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  • 特别福利迟嘉成初中数学教育格言:努力实现中国优质教育资源均等化学而思网校初中数学明星教师,累计教授学员10万+。毕业于大连理工大学,中考数学150分,...在上周的文章当中,嘉成老师带着我们一起回顾了一次函数...
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    迟嘉成  初中数学

    教育格言:努力实现中国优质教育资源均等化

    学而思网校初中数学明星教师,累计教授学员10万+

    毕业于大连理工大学,中考数学150分,高考数学148分。

    学而思中考研究中心专家成员,所带学员80%以上有显著提升。

    熟知命题思路,重、难、易错考点把握精准。总结初中数学三大专题上百个几何、函数模型,课堂语言精炼、干货满满。

    在上周的文章当中,嘉成老师带着们一起回顾了一次函数面积问题的基本解法,还没有关注的同学可以戳这里先了解一下哦~ 其实对于一次函数面积问题来说,更多的时候我们看到的实际考题都会更加复杂。解决这一类问题的时候只掌握单纯的基本解法是不行的你还需要知道这些↓↓↓

    三线两相交

    即三条直线两两相交,求出三条直线围成的三角形面积

    具体题目展现形式: 0da68ce35dc5a74f7c5f2a1ac92aee9a.png其实,这个问题可以转化为给出平面直角坐标系内任意三点的坐标,求出以这三个点为顶点的三角形的面积。由于此时的三角形的底边均为倾斜的,这就需要用到一种全新的方法——铅锤法,或称宽高法来求三角形的面积。例题1:已知直线OA经过一三象限,A为第一象限内一定点,动点B不在直线OA上,且BA,BO不与y轴平行,求S△OAB。- 例题分析 -显然,这时候的三角形OAB的底并不在x轴,y轴上,即便求出底边长,高依旧是倾斜的,十分难算,因此,我们可以考虑割补法.如果采用补,补成一个矩形,减去周围三个小三角形的面积那也是可以的,但在今后,尤其是初三求二次函数图像上三点围成三角形面积最值时,点的坐标不能确定,就无法适用,所以今天重点介绍铅锤法.什么是铅锤法呢,就以例1来说,我们可以过点B作一条铅锤线,即作BD⊥x轴,与OA交于点C,则△OAB的面积就可以看作是△OBC与△ABC的面积之和或面积之差,此时,铅垂线BC反而转化为底边,再过点A作AE⊥x轴,则OA水平方向上的距离:即OE的长,可以看作OD与DE的和,或差,此时OD反而看作△OBC的高,DE看作△ABC的高,则△OAB的面积即可看成是f6e6f37d3df702d80d4131d2864d0f92.png - 例题解答 -为了让大家更直观的理解,将6种情况全部展示如下,后三种与前三种类似,故只给图,“无字证明”,可对照消化。84eb9ec997ec17fd69ca7f93ad3ad9aa.pnga9dab750181dbb9825275f334af11903.png2e0630884eda7d99374c3d39463e0255.png0452bfa034b1b1e7f6aacfa1e1ecb0b8.png以上几种情况,属于用多题一解进行验证,均选取OA水平方向的OE长为水平宽,过点B作铅锤线,以B点与OA交点C之间的距离作为铅锤高,从而得出了宽高公式,说的再透些,d25d7dea130c16f2baae500c446c32c7.png那么,这个公式能否通过一题多解来验证呢,答案当然是可以的,就以第一种情况为例。9735713a7c69cc4912cf44d707e3903f.png以上三图,O、A、B三点的位置均不变,我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽,过第三个点作铅垂线,与之前两点所在直线交于一点,第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅锤高,则问题均可圆满解决。例题2:已知A(-1,3),B(1,1),C(2,2),求S△ABC - 例题解答 -本题是最基本的练习,现用宽高法的三种不同形式都计算一遍来检验下:2343d7d00b3043adc72450aaf4fffea1.png550ea8eaf88ebd99ccf06483cda07d70.png

