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  • 如何确定目标函数
    千次阅读
    2020-03-23 18:09:24

    多目标函数优化
    在这里插入图片描述
    1.定义
    所谓优化就是在某种确定规定下,使得个体的性能最优。多目标优化,多于一个的数值目标在给定区域上的最优化问题称为多目标优化。
    2.解及解的形式
    求解多目标优化问题的过程就是寻找Pareto最优解(非劣解、有效解)的过程。即在多目标优化中对某些子目标的优化不能影响到其它子目标的优化而容许的整个多目标的最优解。所谓多目标优化问题的最优解就是指Pareto最优解,且不再包含其他最优解。
    3. 求解方法
    3.1 产生式方法
    如果没有先验知识,只能采用产生式方法来检验所有的非支配可选解。需要作者从整个Pareto解中做选择来进行必要的价值判断。
    3.2基于偏好的方法
    基于偏好的方法试图得到妥协解或偏好解。基于偏好的方法能够用正式和有结构的方式来清晰表达其偏好。
    (1)权重和方法:权重可以理解为目标之间相对重要性或价值,或者对目标的偏好。
    (2)效用函数法:效用函数是偏好结果的一种数学表示方法,它将目标空间的点影射为实数,数越大表明对该点偏好程度越高
    (3)妥协函数法:寻找与理想点最接近的解
    3.3约束法
    4.适应度分配方法
    4.1 权重和方法:
    权重可以理解为目标之间相对重要性或价值,或者对目标的偏好。
    (优点:通过算中和求得的全局最优解对应Pareto前端的一个解;局部最优解对应局部Pareto最优解;通过改变权值可以搜索到所有凸Pareto解)
    (缺点:不能处理非凸的Pareto;很难找到均匀分布的Pareto解)
    4.2矢量评价法(VEGA)
    循环过程中根据多个目标选出若干下一代中的优秀个体(即子种群),然后将整个种群打乱并执行交叉变异,目的在于不同种群之间进行信息交流,它保护了单个目标上的最优个体的生存,同时为那些多于一个目标上好于平均值的个体提供合理被选择概率。
    优点:简单,适合寻找Pareto front 的端点),
    (缺点:很难处理非凸问题)
    4.3 Pareto等级法:
    根据占优划分等级,对个体适应度的分配策略。
    (优点:可以快速找到Pareto前端,有效保护种群多样性)
    (缺点:非支配排序的时间复杂度很大;不支持精英策略;需要自己指定共享参数)
    4.4贪婪保护法(SPEA)
    在外部群体中对占优解进行排序;个体适应度与外部群体比它性能优的个体数目相关,使用Pareto支配关系保持种群多样性,使用聚类方法减少非支配集。
    (优点:可处理任意的目标函数,可产生解的分布,确定了一种无需参数的共享方法)
    (缺点:因为确定了一个外部解集,故计算量大)
    5.解的评价指标
    5.1多目标优化算法的评级指标通常有以下几项:逼近性GD(Generational Distance)、均匀性SP(Spacing)、宽广性EX、最优解数目ER(Error Ratio)、收敛性度量值γγ和多样性度量值ΔΔ。
    (1) 逼近性GD用来描述算法所获得的非劣最优解与Pareto前端的距离
    - 希望算法找到的Pareto 前端与实际的Pareto 前端的距离应尽可能的接近;
    (2)均匀性SP用来描述非劣解在Pareto前端上的分布范围。
    - 希望找到的Pareto 最优解具有较好的分布(如均匀分布、正态分布);
    (3)宽广性EX用来描述非劣最优解的分布范围。
    - 希望所找到的Pareto 前端的分布范围尽可能的宽广,即尽可能的覆盖每个子目标函数的可能取值范围
    (4)收敛性度量值γγ用来衡量一组已知的Pareto最优解集的收敛范围。
    (5)多样性度量值ΔΔ用来衡量Pareto前端的分布。
    5.2 性能的比较
    (1)- 直接比较法:
    它比较了两个非支配集AA 和BB 直接使用标量测度R(A,B)R(A,B),其中描述了A 比B 好多少。如:AA, BB。计算R(A,B)R(A,B)。
    优点:与独立比较相比,计算量低,不需要知道任何帕累托集;
    缺点:如果两套不同的基数和/或集合的分布是不均匀的,那么C 的度量提供了不可靠的结果。
    (2) - 间接比较法:
    它选择一个参考集,比较两个非支配集与这个参考集,然后比较结果。如:AA, BB。中间变量为Pareto,分别和他进行对比。
    优点:易于理解、计算量低;
    缺点:需要知道Pareto 前端,:度量只适用于有限数量的帕累托最优解。
    (3)- 独立比较法:
    它是衡量某些独立的属性的每个设置,并比较了这两种测量结果。如:S(A)S(A),和S(B)S(B),再比较它们。
    优点:没有必要知道帕累托或其他参考点使用、它是独立的、意义直观;
    缺点:需要非常大的计算量,这使得它完全适合于目标或大非大量支配集。

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  • 判断目标函数的凹凸性

    万次阅读 2018-08-31 20:16:00
    就是直接对目标函数进行计算,然后判断其是否凸。具体地,就是计算目标函数的一阶导数和二阶导数。然后作出判断。 凸函数的一阶充要条件 等号右边是对函数在x点的一阶近似。这个条件的意义是,对于函数在定义域的...

