项目关键路径
 
项目关键路径，在项目管理中，关键路径是指网络终端元素的元素的序列，该序列具有最长的总工期并决定了整个项目的最短完成时间。关键路径的工期决定了整个项目的工期。任何关键路径上的终端元素的延迟将直接影响项目的预期完成时间（例如在关键路径上没有浮动时间）。
  
 
 
 
 
 
 1起源
 2步骤
 3应用
 4优化方案策略的制定步骤
 5计划评审方法
 6关键路径的确定
 
 

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 项目关键路径 - 起源
 
 
 
 
 项目关键路径图册
 
 项目关键路径是一种网络图方法，由雷明顿-兰德公司(Remington- Rand)的JE克里(JE Kelly)和杜邦公司的MR沃尔克(MR Walker)在1957年提出的，用于对化工工厂的维护项目进行日程安排。它适用于有很多作业而且必须按时完成的项目。关键路线法是一个动态系统，它会随着项目的进展不断更新，该方法采用单一时间估计法，其中时间被视为一定的或确定的。  
 
 
 
 项目关键路径 - 步骤
 
 
 
 
 
 
 
 1）画出网络图，以节点标明事件，由箭头代表作业。这样可以对整个项目有一个整体概观。习惯上项目开始于左方终止于右方。   
 
 2）在箭头上标出每项作业的持续时间（T）  
 
 3）从左面开始，计算每项作业的最早结束时间（EF）。该时间等于最早可能的开始时间（ES）加上该作业的持续时间。   
 
 4）当所有的计算都完成时，最后算出的时间就是完成整个项目所需要的时间。  
 
 5）从右边开始，根据整个项目的持续时间决定每项作业的最迟结束时间（LF）。  
 
 6）最迟结束时间减去作业的持续时间得到最迟开始时间（LS）。  
 
 7）每项作业的最迟结束时间与最早结束时间，或者最迟开始时间与最早开始时间的差额就是该作业的时差。   
 
 8）如果某作业的时差为零，那么该作业就在关键路线上。   
 
 
 9）项目的关联路线就是所有作业的时差为零的路线。
 
 
 
 项目关键路径 - 应用
 
 
 
 
 
对于一个项目而言，只有项目网络中最长的或耗时最多的活动完成之后，项目才能结束，这条最长的活动路线就叫关键路径（Critical Path），组成关键路径的活动称为关键活动。其通常做法是： 
 1） 将项目中的各项活动视为有一个时间属性的结点，从项目起点到终点进行排列；
 
 
 2） 用有方向的线段标出各结点的紧前活动和紧后活动的关系，使之成为一个有方向的网络图； 
 

 3） 用正推法和逆推法计算出各个活动的最早开始时间，最晚开始时间，最早完工时间和最迟完工时间，并计算出各个活动的时差； 
 

 4） 找出所有时差为零或者为负数的活动所组成的路线，即为关键路径； 
 

 5） 识别出准关键路径，为网络优化提供约束条件； 
 

 它具有以下特点： 
 1）关键路径上的活动持续时间决定了项目的工期，关键路径上所有活动的持续时间总和就是项目的工期。 
 

 2）关键路径上的任何一个活动都是关键活动，其中任何一个活动的延迟都会导致整个项目完工时间的延迟。
 
 
 3）关键路径上的耗时是可以完工的最短时间量，若缩短关键路径的总耗时，会缩短项目工期；反之，则会延长整个项目的总工期。但是如果缩短非关键路径上的各个活动所需要的时间，也不至于影响工程的完工时间。 
 

 4）关键路径上活动是总时差最小的活动，改变其中某个活动的耗时，可能使关键路径发生变化。 
 

 5）可以存在多条关键路径，它们各自的时间总量肯定相等，即可完工的总工期。 
 关键路径是相对的，也可以是变化的。在采取一定的技术组织措施之后，关键路径有可能变为非关键路径，而非关键路径也有可能变为关键路径。
 