    - 嘉成老师解析 -

    这是一道基础的小题,题目当中运用了3种铅锤线法求面积。同学们重点关注第一种!因为在考试当中如果你能想到用铅锤线法来求,自己真实能够求解出来的就是第一种!铅锤线法往往会在大题的函数题当中出现,可以说只要在函数压轴题当中出现求面积80%都是用铅锤线法!不仅仅是现在的一次函数,在我们之后学习的二次函数也会用到!同学们一定好好体会!例题3:47d85c37d7e5bfab5f966a587468f20b.png - 例题解答 -899281110a25f700d49129fe8e9dc8df.png018e4caa8254b7254af37e32a1b93be6.png- 嘉成老师解析 -这道题目的本质,其实是把压轴题函数跟面积结合的题目中的铅锤线法单独拆开了!考试的时候就这么考!一定注意的是!!!分类讨论!!!多种情况!!!【凡是压轴题出现用铅垂线法求面积,必有分类讨论】,剩下的就跟我们文章中介绍的类型题做法一样了~5a9afd0347858efcf4ccd66f88c9dfe2.gif每周一 早八点!我们都会在【学而思网校初中课堂】公众号里为大家分享名师解析的干货秘籍你还想解决哪一类难题?又想在这档栏目中看到哪位名师呢?欢迎通过微信后台告知我们哦~c11945f417cd9d358332d0c4d9113c2f.giffe4f4b2a6dae4bfe4f1637047fedb170.gif0a70cf123906c616c8d89c50c1e32e23.gif   点击阅读原文,免费预约499元提升班efd1e9146ee6c4d10ff699c960d7d33e.png
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  • 这两类存在性问题,一般分个步骤,一是寻找分类标准,而是列方程,方程并验根。(突出利用两点间距离公式的思路)。探究等腰三角形的存在性问题时需将情况考虑全面,题目中未指定哪条边是腰或底边时,需分类...

    等腰三角形及直角三角形的存在性问题是中考数学的热点及难点问题,该问题还可以引生为等腰和直角共存的问题,但是无论什么样的情况,我们都需要先掌握基本的等腰三角形及直角三角形存在性问题的解法。解这两类存在性问题,一般分三个步骤,一是寻找分类标准,而是列方程,三是解方程并验根。(突出利用两点间距离公式的思路)。

    探究等腰三角形的存在性问题时需将情况考虑全面,题目中未指定哪条边是腰或底边时,需分类讨论哪两条边是腰的情况. 当有两个点是定点,一个是动点时,即"两定一动"型,有两种解决方法:①"两圆一线"法;②分类讨论法.

    对于直角三角形的存在性问题,应充分利用图形的几何关系,需要常常和相似三角形,锐角三角形函数提供的三角比解决,但无论是哪种方法,分类标准是共通的,而分类时寻找确定的直角顶点往往需要用到圆周角的知识。一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照勾股定理或者三角比列方程,有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。

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    涉及到与二次函数这两类特殊三角形存在性的问题可浓缩如下歌诀理解记忆:

    三角形与抛物线,分类讨论是关键,

    遇到面积求最值,铅锤割补来转变,

    遇到等腰三角形,两圆加上中垂线,

    遇到直角三角形,两线一圆细分辨,

    等腰直角三角形,先做垂线再判断。

    类型1 "两圆一线"模型精准定位等腰三角形个数及位置

    如图,线段AB,在平面内找一点C使得△ABC为等腰三角形;这样的点C的集合如下图所示,在以点A,B分别为圆心且AB为半径的圆和AB的垂直平分线上,除了与AB在同一直线上的点外的所有点,简称"两圆一线"。

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    1、等腰三角形找点(作点)方法:以已知边为边长,作等腰三角形,运用两园一线法,在图上找出存在点的个数,只找不求。

    2、等腰三角形求点方法:以已知边为边长,在抛物线或坐标轴或对称轴上找点,与已知点构成等腰三角形,先设所求点的坐标,然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度,然后分顶点进行讨论,

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    例1.(2018•安岳县二模)如图,抛物线y=﹣1/2x ²+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).

