一、线性规划模型三要素

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线性规划数学模型三要素 :

• ( 1 ) 决策变量 : 上述 产品甲乙 的个数 $x_1,x_2$ 就是决策变量 , 直接关系到利润的多少 ; ( 示例参考 【运筹学】线性规划数学模型 ( 三要素 | 一般形式 | 向量形式 | 矩阵形式 ) II . 线性规划示例 )
• ( 2 ) 目标条件 : 多个决策变量的线性函数 , 通常是求 最大值 或 最小值 问题 ; 上述示例中的 $maxZ=2x_1+3x_2$ 就是目标条件 ;
• ( 3 ) 约束条件 : 一组多个 决策变量 的线性等式 或 不等式 组成 , 如上述 3 ~ 7 的四种设备的使用时间限制 和 决策变量的取值范围 ;

参考博客 : 【运筹学】线性规划数学模型 ( 三要素 | 一般形式 | 向量形式 | 矩阵形式 )

二、线性规划一般形式和标准形式

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线性规划一般形式 :

$$\begin{array}{l}max(min)z={\sum }_{j=1}^n{c}_j{x}_j\\ \\ \{\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i& (i=1,2\cdots m)\\ & \\ x_j\ge 0& (i=1,2\cdots n)\end{array}\end{array}$$

线性规划标准形式 :

$$maxZ=\sum _{j=1}^n{c}_j{x}_j$$
$$s.t\{\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i& i=1,2,\cdots ,m\\ & \\ x_j\ge 0& j=1,2,\cdots ,n\end{array}$$

线性规划标准形式特点 :

• 1. 目标函数 : 目标函数都是求最大值 , 如果出现最小值 , 那么将其转为求最大值的形式 ;
• 2. 约束条件 : 约束条件都是等式方程 , 等式右侧的常数项 $b_i$ 大于等于 $0$ ;
• 3. 决策变量 : 决策变量 $x_j$ 大于等于 0 ;

约定 : 决策变量个数为 $n$ 个 , 约束条件不等式个数为 $m$ 个 , 约束条件不等式的系数为一个 $m\times n$ 矩阵 , $m$ 行 $n$ 列的矩阵 ;

三、线性规划普通形式转为标准形式

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参考博客 : 【运筹学】线性规划数学模型标准形式 ( 标准形式 | 目标函数转化 | 决策变量转化 | 约束方程转化 | 固定转化顺序 | 标准形式转化实例 ) ★★

1、目标函数

目标函数 转换 : 求 极小值 转为 求 极大值 ;

如果目标函数是
$$\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=\sum {\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}$$
可以将目标函数乘以 $-1$ ,
$$-\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-\sum {\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}$$
$W$ 是大于 $0$ 的数 , $W$ 的最小值时 , $-W$ 是最大值 , $W$ 是最大值时 , $-W$ 是最小值 , 这里令 $Z=-W$ , 可以得到
$$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{Z}=-\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{W}=-\sum {\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}$$

2、决策变量约束

1 . 针对没有约束的变量

无约束变量 转换 : 所有的决策变量必须 $\ge 0$

如果某个决策变量 $x_j$ 没有任何约束 , 在标准形式中 , 所有的决策变量必须都大于等于 0 ;

这里令 $x_j=x_j^{\prime }-x_j^{\prime \prime }$ , 其中 $x_j^{\prime }\ge 0$ , $x_j^{\prime \prime }\ge 0$

2 . 针对小于等于 $0$ 的变量

如果出现 变量约束 $x_j\le 0$ , 需要将该变量约束转为大于等于 0 ( $\ge 0$ ) 的情况 ;

当前 $x_j\le 0$ , 令 $x_j^{\prime }=-x_j$ , 此时 $x_j^{\prime }\ge 0$ ;

3、等式约束方程

约束方程 转换 : 在线性规划中 , 约束方程都是等式 , 需要将不等式 ( $\le$ , $\ge$ ) 转为 等式 ( $=$ ) ;

1. 针对小于等于的不等式 :

$$\sum a_{ij}{x}_j\le b_i$$

等式左边比右边小 , 左侧加上一个 变量 $x_{n+i}$ 与右侧相等 ;

$$\sum a_{ij}{x}_j+x_{ni}=b_i$$

这个 $x_{n+i}$ 称为松弛变量 ;

2. 针对大于等于的不等式 :

$$\sum a_{ij}{x}_j\ge b_i$$

等式左边比右边小 , 左侧加上一个 变量 $x_{n+i}$ 与右侧相等 ;

$$\sum a_{ij}{x}_j-x_{ni}=b_i$$

这个 $x_{n+i}$ 称为剩余变量 ;