 
 
 
 项目关键路径 - 优化方案策略的制定步骤
 
 
 在项目管理中，编制网络计划的基本思想就是在一个庞大的网络图中找出关键路径，并对各关键活动，优先安排资源，挖掘潜力，采取相应措施，尽量压缩需要的时间。而对非关键路径的各个活动，只要在不影响工程完工时间的条件下，抽出适当的人力、物力和财力等资源，用在关键路径上，以达到缩短工程工期，合理利用资源等目的。在执行计划过程中，可以明确工作重点，对各个关键活动加以有效控制和调度。 
 
  目标一：时间优化，即根据对计划进度的要求，缩短项目工程的完工时间。 
 可供选择的方案： 
 1． 采取先进技术的措施如引入新的生产机器等方式，缩短关键活动的作业时间； 
 2． 利用快速跟进法，找出关键路径上的哪个活动可以并行； 
 3． 采取组织措施，充分利用非关键活动的总时差，利用加班、延长工作时间、倒班制和增加其它资源等方式合理调配技术力量及人、财、物等资源，缩短关键活动的作业时间。
 
 目标二：时间－资源优化，在考虑工程进度的同时，考虑尽量合理利用现有资源，并缩短工期，具体要求和做法是： 
 1． 优先安排关键活动所需要的资源； 
 2． 利用非关键活动的总时差，错开各活动的开始时间，拉平资源所需要的高峰，即人们常说的“削峰填谷”； 
 3． 在确实受到资源限制，或者在考虑综合经济效益的条件下，也可以适当地推迟工程时间。
 
 目标三：时间－费用优化。这个目标包括两个方面，一个是指在保证既定的工程完工时间的条件下，所需要的费用最少；或者是在限制费用的条件下，工程完工时间最短。 
 一般来讲，工程费用可分为直接费用和间接费用两大类，其中直接费用包括直接生产的工人工资及附加费，设备折旧、能源、工具及材料消耗等直接与完成活动有关的费用。为缩短活动的作业时间，需要采取一定的技术组织措施，相应地需要增加一部分直接费用，如为了赶工增加设备或者单位时间内增加能源消耗等。因此，在一定条件下和一定范围内，活动的作业时间越短，直接费用越多。间接费用通常包括管理人员的工资、办公费等,从成本会计上，我们把间接费用按照工程的施工时间进行直接分摊。在一定的生产规模内，活动的作业时间越短，分摊的间接费用也越少。因此，我们有以下时间-费用函数： Y = f1(t) + f2(t) 
 Y：总费用 
 f1(t)：直接费用 
 f2(t)：间接费用 
 该方程式表明，工程项目的不同完工时间所对应的活动总费用和工程项目所需要的总费用随着时间的变化而变化。假设当 t = T’ 时，Y’ = Min(Y) 即工程总费用达到最低点，我们将T’点称为最低成本日程(我们可以用一阶导数为零,二阶导数为正来求得T’点)。在制订网络计划时，无论是以降低费用为主要目标，还是尽量缩短工程完工时间为主要目标，都要计算最低成本日程，从而拟定出时间-费用的优化方案。
 
 从上面的分析可以看出，CPM主要是一种基于单点时间估计、有严格次序的一种网络图。它的出现为项目提供了重要的帮助，特别是为项目及其主要活动提供了图形化的显示，这些量化信息为识别潜在的项目延迟风险提供极其重要的依据。但是，我们也应用看到其不足之处：首先，现实生活中的项目网络往往包括上千项活动，在制定网络图时，极其容易遗漏；其次，各个工资之间的优先关系未必十分明确，难以做图；最后是各个活动时间经常需要利用概率分布来估计时间点，有可能发生的偏差；最后，确定关键路径目标其实质上为了确保项目按照这一特定的顺序严格执行，从而不至于使整个项目停顿、拖延，如果管理团队对确实无法确定的工作，就应该在项目运作的计划中进行充分的分析和重新安排，此是网络计划显得无能为力。因此在项目中，CPM也需要其它工具和方法同时辅助使用。[2]
 
