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  • 如何确定一个点是否在三角形
    2021-04-26 15:36:04

    程序说明如下:

    我从一个文件中获取了3个坐标,并绘制了一个三角形

    我想绘制一个网格,如果网格点在三角形中,我想绘制一个黑色圆圈,否则要绘制一个红色圆圈。

    我用于检查点是否在三角形内的方法是,如果点(xco,yco)在三角形内,则它与其他三个点组成的小三角形的面积之和等于三角形的面积。

    所以我的if语句是总面积=三角形的面积->绘制黑色圆圈,否则绘制红色圆圈。

    问题是,即使某些点使“总面积”等于三角形图的面积,也不会绘制黑色圆圈,而是绘制红色圆圈。

    它似乎是随机的,我无法弄清楚这个简单的问题。

    那么,您可以帮我画点吗?figure() % Loading the data from .mat file A = load('triangle_a.mat','pt1'); B = load('triangle_a.mat','pt2'); C = load('triangle_a.mat','pt3'); % Assigning values of array from .mat into each variable x1 = A.pt1(1,1); y1 = A.pt1(1,2); x2 = B.pt2(1,1); y2 = B.pt2(1,2); x3 = C.pt3(1,1); y3 = C.pt3(1,2); % Drawing coordinates of a triangle on a grid plot(x1, y1,'or'); hold on plot(x2, y2,'or'); hold on plot(x3, y3,'or'); hold on % Joining three coordinates to make a triangle plot ([x1,x2],[y1,y2],'-b'); plot ([x1,x3],[y1,y3],'-b'); plot ([x3,x2],[y3,y2],'-b'); xmin = A_coor(1,1); xmax = B_coor(1,1); ymin = A_coor(1,2); ymax = C_coor(1,2); xgrid = xmin-1:0.5:xmax+1; ygrid = ymin-1:0.5:ymax+1; tri_x = [x1 x2 x3]; tri_y = [y1 y2 y3]; area = polyarea(tri_x,tri_y); % Making a grid for x = 1:1:numel(xgrid) for y = 1:1:numel(xgrid) xco = xgrid(1,x); yco = ygrid(1,y); aa = [xco, x2, x3]; bb = [yco, y2, y3]; cc = [x1, xco, x3]; dd = [y1, yco, y3]; ee = [x1,x2,xco]; ff = [y1,y2,yco]; area1 = polyarea(aa,bb); area2 = polyarea(cc,dd); area3 = polyarea(ee,ff); totarea = area1 + area2 + area3; if totarea == area plot(xco,yco,'ok'); else plot(xco,yco,'.r'); end end end

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    8605cdff589d27d3f09c00c4cb0ecbb0.gif更多精彩,请点击上方蓝字关注我们! 感谢您关注“初中数学”公众号,还未关注的请点击上方蓝字“初中数学”关注数姐,获取更多知识方法。每天下午6点,与您不见不散!

    数姐说

    在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2大问题上,非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。有时证不出来,急不可耐、恨它恨的牙痒痒。数姐这次整理了全等三角形判定、性质,最重要的是后面附上了所有证明全等三角形,包括添加各种辅助线的方法,认真看完这篇文章,保证关于三角形全等所有的题型你都会做!

    一、三角形全等的判定

    1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。 2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。 3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。 4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。 5.直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

    二、全等三角形的性质

    ①全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。 ②全等三角形的周长、面积相等。 ③全等三角形的对应边上的高对应相等。 ④全等三角形的对应角的角平分线相等。 ⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

    三、找全等三角形的方法

    (1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中; (2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等; (3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。 三角形全等的证明中包含两个要素:边和角。 缺个角的条件: 533ce5a803e693f526b2da66badc0e24.png 缺条边的条件: c11ad9eb5f85688d40c66a4f888952f0.png