    1 梯度法

    就是直接对目标函数进行计算,然后判断其是否凸。具体地,就是计算目标函数的一阶导数和二阶导数。然后作出判断。

    凸函数的一阶充要条件

    这里写图片描述

    等号右边是对函数在x点的一阶近似。这个条件的意义是,对于函数在定义域的任意取值,函数的值都大于或者等于对函数在这点的一阶近似。用图来说明就是:

    这里写图片描述

    通过图可以很清楚地理解这个充要条件,但是,具体在应用中,我们不可能对每一个点都去计算函数的一阶导数吧,因此下面这个充要条件更加实用。

    凸函数的二阶充要条件

    这里写图片描述

    很简单,如果一个函数的二阶导数大于等于零,那么这个函数就是凸函数。图就不上了,很好理解,函数的一阶导数具有递增性,那么函数本身就是凸函数。

    通过暴力计算法,可以很快地判断函数是不是凸函数。凹函数同理。

    2 结构分析法

    有时候我们不必通过暴力计算,可以通过分析目标函数的结构,就能在一些情况下判断函数是否是凸函数。下面给出一些结论:

    1. 指数函数是凸函数;
    2. 对数函数是凹函数,然后负对数函数就是凸函数;
    3. 对于一个凸函数进行仿射变换,可以理解为线性变换,结果还是凸函数;
    4. 二次函数是凸函数(二次项系数为正);
    5. 高斯分布函数是凹函数;
    6. 多个凸函数的线性加权,如果权值是大于等于零的,那么整个加权结果函数是凸函数。

    下面出一道题目:如何判断最大似然函数一定有最大值?

    思路:最大似然函数是求最大值,那么函数必须是凹函数。就拿我们常用的对数似然函数,是多个对数函数的线性加权而且权值为1,而对数函数是凹函数,然后每个对数内部有没有嵌套其他函数再分析一下,最后就能判断整个对数似然函数是凹函数,因此一定有最大值。

    机器学习中的最优化问题

    很多机器学习算法都设计最优化问题,判断目标函数是凸是凹是第一步,这只是可以最优化的前提,那么,有哪些最优化的问题呢?

    • 线性规划
    • 二次规划
    • 二次约束的二次规划
    • 半正定规划

    有哪些最优化的手段呢?常见的有:

    • 梯度上升(下降)法
    • 牛顿法 / 拟牛顿法
    • 坐标下降法

     

     

    参考资料:

    http://blog.csdn.net/xmu_jupiter/article/details/47400411

    http://www.cnblogs.com/tornadomeet/p/3300132.html

    转载地址:https://www.cnblogs.com/Allen-rg/p/6637181.html

    展开全文
  • 基于不确定性变量的分类和设计目标函数的形式.doc
  • 【机器学习】目标函数总结

    千次阅读 2021-10-27 21:32:07
    几乎所有的机器学习算法最后都归结为求解最优化问题,以达到我们想让算法达到...如何构造出一个合理的目标函数,是建立机器学习算法的关键,一旦目标函数确定,接下来就是求解最优化问题,这在数学上一般有现成的方案。


    一、为什么需要目标函数?

    几乎所有的机器学习算法最后都归结为求解最优化问题,以达到我们想让算法达到的目标。
    为了完成某一目标,需要构造出一个目标函数来,然后让该函数取极大值或极小值(也就是优化),从而得到机器学习算法的模型参数。

    如何构造出一个合理的目标函数,是建立机器学习算法的关键,一旦目标函数确定,接下来就是求解最优化问题,这在数学上一般有现成的方案。

    下面我们将介绍机器学习中一些典型的目标函数的构造思路。


    二、机器学习算法分类

    一般而言,不同的机器学习算法有不同的目标函数。我们先来看看有哪些ML算法。

    按照用途和要解决的问题,机器学习算法可以分为有监督学习,无监督学习,强化学习3种类型。
    其中,有监督学习又进一步细分为分类问题与回归问题,无监督学习算法分为聚类问题和数据降维问题。
    概括起来,各类算法要解决的核心问题是:

    分类算法 是什么
    回归算法 是多少
    聚类算法 怎么分
    数据降维 怎么压
    强化学习 怎么做

    各种机器学习算法的目的:

    1. 对于有监督学习中的分类问题与回归问题,机器学习算法寻找一个映射函数:

      为输入的样本数据预测出一个实数值或类别标签。
      不同的是,分类问题要确定样本的类别,即回答“是什么”的问题;回归问题要预测出一个实数值,即回答“是多少”的问题。
      例如,如果要确定一张图像是猫还是狗,则为分类问题,算法的输入为图像,输出为类别编号。如果我们要根据一个人的年龄、学历、行业等信息预测他/她的收入,则属于回归问题。二者都是要确定上面这种形式的函数。

    2. 对于无监督学习聚类问题,机器学习算法要寻找一个集合的划分,将样本集D划分成多个不相交的子集:

      每个样本属于这些子集中的一个,因此可以概括为解决 “怎么分的问题” ,与分类问题不同的是,这里没有人工事先定义好的类别,因此也没有训练过程。例如,如果要将一批新闻划分为不同类型的,就属于聚类问题,这里没有实现定义好的类,算法自己完成划分,这些类可能是政治、体育、娱乐、经济、军事等。

    3. 对于数据降维问题,机器学习算法要寻找一个映射函数,将一个高维向量映射成一个低维向量:

      但要尽可能的保留之前向量的一些重要信息。

    4. 对于强化学习,机器学习算法要为每种状态s下确定一个动作a来执行,即确定策略函数,使得执行这些动作之后得到我们预期的结果:

      执行动作后会得到奖励,这个预期的结果是让奖励最大化。例如,用强化学习来实现自动驾驶,要根据当前的路况来决定怎么开车,这里的路况就是状态,开车就是动作,通过控制汽车去我们想去的目的地,这就是目标。