 
 
 项目关键路径 - 计划评审方法
 
 
 计划评审方法（program evaluation and review technique, PERT）和关键路线法Critical Path Method,CPM)是网络分析的重要组成部分，它广泛地用于系统分析和项目管理，计划评审与关键路线方法是在20世纪50年代提出并发展起来的。1956年，美国杜邦公司为了协调企业不同业务部门的系统规划，提出了关键路线法。1958年，美国海军武装部在研制“北极星”导弹计划时，由于导弹的研制系统过于庞大、复杂，为找到一种有效的管理方法，设计了计划评审方法。由于PERT与CPM既有着相同的目标应用，又有很多相同的术语，这两种方法已合并为一种方法，在国外称为PERT/CPM，在国内称为统筹方法（scheduling method）。  
 
 
 
 
 项目关键路径 - 关键路径的确定
 
 
 确定关键路径一般有两种方法。
 ①路径最长法。采用列举的方式，分别计算网络图中每条路径的时间长度，以时间长度最大的为关键路径。
 ②时差最小法。网络图中总时差最小的路径为关键路径，特别地，当计划工期等于计算工期时，关键路径的总时差为零，开始和结束的时间没有一点机动的余地，因此由总时差等于零的工作组成的路径即为关键路径。这种用计算工作总时差的方法确定网络图中的关键工作是确定关键路径的最常用的方法。[3]
 

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

项目管理关键路径确定方法
 

 
 
    
 
某项目的网络图如图3-22所示。如果该项目的规定完工时间为42天，试用两种方法确定该项目的关键路径。
 
 
 
计算过程详解：
 
 
 
一、根据工期节点植入相应数值
 
 
 
先在表中的“活动”和“活动工期”栏目中根据节点图中填入有关数据相应的数值，即：A、B、C、D、E、F、G、H，以及3、10、8、15、7、20、12、6。
 
 
 
二、由A开始逐步推算出各活动的最早开始时间和最早完成时间
 
 
 
基本原理（规则）：
 
 
 
I、对于一开始就进行的活动，其最早开始时间为0。某项活动的最早开始时间必须等于或晚于直接指向这项活动的所有活动的最早完成时间中的最晚时间。
 
 
 
II、计算每项活动的最早开始时间时，应以项目预计开始时间为参照点进行正向推算。对于中间的活动，其活动的最早开始时间就是其前置活动的最早完成时间中的最晚时间。
 
 
 
III、根据项目的最早开始时间来确定项目的最早完成时间。最早完成时间可在这项活动最早开始时间的基础上加上这项活动的期望活动工期（Duration，DU）进行计算，即EF＝ES＋DU。
 
 
 
1、计算题目中的第一个活动A的“最早开始时间”和“最早完成时间”
 
 
 
（1）根据“对于一开始就进行的活动，其最早开始时间为0。”的规则，在A的第3列中填入“0”；
 
 
 
（2）根据“根据项目的最早开始时间来确定项目的最早完成时间。最早完成时间可在这项活动最早开始时间的基础上加上这项活动的期望活动工期（Duration，DU）进行计算，即EF＝ES＋DU。”的规则，计算A的“最早完成时间”应该是0+3=3，在A的第4列中填入“3”；
 
 
 
2、得出第一个活动A的“最早开始时间”和“最早完成时间”后，接下来计算紧接A活动后面的B、C、D活动的最早开始时间和最早完成时间：
 
 
 
（1）根据“计算每项活动的最早开始时间时，应以项目预计开始时间为参照点进行正向推算。对于中间的活动，其活动的最早开始时间就是其前置活动的最早完成时间中的最晚时间。”的规则，B、C、D的前置活动只有A，那么A的最早完成时间，就是它们的“最早开始时间”，在B、C、D的第3列中均填入“3”。
 