    (1)求抛物线的表达式;

    (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;

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    【解析】(1)直接把A点和C点坐标代入y=﹣1/2x ²+mx+n得m、n的方程组,然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式为y=﹣1/2x ²+3/2x+2;

    (2)先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣3/2,则D(3/2,0),利用两圆一线模型确定满足条件等腰三角形个数及具体位置,即分别以点C,D为圆心,以CD为半径作圆与抛物线对称轴有三个不同的交点,所以可以确定以CD为腰的等腰三角形的个数有三个,具体如图所示,

    则利用勾股定理计算出CD=5/2,然后分类讨论:如图1,当CP=CD时,利用等腰三角形的性质易得P₁(3/2,4);当DP=DC时,易得P₂(3/2,5/2),P₃(3/2,﹣5/2);

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    变式.如图,已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣3)三点,直线l是抛物线的对称轴.

    (1)求抛物线的函数关系式;

    (2)点P是直线l上的一个动点,当点PA+PC的值最小时,求点P的坐标;

    (3)点M也是直线l上的动点,且△MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.

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    【解析】(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可,故可抛物线的解析式:y=x²﹣2x﹣3.

    (2)由图知:A、B点关于抛物线的对称轴对称,连接BC得出P点位置,即为符合条件的为P(1,﹣2);

    (3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解.这里利用两圆一线模型精准确定满足条件等腰三角形个数及具体位置。

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    如图所示:抛物线的对称轴为:x=﹣b/2a=1,

    设M(1,m),已知A(﹣1,0)、C(0,﹣3),

    则:MA ²=m ²+4,MC ²=(3+m)²+1=m ²+6m+10,AC ²=10

    ①若MC=AC,则MC ²=AC ²,得:

    m ²+6m+10=10,得:m ₁=0,m ₂=﹣6;

    当m=﹣6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故M2舍去;

    ∴M ₁(1,0),

    ②若MA=AC,则MA ²=AC ²,得:

    m ²+4=10,得:m=±√6,

    综上可知,符合条件的M点,且坐标为 M(1,√6)(1,﹣√6)(1,﹣1)(1,0).

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    类型2"两线一圆"模型精准定位直角三角形个数及位置

    如图,线段AB,在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形;这样的点C的集合如下图所示,分别过点A,B作线段AB的垂线,并以AB为直径画圆,除点A,B以外的点都可以与点A,B构成直角三角形,这个模型简称"两线一圆"。

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    在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时,通常是以直角顶点作为分类标准,分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形,然后根据相关条件来进行求解即可。具体有以下三种情况:(1)过点A作直线AM垂直AB,交x轴于点M;(2)过点B作直线BM垂直AB,交x轴于点M;(3)根据直径所对的圆周角为90度,以AB为直径作圆,交x轴的点即为满足条件的点M(一般情况下有两个交点,特殊情况下只有一个交点),然后根据相关条件来进行求解即可

    例2(2018•安顺中考题)如图,已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中A(1,0),C(0,3).

    (1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;

    (2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;

    (3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

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    【解析】(1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式;把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式;

    ∴抛物线解析式为y=﹣x²﹣2x+3,直线y=mx+n的解析式为y=x+3;

    (2)设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值,即可求出点M坐标,M的坐标为(﹣1,2);

    (3)利用"两线一圆"模型确定满足条件直角三角形个数及具体位置,利用几何定位方法,利用代数法精准计算。设P(﹣1,t),又因为B(﹣3,0),C(0,3),所以可得BC²=18,PB²=(﹣1+3)²+t²=4+t²,PC²=(﹣1)²+(t﹣3)²=t²﹣6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.

    ①若点B为直角顶点,则BC²+PB²=PC²,即:18+4+t ²=t ²﹣6t+10解之得:t=﹣2;

    ②若点C为直角顶点,则BC ² +PC ²=PB ²即:18+t ²﹣6t+10=4+t ²解之得:t=4,

    ③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t ² +t ²﹣6t+10=18

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    变式(2018•大庆中考题)如图,抛物线y=x ² +bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(4,0),与y轴交于点C(0,4).

    (1)求抛物线的解析式;

    (2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值;

    (3)点D为抛物线对称轴上一点.

    ①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,直接写出点D的坐标;

    ②若△BCD是锐角三角形,直接写出点D的纵坐标n的取值范围.

