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  • 极值点和拐点比较

    千次阅读 2018-12-12 16:35:08
    极值点 拐点 定义:(1).若任意x∈U0(x0,δ),有f(x)<f(x0),若任意x\in U^0 (x_0,\delta),有f(x) < f(x_0),若任意x∈U0(x0​,δ),有f(x)<f...
    极值点拐点
    定义:
    (1). 若 任 意 x ∈ U 0 ( x 0 , δ ) , 有 f ( x ) &lt; f ( x 0 ) , 若任意x\in U^0 (x_0,\delta),有f(x) &lt; f(x_0), xU0(x0δ)f(x)<f(x0) f ( x 0 ) 为 f ( x ) f(x_0)为 f(x) f(x0)f(x)的极大值,点 x 0 为 f ( x ) x_0为f(x) x0f(x)的极大值点 .
    (2) 若 任 意 x ∈ U 0 ( x 0 , δ ) , 有 f ( x ) &gt; f ( x 0 ) , 若任意x\in U^0 (x_0,\delta),有f(x) &gt; f(x_0), xU0(x0δ)f(x)>f(x0) f ( x 0 ) 为 f ( x ) f(x_0)为 f(x) f(x0)f(x)的极小值,点 x 0 为 f ( x ) x_0为f(x) x0f(x)的极小值点 .
    极大值点和极小值点统称为极值点
    定义:连续凸弧和凹弧的分界点称为拐点
    形式上:极值点为一维,只是 x x x坐标,不在曲线上形式上:拐点为二维坐标 G ( x 0 , y 0 ) G(x_0,y_0) G(x0y0),在曲线上
    判断的本质:判断在 x 0 x_0 x0两侧的单调性判断的本质:在 x 0 x_0 x0两侧的曲线凹凸性
    (1)若函数的一阶导数存在, f ′ ( x 0 ) = 0 f&#x27;(x_0)=0 f(x0)=0的点 x 0 x_0 x0可能是极值点,也可能不是极值点。
    比如 f ( x ) = x 2 {f(x)=x^2 } f(x)=x2 f ( x ) = x 3 f(x)=x^3 f(x)=x3
    (2)若函数的一阶导数不存在的点,可能是极值点,也可能不是极值点。
    比如函数 f ( x ) = { 2 x x ⩽ 0 x x &gt; 0 f(x)=\begin{cases} 2x &amp;x\leqslant 0\\x &amp;x&gt;0\end{cases} f(x)={2xxx0x>0 f ( x ) = { − x x ⩽ 0 2 x x &gt; 0 f(x)=\begin{cases} -x &amp;x\leqslant 0 \\2x &amp;x&gt;0\end{cases} f(x)={x2xx0x>0
    (1)若函数 f ′ ′ ( x 0 ) 存 在 f&#x27;&#x27;(x_0)存在 f(x0),则 f ′ ′ ( x 0 ) &gt; 0 的 点 G ( x 0 , y 0 ) f&#x27;&#x27;(x_0)&gt;0的点G(x_0,y_0) f(x0)>0G(x0y0) 可能是拐点,也可能不是拐点。比如 f ( x ) = x 2 , G ( 0 , 0 ) f(x)=x^2,G(0,0) f(x)=x2G(00)不是拐点。 f ( x ) = x 3 , G ( 0 , 0 ) f(x)=x^3,G(0,0) f(x)=x3G(00)是函数的拐点
    (2)若函数的 f ′ ′ ( x 0 ) 不 存 在 , G ( x 0 , y 0 ) f&#x27;&#x27;(x_0)不存在,G(x_0,y_0) f(x0)G(x0y0)可能是拐点,也可能不是拐点 。
    比如函数 f ( x ) = { x ( x − 1 ) x ⩽ 0 − x ( x − 1 ) 0 &lt; x &lt; 1 x ( x − 1 ) x ⩾ 1 . f(x)=\begin{cases} x(x-1) &amp;x\leqslant 0\\-x(x-1) &amp;0&lt;x&lt;1\\x(x-1) &amp; x \geqslant1\end{cases}. f(x)=x(x1)x(x1)x(x1)x00<x<1x1.
    G ( 0 , 0 ) 和 G ( 1 , 0 ) G(0,0)和G(1,0) G(00)G(10)都是函数的拐点。
    函数 f ( x ) = { 3 x − 1 x &lt; 0 0 x = 0 e x − 1 x &gt; 0 。 点 ( 0 , 0 ) 不 是 拐 点 f(x)=\begin{cases} 3^x -1&amp;x&lt;0\\0 &amp;x=0\\e^x-1 &amp;x&gt;0\end{cases}。点(0,0)不是拐点 f(x)=3x10ex1x<0x=0x>0(00)

