1 2 3]; %定义矩阵B
    disp(A);disp(B); %显示A和B
    X = B/A;  % 右除
    disp(X);

    然后运行:

    嗯。。。竟然还是有解的哈哈哈哈。

    结束语:

    今天我们学习了如下的知识:

    1. 在matlab中定义矩阵。
    2. 线性代数矩阵乘法运算、求解知识。
    3. 关于矩阵乘法左除、右除的区别。
    4. 在matlab中求解两种矩阵方程的方法。

    今天就到此结束啦,东西虽少,但是干货满满,希望大家马上学会!!!

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  • 矩阵线性方程

    2020-02-24 17:58:10
    用矩阵表示方程组 我们使用矩阵来包含一个方程组的主要信息 上面一个是系数矩阵,一个是曾广矩阵 那么如何求解,首先我们看看先后关系 答案很明显了,解方程也就是对矩阵的变换 我们来看组无解的情况: 当化成第...

    学习自《linear algebra and its application》

    二元线型方程

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    我们熟知的两个未知数两个方程组的解,等价于两条直线的交点
    可能交于一点(一个解),平行(无解),重合(两条直线上每个点交点)
    有交点相容,无交点不相容

    用矩阵表示方程组

    我们使用矩阵来包含一个方程组的主要信息
    在这里插入图片描述
    上面一个是系数矩阵,一个是曾广矩阵

    那么如何求解,首先我们看看先后关系
    在这里插入图片描述
    答案很明显了,解方程也就是对矩阵的变换

    我们来看组无解的情况:
    在这里插入图片描述
    当化成第一个三角形时 0=520=\frac {5}{2} 显然不成立

    解任意线型方程组

    下面是带来解任意线型方程组的行化简算法

    阶梯型

    1. 每一非零行在每一零行之上
    2. 每一行的先导元素所在列位于前一行先导元素的釉面
    3. 某一先导元素所在的列下方元素都是0
      在这里插入图片描述

    简化阶梯型

    1. 以上三点
    2. 每一非0行的先导元素是1
    3. 每一先导元素1是该元素所在列的唯一非0元素
      在这里插入图片描述

    例子:简化下面的增广矩阵
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    由最左边的非零列开始,作为第一个主元列,然后选取一个非零元素作为主元,若有必要的话,兑换两行
    用倍加行变换将主元下面的元素变为0
    在这里插入图片描述
    从第二行开始由最左边的非零列开始,选取新主元行的主元,然后用倍加行变换将主元下面的元素变为0
    在这里插入图片描述
    选取第三行的,直接就成立了,到此为止,阶梯型有了,如果需要简化阶梯型,还需要下述步骤

    在这里插入图片描述

    首先我们将最三行的,所在列其他的变为0(本身为1,所以不需要缩小)

    在这里插入图片描述
    然后我们处理第二行的,这是需要缩小和所在列其他的变为0

    在这里插入图片描述
    然后我们处理第一行的,这是只需要缩小,到此为止,最简阶梯型好了
    最后我们得到的是线型方程组的一种显示表示法,如下面我们已经化成简化阶梯型
    在这里插入图片描述
    x1x_1x2x_2 为基本变量,x3x_3 为自由变量,然后我们用自由变量表示基本变量即可,最后式子给出了通解。

    如何区分基本变量:则非零行的首非零元所在列对应的就是约束变量,其余变量即为自由变量

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  • 线性代数的一个核心问题就是求解线性方程组:线性方程组分为两类,齐次线性方程组,非齐次线性方程组。要掌握如何用秩去判别线性方程组的解:1.齐次线性方程组的解只有两种情况,只有零解;有非零解。如果系数矩阵A...

    线性代数的一个核心问题就是求解线性方程组:

    线性方程组分为两类,齐次线性方程组,非齐次线性方程组。

    要掌握如何用秩去判别线性方程组的解:

    1.齐次线性方程组的解只有两种情况,只有零解;有非零解。

    如果系数矩阵A的秩等于未知数的个数,只有零解;

    如果系数矩阵A的秩小于未知数的个数,有非零解;

    2.非齐次线性方程组的解分为:有解,无解。

    如果系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩,则有解。在有解的情况下,系数矩阵A的秩等于未知数的个数,有唯一解;系数矩阵A的秩小于未知数的个数,有无穷多解

    如果系数矩阵A的秩小于增广矩阵的秩,则无解。

    也由此可以衍生相关的问题。

    线性方程组最重要的还是求齐次线性方程组的解与非齐次线性方程组的解,特别是有无穷多解的情况,请同学们注意。

    高等数学下的学习视频包含两部分:

    1知识点的梳理;

    2练习题。

    由于水平和时间有限视频的录制比较粗糙,视频顺序的安排也不尽合理,请同学们谅解。以后的视频会尽量提高质量,哈哈,不过你们可能用不到拉。

    请同学们结合笔记,作业,视频的知识点练习题进行综合复习。

    祝同学们考试顺意!明年的课堂上不要再见拉。

    补充一个小视频,之前录了,忘了发1f64b9f7951cd6532fafadc64300149e.png

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如何用矩阵求解线性方程组