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    【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式为y=x ²﹣5x+4;

    (2)易得BC的解析式为y=﹣x+4,先证明△ECF为等腰直角三角形,作PH⊥y轴于H,PG∥y轴交BC于G,如图1,则△EPG为等腰直角三角形,PE=√2/2PG,设P(t,t ²﹣4t+3)(1<t<3),则G(t,﹣t+3),接着利用t表示PF、PE,所以PE+EF=2PE+PF=﹣√2t ² +5√2t=﹣√2(t﹣5/2)² +25√2/4,当t=5/2时,PE+EF的最大值为25√2/4;

    (3)利用"两线一圆"模型确定满足条件直角三角形个数及具体位置,利用几何定位方法,利用代数法精准计算。

    ①如图2,抛物线的对称轴为直线x=5/2,

    设D(5/2,y),则BC ²=4 ² +4 ²=32,DC ²=(5/2)² +(y﹣4)2,BD ²=(4﹣5/2)² +y ²=9/4+y ²,

    当△BCD是以BC为直角边,BD为斜边的直角三角形时,BC ² +DC ²=BD ²,即32+(5/2)² +(y﹣4)²=9/4+y²,解得y=13/2,此时D点坐标为(5/2,13/2);

    当△BCD是以BC为直角边,CD为斜边的直角三角形时,BC² +DB²=DC²,即32+9/4+y² =(5/2)² +(y﹣4)²,解得y=﹣3/2,此时D点坐标为(5/2,﹣3/2);

    综上所述,符合条件的点D的坐标是(5/2,13/2)或(5/2,﹣3/2);

    ②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时,DC² +DB²=BC²,

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    方法总结:解决二次函数等腰或直角三角形存在问题的2个重要方法

    (1)几何法三部曲——其中几何法也称之为"画图法"

    1、先分类;2、再画图;3、后计算。

    (2)代数法三部曲——其中代数法也称之为"盲解法"

    1、先罗列三边;2、再分类列方程;3、后解方程、检验;

    (3)代数法和几何法相结合——代数解法实现盲解忙算,"两线一圆"实现精准定位,两者结合才谓百般好,相得益彰、又快又准。

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  • 咱这回用种不同的方法,来应对平常碰到的简单方程.Numpy 求解线性方程组例如我们要解一个这样的二元一方程组:x + 2y = 34x + 5y = 6当然我们可以手动写出解析,然后写一个函数来求解,这...

    # 首发于我的博客 The North.

    新年第一篇,搞起.

    这回写一个好久之前想做,一直搁着没做的东西—— Python 解方程(其实是放假回家,趁着家里电脑重装 LOL 的时间过来写一篇). 咱这回用三种不同的方法,来应对平常碰到的简单方程.

    Numpy 求解线性方程组

    例如我们要解一个这样的二元一次方程组:

    x + 2y = 3

    4x + 5y = 6

    当然我们可以手动写出解析解,然后写一个函数来求解,这实际上只是用 Python 来单纯做“数值计算”. 但实际上,numpy.linalg.solve 可以直接求解线性方程组.

    一般地,我们设解线性方程组形如 Ax=b,其中 A 是系数矩阵,b 是一维(n 维也可以,这个下面会提到),x 是未知变量. 再拿上面地最简单的二元一次方程组为例,我们用 numpy.linalg.solve 可以这样写:

    In [1]: import numpy as np

    ...: A = np.mat('1,2; 4,5') # 构造系数矩阵 A

    ...: b = np.mat('3,6').T # 构造转置矩阵 b (这里必须为列向量)

    ...: r = np.linalg.solve(A,b) # 调用 solve 函数求解

    ...: print r

    ...:

    Out[1]: [[-1.]

    [ 2.]]