    上面这些算法要完成的目标是一个抽象的概念,具体实现时,要通过一个“目标函数”来体现,算法要通过让目标函数取极大值或极小值来确定模型的参数。

    三、有监督学习的目标函数

    概述

    首先来看有监督学习,要确定一个映射函数,这个函数带有参数,而参数则通过训练样学习得到。假设映射函数为:

    其中θ是模型的参数,如何确定它的值,是训练算法的核心。
    一般来说,我们称有监督学习的目标函数为 “损失函数” ,它通过模型对每个训练样本x的预测值y与训练样本的真正标签值y来构造。其含义是,如果算法预测错了,则有损失,因此该函数反映了映射函数的预测值与样本真实标签值之间的误差。让误差最小化,就是让损失函数最小化:

    其中L为训练样本数,(xi,yi),i=1,…,L为训练样本。样本的特征向量以及标签值此时是已知的,目标函数的未知数是模型的参数θ。

    某些有监督的机器学习算法拟合的是概率密度函数或者某一概率分布,此时需要根据样本来确定概率分布的参数。
    在学习概率论与数理统计时我们知道,确定一个概率分布的参数最常用的是最大似然估计,它求解如下的似然函数最大化问题:

    求解函数极值时需要对参数求导,这种连乘形式的函数求导不方便,因此对似然函数取对数,得到对数似然函数

    这类问题的核心是根据一组样本来估计概率分布的参数,使得在参数θ取最优值的时候,这组样本出现的概率最大。下面针对分类问题和回归问题,分别总结常用的目标函数。

    1. 分类问题

    对于分类问题,预测函数的输出值是离散化的类别标签。给定一组训练样本,在训练时的目标是让这组训练样本尽量被正确的分类,这对应于经验风险最小化的思想。

    1. 感知器算法的是最简单的线性分类器,它的目标是让所有样本尽可能分类。对于二分类问题,线性分类器的判别函数为:

      sgn(x)是符号函数,若x>0,则sgnx=1;若x=0,则sgnx= 0;若x<0,则sgnx=-1。
      样本的标签值为+1或-1,分别对应正样本和负样本。
      如果线性函数预测出来的值和样本的真实标签值异号,则预测错误;如果同号,则预测正确。要将预测错误最小化,只需求解如下最优化问题即可:

      如果我们把上式的最后一项想成已经经过sgn处理:那么和前面的yi,若同号则相乘结果为1,异号则相乘结果为-1。加个负号使得同号(预测正确)则结果为-1(损失函数减小),异号(预测错误)则结果为1(损失函数增大)。
      但式子中没有经过sgn处理,就是本身的计算值:那么,对于每个训练样本,如果预测正确,则损失函数为负,否则为正。这样我们就构造出了一个容易求解的损失函数。
      对于二分类或多分类问题,都可以用欧氏距离作为分类的损失函数。
      对于多分类问题,一般不直接用类别编号作为预测值,而是为类别进行向量化编码,如one-hot编码。此时损失函数定义为:

      在人工神经网络发展的 早期 ,这种函数被广泛使用,但后来对于多分类问题,更多的采用交叉熵损失函数

    2. 线性判别分析(LDA) 是一种有监督的数据降维算法,它的目标是最大化类间差异,最小化类内差异。数据经过投影之后,在低维空间里,同类样本聚集在一起,不同类的样本相距尽可能远。类内差异用每个类的方差来衡量,类间差异用各个类的类中心之间的距离来衡量,二者的比值为我们要优化的目标。由此构造出如下损失函数:

      求解这一问题最后归结为求解矩阵的特征值问题。

    3. 支持向量机
      前面介绍的感知器算法的目标函数,欧氏距离损失,代表的都是经验风险,即在训练样本集上让误差最小化。这样做的泛化性能不一定好,还有一种做法为结构化风险最小化,典型代表是支持向量机。
      支持向量机不仅要让所有训练样本尽可能被正确分类,还要让分类间隔最大化,根据解析几何中点到超平面的距离公式,我们构造出了它的优化目标:

      这个优化问题还带有不等式约束。
      我们可以从另一个角度解释支持向量机的优化目标函数,即合页损失函数。合页损失函数定义为:

      其意义为当:

      即当样本的间隔大于1时:

      该样本的损失是0;否则样本的损失是1- yiwTxi。此时是一个正的损失。采用合页损失函数,SVM训练时优化的目标为:

      这和前面一种表述是等价的。此时,目标函数的前半部分充当正则化项,后半部分充当真正的损失函数,用于对违反约束的样本进行惩罚。
      前面说过,对于输出概率值的模型,可以采用最大似然估计来估计模型的参数。典型的代表是logistic回归。对于二分类问题,如果样本的类别标签值为1和0,则对数似然函数为:

    4. 将logistic回归推广到多分类问题,即softmax回归,它输出一个样本属于每个类的概率值。因此,训练样本的标签值为一个向量,如果样本属于某一类,该分量为1,其他分量为0。损失函数根据标签向量与预测出的概率向量构造,使用的是softmax交叉熵,定义为:

      交叉熵损失定义为:

      它在深度神经网络中被广泛使用。

    5. AdaBoost算法训练时优化的目标函数为指数损失函数,它根据强分类器的输出值F(x)与样本的标签值构造:

      在这里,样本的标签值为-1或+1,对应于负样本和正样本。强分类器通过加法模型构造,求解时每次优化一个弱分类器和它的权重。

    6. 神经网络尤其是深度学习中使用的损失函数种类繁多,除了传统的欧氏距离之外,还有近几年流行的交叉熵,以及其他函数,下表列出了常用的一些损失函数以及它们的导数:
      在这里插入图片描述
      在这里,求导是对神经网络的预测数据进行的。损失层是神经网络训练时的最后一层,它也只用于训练阶段。在实现反向传播算法时,它是梯度反向传播的起点。