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    如何寻求极值点:
    若函数为可导函数,则满足 f ′ ( x ) = 0 的 点 x 0 f&#x27;(x)=0的点x_0 f(x)=0x0可能是极值点。
    此时:
    (1).判断 x 0 x_0 x0两侧的单调性
    (2).可以运用第二充分条件,若 f ′ ( x 0 ) = 0 f&#x27;(x_0)=0 f(x0)=0 f ′ ′ ( x 0 ) ⩾ 0 f&#x27;&#x27;(x_0)\geqslant 0 f(x0)0,则为极小值点。若 f ′ ′ ( x 0 ) ⩽ 0 f&#x27;&#x27;(x_0)\leqslant 0 f(x0)0,则为极大值点

    函数存在不可导的点,则用定义去判断。分析两侧的单调性
    如何简记极值点判断的第二充分条件
    这样书写: f ′ ′ ( x 0 ) f&#x27;&#x27;(x_0) f(x0)
               ~~~~~~~~~~            ∨ \vee
               ~~~~~~~~~~            0
    不等式尖角那个点它是最低点,所以他是极小值。
    同理: f ′ ′ ( x 0 ) f&#x27;&#x27;(x_0) f(x0)
               ~~~~~~~~~~            ∧ \wedge
               ~~~~~~~~~~            0
    不等式尖角那个点它是最高点,所以他是极大值。
    这样你还会记混吗?
    对于拐点的讨论:
    假设条件:函数 f ( x ) f(x) f(x)三阶可导,且已经判断 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f&#x27;&#x27;(x_0)=0 f(x0)=0
    f ′ ′ ′ ( x 0 ) ⩾ 0 , f&#x27;&#x27;&#x27;(x_0)\geqslant 0, f(x0)0 lim ⁡ x → x 0 f ′ ′ ( x ) − f ′ ′ ( x 0 ) x − x 0 ⩾ 0 \lim \limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f&#x27;&#x27;(x)-f&#x27;&#x27;(x_0)}{x-x_0}\geqslant 0 xx0limxx0f(x)f(x0)0
    又因为 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f&#x27;&#x27;(x_0)=0 f(x0)=0,就有 lim ⁡ x → x 0 f ′ ′ ( x ) x − x 0 ⩾ 0 \lim \limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f&#x27;&#x27;(x)}{x-x_0}\geqslant 0 xx0limxx0f(x)0
    又由极限的保号性有 f ′ ′ ( x ) x − x 0 ⩾ 0 \frac{f&#x27;&#x27;(x)}{x-x_0}\geqslant 0 xx0f(x)0
    x 0 x_0 x0的左侧,有 f ′ ′ ( x ) ⩽ 0 f&#x27;&#x27;(x)\leqslant 0 f(x)0,即函数 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0的左侧为凸函数,
    x 0 x_0 x0的右侧,有 f ′ ′ ( x ) ⩾ 0 f&#x27;&#x27;(x)\geqslant 0 f(x)0,即函数在 x 0 x_0 x0的左侧为凹函数。
    G ( x 0 , y 0 ) G(x_0,y_0) G(x0y0)为函数 f ( x ) f(x) f(x)的拐点。
    同时,对 f ′ ( x ) f&#x27;(x) f(x)而言,其一阶导数 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f&#x27;&#x27;(x_0)=0 f(x0)=0,且二阶导数 f ′ ′ ′ ( x 0 ) ⩾ 0 f&#x27;&#x27;&#x27;(x_0)\geqslant 0 f(x0)0,则为一阶导数 f ′ ( x ) f&#x27;(x) f(x)的极值点
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  • 判断多元函数极值点

    千次阅读 2020-07-26 11:37:05
    函数极值点一定是驻点,驻点不一定是极值点,驻点为两偏导存在且均为0的称为驻点 令A=,B=,​​​​​C= 若AC-B^2>0,则为极值点,且A>0为极小值 若AC-B^2<0,则不是极值点 若AC-B^2=0,则进一步...