    四、构造辅助线的常用方法

    1.关于角平分线的辅助线 当题目的条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线的性质构造辅助线。 角平分线具有两条性质: ①角平分线具有对称性; ②角平分线上的点到角两边的距离相等。 关于角平分线常用的辅助线方法: (1)截取构全等 如下左图所示,OC是∠AOB的角平分线,D为OC上一点,F为OB上一点,若在OA上取一点E,使得OE=OF,并连接DE,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 5dbcaf50334ffc37fd100d130a21eb4b.png 例:如上右图所示,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。 提示:在BC上取一点F使得BF=BA,连结EF。 (2)角分线上点向角两边作垂线构全等 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示,过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线,垂足为E、F,连接DE、DF。 则有:DE=DF,△OED≌△OFD。 651e4542fe7adb1b99feb7bad5b86a79.png 例:如上右图所示,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180  (3)作角平分线的垂线构造等腰三角形 如下左图所示,从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF,使之与角的另一边OA相交,则截得一个等腰三角形(△OEF),垂足为底边上的中点D,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。 如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,从而得到一个等腰三角形,可总结为:“延分垂,等腰归”。 2c12a015fb5ea20b6d3593ea1567f6e4.png 例:如上右图所示,已知∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中点。 求证:DH=(AB-AC) 提示:延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。 (4)作平行线构造等腰三角形 作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况: ①如下左图所示,过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE,从而构造等腰三角形ODE。 ②如下右图所示,通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H,从而构造等腰三角形ODH。 a3e700f3f81e0dff41831470365b68ea.png 2.由线段和差想到的辅助线 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法: ①截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条; ②补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。 截长补短法作辅助线。 在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ACB=2∠B,求证:AB=AC+CD。 b7866163183e8114f4089cb05b690f1e.png 因为AD是∠BAC的角平分线 所以∠BAD=∠CAD 在AB上作AE=AC 又AD=AD 由SAS得:△EAD≌△CAD 所以∠EDA=∠CDA,ED=CD 又因为∠CDA=∠B+∠BAD, ∠BDA=∠C+∠CAD, ∠C=2∠B 所以∠BDE=∠BDA-∠EDA =(∠C+∠CAD)-∠CDA =(2∠B+CAD)-(∠B+∠BAD) =∠B 所以△BED为等腰三角形 所以EB=ED=CD 所以AB=AE+EB=AC+CD 对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明。 例1:已知如图1-1:D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 45d7af1b64b93a18eb8e1a473c66d38e.png (法1)证明:将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N,在△AMN中,AM+AN > MD+DE+NE;(1) 在△BDM中,MB+MD>BD;       (2) 在△CEN中,CN+NE>CE;       (3) 由(1)+(2)+(3)得: AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE  ∴AB+AC>BD+DE+EC b08be3c19f79ea8dd96d4e6d17e96701.png (法2)如图1-2, 延长BD交 AC于F,延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有:       AB+AF> BD+DG+GF (三角形两边之和大于第三边) (1) GF+FC>GE+CE(同上)   (2) DG+GE>DE(同上)     (3) 由(1)+(2)+(3)得: AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理: 例如:如图2-1:已知D为△ABC内的任一点,求证:∠BDC>∠BAC。 40c88a41c1b19087e0b30b0a2689641b.png 分析:因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使∠BDC处于在外角的位置,∠BAC处于在内角的位置。 证法一:延长BD交AC于点E,这时∠BDC是△EDC的外角, ∴∠BDC>∠DEC,同理∠DEC>∠BAC, ∴∠BDC>∠BAC 证法二:连接AD,并延长交BC于F ∵∠BDF是△ABD的外角 ∴∠BDF>∠BAD,同理,∠CDF>∠CAD ∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD 即:∠BDC>∠BAC。 注意:利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。 3.由中点想到的辅助线 在三角形中,如果已知一点是三角形某一边上的中点,那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质(等腰三角形底边中线性质),然后通过探索,找到解决问题的方法。 (1)中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图1,AD是ΔABC的中线,则SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC(因为ΔABD与ΔACD是等底同高的)。 f07459a36b297ddda0c67b75f6e3542d.png 例1  如图2,ΔABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。 (2)倍长中线 已知中点、中线问题应想到倍长中线,由中线的性质可知,一条中线将中点所在的线段平分,可得到一组等边,通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角,因而可以得到一组全等三角形。如图,延长AD到E,使得AD=AE,连结BE。 dae25fd02d6b5855d11df360474d3620.png 4.其他辅助线做法 (1)延长已知边构造三角形 在一些求证三角形问题中,延长某两条线段(边)相交,构成一个封闭的图形,可找到更多的相等关系,有助于问题的解决. 例4.如图4,在△ABC中,AC=BC,∠B=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a,求BE的长. 19d0c1f08bda50716d7423f4c20ace1c.png 延长AD、BC交于F, ∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC, ∴∠DAE=∠CBE, 又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC, ∴△ACF≌△BCE, ∴BE=AF, ∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD, ∴△ABD≌△FBD, ∴AD=FD=1/2AF, AD为a ∴BE=2a (2)连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如:如图8-1:AB∥CD,AD∥BC    求证:AB=CD。 989366286ae37fc5db4ac4128531946e.png 分析:图为四边形,我们只学了三角形的有关知识,必须把它转化为三角形全等来解决。 (3)连接已知点,构造全等三角形 例如:已知:如图10-1;AC、BD相交于O点,且AB=DC,AC=BD,求证:∠A=∠D。 分析:要证∠A=∠D,可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等,而只有AB=DC和对顶角两个条件,差一个条件,,难以证其全等,只有另寻其它的三角形全等,由AB=DC,AC=BD,若连接BC,则△ABC和△DCB全等,所以,证得∠A=∠D。 3b60adb2bc29f456871944165e247107.png (4)取线段中点构造全等三角形 例如:如图11-1:AB=DC,∠A=∠D 求证:∠ABC=∠DCB。 32a1af502ba87e2d35271a6ac7d1f46d.png 分析:由AB=DC,∠A=∠D,想到如取AD的中点N,连接NB,NC,再由SAS公理有△ABN≌△DCN,故BN=CN,∠ABN=∠DCN。下面只需证∠NBC=∠NCB,再取BC的中点M,连接MN,则由SSS公理有△NBM≌△NCM,所以∠NBC=∠NCB。问题得证。