    需要说明的是,对前面介绍的很多损失函数,我们都可以加上正则化项,得到新的损失函数,以减轻过拟合。

    2. 回归问题

    回归问题直接预测出所需要的函数值。最常用的是欧氏距离损失,它直接反映预测值与真实值之间的误差:

    除此之外,还有其他的函数可以考虑,如接下来要介绍的L1光滑的损失函数。如果预测函数是线性函数,则为线性回归,这是最简单的回归算法,其损失函数为:

    如果加上L1和L2正则化项,则分别得到LASSO回归和岭回归。

    3. 数据生成模型

    数据生成模型生成符合某种分布的随机数,而我们并不知道这种随机数服从何种概率分布,因此无法写成概率密度函数的表达式来。
    生成对抗网络是深度生成模型的典型代表。
    生成对抗网络由一个生成模型与一个判别模型构成,前者先用样本进行学习,然后可以生成和真实样本服从相同分布的样本数据。后者对生成模型生成的样本以及真实样本进行判定,确定一个样本是生成的还是真实的。
    训练的目标是,生成模型要尽可能的欺骗判别模型,即让判别模型把自己生成的样本判定为真实样本;判别模型的目标是准确的区分出真实样本和生成的样本,尽可能的把生成模型产生的模型鉴别处理,即判定为假。由此构造出如下的目标函数:
    在这里插入图片描述
    目标函数由两部分构成。后半部分只用于生成模型(要让生成模型产生的样本尽可能被判别模型判定为真,即让D(G(z))尽可能接近于1,即让目标函数取极小值。整个目标函数都用于判别模型,前半部分要让判别模型将真实样本尽量判别为真,后半部分要让判别模型将生成样本尽量判别为假,即让目标函数取极大值,这类似于分类问题的交叉熵。
    关于生成对抗网络更详细的解释请参见我的另一篇文章:【机器学习】生成对抗网络 GAN

    四、无监督学习的目标函数

    无监督学习分为聚类问题与数据降维问题两种类型,它们优化的目标完全不同,下面分别进行介绍。

    1. 聚类

    聚类算法将一组样本划分成多个类,确保同一类中的样本差异尽可能小,而不同类的样本之间尽量不同。可以基于这一思想构造损失函数:

    其含义是每一类样本距离它的类中心要近,可以理解为这类似于每个类的方差。所有类的方差之和要尽可能小。这就是k均值算法要优化的目标。

    2. 数据降维

    数据降维算法要确保将向量投影到低维空间之后,仍然尽可能的保留之前的一些信息,至于这些信息是什么,有各种不同理解,由此诞生了各种不同的降维算法。

    1. 主成分分析的优化目标是最小化重构误差,即用投影到低维空间中的向量近似重构原始向量,二者之间的误差要尽可能的小。最小化重构误差的目标为:

      这里有附带约束条件,即投影的基向量ej之间要相互正交。

    2. 类似的,自动编码器也采用了这一思想。自动编码器是一种特殊的神经网络,由编码器和解码器两部分构成。前者对输入数据进行映射,得到编码后的向量;后者对编码后的向量进行重构,恢复出原始向量。解码器只在训练时使用,训练完成之后,只需要编码器这一部分,用于对输入数据进行降维或特征提取。其训练时的目标函数为:

      即神经网络训练时的标签值和输入向量值相同。这和PCA非常类似,不同的是神经网络的映射是非线性的。

    3. 某些非线性降维算法如流形学习,采用了更复杂的目标函数。以等距映射为例,它采用了测地距离来构造损失函数,投影到低维空间之后,要保持这种距离信息,由此得到优化目标函数为:

    五、强化学习

    不同于有监督学习和无监督学习,强化学习的目的是寻找出一个策略函数,使得在每种状态下,按照该函数确定的动作执行,最后得到的累计回报最大化。之所以要计算累计回报是因为执行完一个动作之后要进入一个新的状态,在这个新的状态下又要执行动作。这里的累计回报用状态价值函数或者动作价值函数来定义,这是递归的定义。

    状态价值函数的自变量为状态以及策略函数,定义为在一个状态s下按照策略π来确定动作执行,最后得到的累计回报值:

    如果使用状态价值函数,强化学习要求解所有状态下的状态价值函数最大化问题:

    由于各个状态之间存在关联,因此求解算法不同于其他机器学习算法。


    参考链接

    1. 机器学习中的目标函数总结
    展开全文
  • 目标函数4.1 为什么要使用目标函数4.2 目标函数的作用原理4.3 为什么目标函数是负的4.4 常见的目标函数4.4.1 **二次代价函数(quadratic cost)**:4.4.2 **交叉熵代价函数(cross-entropy)**:4.4.3**对数似然...