4、总体顺序说明

① 先处理变量没有约束的问题 , 需要用两个 $\ge 0$ 的变量替换原来的变量 ;

这里特别注意 , 之后处理 约束方程 , 每个步骤都要讲该变量替换掉 ;
该步骤优先级最高 ;

② 在处理约束方程 , 如果是 $\le$ 不等式 , 需要在不等式左侧加入松弛变量 , 将不等式转为等式 ; 如果是 $\ge$ 不等式 , 不等式左侧需要减去一个 剩余变量 , 将不等式转为等式 ;

该处理过程会增加新的变量 , 如松弛变量或剩余变量 , 优先级 低于 处理没有变量约束 的问题 ;

③ 约束方程等式右侧常数必须大于 $0$ , 如果右侧的常数小于 $0$ , 在等式左右两侧都乘以 $-1$ ;

④ 先将之前 替换 或 新增的变量加入到目标函数中 , 在处理最大值最小值的问题 , 如果目标函数求最大值 , 什么都不用做 , 如果目标函数求最小值 , 需要将 求最小值的目标函数转为求最大值的目标函数 , 两边乘以 $-1$ ;

目标函数需要将之前所有的变量都总结到一起 , 上述两个步骤都会增加新的变量 , 因此转换目标函数的工作放在最后 ;

自下而上 : 变量约束都大于等于 $0$ , 约束不等式转等式 , 约束方程右侧大于 $0$ , 目标函数必须求最大值 ;

5、线性规划标准形式转化案例

下面是线性规划问题模型 , 将其转化为标准形式 :

$$\begin{array}{l}minW=-2x_1+x_2+3x_3\\ \\ \\ \{\begin{array}{l}5x_1+x_2+x_3\le 7\\ \\ x_1-x_2-4x_3\ge 2\\ \\ -3x_1+x_2+2x_3=-5\\ \\ x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_3无约束\end{array}\end{array}$$

1. 处理变量无约束的问题 ( 变量必须大于 0 )

处理决策变量 $x_3$ 无约束的问题 , 在标准形式中 , 所有的变量必须都 $\ge 0$ ;
这里使用 $x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime }$ 代替 $x_3$ , 新增加的两个变量
$$x_3^{\prime },x_3^{\prime \prime }\ge 0$$

注意之后的每个步骤都要考虑 将 $x_3$ 转为 $(x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime })$ ;

2. 约束方程 $5x_1+x_2+x_3\le 7$ 转化 ( 松弛变量 )

该约束条件是 $\le$ 不等式 , 需要在左侧加上 松弛变量 $x_4$ , 将 小于等于不等式 转为等式 ;
$$5x_1+x_2+(x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime })+x_4=7$$

3. 约束方程 $x_1-x_2-4x_3\ge 2$ 转化 ( 剩余变量 )

该约束条件是 $\ge$ 不等式 , 需要在左侧减去 剩余变量 $x_5$ , 将 大于等于不等式 转为等式 ;
$$x_1-x_2-4(x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime })-x_5=2$$

4. 约束方程 $-3x_1+x_2+2x_3=-5$ 转化 ( 右侧常数转正数 )

该式子是等式 , 但是右侧常数小于 $0$ , 这里需要将右侧的常数转化为正数 , 在方程两边乘以 $-1$ ;

$$\begin{gathered} \begin{array}{lc} \\ 原式:& -3x_1+x_2+2x_3=-5\\ & \\ 两边乘以-1:& (-1)\times (-3x_1+x_2+2x_3)=(-1)\times (-5)\\ & \\ 最终结果:& 3x_1-x_2-2(x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime })=5\end{array} \end{gathered}$$

5. 目标函数转化

转化顺序说明 : 在处理上述转化时 , 需要加入新的变量 , 如 无约束的变量需要增加两个变量 , 约束方程的 松弛变量 和 剩余变量 , 因此目标函数最后转化 ;

( 1 ) 将新增的变量加入

原目标函数为 :
$$minW=-2x_1+x_2+3(x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime })$$
新增的变量 :

• ① 之前 $x_3$ 没有约束变量 , 使用 $x_3^{\prime },x_3^{\prime \prime }$ 代替 ;
• ② 处理 $\le$ 不等式时 , 加入了 $x_4$ 松弛变量 ;
• ③ 处理 $\ge$ 不等式时 , 加入了 $x_5$ 剩余变量 ;

此时加入 新增变量 后的 目标函数 为 :

$$minW=-2x_1+x_2+3(x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime })+0x_4+0x_5$$

( 2 ) 最小值 转 最大值

标准形式的目标函数是求最大值 , 这里在上面加入变量的结果的基础上 , 两边乘以 $-1$ , 得到如下公式 :

$$maxZ=2x_1-x_2-3(x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime })+0x_4+0x_5$$

