Python turtle 画正多边形和多角形
 
作正多边形
作正多角形
计算内角
画图代码
   
作棱角分明的多角形
观察棱角分明的多角形
简洁的结论
代码
代码存在的问题
   
高斯与正十七边形
作出正十七角形
   
总结
 


 原创文章，转载请申明出处
 
作正多边形
 
 
 
正n边形的内角：x = (n - 2) * 180° / n
 
 
import turtle

# 正n边形参数
n = 7
x = (n - 2) * 180 / n

# 调整画笔速度
turtle.speed(1)
# 调整画笔颜色
turtle.color('green')
# 调整画笔宽度
turtle.pensize(3)

for _ in range(n):
	# 画笔向前移动
	turtle.forward(100)
	# 画笔方向顺时针旋转
	turtle.right(180 - x)

turtle.done()
 
 
作正多角形
 
最简单的多角形就是五角星形
 
 
计算内角
 
下面是我的方法，如果同学有自己的方法，欢迎在评论区分享。
 
 
 
 
如图所示，五角星中间有个正五边形，计算得正五边形的内角为108°
 图中的小三角形是等腰三角形，所以五角星的锐内角为(180 - 2*72) = 36°
 正六边形，正七边形……同理。
 所以得到正n角形锐内角公式：z = 2x - 180 其中：x = (n - 2) * 180 / n
 化简得：z = (1 - 4/n) * 180°
 
 
画图代码
 
import turtle

# 正n角形参数
n = 7
# 计算正n边形内角
x = (n - 2) * 180 / n
# 计算正n角形锐内角
z = (1 - 4/n) * 180

# 调整画笔速度
turtle.speed(1)
# 调整画笔颜色
turtle.color('green')
# 调整画笔宽度
turtle.pensize(3)

for _ in range(n):
    """每次画一个角"""
    turtle.forward(50)
    turtle.right(180 - z)
    turtle.forward(50)
    turtle.left(180 - x)

turtle.done()
 
 
作棱角分明的多角形
 
 
 
如果正n角形，每次都把两个相邻顶点连起来，那么随着n的增加，图像将趋近于⚪
 
 
正19角形图如下：
 
 所以，我们要让两个最远的顶点连起来
 
观察棱角分明的多角形
 

 
 
 
 
 
不妨大胆猜测规律：
 n为奇数，棱角分明的正n边形锐顶角：w = (n-1)/2 * x - (n-3)/2 * 180
 又 x = (n - 2)*180 / n
 化简得：w = 180 / n
 对于n为偶数，画图分析后，得出结论：w = 360 / n
 
 
简洁的结论
 
 
 
棱角分明的正n角形锐顶角w
 w = 180 / n (n为奇数)
 w = 360 / n (n为偶数)
 统一公式：w = 90/n * (3+(-1)n)
 
 
代码
 
import turtle

# 正n角形参数
n = 7
# 计算棱角分明的正n角形锐内角
w = 90/n * (3 + (-1)**n)

# 调整画笔速度
turtle.speed(3)
# 调整画笔颜色
turtle.color('green')
# 调整画笔宽度
turtle.pensize(3)

for _ in range(n):
    """每次一条边加转向"""
    turtle.forward(150)
    turtle.right(180 - w)

turtle.done()
 
 
代码存在的问题
 
代码根据锐顶角来画图，而锐顶角由结论来计算。
 
 
 
棱角分明的正n角形锐顶角w
 w = 180 / n (n为奇数)
 w = 360 / n (n为偶数)
 
 
存在奇数n1，偶数n2使得w1==w2。如3和6、5和10、7和14……
 这些奇偶对得到的w相同，所以画出的图形相同。
 想象中，正10角形是这样的：
 
 实际上是这样的：
 
 问题分析
 
只看奇数，所有的奇数中不可能产生相同的w。
把偶数分为两类：是4的倍数，不是4的倍数。
不是4的倍数，360 / n 约去2后，变为 180 / 奇数，必存在一奇数的w与之相等。所以，程序无法画出（可以另写程序画出）。
 
高斯与正十七边形
 
李永乐老师讲正十七边形
 
下图是网友提供的高斯墓碑图：
 
 
作出正十七角形
 
 
总结
 
turtle画图形，方向旋转360°时，回到原来的方向，可以以此来计算循环画图次数。
 画作多边形时，很多结论都是通过画图，肉眼观察出来的，缺乏严密证明。
 最后，如果同学们发现文中错误，欢迎指正。

数学：180 角度 = math.pi
 
 
例如：画正3边形
 
draw_n.py 3  100
 
例如：画正8边形
 
执行 draw_n.py 8  100
 

# -*- coding: cp936 -*-
import os, sys
import turtle
import math

vlist =[]

def p_line(t, n, length, angle):
    """Draws n line segments."""
    for i in range(n):
        t.fd(length)
        vlist.append(t.pos())
        t.left(angle)
 
def polygon(t, n, length):
    """Draws a polygon with n sides."""
    angle = 360.0/n
    p_line(t, n, length, angle)

def draw(tt, n, L):
    X,Y = tt.pos() # start_pos
    polygon(tt, n, L)
 
    R = L/2/math.sin(math.pi/n) # 半径  
    r = R*math.cos(math.pi/n)   # 边心距 
    # 求中心点坐标(x,y)    
    x = L/2 +X
    y = r + Y
    tt.goto(X,Y)  # start_pos
    for pos in vlist:
        tt.goto(x,y)
        tt.pendown()
        tt.goto(pos)
        tt.penup()
    print x,y
    # 画内切圆
    tt.goto(x,0)
    tt.pendown()
    tt.circle(y,360)
    tt.penup()
    # 画外接圆
    tt.goto(x,y-R)
    tt.pendown()
    tt.circle(R,360)
    tt.penup()

    
# main
if len(sys.argv) ==3:
    n = int(sys.argv[1])   # n 边形
    L = float(sys.argv[2]) # 边长
else:
    print 'usage: draw_n.py int Length'
    sys.exit(4)

if n < 3:
    print 'Error: n < 3 '
    sys.exit(4)  

if n > 36:
    print 'Error: n > 36 '
    sys.exit(4)    

window= turtle.Screen() #creat a screen
window.bgcolor("white")
tt = turtle.Turtle()
tt.color("black")
tt.width(1)
tt.speed(10)
draw(tt,n,L)
window.exitonclick()


 

 
 

 
 

画正多边形主要是计算多边形每个角度对应的外角的度数，计算出来这个度数即可画图，相对来说非常简单
 
以正六边形为例
 

#!/usr/bin/python
#coding: UTF-8

import turtle
import time

t = turtle.Pen()

for i in range(6):
	t.forward(100)
	t.left(60)
	
time.sleep(3)


 执行结果
 

 

 
 
 
    n是边数；为什么 sin(t1)为横轴，cos(t1)为纵轴，之后正多边形就出来了呢，这都是数学上的东西；