    那么前面提到的“ n 维”情形是什么呢?实际上就是同时求解多组形式相同的二元一次方程组,例如我们想同时求解这样两组:

    x + 2y = 3

    4x + 5y = 6

    x + 2y = 7

    4x + 5y = 8

    就可以这样写:

    In [2]: import numpy as np

    ...: A = np.mat('1,2; 4,5') # 构造系数矩阵 A

    ...: b = np.array([[3,6], [7,8]]).T # 构造转置矩阵 b (这里必须为列向量),

    ...: 注意这里用的是 array

    ...: r = np.linalg.solve(A,b) # 调用 solve 函数求解

    ...: print r

    ...:

    Out[2]: [[-1. -6.33333333]

    [ 2. 6.66666667]]

    SciPy 求解非线性方程组

    先看官方文档的介绍:

    scipy.optimize.fsolve(func, x0, args=(), fprime=None, full_output=0, col_deriv=0, xtol=1.49012e-08, maxfev=0, band=None, epsfcn=None, factor=100, diag=None)[source]

    一般来说,我们只需要用到 func 和 x0 就够了. func 是自己构造的函数,也就是需要求解的方程组的左端(右端为 0),而 x0 则是给定的初值.

    我们来看一个具体的例子,求解:

    x + 2y + 3z - 6 = 0

    5 * (x ** 2) + 6 * (y ** 2) + 7 * (z ** 2) - 18 = 0

    9 * (x ** 3) + 10 * (y ** 3) + 11 * (z ** 3) - 30 = 0

    就可以这么写:

    In [3]: from scipy.optimize import fsolve

    ...:

    ...: def func(i):

    ...: x, y, z = i[0], i[1], i[2]

    ...: return [

    ...: x + 2 * y + 3 * z - 6,

    ...: 5 * (x ** 2) + 6 * (y ** 2) + 7 * (z ** 2) - 18,

    ...: 9 * (x ** 3) + 10 * (y ** 3) + 11 * (z ** 3) - 30

    ...: ]

    ...:

    ...: r = fsolve(func,[0, 0, 0])

    ...: print r

    ...:

    Out[3]: [ 1.00000001 0.99999998 1.00000001]

    当然,SciPy 也可以用来求解线性方程组,这是因为 scipy.optimize.fsolve 本质上是最小二乘法来逼近真实结果.

    SymPy 通吃一切

    例如求解一个:

    x + 2 * (x ** 2) + 3 * (x ** 3) - 6 = 0

    直接就是:

    In [4]: from sympy import *

    ...: x = symbols('x')

    ...: solve(x + 2 * (x ** 2) + 3 * (x ** 3) - 6, x)

    Out[4]: [1, -5/6 - sqrt(47)*I/6, -5/6 + sqrt(47)*I/6]

    另外,@Wayne Shi 的这篇 使用 Python 解数学方程,就重点讲述了 SymPy 解线性方程组的方法,所以我也就不再赘述了。

    其实 SymPy 能干的太多了,有兴趣的可以看一看 GitHub上的 Quick examples.

    最后

    安利自己一波,求一份关于 程序化投资 方向的寒假实习.

    这是我的简历(划掉),欢迎骚扰.

    展开全文
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    9650aa42969d727069530b94711dfef0.gif文末有excel文件下载,供各位读者需要时使用

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    众所周知,市场上债券的到期期限和付息时间往往不是均匀分布的,即便采用解鞋带法(bootstrapping)根据债券的价格来计算收益率,也只能得到有限个期限点上的数据。如何利用这一部分有限个已知点的值,计算出其他点的值,也是一个值得研究的问题。

    在上一篇文章《利率期限结构模型综述》中,我们知道静态模型可以分为参数模型和非参数模型两种,其中参数模型又包括直接推导法、逐点递推法、样条函数法、参数拟合法和最大平滑法等。上述模型中的一部分就可以用来解决上面的问题,其中实际应用中使用较多的是逐点递推法和样条函数法

    逐点递推法就是利用已知期限的即期利率,通过插值来获取未知期限的即期利率,主要包含有线性、非线性插值法和线性规划法三种技术。

    一、线性插值法

    线性插值法是最简单的一种插值法,将存在数据的两个点用直线连接,直线上的各点就是缺失的各点。

    65fce8111481702f95e27e44b3a6cd16.png

    如上图所示,已知A点和B点的坐标8646338aaa7ffdd818605b29859f8632.png,那么对于任意一个位于A点和B点之间的C点,假如其横坐标为x,那么我们由公式