    定义:对于(x0,y0),存在点邻域,邻域内任取x和y,有f(x,y)>=f(x0,y0),则为极小值点,有f(x,y)<=f(x0,y0),则为极大值点

    对于可微函数,函数极值点一定是驻点,驻点不一定是极值点,驻点为两个偏导数存在且均为0的称为驻点

    令A=f_{xx}^{''},B=f_{xy}^{''},​​​​​C=f_{yy}^{''}

    若AC-B^2>0,则为极值点,且A>0为极小值(这里有个隐藏结论,即此时AC必定同号,不然AC必定小于0,小于B平方)

    若AC-B^2<0,则不是极值点

    若AC-B^2=0,则进一步讨论,一般根据定义判断

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  • 根据价格变化自动识别极值点策略

    千次阅读 2017-04-27 15:57:57
    分形(Fractals)是用于找到极值点的流行工具,它们可以在5柱的序列中找到价格的高点和低点(图 1)。极值点在价格变化强弱的情况下都可以定义,如果正确选择了时段,分形可能会显示很好的结果,尽管它们被市场条件的...

    1. 已有的搜索极值点的工具


    1.1. 分形和类似的工具


    分形(Fractals)是用于找到极值点的流行工具,它们可以在5个柱的序列中找到价格的高点和低点(图 1)。极值点在价格变化强弱的情况下都可以定义,如果正确选择了时段,分形可能会显示很好的结果,尽管它们被市场条件的影响很大。

    图 1. 使用分形的结果: 当存在趋势时,极值点的相对距离大小是从 140 到 420 个点值(pips) (a), 在平盘时期,相对的大小不大于 50 个点值 (b)

    在第二种情况下,极值点的相对大小 (从一个极值点到另一个的价格变化) 可能只有几个点值,这样较小的峰谷值通常在人工交易时不做考虑。在时段之间切换并不会改变这些较小的极值点 — 它们在长期平盘时依然出现。 


    也可能会出现相反的情况: 没有找到所有的极值点。如果出现了剧烈的市场波动,在短期之内出现了很多峰谷值,它们也不能被发现,分形只能在当前时段由5个柱定义的时间段之内侦测到两个极值点。所以,我们无法推荐在自动交易中使用分形指标来侦测所有或者主要关键的极值点。


    如果我们选择了一个大的范围来搜索极值点,它们中的很多都会被忽略掉。如果范围太小,又会找到一些微小的极值点。在任何情况下,当处理结果时,我们或者必须总是人工优化参数来消除那些微小的高价和低价,或者开发一个特别的算法来做这件事。


    1.2. 当搜索极值点时使用移动平均


    使用平均线,例如移动平均,作为自动化搜索极值点的基础看起来是可行的。搜索是在指定数量的柱上进行的,看价格偏离平均线是否大于预先定义的距离点数。该工具可以排除掉微小的峰谷值,看起来比分形更好。但是,它还是没有解决在高低价格距离很近时侦测的问题 (图 2, a).

    图 2. 当搜索极值点时使用移动平均: 两个极值点定义为一个 (a), 距离移动平均很近的极值点就被忽略了 (b)

    我们可以一起使用移动平均和分形,移动平均用于排除掉微小的极值点,而分形用于在指定的区段中进行搜索。但是,这种方法还是不能解决所有的问题,我们还是需要不断选择最佳的范围参数,否则,两个很近的极值点将只能发现一个 (图 2, a).


    使用这种方法还有另一个问题,在强烈波动中,移动平均根据时段可能会忽略掉信号,在这种情况下(图 2, b), 接近两个峰值的谷值和接近移动平均的部分没有被侦测出来,这样的情形在市场上很罕见,但是它们确实提出了正确选择移动平均范围的问题。


    所以,这种搜索极值点的方法以及它们上面所述的修改方案都是有缺点的,需要进一步的编程方案。让我们详细探讨当搜索极值点时出现的问题,以及来解决它们的算法。


    2. 搜索极值点时遇到的问题和乱局

    2.1. 选择用于搜索峰值和谷值的变化范围


    已有的策略和技巧可能显式或者隐式地使用了极值点。寻找极值点常常是一项必须的任务:不同的人可能会在同一张图表上找到不同的峰值和谷值。让我们看看一个著名的图形模式 – 双顶。


    两个图表 (图 3) 中包含了相同的模式,但是,我们可能会根据极值点范围的不同侦测到或者未能找到它。在第一个图表上,第一个峰值之后是底部,其后又是第二个峰值。对应地,如果峰值之间没有底部,我们就不能侦测到双顶模式了,该模式会被定义为一个普通的极值点。当底部不明显时,也会发生同样的事情,它会影响到双顶模式而使它难以侦测。当然,在第一个图表上侦测模式与第二个图表相比要容易,而它们之间的仅有区别就是它们相邻极值点的区别。 