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  • 题目描述:如何判断一个点是否在一个三角形内。测试样例:自定义的POINT类:class POINT{int x;int y;public POINT(int x,int y){this.x = x;this.y = y;}}思路一:面积法:如果一个点在三角形内,其与三角形的三个...

    题目描述:

    如何判断一个点是否在一个三角形内。

    测试样例:

    自定义的POINT类:

    class POINT{

    int x;

    int y;

    public POINT(int x,int y){

    this.x = x;

    this.y = y;

    }

    }

    思路一:

    面积法:

    如果一个点在三角形内,其与三角形的三个点构成的三个子三角形的面积等于大三角形的面积。否则,大于大三角形的面积。

    所以,这个问题就转化成如何在知道三角形的三个点的情况下,求这个三角形的面积的问题了。

    因为所有点的坐标已知,我们有几种方式计算面积:

    1)首先可以计算出每条边的长度及周长,我们就可以利用海伦公式计算面积,然后进行比较。

    S=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

    S=

    p(p−a)(p−b)(p−c)

    p=(a+b+c)2 p = \frac{(a+b+c)}{2}

    p=

    2

    (a+b+c)

    2)向量法:先求出这个三角形的对应的平行四边形的面积。然后这个面积的1/2就是三角形的面积了。

    先随意选择两个点,如B、C通过其坐标相减得向量(B,C)。记得谁减另一个就是指向谁。然后求出其中一个点和剩下一个点的向量。这两个向量的叉乘的便是平行四边形的面积。除以2就是三角形的面积。(注意这里是叉乘 (cross product),而非点乘(dot product))。