    14ef21ec5fb60aed01fe9f17d0b12737.png

    就可以得到其纵坐标

    c2e6ef5c3ff0a657e914d577d12c0ff1.png

    线性插值法优点在于简单易算,但是生成的曲线将会是不连续、不可导的折线,不仅没有数学上的美感,而且也与实际情况不相符。

    二、非线性插值法

    与线性插值主要依据两点之间的斜率所不同的是,非线性插值考虑了三点形成的曲率,使得曲线更加平滑。主要包括多项式插值法和样条函数法,其中前者有拉格朗日(Lagrange)插值法、牛顿(Newton)插值法、埃尔米特(Hermite)插值法,后者有三次样条法等。

    (一)多项式法

    1.拉格朗日插值法

    拉格朗日插值法的基本思想是构建多项式,设函数354877323714008f36b117b37a955a75.png在区间66fdef6a21ad1ec7f608c5992874c1af.png上有定义,且已知在b46ab220fb2719b9e8270cc1ca5ed2af.png这n+1个点上的值分别为dc1c60d56cd77e5956cdf813c5827302.png。则存在一个次数不超过n的多项式

    15fcf4f2707200b71ca8800715b51acc.png

    满足b2f70fb744878db1d9b046ab823fb014.png6ba9a0beea7494001aa74d14f315d16c.png,并且满足上述条件的多项式c44c3f4a162a157eaee3077227e4e59e.png是唯一的。

    算法的具体计算方法如下,对某个多项式函数,已知有给定的k+1个取值点:

    0695a22773d6a75630ba037ece77ecad.png

    其中1fae1c026953ad42238968e4404bacf7.png对应着自变量的位置,而a39dee3481c302016fd7d329f7ffc9f5.png对应着函数在这个位置的取值。假设任意两个不同的1fae1c026953ad42238968e4404bacf7.png都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为:

    20680df6b21ddcb686159e7afb60ede2.png

    其中每个5f48b9e8d4738579bd4dd707df840cb7.png 为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为:

    a36db974e42cc4c9cdd0192b1266eab4.png

    c7dad28d67d396e4731db4ccfc88ac6c.png

    拉格朗日基本多项式的特点是5f48b9e8d4738579bd4dd707df840cb7.png1fae1c026953ad42238968e4404bacf7.png上取值为1,在其它的点55591f6dedab669b540bea0cfaa1e08e.png上取值为0。

    拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑,在理论分析中十分方便,然而在计算中,当插值点增加或减少一个时,所对应的基本多项式就需要全部重新计算,于是整个公式都会变化,非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外,当插值点比较多的时候,拉格朗日插值多项式的次数可能会很高,因此具有数值不稳定的特点,也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值,但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差。这类现象也被称为龙格现象(可参见第三部分),解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。

    2.牛顿插值法

    牛顿插值法是对朗格朗日插值法的改进,因为后者在加入新的节点时需要重新计算所有的数据。牛顿插值法引入了差商和差分,计算较为简单,尤其是插入新的节点时计算只需要增加一项,但是仍然未能克服拉格朗日插值法的节点处有尖点、不光滑、节点处不可导等缺点。

    由于牛顿插值法只是算法上的改进,对插值结果没有实质性变动,因此这里不再展开叙述。

    3.埃尔米特插值法

    埃尔米特插值法在拉格朗日插值法节点处函数相等的基础上加上导数相等的限制条件,使得曲线更加平滑

    作为多项式插值,三次已是较高的次数,次数再高就有可能发生龙格现象,因此,对有n+1个节点的插值问题,我们可以使用分段两点三次Hermite插值。

    一般的,已知函数2db6fbe51fe3470ae8e3ad9d7562053e.png上的两点56148c53015f59e27d2d7ec789d63565.png,以及函数在这两点的一阶导数639ea60dbe4f448a8fa20d45242722b6.png,则对于6e0344e25856824ef300aae6c3034de3.png,有

    535c8ae63f508410f75ad0bc019454e7.png

    其中

    bb566659f0f395d19f445b51dbb60945.png

    上述公式有一个问题,就是在生成曲线时必须要有两点的导数,而对于收益率数据而言这个导数是无法直接市场上得到的,因此一般假设某点的导数为相邻两点生成的斜率。

    目前国债公司采用的收益率曲线生成方法是1980F.N.Fritsch和R.E.Carlson共同发表的题为《Monotone Piecewise Cubic Interpolation》的论文中,对构造曲线的Hermite三次多项式插值模型的单调平滑性进行改进后的算法:F-C模型。该模型对于导数增加了一个平滑的处理,能够减少局部抖动。

