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  • 拓端tecdat|R语言关于回归系数解释

    千次阅读 2020-01-13 16:09:15
    除非我们打算提出因果主张,否则我们应该像描述虚拟变量那样解释连续变量的回归系数。 一条有用建议是,以预测的方式解释回归系数 。要了解它们的含义,让我们考虑一个示例。 预测学生表现 hsb <- read....

    原文链接:http://tecdat.cn/?p=10076

    原文出处:拓端数据部落公众号


    除非我们打算提出因果主张,否则我们应该像描述虚拟变量那样解释连续变量的回归系数。

    一条有用建议是,以预测的方式解释回归系数 。要了解它们的含义,让我们考虑一个示例。

    预测学生表现

     

    hsb <- read.csv("datasets/hsb_comb_full.csv")
    names(hsb)
    [1] "schoolid" "minority" "female"   "ses"      "mathach"  "size"     "sector"   
    [8] "pracad"   "disclim"  "himinty"  "MEANSES"  "N_BREAK"  "sesdev"   "myschool"
    
    # Let's go with the first school, and the first 5 student-level variables
    hsb <- hsb[hsb$schoolid == hsb$schoolid[1], 1:5]
    summary(hsb)
    schoolid       minority           female            ses             mathach      
    Min.   :1224   Min.   :0.00000   Min.   :0.0000   Min.   :-1.6580   Min.   :-2.832  
    1st Qu.:1224   1st Qu.:0.00000   1st Qu.:0.0000   1st Qu.:-0.8830   1st Qu.: 3.450  
    Median :1224   Median :0.00000   Median :1.0000   Median :-0.4680   Median : 8.296  
    Mean   :1224   Mean   :0.08511   Mean   :0.5957   Mean   :-0.4344   Mean   : 9.715  
    3rd Qu.:1224   3rd Qu.:0.00000   3rd Qu.:1.0000   3rd Qu.:-0.0330   3rd Qu.:16.370  
    Max.   :1224   Max.   :1.00000   Max.   :1.0000   Max.   : 0.9720   Max.   :23.584  
    
    # Mathach, ses and female seem to have some variability
    # Let's predict math achievement using female (dummy), ses (continuous)
    lm(mathach ~ female + ses, hsb)
    
    Call:
    lm(formula = mathach ~ female + ses, data = hsb)
    
    Coefficients:
    (Intercept)       female          ses  
         12.092       -2.062        2.643  
    

    现在,解释其系数的典型方法female是:

    在保持SES不变的情况下,男性和女性在数学成绩上平均相差2.06点,其中男性表现更好。

     但是要澄清语言,我们可以说:

    对于拥有相同SES的学生,我们期望男性和女性之间的数学成绩相差2.06点,而男性的成绩更好。

    问题出现在对的解释上ses,通常是:

    保持性别不变,SES的提高与数学成绩提高2.64有关。

    我们通常声称这是一个相关陈述,没有因果关系。但是,它具有因果关系。这暗示着,在一个人中,如果我们可以将他们的SES提高1点,我们可以期望数学成绩提高2.64点。

    盖尔曼和希尔的措辞解释如下:

    对于相同性别的学生,我们期望在SES中有分数差异的学生之间的数学成绩有2.64分的差异。

    这就是所谓的回归系数的预测解释。它没有因果关系,并传达出我们正在对不同个体之间的差异进行预测或描述。

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  • 清风数学建模--回归系数解释

    千次阅读 2020-06-08 19:50:17
    回归系数解释 yi=β0+β1x1i+β2x2i+⋯+βkxki+μiyi=β0^+β2^x2i+⋯+βk^xkiβ0^的数值意义一般不考虑,因为所有的自变量一般不会同时全为0.βm^(m=1,2,⋯ ,k):控制其他自变量不变的情况下,xmi每增加一个单位...