    机器学习基础(三)

    机器学习系列(一)——基础概念及分类
    机器学习系列(二)——分类及回归问题


    在本文中着重介绍机器学习中的目标函数(Object Function)、代价函数,(Cost Function) 以及损失函数(Loss Function),神经网络中训练模型的过程就是优化代价函数的过程,**代价函数对每个参数的偏导数就是梯度下降中提到的梯度,防止过拟合时添加的正则化项也是加在代价函数后面的。**文章中对涉及到的一些数学概念(最大似然函数、交叉熵、最小二乘法)进行相应的阐述和辨析。

    三者的定义如下:

    1. 损失函数(Loss Function )是定义在单个样本上的,算的是一个样本的误差。
    2. 代价函数(Cost Function )是定义在整个训练集上的,是所有样本误差的平均,也就是损失函数的平均。
    3. 目标函数(Object Function)定义为:最终需要优化的函数。等于经验风险+结构风险(也就是Cost Function + 正则化项)。
      关于目标函数和代价函数的区别还有一种通俗的区别
      目标函数是最大化或者最小化,而代价函数是最小化

    4. 代价函数

    4.1 为什么要使用代价函数

    1. 为了得到训练逻辑回归模型的参数,需要一个目标函数,通过训练目标函数来得到参数。
    2. 用于找到最优解的目的函数。

    4.2 目标函数的作用原理

    在回归问题中,通过目标函数来求解最优解,常用的是平方误差(最小二乘线性回归)代价函数。假设函数图像如图2-4所示,当参数发生变化时,假设函数状态也会随着变化。

    想要拟合图中的离散点,我们需要尽可能找到最优的和来使这条直线更能代表所有数据。如何找到最优解呢,这就需要使用代价函数来求解,以平方误差代价函数为例,假设函数为。 ​ 平方误差代价函数的主要思想就是将实际数据给出的值与拟合出的线的对应值做差,求出拟合出的直线与实际的差距。在实际应用中,为了避免因个别极端数据产生的影响,采用类似方差再取二分之一的方式来减小个别数据的影响。因此,引出代价函数:
    J ( θ 0 , θ 1 ) = 1 m ∑ i = 1 m ( h ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 J(\theta_0, \theta_1) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h(x^{(i)})-y^{(i)})^2 J(θ0,θ1)=m1i=1m(h(x(i))y(i))2
    最优解即为代价函数的最小值。如果是1个参数,代价函数一般通过二维曲线便可直观看出。如果是2个参数,代价函数通过三维图像可看出效果,参数越多,越复杂。 当参数为2个时,代价函数是三维图像。

    4.3 为什么目标函数是负的

    目标函数存在一个下界,在优化过程当中,如果优化算法能够使目标函数不断减小,根据单调有界准则(参见优化方法),这个优化算法就能证明是收敛有效的。 ​ 只要设计的目标函数有下界,基本上都可以,代价函数非负更为方便。

    4.4 常见的目标函数

    4.4.1 二次代价函数(quadratic cost)

    J = 1 2 n ∑ x ∥ y ( x ) − a L ( x ) ∥ 2 J = \frac{1}{2n}\sum_x\Vert y(x)-a^L(x)\Vert^2 J=2n1xy(x)aL(x)2

    ​ 其中, J J J表示代价函数, x x x表示样本, y y y表示实际值, a a a表示输出值, n n n表示样本的总数。使用一个样本为例简单说明,此时二次代价函数为:
    J = ( y − a ) 2 2 J = \frac{(y-a)^2}{2} J=2(ya)2
    ​ 假如使用梯度下降法(Gradient descent)来调整权值参数的大小,权值 w w w和偏置 b b b的梯度推导如下:
    ∂ J ∂ b = ( a − y ) σ ′ ( z ) \frac{\partial J}{\partial b}=(a-y)\sigma'(z) bJ=(ay)σ(z)
    ∂ J ∂ w = ( a − y ) σ ′ ( z ) ∗ x \frac{\partial J}{\partial w}=(a-y)\sigma'(z)*x wJ=(ay)σ(z)x
    其中, z z z表示神经元的输入, a = σ ( z ) a=\sigma(z) a=σ(z)其中 z = w x + b z=wx+b z=wx+b σ \sigma σ表示激活函数。权值 w w w和偏置 b b b的梯度跟激活函数的梯度成正比,激活函数的梯度越大,权值 w w w和偏置 b b b的大小调整得越快,训练收敛得就越快。

    :神经网络常用的激活函数为sigmoid函数,该函数的曲线如下图2-6所示:

    如上图所示,对0.88和0.98两个点进行比较:
    ​ 假设目标是收敛到1.0。0.88离目标1.0比较远,梯度比较大,权值调整比较大。0.98离目标1.0比较近,梯度比较小,权值调整比较小。调整方案合理。
    ​ 假如目标是收敛到0。0.88离目标0比较近,梯度比较大,权值调整比较大。0.98离目标0比较远,梯度比较小,权值调整比较小。调整方案不合理。
    ​ 原因:在使用sigmoid函数的情况下, 初始的代价(误差)越大,导致训练越慢。

    4.4.2 交叉熵代价函数(cross-entropy)

    公式的推导:从两个方面考虑
    大佬的推导

    J = − 1 n ∑ x [ y ln ⁡ a + ( 1 − y ) ln ⁡ ( 1 − a ) ] J = -\frac{1}{n}\sum_x[y\ln a + (1-y)\ln{(1-a)}] J=n1x[ylna+(1y)ln(1a)]

    其中, J J J表示代价函数, x x x表示样本, y y y表示实际值, a a a表示输出值, a = σ ( z ) a=\sigma(z) a=σ(z)其中 z = w x + b z=wx+b z=wx+b n n n表示样本的总数。
    权值 w w w和偏置 b b b的梯度推导如下:

    最好自己手动推一下 加深对其的理解

    用隐函数求导和链式求导法则得出:

    推导公式时需要用到Sigmod函数一基本性质: / s i g m a /sigma /sigma函数导数的性质: σ ′ ( z ) = σ ( z ) ( 1 − σ ( z ) ) \sigma'(z)=\sigma(z)(1-\sigma(z)) σ(z)=σ(z)(1σ(z))
    ∂ J ∂ w j = 1 n ∑ x x j ( σ ( z ) − y )    , ∂ J ∂ b = 1 n ∑ x ( σ ( z ) − y ) \frac{\partial J}{\partial w_j}=\frac{1}{n}\sum_{x}x_j(\sigma{(z)}-y)\;, \frac{\partial J}{\partial b}=\frac{1}{n}\sum_{x}(\sigma{(z)}-y) wjJ=n1xxj(σ(z)y)bJ=n1x(σ(z)y)