    (补充)向量之间的积分为两种:叉乘和点乘。叉乘求面积,点乘求投影。这是两者的意义。而且,叉乘理论得到的是一个向量,而点乘得到的是一个标量。

    代码:

    private static final double ABS_DOUBLE_0 = 0.0001;

    public static boolean isInTriangle(POINT A, POINT B, POINT C, POINT P) {

    double ABC = triAngleArea(A, B, C);

    double ABp = triAngleArea(A, B, P);

    double ACp = triAngleArea(A, C, P);

    double BCp = triAngleArea(B, C, P);

    double sumOther = ABp + ACp + BCp;

    if (-ABS_DOUBLE_0 < (ABC - sumOther) && (ABC - sumOther) < ABS_DOUBLE_0) { // 若面积之和等于原三角形面积,证明点在三角形内

    return true;

    } else {

    return false;

    }

    }

    private static double triAngleArea(POINT A, POINT B, POINT C) { // 由三个点计算这三个点组成三角形面积

    POINT ab,bc;

    ab = new POINT(B.x - A.x,B.y - A.y);//

    bc = new POINT(C.x - B.x,C.y - B.y);

    return Math.abs((ab.x * bc.y - ab.y * bc.x) / 2.0);

    }

    思路二:

    同向法:

    假设点P位于三角形内,会有这样一个规律,当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时,你会发现点P始终位于边AB,BC和CA的右侧。我们就利用这一点,但是如何判断一个点在线段的左侧还是右侧呢?我们可以从另一个角度来思考,当选定线段AB时,点C位于AB的右侧,同理选定BC时,点A位于BC的右侧,最后选定CA时,点B位于CA的右侧,所以当选择某一条边时,我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。问题又来了,如何判断两个点在某条线段的同一侧呢?可以通过叉积来实现,连接PA,将PA和AB做叉积,再将CA和AB做叉积,如果两个叉积的结果方向一致,那么两个点在同一测。

    代码:

    public static boolean isInTriangle(POINT A, POINT B, POINT C, POINT P) {

    /*利用叉乘法进行判断,假设P点就是M点*/

    int a = 0, b = 0, c = 0;

    POINT MA = new POINT(P.x - A.x,P.y - A.y);

    POINT MB = new POINT(P.x - B.x,P.y - B.y);

    POINT MC = new POINT(P.x - C.x,P.y - C.y);

    /*向量叉乘*/

    a = MA.x * MB.y - MA.y * MB.x;

    b = MB.x * MC.y - MB.y * MC.x;

    c = MC.x * MA.y - MC.y * MA.x;

    if((a <= 0 && b <= 0 && c <= 0)||

    (a > 0 && b > 0 && c > 0))

    return true;

    return false;

    }

    思路三:

    重心法:

    我们都知道,三角形的三个点在同一个平面上,如果选中其中一个点,其他两个点不过是相对该点的位移而已,比如选择点A作为起点,那么点B相当于在AB方向移动一段距离得到,而点C相当于在AC方向移动一段距离得到。

    所以对于平面内任意一点,都可以由如下方程来表示。

    P=A+u∗(C−A)+v∗(B−A) P = A + u * (C-A) + v * (B-A)

    P=A+u∗(C−A)+v∗(B−A)

    如果系数u或v为负值,那么相当于朝相反的方向移动,即BA或CA方向。那么如果想让P位于三角形ABC内部,u和v必须满足什么条件呢?有如下三个条件:

    u >= 0

    v >= 0

    u + v <= 1

    几个边界情况:

    当u = 0,v = 0 时,就是点A;

    当u = 0,v = 1 时,就是点B;

    当u = 1,v = 0 时,就是点C。

    整理方程1得到:

    P−A=u(C−A)+v(B−A) P-A = u(C-A) + v(B-A)

    P−A=u(C−A)+v(B−A)

    令 v0 = C – A, v1 = B – A, v2 = P – A,则

    v2=u∗v0+v∗v1 v2 = u * v0 + v * v1

    v2=u∗v0+v∗v1

    现在是一个方程,两个未知数,无法解出u和v,所以将等式两边分别点乘v0和v1的到两个等式:(ps.下面公式中的·符号代表“点乘”)