 
 
（2）根据“根据项目的最早开始时间来确定项目的最早完成时间。最早完成时间可在这项活动最早开始时间的基础上加上这项活动的期望活动工期（Duration，DU）进行计算，即EF＝ES＋DU。”的规则，分别计算出B、C、D的最早完成时间：
 
 
 
B的最早完成时间=3+10=13；
 
 
 
C的最早完成时间=3+8=11；
 
 
 
D的最早完成时间=3+15=18
 
 
 
把“13”、“11”、“18”，填入表格中的相应空格。
 
 
 
3、计算活动E、F的最早开始时间（注意计算任何活动的最早开始时间，都必须在其前置的活动的最早完成时间算出后进行，题中的E的前置活动是B、F的前置活动是C，B和C的最早完成时间都是计算完成）和最早完成时间
 
 
 
（1）计算E、F的最早开始时间
 
 
 
根据“计算每项活动的最早开始时间时，应以项目预计开始时间为参照点进行正向推算。对于中间的活动，其活动的最早开始时间就是其前置活动的最早完成时间中的最晚时间。”的规则，E的前置活动只有B，则E的最早开始时间就是B的最早完成时间，即为“13”；F的前置活动只有C，则F的最早开始时间就是C的最早完成时间，即为“11”。把“13”和“11”填入表格的相应空格内；
 
 
 
（2）计算E、F的最早完成时间
 
 
 
根据“根据项目的最早开始时间来确定项目的最早完成时间。最早完成时间可在这项活动最早开始时间的基础上加上这项活动的期望活动工期（Duration，DU）进行计算，即EF＝ES＋DU。”的规则，分别计算出E、F的最早完成时间：
 
 
 
E的最早完成时间=13+7=20；
 
 
 
F的最早完成时间=11+20=31；
 
 
 
把“20”、“31”，填入表格中的相应空格。
 
 
 
4、计算G的最早开始时间和最早完成时间
 
 
 
（1）根据“计算每项活动的最早开始时间时，应以项目预计开始时间为参照点进行正向推算。对于中间的活动，其活动的最早开始时间就是其前置活动的最早完成时间中的最晚时间。”的规则，G的前置活动有二个，分别是D和E，他们的最早完成时间，分别是18和20。那么“其前置活动的最早完成时间中的最晚时间”应该是20，20也就是G的最早开始时间。
 
 
 
根据“EF＝ES＋DU。”，G的最早完成时间=20+12=32
 
 
 
5、计算H的最早开始时间和最早完成时间
 
 
 
（1）根据“计算每项活动的最早开始时间时，应以项目预计开始时间为参照点进行正向推算。对于中间的活动，其活动的最早开始时间就是其前置活动的最早完成时间中的最晚时间。”的规则，H的前置活动有二个，分别是F和G，他们的最早完成时间，分别是31和32。那么“其前置活动的最早完成时间中的最晚时间”应该是32，32也就是H的最早开始时间。
 
 
 
根据“EF＝ES＋DU。”，H的最早完成时间=32+6=38
 
 
 
 
 
 
 
三、根据总工期计算
 
教材中总工期是42天由H开始逆向推算出各活动的最迟开始时间和最迟完成时间
 
 
 
基本原理（规则）：
 
 
 
I、对于最后完成的活动，其最迟完成时间就是项目规定的完工期。
 
 
 
II、某项活动的最迟完成时间必须等于或早于该活动直接指向的所有活动最迟开始时间的最早时间。
 
 
 
III、计算每项活动的最迟完成时间时，应以项目预计完成时间为参照点进行逆向推算。对于中间的活动，其活动的最迟完成时间就是其后置活动的最迟开始时间的最早时间。
 
 
 
IV、最迟开始时间可在该活动最迟完成时间的基础上减去该活动的期望活动工期得出，即LS＝LF－DU。
 
 
 