6. 最终结果 :

$$\begin{array}{l}maxZ=2x_1-x_2-3(x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime })+0x_4+0x_5\\ \\ \\ \{\begin{array}{l}5x_1+x_2+(x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime })+x_4=7\\ \\ x_1-x_2-4(x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime })-x_5=2\\ \\ 3x_1-x_2-2(x_3^{\prime }-x_3^{\prime \prime })=5\\ \\ x_1,x_2,x_3^{\prime },x_3^{\prime \prime },x_4,x_5\ge 0\end{array}\end{array}$$

参考博客 : 【运筹学】线性规划数学模型标准形式 ( 标准形式 | 目标函数转化 | 决策变量转化 | 约束方程转化 | 固定转化顺序 | 标准形式转化实例 ) ★★

四、线性规划解、可行解、最优解

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线性规划标准形式如下 :

$$\begin{array}{l}maxZ={\sum }_{j=1}^n{c}_j{x}_j\\ \\ s.t\{\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i& i=1,2,\cdots ,m\\ & \\ x_j\ge 0& j=1,2,\cdots ,n\end{array}\end{array}$$

可行解 : 满足约束条件的解 , 称为可行解 ;

可行域 : 所有的可行解组成的集合 , 称为可行域 ;

最优解 : 使目标函数达到最大值的可行解 , 称为最优解 ;

线性规划求解就是在 可行解 中找出一个 最优解 ;

将线性规划转化为标准形式 , 就可以使用求解方程组的方法 , 求解线性规划的可行解 ;

五、线性规划 基、基向量、基变量、非基变量

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$A$ 矩阵是 $m\times n$ 维的矩阵 , $m$ 行 , $n$ 列 , 线性规划中 , 有 $n$ 个变量 , $m$ 个等式 ;

矩阵 $A$ 的秩是 $m$ , 即等式个数 ;

矩阵 $A$ 中肯定能找到一个可逆的方阵 , 矩阵 $B$ ;

矩阵 $B$ 是矩阵 $A$ 中的满秩子矩阵 , 则称该 矩阵 $B$ 是线性规划问题的一个 基 ;

$$P_1{x}_1+P_2{x}_2+P_3{x}_3=b$$

上述示例中的 $\left(P_1{P}_2\right)$ 就是线性规划中的基 ;

$\left(P_1{P}_2\right)$ , $\left(P_1{P}_3\right)$ , $\left(P_2{P}_3\right)$ 都是线性规划的基 ;

基向量 : 上述 基矩阵 中的 $P_1,P_2,P_3$ 列向量 , 称为 基向量 ;

基变量 : 与基向量相乘的 $x_1,x_2,x_3$ 变量 , 称为 基变量 ;

非基变量 : 基变量之外的其它变量 , 称为非基变量 ;

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上一章：放款基本假定的模型

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经典单方程计量 经济学模型：专门问题

5.1虚拟变量模型

●根据因素的属性类型，构造只取 “0”或“1”的人工变量。通常称为虚拟变量，且记为D。
●一般地，在虚拟变量的设置中，基础类型和肯定类型取值为1，比较类型和否定类型取值为0。同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为虚拟变量模型。

一、虚拟变量的引入

●虚拟变量作为解释变量引入模型有两种基本方式：
①加法方式
②乘法方式

二、虚拟变量的设置原则

●虚拟变量的个数须按以下原则确定:
定性变量所需的虚拟变量个数要比该定性变量的类别数少1，即如果定性变量有m个类别，就在模型中引入m-1个虚拟变量。

5.2滞后变量模型

●某些经济变量不仅受到同期各种因素的影响，而且也受到过去某些时期的各种因素甚至自身的过去值的影响。通常把这种过去时期的具有滞后作用的变量叫做滞后变量，含有滞后变量的模型称为滞后变量模型。

一、滞后变量模型

●同样地，被解释变量当前的变化也可能受其自身过去水平的影响，这种被解释变量受到自身或另一解释变量的前几期值影响的现象称为滞后效应，表示前几期值的变量称为滞后变量。

●滞后效应产生的原因：
①心理原因
②技术原因
③制度原因

●滞后变量模型的一般形式为：

其中，q,s为滞后时间间隔，Y_t-q为被解释变量Y的第q期滞后，X_t-s为解释变量X的第s期滞后。由于模型既含有Y对自身滞后变量的回归，还包括着解释变量X分布在不同时期的滞后变量，因此一般称为自回归分布滞后模型。若滞后期长度有限，称模型为有限自回归分布滞后模型:若滞后期长度无限，则称模型为无限自回归分布滞后模型。

