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  • 如何算定积分
    千次阅读
    2022-03-16 15:01:31

    求 ∫ 0 1 e x   d x 求\begin{matrix} \int_{0}^{1} e^{x}\, dx\end{matrix} 01exdx
    方法一:

    from sympy import *
    import math
    x = symbols('x')
    print(integrate(math.e**x, (x, 0, 1))) 
    

    方法二:
    首先把积分区间分成N小段,然后计算每段间隔对应的小矩形面积(底为dx,高为对应的函数值),接着将它们累加求和,得到的积分值。

    import numpy as np
    #进行积分时,现将积分区间分成N段,N在不超限度时越大结果越精确
    N=100000
    x=[]
    for k in range(0,N):
        x.append(1/N*k)  #将积分区间分成n段放入x数组内
    dx=[]  #dx数组代表微分值
    y=[]   #y代表N个离散化的x的对应的函数值
    #循环得到完整的dx,y数组
    for k in range(0,N-1):
        y.append(np.exp(x[k]))
        dx.append(x[k+1]-x[k])
    #将x、y、dx转化成numpy的矩阵格式
    x=np.matrix(x)
    y=np.matrix(y)
    dx=np.matrix(dx)
    #对应位置的dx,y相乘,累加起来就是积分值
    I_num=np.sum(np.multiply(y,dx))
    
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    石素玮

    0c727d0dacf070e34822cf2098ef1930.png

    35962dd6a73440b2fdcb44e8a885d6bd.png

    【摘要】定积分的计算方法在积分学中具有重要的地位,其计算方法和技巧也非常丰富,切实掌握求积分的方法很有必要.本文系统地归纳和分析了定积分的计算方法,有助于提高学生定积分的计算能力.

    【关键词】定积分;被积函数;积分区间;计算方法

    【基金项目】福建省自然科学基金计划项目(2018J01101);厦门大学嘉庚学院横向科研项目(JGH2017022);漳州市科技计划项目(2018G0201).

    定积分是微积分三大基本运算之一,也是计算重积分、曲线积分和曲面积分的基础.本文对定积分的常规计算方法——定义法、Newton-Leibniz公式法、换元积分法、分部积分法等,进行歸纳并分析各种方法的用途和注意事项,方便学生在计算定积分时进行方法的选择,从而提高计算效率,开拓解题思路,提高计算定积分的能力.

    下面我们主要讲解定积分在计算过程中通常所使用的方法.

    一、利用定义计算定积分

    按定积分的定义,不一定要将区间n等分,只要最长的小区间长度趋于零即可.

    由例1可知,通过求积分和的极限来计算定积分一般来说是比较困难的.

    二、利用几何意义计算定积分

    定积分的几何意义:设函数f(x)定义在区间[a,b]上,若f(x)≥0,则∫baf(x)dx表示由连续曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,x轴所围成的曲边梯形的面积S;若f(x)≤0,则∫baf(x)dx等于该曲边梯形的面积的相反数∫baf(x)dx=-S.

    三、利用Newton-Leibniz公式计算定积分

    该方法的关键是容易找到被积函数的原函数,这样就可以直接计算,如果被积函数的原函数不容易找到,则可借鉴以下计算方法.

    四、利用换元积分法和分部积分法计算定积分

    (一)凑微分

    (二)被积函数含有无理因子时

    (三)三角代换

    (四)分部积分法

    五、利用倒代换计算定积分

    当被积函数分母所含多项式的次数明显高于分子所含多项式的次数时,可采用倒代换,即令x=1t.

    综上所述,定积分的计算有很强的灵活性,形式多样,对于具体的函数的积分,我们只能通过具体问题具体分析,再通过尝试求出定积分的值.

    【参考文献】

    [1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

    [2]肖筱南,曹镇潮,宣飞红,等.微积分[M].北京:北京大学出版社,2009.