1、计算最后一个活动H的最迟完成时间和最迟开始时间
 
 
 
（1）根据“对于最后完成的活动，其最迟完成时间就是项目规定的完工期。”的规则，H的最迟完成时间为42；
 
 
 
（2）根据“最迟开始时间可在该活动最迟完成时间的基础上减去该活动的期望活动工期得出，即LS＝LF－DU”的规则，H的最迟开始时间=42-6=36。
 
 
 
把“42”、“36”分别填入表格中的相应空格。
 
 
 
2、计算G、F的最迟完成时间和最迟开始时间
 
 
 
（1）根据“对于中间的活动，其活动的最迟完成时间就是其后置活动的最迟开始时间的最早时间。”的规则，
 
 
 
G的后置活动只有H，那么G的最迟完成时间=H的最早开始时间，即为36。
 
 
 
F的后置活动只有H，那么F的最迟完成时间=H的最早开始时间，即为36。
 
 
 
把“36”、“36”分别填入表格中的相应空格。
 
 
 
（2）根据“最迟开始时间可在该活动最迟完成时间的基础上减去该活动的期望活动工期得出，即LS＝LF－DU”的规则，
 
 
 
G的最迟开始时间=G的最迟完成时间-G的工期=36-12=24；
 
 
 
F的最迟开始时间=F的最迟完成时间-F的工期=36-20=16；
 
 
 
把“24”、“16”分别填入表格的相应空格中。
 
 
 
3、计算活动E、D的最迟完成时间和最迟开始时间
 
 
 
（1）根据“对于中间的活动，其活动的最迟完成时间就是其后置活动的最迟开始时间的最早时间。”的规则，
 
 
 
E的后置活动只有G，那么E的最迟完成时间=G的最早开始时间，即为24。
 
 
 
D的后置活动只有G，那么D的最迟完成时间=G的最早开始时间，即为24。
 
 
 
把“24”、“24”分别填入表格中的相应空格。
 
 
 
（2）根据LS＝LF－DU公式计算E、D的最早开始时间
 
 
 
E的最迟开始时间=E的最迟完成时间-E的工期=24-7=17；
 
 
 
D的最迟开始时间=D的最迟完成时间-D的工期=24-15=9；
 
 
 
4、计算C、B的最迟完成时间和最迟开始时间
 
 
 
计算原理和方法和“3、计算活动E、D的最迟完成时间和最迟开始时间”一样，以下简述：
 
 
 
C的后置活动只有F，那么C的最迟完成时间=F的最早开始时间，即为16。
 
 
 
B的后置活动只有E，那么B的最迟完成时间=E的最早开始时间，即为17。
 
 
 
相应的，
 
 
 
C的最迟开始时间=C的最迟完成时间-C的工期=16-8=8；
 
 
 
B的最迟开始时间=B的最迟完成时间-B的工期=17-10=7；
 
 
 
把以上计算的16、17、8、7四个数据分别填入相应空格
 
 
 
5、计算A的最迟完成和最迟开始时间
 
 
 
（1）分析A活动的后置活动，一共有三个，分别是：D、C、B
 
 
 
根据“其活动的最迟完成时间就是其后置活动的最迟开始时间的最早时间。”的规则，A的最迟完成时间=后置活动的最早开始时间的最早时间（前面已经计算出来了，D、C、B的三个最早开始时间，为9、8、7，那么这三个中的最早时间应该为“7”）=B的最早开始时间=7
 
 
 
把“7”填相应空格
 
 
 
（2）根据LS＝LF－DU公式计算A的最迟开始时间
 
 
 
A的最迟开始时间=A的最迟完成时间-A的工期=7-3=4；
 
 
 
至此，已经把各活动的最早开始、最早完成时间，以及最迟开始、最迟完成时间全部计算完成，并填入了表格
 
 
 
 
 
 
 
四、计算各活动的时差
 
 
 