    当误差越大时,梯度就越大,权值 w w w和偏置 b b b调整就越快,训练的速度也就越快。

    ​ 这是一个令人兴奋的表达式,优雅而富有深意。让我们注意一下这个式子中最为关键的一项σ(z)−y ,它其实是告诉我们学习的误差越大,你得到的导数值越大,曲线下降的越快,你的学习速度更快,网络收敛的更快。而且损失对于权重系数的偏导数只与误差有关,且激活函数的导数值无

    二次代价函数适合输出神经元是线性的情况,交叉熵代价函数适合输出神经元是S型函数的情况。

    4.4.3对数似然代价函数(log-likelihood cost)

    对数似然函数常用来作为softmax回归的目标函数。深度学习中普遍的做法是将softmax作为最后一层,此时常用的代价函数是对数似然代价函数。
    对数似然代价函数与softmax的组合和交叉熵与sigmoid函数的组合非常相似。对数似然代价函数在二分类时可以化简为交叉熵代价函数的形式
    对于对数似然函数的推导:主要是Softmax函数的导数

    在tensorflow中:
    与sigmoid搭配使用的交叉熵函数:tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits()
    与softmax搭配使用的交叉熵函数:tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits()
    在pytorch中:
    与sigmoid搭配使用的交叉熵函数:torch.nn.BCEWithLogitsLoss()
    与softmax搭配使用的交叉熵函数:torch.nn.CrossEntropyLoss()

    为什么用交叉熵代替二次代价函数
    (1)为什么不用二次方代价函数
    由上一节可知,权值 w w w和偏置 b b b的偏导数为 ∂ J ∂ w = ( a − y ) σ ′ ( z ) x \frac{\partial J}{\partial w}=(a-y)\sigma'(z)x wJ=(ay)σ(z)x ∂ J ∂ b = ( a − y ) σ ′ ( z ) \frac{\partial J}{\partial b}=(a-y)\sigma'(z) bJ=(ay)σ(z), 偏导数受激活函数的导数影响,sigmoid函数导数在输出接近0和1时非常小,导数小,差值error也小,会导致一些实例在刚开始训练时学习得非常慢。
    (2)为什么要用交叉熵
    交叉熵函数权值 w w w和偏置 b b b的梯度推导为:
    ∂ J ∂ w j = 1 n ∑ x x j ( σ ( z ) − y )    , ∂ J ∂ b = 1 n ∑ x ( σ ( z ) − y ) \frac{\partial J}{\partial w_j}=\frac{1}{n}\sum_{x}x_j(\sigma{(z)}-y)\;, \frac{\partial J}{\partial b}=\frac{1}{n}\sum_{x}(\sigma{(z)}-y) wjJ=n1xxj(σ(z)y)bJ=n1x(σ(z)y)
    由以上公式可知,权重学习的速度受到 σ ( z ) − y \sigma{(z)}-y σ(z)y影响,更大的误差,就有更快的学习速度,避免了二次代价函数方程中因 σ ′ ( z ) \sigma'{(z)} σ(z)导致的学习缓慢的情况。

    5. 损失函数

    5.1 什么是损失函数

    ​ 损失函数(Loss Function)又叫做误差函数,用来衡量算法的运行情况,估量模型的预测值与真实值的不一致程度,是一个非负实值函数,通常使用$
    L(Y, f(x))$来表示。损失函数越小,模型的鲁棒性就越好。损失函数是经验风险函数的核心部分,也是结构风险函数重要组成部分。

    经验风险函数和结构风险函数的解释,见下面章节代价函数 损失函数和目标函数的区别。

    5.2 常见的损失函数

    ​ 机器学习通过对算法中的目标函数进行不断求解优化,得到最终想要的结果。分类和回归问题中,通常使用损失函数或代价函数作为目标函数。
    ​损失函数用来评价预测值和真实值不一样的程度。通常损失函数越好,模型的性能也越好。
    ​ 损失函数可分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别,结构风险损失函数是在经验风险损失函数上加上正则项
    ​ 下面介绍常用的损失函数:

    (1)0-1损失函数
    如果预测值和目标值相等,值为0,如果不相等,值为1。
    L ( Y , f ( x ) ) = { 1 , Y ≠ f ( x ) 0 , Y = f ( x ) L(Y, f(x)) = \begin{cases} 1,& Y\ne f(x)\\ 0,& Y = f(x) \end{cases} L(Y,f(x))={1,0,Y=f(x)Y=f(x)

    一般的在实际使用中,相等的条件过于严格,可适当放宽条件:

    L ( Y , f ( x ) ) = { 1 , ∣ Y − f ( x ) ∣ ⩾ T 0 , ∣ Y − f ( x ) ∣ < T L(Y, f(x)) = \begin{cases} 1,& |Y-f(x)|\geqslant T\\ 0,& |Y-f(x)|< T \end{cases} L(Y,f(x))={1,0,Yf(x)TYf(x)<T

    (2)绝对值损失函数
    和0-1损失函数相似,绝对值损失函数表示为:
    L ( Y , f ( x ) ) = ∣ Y − f ( x ) ∣ ​ L(Y, f(x)) = |Y-f(x)|​ L(Y,f(x))=Yf(x)