    (v2)⋅v0=(u∗v0+v∗v1)⋅v0 (v2)·v0 = (u * v0 + v * v1)·v0

    (v2)⋅v0=(u∗v0+v∗v1)⋅v0

    (v2)⋅v1=(u∗v0+v∗v1)⋅v1 (v2)·v1 = (u * v0 + v * v1)·v1

    (v2)⋅v1=(u∗v0+v∗v1)⋅v1

    注意到这里u和v是数,而v0,v1和v2是向量,所以可以将点积展开得到下面的式子。

    v2⋅v0=u∗(v0⋅v0)+v∗(v1⋅v0) v2·v0 = u * (v0·v0) + v * (v1·v0)

    v2⋅v0=u∗(v0⋅v0)+v∗(v1⋅v0)

    v2⋅v1=u∗(v0⋅v1)+v∗(v1⋅v1) v2·v1 = u * (v0·v1) + v * (v1·v1)

    v2⋅v1=u∗(v0⋅v1)+v∗(v1⋅v1)

    解这个方程得到:

    u=((v1⋅v1)(v2⋅v0)−(v1⋅v0)(v2⋅v1))/((v0⋅v0)(v1⋅v1)−(v0⋅v1)(v1⋅v0)) u = ((v1·v1)(v2·v0)-(v1·v0)(v2·v1)) / ((v0·v0)(v1·v1) - (v0·v1)(v1·v0))

    u=((v1⋅v1)(v2⋅v0)−(v1⋅v0)(v2⋅v1))/((v0⋅v0)(v1⋅v1)−(v0⋅v1)(v1⋅v0))

    v=((v0⋅v0)(v2⋅v1)−(v0⋅v1)(v2⋅v0))/((v0⋅v0)(v1⋅v1)−(v0⋅v1)(v1⋅v0)) v = ((v0·v0)(v2·v1)-(v0·v1)(v2·v0)) / ((v0·v0)(v1·v1) - (v0·v1)(v1·v0))

    v=((v0⋅v0)(v2⋅v1)−(v0⋅v1)(v2⋅v0))/((v0⋅v0)(v1⋅v1)−(v0⋅v1)(v1⋅v0))

    代码

    private static boolean isInTriangle(POINT p, POINT a, POINT b, POINT c) {

    POINT AB, AC, AP;

    AB = new POINT(b.x - a.x, b.y - a.y);

    AC = new POINT(c.x - a.x, c.y - a.y);

    AP = new POINT(p.x - a.x, p.y - a.y);

    float dot00 = dotProduct(AC, AC);

    float dot01 = dotProduct(AC, AB);

    float dot02 = dotProduct(AC, AP);

    float dot11 = dotProduct(AB, AB);

    float dot12 = dotProduct(AB, AP);

    float inverDeno = 1 / (dot00 * dot11 - dot01 * dot01);

    // 计算重心坐标

    float u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * inverDeno;

    float v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * inverDeno;

    return (u >= 0) && (v >= 0) && (u + v < 1);

    }

    private static float dotProduct(POINT p1, POINT p2) {

    return p1.x * p2.x + p1.y * p2.y;

    }

    展开全文
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    有需要完整电子打印版的私信

    6ee1f03711d379bd8f9ccfaf995c7586.png

    三角形知识点总结

    一、 基础知识

    1、三角形的定义: 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. (三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点)

    2、三角形的表示

    三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。

    注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接; (2)三角形是一个封闭的图形; (3)△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义

    3、三角形的分类:(1)按边分类: 等腰三角形、等边三角形、不等边三角形

    (2)按角分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

    4、三角形的主要线段的定义:

    (1)三角形的中线:三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段.

    如图:(1)AD是△ABC的BC上的中线.(2)BD=DC= BC.

    注意:①三角形的中线是线段;

    ②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点 (重心)

    ③中线把三角形分成两个面积相等的三角形.

    (2)三角形的角平分线 :三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段

    如图:(1)AD是△ABC的∠BAC的平分线. (2)∠1=∠2= ∠BAC.