①分布滞后模型
如果滞后变量模型中没有滞后被解释变量，仅有解释变量X的当期值及其若干期的滞后值，称为分布滞后模型。分布滞后模型的一般形式为：

分布滞后模型的各系数体现了解释变量的当期值和各期滞后值对被解释变
量的不同影响程度，因此也称为乘数。β₀称为短期或即期乘数，表示本期X变化一个单位对Y平均值的影响程度。β_i (i=1,2,3,⋯s)称为动态乘数或延迟系数，表示各滞后期X的变动对Y平均值影响的大小。∑^s_i=0 β_i 则称为长期或均衡乘数,表示X变动一个单位，由于滞后效应而形成的对Y平均值总影响的大小。

②自回归模型
如果滞后变量模型中的解释变量仅包含X的当期值与被解释变量Y的一个或多个滞后值，则称为自回归模型。自回归模型的一般形式为：

其中，滞后期长度q也称为自回归模型的阶数.

二、分布滞后模型的参数估计

●对于有限期的分布滞后模型，普通最小二乘回归也会遇到如下问题：
①没有先验准则确定滞后期长度
②如果滞后期较长，将缺乏足够的自由度进行统计检验
③同名变量滞后值之间可能存在高度线性相关，即模型存在高度的多重共线性。

●分布滞后模型的修正估计方法思想：都是通过对各滞后变量加权，组成线性合成变量而有目的地减少滞后变量的数目，以缓解多重共线性，保证自由度。

●修正方法：
①经验加权法

对于有限期分布滞后模型，往往根据实际问题的特点，以及人们的经验给各滞后变量指定权数，并按权数构成各滞后变量的线性组合，形成新的变量，再讲行估计。

权数的类型有以下三类：
①递减型
②矩形
③倒V型

②阿尔蒙(Almon)多项式法

该方法的主要思想仍是针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙变换，定义新变量，以减少解释变量个数，然后用普通最小二乘法估计参数。

主要步骤如下：

由于m<s，可以认为原模型存在的自由度不足和多重共线性问题已得到改善。需注意的是，在实际估计中，阿尔蒙多项式的阶数m一般取2或3，不超过4，否则达不到减少变量个数的目的。

③科伊克(Koyck)方法

科伊克模型有两个特点:
①以个滞后被解释变量Y_t-1代替了大量的滞后解释变量X_t-i,最大限度地节省了自由度，解决了滞后期长度s难以确定的问题
②由于滞后一期的被解释变量Y_t-1与X_t的线性相关程度肯定可以小于X的各期滞后值之间的相关程度，从而缓解了多重共线性。

但科伊克变换同时也产生了两个新问题:
①模型存在随机干扰项v_t的一阶自相关性
②滞后被解释变量Y_t-1与随机干扰项v_t不独立，即Cov(Y_t-1, v_t)≠0.

三、自回归模型的参数估计

●许多滞后变量模型都可以转化为自回归模型，自回归模型是经济生活中吏常见的模型。

●自回归模型的构造：
①自适应预期模型
②局部调整模型

●自回归模型的参数估计：
①工具变量法
②普通最小二乘法

四、格兰杰因果检验

●当两个变量间在时间上有先导-滞后关系时，能否从统计上考察这种关系是单向的还是双向的呢？即主要是一个变量过去的行为在影响另一个变量的当前行为，还是双方的过去行为在相互影响着对方的当前行为？格兰杰(Granger)提出了个简单的检验程序，习惯上称为格兰杰因果关系检验。

●对两变量X与Y,格兰杰因果关系检验要求估计以下回归：

可能存在有4种检验结果：

格兰杰检验是通过受约束的F检验完成的。如针对假设：【X并不是Y的格兰杰原因】，即针对(5.2.30)式中X滞后项前的参数整体为零的假设，分别做包含与不包含X滞后项的回归，记前者的残差平方和为RSS_U.后者的残差平方和为RSS_R,再计算F统计量:

式中，m为X的滞后项的个数，n为样本容量，k为包含可能存在的常数项及
其他变量在内的无约束回归模型的待估参数的个数。

如果计算的F值大于给定显著性水平α下F分布的相应的临界值F_α (m,n-k)，则拒绝原假设，认为X是Y的格兰杰原因。

●需要指出的是，格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感，不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。因此，一般而言，常进行不同滞后期长度的检验，以检验模型中随机干扰项不存在序列相关的滞后期长度来选取滞后期。

●需要指出的是，格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感，不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。因此，一般而言，常进行不同滞后期长度的检验，以检验模型中随机干扰项不存在序列相关的滞后期长度来选取滞后期。

●由于假设检验的零假设是不存在因果关系，因此严格来说，该检验应该称为格兰杰非因果关系检验。