    回归系数的解释

    yi=β0+β1x1i+β2x2i++βkxki+μiyi=β0^+β2^x2i++βk^xkiβ0^0.βm^(m=1,2,,k):xmiyi:βm^=yixmiy_i=\beta_0+\beta_1x_{1i}+\beta_2x_{2i}+\cdots+\beta_kx_{ki}+\mu_i\\y_i=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_2}x_{2i}+\cdots+\hat{\beta_k}x_{ki}\\\hat{\beta_0}的数值意义一般不考虑,因为所有的自变量一般不会同时全为0.\\\hat{\beta_m}(m=1,2,\cdots,k):控制其他自变量不变的情况下,x_{mi}每增加一个单位,对y_i造成的变化。\\ 实际上可以用数学中的偏导数来定义:\hat{\beta_m}=\frac{\partial{y_i}}{\partial x_{mi}}
    线因此多元线性回归模型中的回归系数,也常被称为偏回归系数。

    什么时候取对数

    1. 与市场价值相关的,例如,价格、销售额、工资等都可以取对数;
    2. 以年度量的变量,如受教育年限、工作经历等通常不取对数;
    3. 比例变量,如失业率、参与率等,两者均可;
    4. 变量取值必须是非负数,如果包含0,则可以对y取对数ln(1+y);

    取对数的好处

    1. 减弱数据的异方差性。
    2. 如果变量本身不符合正态分布,取了对数后可能渐近服从正态分布。
    3. 模型形式的需要,让模型具有经济学意义。

    四种模型回归系数的解释

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    特殊的自变量:虚拟变量x

    如果自变量中又定性变量,例如性别、地域等,在回归中需要如何处理呢?
    在这里插入图片描述
    虚拟变量的解释
    在这里插入图片描述

    为了避免完全多重共线性的影响,引入虚拟变量的个数一般是分类数减1

    含有交互项的自变量

    在这里插入图片描述

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  • 线性回归计算回归系数

    千次阅读 2019-07-04 09:38:38
    线性回归: 优点:结果易于理解,计算上不复杂 缺点:对非线性的数据拟合不好 适用数据类型:数值型和标称型数据 标称型数据:一般在有限的数据中取,而且只存在“是”和“否”两种不同的结果(一般用于分类) ...
    """
    线性回归:
        优点:结果易于理解,计算上不复杂
        缺点:对非线性的数据拟合不好
        适用数据类型:数值型和标称型数据
        标称型数据:一般在有限的数据中取,而且只存在“是”和“否”两种不同的结果(一般用于分类)
        数值型数据:可以在无线的数据中取,而且数值比较具体化,例如4.02, 6.23这种值(一般用于回归分析)
    
    回归的一般方法:
        1收集数据:采用任意方法收集数据
        2准备数据:回归需要数值型数据,标称型数据将被转换成二值型数据
        3分析数据:会出数据的可视化二维图将有助于对数据做出理解和分析,在采用缩减法求得新回归系数之后,可以将新拟合线绘在图上作为对比
        4训练算法:找到回归系数
        5测试算法:使用R^2或者预测值和数据的拟合度,来分析模型的效果
        6使用算法:使用回归,可以在给定输入的时候预测出一个数值,这是对分类方法的提升,因为这样可以预测连续型数据而不仅仅是离散的类别标签
    """
    from numpy import *
    
    
    def loadDataSet(fileName):
        """
        该函数打开一个用tab键分隔的文本文件,这里仍然默认文件每行的最后一个值是目标值
        readline():该方法每次读取一行内容,所以读取时占用内存小,比较适合大文件,该方法返回一个字符串对象
        readlines():该方法读取整个文件的所有行,保存在一个列表变量中,每行作为一个元素,但读取大文件比较占用内存
        该函数第一个返回值返回列表中的自变量第一列和第二列, 第二个返回值返回结果,最后一列
        :param fileName:
        :return:
        """
        numFeat = len(open(fileName).readline().split("\t")) - 1
        dataMat = []
        labelMat = []
        fr = open(fileName)
        for line in fr.readlines(): # readlines()读取整个文件保存在列表变量中
            lineArr = []
            curLine = line.strip().split("\t") # strip()返回移除字符串头尾制定的字符生成的新字符串, split():通过指定分隔符对字符串进行切片 curLine:每一行元素切分成的列表
            for i in range(numFeat):
                lineArr.append(float(curLine[i]))
            dataMat.append(lineArr)
            labelMat.append(float(curLine[-1]))
        return dataMat, labelMat
    