    注意:①三角形的角平分线是线段;

    ②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点(内心)

    ③角平分线上的点到角的两边距离相等

    (3)三角形的高 : 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.

    如图:①AD是△ABC的BC上的高线;②AD⊥BC于D;③∠ADB=∠ADC=90°.

    注意:①三角形的高是线段;

    ②锐角三角形的三条高的交点在三角形内部;钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部:直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点(垂心 )

    ③由于三角形有三条高线,所以求三角形的面积的时候就有三种(因为高底不一样)

    (4)三角形的中垂线:过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段

    如图:DE是△ABC的边BC的中垂线;DE⊥BC于D;BD=DC

    注意:①三角形的中垂线是直线;

    ②三角形的三条中垂线交于一点(外心)

    小总结:内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心.

    性质:到三边距离相等.

    外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心.

    性质:到三个顶点距离相等.

    重心:三条中线的交点.

    性质:三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.

    垂心:三条高所在直线的交点.

    5、三角形的三边关系 :三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

    注意:(1)三边关系的依据是:两点之间线段最短;

    (2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.

    6、三角形的角与角之间的关系:

    (1)三角形三个内角的和等于180°;

    (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

    (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

    (4)直角三角形的两个锐角互余.

    7、三角形的内角和定理 :三角形的内角和等于180°.

    推论:直角三角形的两个锐角互余。

    8、三角形的外角的定义 :三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 注意:每个顶点处都有两个外角,但这两个外角是对顶角.(所以一般我们只研究一个)

    如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角,且∠ACD=∠BCE.

    所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了.

    三角形外角的性质 :

    (1) 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和.

    (2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

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    9、三角形的稳定性: 三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性.

    10、多边形 :在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。

    (1)多边形的对角线 :连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。

    (2)正多边形 : 各边相等,各角都相等的多边形叫做正多边形

    (3)多边形的内角和为 (n-2)*180度 ;多边形的外角和为 360度

    二、等腰三角形

    1、等腰三角形的概念

    定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角

    2、三角形的性质

    (1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)

    (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相集合(简称为“三线合一”)

    3、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)

    注意:要正确区分等腰三角形的性质和判定

    4、等边三角形

    定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形

    注意:等边三角形是等腰三角形的特殊情况,它是底边与腰相等的等腰三角形

    5、等边三角形的性质和判定

    性质:(1)等边三角形的三条边都相等

    (2) 等边三角形的每一个角都等于60度

    判定:(1)各边或角都相等的三角形是等边三角形

    (2)有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形

    相关规律:(1)边长为a的等边三角形面积等于

    (2)等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点

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    三、直角三角形

    1、定义:有一个直角的三角形称为直角三角形。在直角三角形中,直角相邻的两条边称为直角边。直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“”。若两条直角边不一样长,短的那条边叫作“勾”,长的那条边叫作“股”。

    2、分类:直角三角形如图所示:分为两种情况,有普通的直角三角形,还有等腰直角三角形(属于特殊情况)

    3、判定定理

    等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质:稳定性,两直角边相等 直角边夹亦直角锐角45,斜边上中线角平分线垂线三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R。

    直角三角形是一种特殊的三角形

    4、特殊性质

    它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质

    性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图,∠BAC=90°,则AB²+AC²=BC²(勾股定理)

    性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若∠BAC=90°,则∠B+∠C=90°

    性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。该性质称为直角三角形斜边中线定理

    性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

    性质5:如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:

    射影定理图

    (1)(AD)²=BD·DC。

    (2)(AB)²=BD·BC。

    (3)(AC)²=CD·BC。

    性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

    在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°。

    证明:

    先证明定理的前半部分,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,那么BC=AB/2

    ∵∠A=30°

    ∴∠B=60°(直角三角形两锐角互余)

    取AB中点D,连接CD,根据直角三角形斜边中线定理可知CD=BD

    ∴△BCD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)