    让我们讨论另一个例子: 有些策略会在一系列极值点(包括高点和低点)的位置高于前面的点时定义向上的趋势,下行趋势的定义也类似。在图4中, 我们可以使用极值点来定义趋势的方向。

    图 4. 相同图表上价格的相反方向走势: 向上趋势 (a), 向下趋势 (b)

    同一个图表上同时包含了向上趋势和向下趋势,在第一种情况中(图 4, a), 极值点 1, 2, 3 和 4 明显显示了牛市趋势,然而,如果我们使用极值点 2, 5, 6 和 3 (图 4, b), 我们将看到一个熊势趋势。所以,有可能使用不同的极值点来取得其中一个可能的结果,考虑到这个,我们可以得出结论,变化范围对极值点的位置有最大影响。


    2.2. 有效分离临近的顶部或者底部


    当定义极值点时还会产生另一个问题,为了有效定义和分离两个或者更多的顶部,它们之间应该有底部,这在第一个例子(寻找顶部和底部)和第二个例子都是对的,尽管这里的例子更有趣一些,根据所描述的策略,我们可以在下面的图表中(图 5, 6) 在找到极值点后侦测到趋势。


    如果没有底部把顶部分开(或者相反), 策略就无法根据指定的标准来工作,即使可以在图表上看到向上的趋势。让我们探讨一个典型例子,在向上的趋势中,每个顶部都比之前的一个更高,如果它们之间没有底部或者不能清楚看到,就只有最高的顶点定义为一个极值点,如果相对平均线(例如移动平均线)来定义极值点, 还是需要有分离相邻两个顶部或者底部的任务,为了分出两个顶部,我们应该使用它们之间的一个极值点。


    所以,我们可以在显式或者隐式使用极值点的所有策略中使用以下假定: 无论是向前(向将来)还是向后,价格都会从顶部移动到底部,再由底部移动到顶部。如果我们不使用这个假定,那么根据观察的角度,价格图表上的两个顶部:


    或者被侦测出来,

    或者只有最高的顶部被侦测到,

    或者它们中的哪个都没有侦测到。

    对于底部也是同样。这个假定使我们可以使用选定的变化范围来开发准确的搜索极值点的算法。


    2.3. 定义第一个极值点

    第三个问题也是与价格变化相关的,并且发生于定义第一个极值点的时候。对于任何交易技巧或者策略,最近的极值点比更早的极值点更加重要,我们已经发现,定义一个极值点就会影响邻近顶部和底部的位置,所以,如果我们在离当前时间一定距离选择一个极值点,取得的结果比距离更远的历史数据影响更大,并且被最近价格波动的影响会最小。这个问题在使用之字转向指标(ZigZag)的时候也会出现,最近极值点的位置不很依赖于最近的价格波动。 


    然而,这种情形在从图表末端搜索极值点时就完全不同了,在这种情况下,我们应该首先在距离图表末端最近的地方找到一个顶部或者底部,然后所有其他的极值点就能清晰定义了。根据使用的策略和选择的变化范围,可以使用三个选项:


    找到最近的顶部,

    找到最近的底部,

    找到最近的极值点(顶部或者底部)


    让我们讨论找到最近的极值点,在选择了某个变化范围之后,我们就能准确定义最近的第一个极值点了。然而,这会出现一定的延迟,可能对策略的运行有负面的影响。为了 "看到" 一个极值点,我们需要根据相对那个点的变化范围定义价格的改变,价格的变化需要花费一些时间,所以就有了延迟。我们也可以使用最后的已知价格作为一个极值点,尽管不太可能它真的会变成顶部或者底部。


    在这种情况下,看起来使用另外的比例作为变化范围的一部分来寻找其它的极值点比较合理,例如,让我们选择 0.5 的数值,选择的另外的比例值定义了从当前值到最近底部的最小价格 (对于最近的顶部就是最高价格),这使我们可以把这个底部 (顶部) 定义为一个极值点,如果当前的价格和最近顶部(底部)的差距小于指定的数值,这样的极值点就不成立。在这种情况下,侦测到的第一个极值点可能就是顶部或者底部。同时,我们也解决了过早检测到极值点的问题,以及随后对它们的分析和(如有必要)开展交易。