    
    def standRegres(xArr, yArr):
        """
        该函数用来计算最佳拟合直线,函数首先读入x和y,并将他们保存到矩阵中,然后计算x的转置与x的乘积
        然后判断他的行列式是否为零,如果行列式为零,那么计算逆矩阵就会出现错误NumPy提供一个线性代数
        的库linalg,可以通过linalg.det()来计算行列式,最后,如果行列式非零,计算并返回w
        :param xArr:
        :param yArr:
        :return:
        """
        xMat = mat(xArr) # 列表类型转换为矩阵类型
        yMat = mat(yArr).T
        xTx = xMat.T * xMat # 求x的转置与x相乘的结果
    
        # 判断矩阵的行列式是否为零,如果为零,则无法计算逆矩阵
        if linalg.det(xTx) == 0.0:
            print("This matrix is singular, cannot do inverse")
            return
        ws = xTx.I * (xMat.T * yMat) # xTx.I 为xTx的逆,计算得出未知量的系数
        return ws
    
    
    if __name__ == '__main__':
        xArr, yArr = loadDataSet("ex0.txt")
        ws = standRegres(xArr, yArr)
        print(ws)
    
    
    
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  • 证明:Cov(β0^,β1^)=−xˉLxxσ2Cov(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1})=-\frac{\bar{x}}{L_{xx}}\sigma^2Cov(β0​^​,β1​^​)=−Lxx​xˉ​σ2 已知: {β1^=∑i=1n(xi−xˉ)yi∑i=1n(xi−xˉ)2β0^=yˉ−β1^xˉ...

    证明:Cov(β0^,β1^)=xˉLxxσ2Cov(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1})=-\frac{\bar{x}}{L_{xx}}\sigma^2

    已知:
    {β1^=i=1n(xixˉ)yii=1n(xixˉ)2β0^=yˉβ1^xˉLxx=i=1n(xixˉ)2y1,y2,,yn\left\{ \begin{aligned} \hat{\beta_1} &= \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})y_i}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\\ \hat{\beta_0}&=\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x}\\ L_{xx}&=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\\ y_1,&y_2,\cdots,y_n互相独立 \end{aligned} \right.
    于是可以证明如下:
    Cov(β0^,β1^)=Cov(yˉβ1^xˉ,β1^)=Cov(yinxˉi=1n(xixˉ)i=1n(xixˉ)2yi,i=1n(xixˉ)i=1n(xixˉ)2yi)=Cov[(1nxˉ(xixˉ)(xixˉ)2)yi,xixˉ(xixˉ)2)yi](yi,yj)=i=1n(1nxˉ(xixˉ)(xixˉ)2)xixˉ(xixˉ)2Var(yi)=(1nxixˉLxxxˉ(xixˉ)2Lxx2)σ2=xˉLxxσ2 \begin{aligned} Cov(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1})&=Cov(\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x},\hat{\beta_1})\\ &=Cov(\frac{\sum y_i}{n}-\bar{x}\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}y_i,\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}y_i)\\ &=Cov\big[\sum(\frac{1}{n}-\frac{\bar{x}(x_i-\bar{x})}{\sum(x_i-\bar{x})^2})y_i,\sum\frac{x_i-\bar{x}}{\sum(x_i-\bar{x})^2})y_i\big]\\ &(因为y_i,y_j之间独立)\\ &=\sum_{i=1}^n\big(\frac{1}{n}-\frac{\bar{x}(x_i-\bar{x})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}\big)\frac{x_i-\bar{x}}{\sum(x_i-\bar{x})^2}\bullet Var(y_i)\\ &=\sum\big(\frac{1}{n}\frac{x_i-\bar{x}}{L_{xx}}-\frac{\bar{x}(x_i-\bar{x})^2}{L_{xx}^2}\big)\sigma^2\\ &=-\frac{\bar{x}}{L_{xx}}\sigma^2 \end{aligned}

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