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  • 本文章是关于C语言实现定积分求解方法。
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    本小节求解下述定积分:

    equation?tex=+%5Cint_%7B0.7%7D%5E4%28cos%282%CF%80x%29e%5E%7B-x%7D%2B1.2%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx

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    微实践 - 定积分求解

    ​本小节求解下述定积分:

    equation?tex=%5Cint_%7B0.7%7D%5E4%28cos%282%CF%80x%29e%5E%7B-x%7D%2B1.2%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx , 为了方便说明,我们先使用下述代码画出示意图:

    import numpy as np

    from matplotlib import pyplot as plt

    x = np.linspace(0,6,1000)

    y = np.cos(2*np.pi*x)*np.exp(-x)+1.2

    plt.axis([np.min(x),np.max(x),0,np.max(y)]) #坐标范围

    plt.plot(x,y,label="$cos(2πx)e^{-x}+1.2$") #画曲线,带图示

    plt.fill_between(x,y1=y,y2=0,where=(x>=0.7)&(x<=4), #填充积分区域

    facecolor='blue',alpha=0.2)

    plt.text(0.5*(0.7+4),0.4,r"$\int_{0.7}^4(cos(2πx)e^{-x}+1.2)\mathrm{d}x$",

    horizontalalignment='center',fontsize=14) #增加说明文本

    plt.legend() #显示图示

    plt.show()

    执行结果:

    ​ plt.axis()函数设定了图的坐标范围。fill_between(x,y1=y,y2=0,where=(x>=0.7)&(x<=4)...)则用于填充积分区域,其中,x和y1构成曲线1; x和y2=0构成曲线2(也就是横坐标线);该函数填充两条曲线之间x值域为[0.7,4]的部分,where参数指明了这个值域。facecolor指定填充颜色,alpha参数指定透明度。

    ​ plt.text()则在图上添加文本,前两个参数指定了文本的坐标位置,horizontalalignment='center'要求文本在指定的位置水平居中摆放(指定位置位于文本的水平中心)。r"$...$"为文本内容:字符串前加表示放弃对字符串内的内容进行\转义;两个"为文本内容:字符串前加r表示放弃对字符串内的内容进行\转义;两个$包含起来说明其中的内容为LaTeX格式的公式。

    ​ 显然,上述定积分就是上图中阴影部分的面积。

    ​ 方法1:分成小矩形,计算面积和

    import numpy as np

    x = np.linspace(0.7,4.0,1000)

    y = np.cos(2*np.pi*x)*np.exp(-x)+1.2

    dx = x[1] - x[0] #每个矩形的宽度

    fArea = np.sum(y*dx) #矩形宽*高,再求和

    print("Integral area:",fArea)

    执行结果:

    Integral area: 4.032803310221616

    ​ 上述代码中,把曲线的阴影部分分成1000个矩形,每个矩形的宽都是dx,第i个矩形的高则是yi。每个矩形的长乘宽,再求和,得积分面积。

    ​ 方法2:使用quad()函数进行积分

    import math

    from scipy import integrate

    def func(x):

    print("x=",x) #用于展示quad()函数对func的多次调用

    return math.cos(2*math.pi*x)*math.exp(-x)+1.2

    fArea,err = integrate.quad(func,0.7,4)

    print("Integral area:",fArea)

    执行结果:

    x= 2.35

    x= 0.7430542279466668

    x= 3.9569457720533334

    x= 2.4613227224815875

    ...

    x= 3.4178741117287044

    Integral area: 4.029065401143393

    ​ 首先,我们定义了一个函数func(),它根据x计算y值。当对单个数值进行计算时,numpy的ufunc并不具备速度优势,所以我们使用了math模块。

    ​ integrate.quad()专门用于计算一元定积分,fArea,err = integrate.quad(func,0.7,4)取x值域[0.7,4]进行数值积分,在积分过程中,会反复调用func()函数计算y值。其返回一个元组,包括积分结果及误差。

    ​ integrate.quad()计算的积分会比方法1的矩形面积求和方法更加精确。

    本文节选自作者的B站MOOC及同名教材:Python编程基础及应用 — 重庆大学 高等教育出版社,作者亲授_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili​www.bilibili.com

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