时差=最迟开始时间-最早开始时间-工期=最迟完成时间-最早完成时间=机动时间
 
 
 
不管是利用“开始”的那组数据，还是利用“完成”的那组数据，都是“最迟-最早”，而且利用二组数据计算的结果应该是一样的。
 
 
 
把计算结果分别填入表格最右侧的一栏即可。
 
 
 
 
 
五、查找关键路径
 
 
 
第一种方法：由表格中的总时差值可看出，活动A、B、E、G和H具有正的最小时差。因此，活动A、B、E、G和H构成了网络图的关键路径。
 
 
 
第二种方法：运用“活动的时间相加得到的最长路径”来确定项目的关键路径：
 
 
 
在该项目的节点图上，有三条路径：
 
 
 
A、D、G、H，
 
 
 
A、B、E、G、H
 
 
 
A、C、F、H，
 
 
 
这三条路径的活动时间相加分别为36天、38天和37天，其中路径A、B、E、G、H活动时间相加是最长的，所以是关键路径。
 

 
 
 
 
 

1.关键路径（Critical Path）从起点到终点的花费时间最长的一条为关键路径。
 
注意：在关键路径上的任务的松弛时间为0  
 
●最早开始时间：在关键路径上，从开始到该任务的最早执行的时间
 
●最晚开始时间：关键路径的总时间-反向得出该任务的时间
 
讲解【网工2018年上半年真题】
 
（1）求该图中的关键路径
 
 起点：A 终点：L
 
第一步：先确定总共有多少路径，
 先看终点【I】，很明显有3个箭头指向终点【L】，那么我们判定总共有3条路径，解下来也就是要在这3条路径里面选取一个最长的路径(关键路径),
 如果路径中指向终点【L】的一个箭头是由两条路径汇聚成的，直接直接把短的路径PASS掉
 第二步：
 A-B-C-E-H-L =2+3+2+4+6=17
 A-B-F-I-J-L=2+6+4+4+3=19
 A-B-D-G-I-K-L=2+5+2+6+4+3=22（关键路径）
 
2.松弛时间（slack time）不影响完工前提下可能被推迟完成的最大时间；
 ●第一种求法：最晚开始时间-最早开始时间
 ●第二种求法：关键路径的总时间-包含该任务的关键路径花的时间
 
 
（2）求EH和IJ的松弛时间分别是多少
 
这个题用第二种求法，就是用关键路径的中时间。减去包含该任务关键路径花的时间。
 
该题总关键路径:A-B-D-G-I-K-L （长度为22）
 
接下来 我们再去找这个EH和IJ的关键路径，很明显
 
EH的关键路径 A-B-C-E-H-L=2+3+2+4+6=17
 
IJ的关键路径 A-B-D-G-I-J-L=2+5+2+6+3+1=19
 
总关键路径-EH的路径长度 =EH的松弛时间 即：22-17=5
 
总关键路径-IJ的路径长度 =IJ的松弛时间 即：22-19=3
 
EH的松弛时间（5）天
 IJ的松弛时间（3）天
 
  本次讲解就到这里了，关于网工考试有任何不清楚不明白的地方都可以私信

求解关键路径的步骤，先画出拓扑图，列出最早发生时间和最迟发生时间表，两个值相等的就是关键路径点，连起来就是关键路径。
 以下题为例：
 某信息系统项目包含如下七个活动。各活动的历时、活动逻辑关系如下表所示：
 
 （1）请给出该项目的关键路径和总工期。
 （2）请给出活动E、G的总浮动时间。
 （3）对各项活动测算发现，只有活动B、D有可能缩短工期，其余活动均无法缩短工期。如果将工期缩短2天，则工期应该如何压缩。
 解：求解关键路径如下：
 
 (1)关键路径：ADCE； 工期：26天 
 (2)(2) C总浮动时间：0天； G总浮动时间：2天
 (3) D是关键路径点，而B不是，压缩D可减少总工期，所以将D由12天压缩为10天；