    (3)平方损失函数
    L ( Y , f ( x ) ) = ∑ N ( Y − f ( x ) ) 2 L(Y, f(x)) = \sum_N{(Y-f(x))}^2 L(Y,f(x))=N(Yf(x))2

    这点可从最小二乘法和欧几里得距离角度理解。最小二乘法的原理是,最优拟合曲线应该使所有点到回归直线的距离和最小。

    (4)对数损失函数
    L ( Y , P ( Y ∣ X ) ) = − log ⁡ P ( Y ∣ X ) L(Y, P(Y|X)) = -\log{P(Y|X)} L(Y,P(YX))=logP(YX)

    ​ 常见的逻辑回归使用的就是对数损失函数,有很多人认为逻辑回归的损失函数是平方损失,其实不然。逻辑回归它假设样本服从伯努利分布(0-1分布),进而求得满足该分布的似然函数,接着取对数求极值等。逻辑回归推导出的经验风险函数是最小化负的似然函数,从损失函数的角度看,就是对数损失函数。

    (6)指数损失函数
    指数损失函数的标准形式为:
    L ( Y , f ( x ) ) = exp ⁡ ( − Y f ( x ) ) L(Y, f(x)) = \exp(-Yf(x)) L(Y,f(x))=exp(Yf(x))

    例如AdaBoost就是以指数损失函数为损失函数。

    (7)Hinge损失函数
    Hinge损失函数的标准形式如下:
    L ( y ) = max ⁡ ( 0 , 1 − t y ) L(y) = \max{(0, 1-ty)} L(y)=max(0,1ty)

    统一的形式:
    L ( Y , f ( x ) ) = max ⁡ ( 0 , Y f ( x ) ) L(Y, f(x)) = \max{(0, Yf(x))} L(Y,f(x))=max(0,Yf(x))

    其中y是预测值,范围为(-1,1),t为目标值,其为-1或1。

    在线性支持向量机中,最优化问题可等价于

    w , b min ⁡ ∑ i = 1 N ( 1 − y i ( w x i + b ) ) + λ ∥ w ∥ 2 \underset{\min}{w,b}\sum_{i=1}^N (1-y_i(wx_i+b))+\lambda\Vert w\Vert ^2 minw,bi=1N(1yi(wxi+b))+λw2

    上式相似于下式

    1 m ∑ i = 1 N l ( w x i + b y i ) + ∥ w ∥ 2 \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{N}l(wx_i+by_i) + \Vert w\Vert ^2 m1i=1Nl(wxi+byi)+w2

    其中 l ( w x i + b y i ) l(wx_i+by_i) l(wxi+byi)是Hinge损失函数, ∥ w ∥ 2 \Vert w\Vert ^2 w2可看做为正则化项。

    5.3 逻辑回归为什么使用对数损失函数

    • 对于似然函数的理解:

      似然则用来描述已知随机变量输出结果时,未知参数的可能取值。似然函数的重要性不是它的具体取值,而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数,如果存在一个参数值,使得它的函数值达到最大的话,那么这个值就是最为“合理”的参数值。
      最大似然函数: 是指找出一个(θ)的组合,使得 L ( θ ) = L ( x 1 , x 2 , … , x n ; θ ) = Π P ( x i ; θ L(θ)=L(x1,x2,…,xn;θ)=ΠP(xi;θ Lθ=Lx1,x2,,xnθ=ΠPxiθ最大化,即使得样本数据出现的概率最大化
      似然函数取得最大值表示相应的参数能够使得统计模型最为合理
      从这样一个想法出发,最大似然估计的做法是:

    • 首先选取似然函数(一般是 概率密度函数或概率质量函数),

    • 整理之后求最大值。实际应用中一般会取似然函数的对数作为求最大值的函数,这样求出的最大值和直接求最大值得到的结果是相同的。

      统计学的观点始终是认为样本的出现是基于一个分布的。那么我们去假设这个分布为f,里面有参数theta。对于不同的theta,样本的分布不一样。f(x|θ)表示的就是在给定参数theta的情况下,x出现的可能性多大。L(θ|x)表示的是在给定样本x的时候,哪个参数theta使得x出现的可能性多大。

    假设逻辑回归模型
    P ( y = 1 ∣ x ; θ ) = 1 1 + e − θ T x P(y=1|x;\theta)=\frac{1}{1+e^{-\theta^{T}x}} P(y=1x;θ)=1+eθTx1
    假设逻辑回归模型的概率分布是伯努利分布0-1两点分布,其概率质量函数为:
    P ( X = n ) = { 1 − p , n = 0 p , n = 1 P(X=n)= \begin{cases} 1-p, n=0\\ p,n=1 \end{cases} P(X=n)={1p,n=0p,n=1
    其似然函数为:
    L ( θ ) = ∏ i = 1 m P ( y = 1 ∣ x i ) y i P ( y = 0 ∣ x i ) 1 − y i L(\theta)=\prod_{i=1}^{m} P(y=1|x_i)^{y_i}P(y=0|x_i)^{1-y_i} L(θ)=i=1mP(y=1xi)yiP(y=0xi)1yi
    对数似然函数为:
    ln ⁡ L ( θ ) = ∑ i = 1 m [ y i ln ⁡ P ( y = 1 ∣ x i ) + ( 1 − y i ) ln ⁡ P ( y = 0 ∣ x i ) ] = ∑ i = 1 m [ y i ln ⁡ P ( y = 1 ∣ x i ) + ( 1 − y i ) ln ⁡ ( 1 − P ( y = 1 ∣ x i ) ) ] \ln L(\theta)=\sum_{i=1}^{m}[y_i\ln{P(y=1|x_i)}+(1-y_i)\ln{P(y=0|x_i)}]\\ =\sum_{i=1}^m[y_i\ln{P(y=1|x_i)}+(1-y_i)\ln(1-P(y=1|x_i))] lnL(θ)=i=1m[yilnP(y=1xi)+(1yi)lnP(y=0xi)]=i=1m[yilnP(y=1xi)+(1yi)ln(1P(y=1xi))]
    对数函数在单个数据点上的定义为:
    c o s t ( y , p ( y ∣ x ) ) = − y ln ⁡ p ( y ∣ x ) − ( 1 − y ) ln ⁡ ( 1 − p ( y ∣ x ) ) cost(y,p(y|x))=-y\ln{p(y|x)-(1-y)\ln(1-p(y|x))} cost(y,p(yx))=ylnp(yx)(1y)ln(1p(yx))
    则全局样本损失函数为:
    c o s t ( y , p ( y ∣ x ) ) = − ∑ i = 1 m [ y i ln ⁡ p ( y i ∣ x i ) + ( 1 − y i ) ln ⁡ ( 1 − p ( y i ∣ x i ) ) ] cost(y,p(y|x)) = -\sum_{i=1}^m[y_i\ln p(y_i|x_i)+(1-y_i)\ln(1-p(y_i|x_i))] cost(y,p(yx))=i=1m[yilnp(yixi)+(1yi)ln(1p(yixi))]
    由此可看出,**对数损失函数与极大似然估计的对数似然函数本质上是相同的。**所以逻辑回归直接采用对数损失函数。