    让我们探讨一个例子,变化范围设为140个点值(pips),将要使用一个另外的比例来侦测极值点。在第一个例子中,它等于 0.9 (图 7, a), 在第二个例子中, 它是 0.7 (图 7, b)。在此,另外的比例值定义了使我们侦测第一个极值点的最小的价格变化点数,在第一个例子中,变化是 126 个点值,而在第二个例子中,它是 98 个点值,在两个例子中使用的是同一张图表。垂直线指出了进行计算时当前的时段。时段内侦测到的极值点以点状显示。

    图 7. 额外比例在定义极值点中的影响: 对于值等于 0.9 (126 个点值), 第一个极值点是在变化 205 个点值找到的 (a), 对于值等于 0.7 (98 个点值), 第一个极值点是在变化120个点值找到的, 而其余的两个点是根据指定范围找到的 (b)

    对于第一种情况,选择的额外比例值定义的第一个底部范围是205个点值, 而最小的价格变化是点值,对于第二种情况,如果额外的比例值等于0.7 (98个点值), 第一个底部定义在距离当前价格120个点值的位置。随后的两个极值点事根据指定的变化范围等于140个点值来侦测到的。相应地,第一个底部和随后的顶部的差距略微超过140个点值。第二个底部也是根据价格相对侦测到的顶部超过140个点值来定义的。


    我们可以看到,额外比例会明显影响第一个侦测到的极值点的位置,它也可能会影响到它的类型。对于不同的数值(从 0 到 1), 在相同的图表上可能侦测到顶部或者底部,第二个例子中侦测到的前两个极值点 (图 7 b), 就没有在第一个例子中侦测到。


    对于更低的比例值,第一个极值点会更快找到。在第二个例子中 (图 7 b), 是用额外比例等于0.4, 第一个侦测到的极值点可以提前5个柱定义 (在当前的时段下是提前5分钟)


    3. 搜索极值点任务的算法方案和它们的实现

    3.1根据变化范围来寻找极值点的算法


    让我们从选择价格范围来构建极值点开始,显然,柱的大小和极值点的参数非常依赖于时段而有很大变化,存在以及没有顶部/底部也会被趋势、一天中的时间以及其它一些因素所影响。已有的指标,例如分形和类似的工具,使我们可以在任何时段中不论趋势存在与否而找到极值点。如果我们在搜索顶部和底部值的时候使用了移动平均,极值点相对移动平均也许只差两点,也可能差100点。我们在日内交易中应该注意两个点的极值吗?也许不应该。对于一个长线投资,我们同样不会关心小于20个点的极值,不论时段如何,这就是为什么我们需要“变化范围(variation range)”一词,意思是最小值。移动平均可以作为参考点,使得我们可以定义极值点的距离以限制它的最小值。然而,移动平均的周期数会明显地影响所侦测的顶部和底部的位置,使得难以选择某个周期数作为参考。


    所以,让我们现在假定价格从顶部跌到底部然后再回来,这个变化范围就用来定义两个相邻极值点的最小价格变化 - 顶部和底部的距离。如果一些极值点已经被定义,其邻近点的距离应该不小于指定的变化范围,这使得我们可以不管时段和趋势来定义极值点。该工具对于日内交易和长线投资都非常适合,让我们探讨它的运行算法。首先,让我们使用相同的图表显式地定义极值点,只是在第一个图表上,变化范围是60个点值 (图 8), 而在第二个图表上是30个点值(图 9)。让我们假定第一个极值点已经被侦测到 (点 1) 儿我们正搜索前面的极值点。

    图 8. 使用60个点值的变化范围

    图 9. 使用30个点值的变化范围

    对极值点的搜索是从图表的末端开始进行的 (从点1)。在第一种情况下,在显示的范围内找到了4个极值点,在第二种情况下,在同样的时间间隔内找到了10个极值点。当在图表的指定部分加大变化范围时,极值点根本没有侦测出来,所以,在选择极值点的搜索范围时我们应该现实些,要考虑到市场的波动和时段。这里,范围是进行搜索的柱的数量。


    记住以上我们所说过的,让我们介绍搜索极值点的迭代算法。为什么要迭代?第一个顶部后面总应该有个底部,然后是第二个顶部,等等。如果没有找到第二个顶部 (图表没有向上方移动), 就重新定义底部的位置,然后再转向时间序列中更远的地方。第一个顶部的位置 (其它极值点也一样) 也可以使用同样的方法修改。我们也应该去掉同一个柱被定义为同时是顶部和底部的情况。


    当然,这种方法需要大量的计算,我建议在搜索几个极值点的时候使用它,点的数量越少,程序运行就越快,计算速度也受到搜索范围的影响。这种搜索是要验证的,因为它使您在最近的价格波动中找到影响最大的某些顶部和底部,如果您需要找到多个极值点,我推荐使用之字转向指标(ZigZag)。


    3.2指标的实现(代码太多省去,只展示结果)

    提供的算法已经用于开发自定义指标来搜索极值点并且在图表上突出显示它们 (图 10).