    该模型公式为:

    9001f06b23799f036b4b80cd286b23f2.png

    其中:

    5da8a08a1ecc1bd4400a88173e0b17af.png

    以上967799aa01493f06c5dd51c902397387.png均为x的一元三次多项式函数,f02040704f314768ae6ce79d1138b41e.png为函数98dc0cbb0b99b1555a503711a7ab535a.png处的导数,8cf40113d0f8ac8fb3c76d2c3349a876.png为函数7e2a5872cbdb58ea50060ba10246cdce.png306260f76cb9c161945de863862c3558.png处的导数。和的初始值设定如下:

    9c2aef3750d19c41cd6a9cc11090ff66.png

    当导数变动过大时,通过调整88d4a5d196172b3f32b673875f1804aa.png的取值使函数曲线平滑,减少局部抖动。

    设定0460785a59f46a1c68f8d3c98321ada0.png,观察是否满足d25c07e8889f27a6d03df309f05b7c94.png。若该条件不满足,则需要把f02040704f314768ae6ce79d1138b41e.png调整为05ac38ceee7e54e8152780ba934e20cd.png,把8cf40113d0f8ac8fb3c76d2c3349a876.png调整为e95206944d197b2dc439746d41dbc403.png,步骤如下:

    c850cac748ffd8202c690568a9053d68.png

    若条件满足,则无须调整。

    (二)三次样条法

    线性插值得到的曲线在节点处一定不光滑,拉格朗日插值和埃尔米特插值在高次插值时会出现龙格现象,分段埃尔米特插值可以避免出现龙格现象,但是导数值不容易得到。而三次样条插值则是由函数值来确定导数值再由分段埃尔米特插值解决问题,因此应用极为广泛。三次样条与分段埃尔米特插值的根本区别在于曲线自身光滑,不需要知道数据点的导数值(除了在2个端点可能需要)。

    样条是绘图员用于描绘光滑曲线的由一些易弯曲材料制成的窄条或棒条。在绘制需要通过某点的光滑曲线时,对它在这些点的位置上“压铁”,它就被强制通过或接近图表上确定的描绘点。“样条函数”这个术语意在点出这种函数的图象与机械样条画出的曲线很像。

    9673ee9a6349370da46e254e1a9fc99d.png,三次样条函数c7e6cd98e6baaf62a5c420d16472cb88.png,且在每个6a9a780040f71348be02e6810e80f014.png上为三次多项式(cubic polynomial)。若它同时还满足ceb8de1f47cabf7f26db6452f0c55e8e.png,则称a6bb276515e2eda126d492179c366d05.png在节点d336ed71863d9a4bc4605ea71cf78a18.png上的三次样条插值函数。

    三次样条插值函数是分段三次多项式,在每个小区间6a9a780040f71348be02e6810e80f014.png上可以写成218c538dc1144e5b7335182f2f618b05.png2b44bd698d418a24271f2d6b22be786d.png41c56ca97cdccfd2fedebb0cb6423f1e.png上二阶导数连续,故在节点cdc2b3df29d83713c6263f1997ffcfd7.png处满足连续性条件f10e5b77e8127317519df35ad05bba37.png

    三次样条插值法在计算时,需要提供额外的条件,一类是两端的二阶导数值,特殊情况是两者都为零的情况,称为自由边界,对应的样条函数成为自然样条;一类是两端的一阶导数;一类是周期边界条件。我们在收益率曲线的计算中采用第一类中的特殊情况,即自然样条函数。

    三次样条插值函数的表达式可以表示如下式

    2f51c738cc8818be0d20fb51e84ecdee.png

    这样插值求解的过程就转换为求解e820b8c79435996024a006402df3743a.png的过程,而e820b8c79435996024a006402df3743a.png可以通过矩阵方程求解。