    5.4 对数损失函数是如何度量损失的

    ​ 例如,在高斯分布中,我们需要确定均值和标准差。
    ​ 如何确定这两个参数?最大似然估计是比较常用的方法。最大似然的目标是找到一些参数值,这些参数值对应的分布可以最大化观测到数据的概率。
    ​ 因为需要计算观测到所有数据的全概率,即所有观测到的数据点的联合概率。现考虑如下简化情况:

    (1)假设观测到每个数据点的概率和其他数据点的概率是独立的。

    (2)取自然对数。
    假设观测到单个数据点 x i ( i = 1 , 2 , . . . n ) x_i(i=1,2,...n) xi(i=1,2,...n)的概率为:(正态分布)
    P ( x i ; μ , σ ) = 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x i − μ ) 2 2 σ 2 ) P(x_i;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp \left( - \frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) P(xi;μ,σ)=σ2π 1exp(2σ2(xiμ)2)

    (3)其联合概率为:连乘取似然函数
    P ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; μ , σ ) = 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x 1 − μ ) 2 2 σ 2 ) × 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x 2 − μ ) 2 2 σ 2 ) × . . . × 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x n − μ ) 2 2 σ 2 ) P(x_1,x_2,...,x_n;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp \left( - \frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\ \times \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp \left( - \frac{(x_2-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \times ... \times \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp \left( - \frac{(x_n-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) P(x1,x2,...,xn;μ,σ)=σ2π 1exp(2σ2(x1μ)2)×σ2π 1exp(2σ2(x2μ)2)×...×σ2π 1exp(2σ2(xnμ)2)
    ​ 对上式取自然对数,可得:
    ln ⁡ ( P ( x 1 , x 2 , . . . x n ; μ , σ ) ) = ln ⁡ ( 1 σ 2 π ) − ( x 1 − μ ) 2 2 σ 2 + ln ⁡ ( 1 σ 2 π ) − ( x 2 − μ ) 2 2 σ 2 + . . . + ln ⁡ ( 1 σ 2 π ) − ( x n − μ ) 2 2 σ 2 \ln(P(x_1,x_2,...x_n;\mu,\sigma))= \ln \left(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \right) - \frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma^2} \\ + \ln \left( \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \right) - \frac{(x_2-\mu)^2}{2\sigma^2} +...+ \ln \left( \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \right) - \frac{(x_n-\mu)^2}{2\sigma^2} ln(P(x1,x2,...xn;μ,σ))=ln(σ2π 1)2σ2(x1μ)2+ln(σ2π 1)2σ2(x2μ)2+...+ln(σ2π 1)2σ2(xnμ)2
    根据对数定律,上式可以化简为:
    ln ⁡ ( P ( x 1 , x 2 , . . . x n ; μ , σ ) ) = − n ln ⁡ ( σ ) − n 2 ln ⁡ ( 2 π ) − 1 2 σ 2 [ ( x 1 − μ ) 2 + ( x 2 − μ ) 2 + . . . + ( x n − μ ) 2 ] \ln(P(x_1,x_2,...x_n;\mu,\sigma))=-n\ln(\sigma)-\frac{n}{2} \ln(2\pi)\\ -\frac{1}{2\sigma^2}[(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+...+(x_n-\mu)^2] ln(P(x1,x2,...xn;μ,σ))=nln(σ)2nln(2π)2σ21[(x1μ)2+(x2μ)2+...+(xnμ)2]
    然后求导为:
    ∂ ln ⁡ ( P ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; μ , σ ) ) ∂ μ = n σ 2 [ μ − ( x 1 + x 2 + . . . + x n ) ] \frac{\partial\ln(P(x_1,x_2,...,x_n;\mu,\sigma))}{\partial\mu}= \frac{n}{\sigma^2}[\mu - (x_1+x_2+...+x_n)] μln(P(x1,x2,...,xn;μ,σ))=σ2n[μ(x1+x2+...+xn)]
    ​ 上式左半部分为对数损失函数。损失函数越小越好,因此我们令等式左半的对数损失函数为0,可得:
    μ = x 1 + x 2 + . . . + x n n \mu=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} μ=nx1+x2+...+xn
    同理,可计算 σ \sigma σ

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