    ∴BC=BD=AB/2

    再证明定理的后半部分,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=AB/2,那么∠A=30°

    取AB中点D,连接CD,那么CD=BD=AB/2(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

    又∵BC=AB/2

    ∴BC=CD=BD

    ∴∠B=60° ∴∠A=30°

    性质7:如图,

    在Rt△ABC中∠BAC=90°,AD是斜边上的高,则:

    证明:S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC

    两边乘以2,再平方得AB²*AC²=AD²*BC²

    运用勾股定理,再两边除以

    ,最终化简即得

    性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

    判定方法:判定1:有一个角为90°的三角形是直角三角形。

    判定2:若

    ,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

    判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

    判定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。

    判定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为倒数,则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。

    判定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理

    判定7:一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半,则这个三角形为直角三角形。

    四、勾股定理

    勾股定理内容:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 a +b =c ; 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。

    如果三角形的三条边a,b,c满足a +b =c ,那么这个三角形是直角三角形。(称勾股定理的逆定理)

    五、全等三角形

    能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 ,而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形指两个全等的三角形,它们的三条边及三个角都对应相等。

    1、性质

    (1)全等三角形的对应角相等。

    (2)全等三角形的对应边相等。

    (3)能够完全重合的顶点叫对应顶点。

    (4)全等三角形的对应边上的高对应相等。

    (5)全等三角形的对应角的角平分线相等。

    (6)全等三角形的对应边上的中线相等。

    (7)全等三角形面积和周长相等。

    (8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。

    2、全等三角形的判定

    · SSS(边边边):三边对应相等的三角形是全等三角形。

    · SAS(边角边):两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

    · ASA(角边角):两角及其夹边对应相等的三角形全等

    · AAS(角角边):两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

    · HL(斜边、直角边)):在一对直角三角形中,斜边及另一条直角边相等。

    下列两种方法不能验证为全等三角形

    · AAA(角角角):三角相等,不能证全等,但能证相似三角形

    · SSA(边边角):其中一角相等,且非夹角的两边相等。

    六、相似三角形

    三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

    1、预备定理

    平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似。(这是相似三角形判定的定理,是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线线段成比例的证明)

    2、判定定理 常用的判定定理有以下6条:

    判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两角对应相等,两个三角形相似。(AA)

    判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。(SAS)

    判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。(SSS)

    判定定理4:两个三角形三边对应平行,则两个三角形相似。(简叙为:三边对应平行,两个三角形相似。)

    判定定理5:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。(简叙为:斜边与直角边对应成比例,两个直角三角形相似。)(HL)

    判定定理6:如果两个三角形全等,那么这两个三角形相似(相似比为1:1)(简叙为:全等三角形相似)。

    相似的判定定理与全等三角形基本相同,因为全等三角形是特殊的相似三角形。

    3、一定相似

    符合下面的情况中的任何一种的两个(或多个)三角形一定相似:

    (1)两个全等的三角形

    全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1。

    补充:如果△ABC∽△A‘B’C‘,∴AB/A’B‘=AC/A’C‘=BC/B'C’=K

    当K=1时,这两个三角形全等。(K为它们的比值)

    (2)任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形

    两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。

    (3)两个等边三角形

    两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似。

    (4)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形

    由于斜边的高形成两个直角,再加上一个公共的角,所以相似。

    4、性质定理

    (1)相似三角形对应角相等,对应边成正比例

    (2)相似三角形的一切对应线段(对应、对应中线、对应角平分线外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比

    (3)相似三角形周长的比等于相似比。

    (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方

    (5)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同,内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

    (6)若a/b =b/c,即b²=ac,b叫做a,c的比例中项

    (7) a/b=c/d等同于ad=bc.

    ( 8)不必是在同一平面内的三角形里。

    5、推论

    推论一:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

    推论二:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

    推论三:如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。

    6、射影定理

    直角三角形中,斜边上的高是两直角边斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

    例如:(前提:∠BAD+∠DAC=90度,AD⊥BC)

    公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC,(3)(AC)^2;=CD·BC。等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)

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如何确定一个三角形