    8991bb498d1f8d4d0cb7c47c326c3610.png

    上述矩阵可以用“追赶法”求解,具体过程请另见相关文档。

    三、运用实例

       我们选取中债2014年8月20日的银行间固定利率国债收益率曲线,关键期限点的利率水平如下表所示:

    e77f265eb436ec967ad30a17d04b20c2.png

    1.线性插值法

    采用线性插值法得到的期限1年以内的曲线形状如下:

    7a2f78f033ec28a88bd34be683226346.png

    采用线性插值法得到的期限10年以内的曲线形状如下:

    b3e56bf84a640fda4856e202c9bad0c4.png

    可以看到曲线是不连续、不可导的折线,与实际情况是不相符的。

    2.朗格朗日插值法

    选取期限0.75年之内的数据点共4个,经过插值运算得到曲线如下

    c115a07f260079c15022dc05bbb2560c.png

    选取期限为一年之内的数据点共5个,经过插值运算得到曲线如下

    adcac04fd37a790822e44a820a60be82.png

    选取期限为3年之内的数据点共6个,5年之内的数据点共7个,经过插值运算得到曲线如下

    4ff9c5d1a6cfead9bba436a245858b90.png

    1a38870159c14fcc37405b1e95f35c00.png

    可以看到随着原始数据点的增多,多项式的次数也随之增加,这时产生的龙格现象非常明显,曲线明显的偏离了“实际上”的值。

    3.埃尔米特插值法

    埃尔米特插值法的F-C模型计算中需要有相邻两点的坐标才能够生成本数据点的导数,在三个点时生成的曲线如下所示。

    eff18d9691484f3caf3a23869b046863.png

    选取期限为一年之内的数据点共5个,经过插值运算得到曲线如下

    afac41ae4600e6432b2861992d166bb9.png

    选取期限为5年之内的数据点共7个,经过插值运算得到曲线如下

    0ffe0402be1bb44d0bc67f1662234907.png

    可以看到,埃尔米特插值法不会产生龙格现象,同时生成的曲线较为平滑,稳定性很好。

    4.三次样条插值法

    三次样条插值法不会产生龙格现象,同时曲线不仅连续,而且二阶可导,在各种方法中属于平滑性最好的。选取期限为0.75年之内的数据点共4个,经过插值运算得到曲线如下

    c3bd33823aee66f27625212a8db2e112.png

    选取期限为一年之内的数据点共5个,经过插值运算得到曲线如下

    638e66d8766a8910401732f35cb889d2.png

    5.各插值法对比

    选取期限为一年之内的数据点共5个,用上述四种方法进行差值运算,得到的曲线图对比如下

    3b74bc2f8fc6c91b9170f671ae6e06e6.png

    从上图可以看出,四条曲线在斜率不大时差别并不明显,我们减少数据点到3个,也即将图形局部放大来看

    d43df0031dadff7ffd4a8661e83168e7.png

     由于埃尔米特插值法端点的导数值假设为零,因此曲线在左端点有明显的下凹,而拉格朗日插值法和三次样条插值法则没有。在另一个区间,埃尔米特插值法和三次样条插值法生成的曲线很接近,因为后者的基本计算方法跟前者是相同的。

    四、插值方法比较

    线性插值法最为简单,计算很方便快速,但是生成的曲线不光滑不连续,而且与实际情况也不相符。拉格朗日插值法可以生成连续光滑的曲线,但是在数据点增加时会产生“龙格现象”,造成曲线的变异,同时计算过程随着数据点的变动也稍为复杂。埃尔米特插值法生成的曲线光滑连续,而且曲线在节点的导数可以指定,同时采用分段插值的方法可以避免“龙格现象”,但计算过程更为复杂。三次样条插值法生成的曲线最为光滑,不仅连续可导,而且二阶可导,但计算过程特别复杂,需要特别的算法。

    从生成的曲线结果来看,埃尔米特插值法和三次样条插值法较为理想,可以在实际中进行应用,如果对计算过程的要求不高的话,可以采用三次样条插值法,如果需要较快的计算方法,那么可以采用埃尔米特插值法。

    五、小程序

         请在公众号对话里输入“插值”两个字,获取excel小文件,里面有几种曲线的生成程序,说不定有时候可用到。

                                          觉得有用,请点好看!!!

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