    图 10. 指标的运行结果: 变化范围为 120 点值 (a), 变化范围为 160 点值 (b)

    取得的结果是根据变化范围定义的,对于 120 点值 或者更少的数值 (图10, a), 极值点相互之间很接近,而范围的大小不是很关键了,对于 160 点值 和更多的 (图 10, b), 极值点之间的距离就比较远了。这在选择搜索范围的时候应该注意。对于平盘市场,最优选择的范围使我们可以在较小价格变化时自动找到顶部和底部,并且去除(跳过)时间间隔非常大的极值点。

    3.3实现 MACD 柱形图与价格背离策略的 EA 交易

    提供的算法可以用于实现各种策略,scale_factor 指标的运行结果很适合用于构造图形模式,例如头肩,双底,等等。它们可以用于使用图表上顶部和底部的价格差异的策略的指标。


    根据这个策略,如果价格上升形成新的顶部,高于前一格顶部,但是 MACD 的顶部低于前一个,我们就有了卖出信号。


    如果价格下跌形成新的底部,低于前一个底部,但是 MACD 的底部高于前一个,我们就有了买入信号。signal.


    EA 准确实现了算法,根据变化范围侦测到了顶部和底部,集中于图表上的最近变化。


    传入的参数 — 用于搜索极值点的范围和变化范围。还有必要来设置在价格上涨时最近两个顶部的最小价格差异(对于价格下跌就是最近两个底部),MACD柱形图在极值点的最小背离。每次交易的风险以及额外比例是在存款货币中设置的。guard_points 参数定义了止损的偏移,如果是买入仓位就是距离最近底部的偏移,相应地,对于卖出仓位就是顶部上方的偏移。还可以选择在进行交易时显示侦测到的极值点的参数 (show_info=1).


    当建立卖出仓位时,止损是根据最近的顶部位置设置的,而当建立买入仓位时,止损是根据最近的底部设置的,这使我们可以在价格强烈波动和平盘市场的时候都能够建立合理的目标。在两种情况下,获利是根据止损距离当前价格的值而对称设置的。在日内交易中,选择的是较小的变化范围,而在长线投资中,建议把变化范围设置到几倍大。


    让我们探讨下面 EA 运作的实例 (图 11). 主要使用的参数: 变化范围  — 160 点值, 最小 MACD 柱形图差距 – 0,0004; 两个最近的顶部/底部的最小价格差距 – 120 点值 以及额外比例 – 0.9.

    图 11. EA 的运行结果

    首先,EA搜索最近的三个极值点,在决心买入的时候,EA侦测到了一个顶部和两个底部(使用箭头做了标记),和指标不同,EA没有突出显示这些极值点。但是,我们可以在开始交易时通过把 show_info 设为1来取得极值点的位置数据。


    两个最近的底部的价格差距为148个点值,超过了指定的数值。MACD 柱形图在极值点的差距是 0.00062,也超过了指定的数值,考虑到最近的两个底部有反向的价格移动和指标的移动,在根据额外比例 (150 点值)定义的点位建立买入仓位,如果使用较小的额外比例,仓位可能会更早建立,而利润可能会更早得到。

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    下面是 EA 测试结果 (图 12). 在测试中,我们发现 macd_t 和 trend 参数的值对获利能力的影响最大,这些参数的值越大,获利交易的百分比就越大,然而,获利可能增加的同时也会导致交易总数的下降。


    例如,如果 macd_t = 0.0006 并且 trend=160 (图 12), 56% 的交易是获利的,总交易是44个,如果 macd_t = 0.0004 并且 trend=120, 进行了 84 个交易,而它们中的51% 是获利的。

    当优化策略时,正确设置 macd_t 和 trend 参数值是很关键的,变化范围和另外的数值也会影响交易参数。变化范围定义了侦测到的极值点的数量和交易的数量,另外的参数定义了当建立仓位时获利和止损的数值。


    本策略,以及其它一些策略,只有在使用了以上提出的工具时才可能尽可能正确地工作,否则,可能会遇到收到的信号是使用5个点或者更小的极值点,而指定的获利和止损却是距离当前价格200个点。在这种情况下,极值点的重要性很低。在这些和其他许多情况下,传统的乖哦那句或者定义了过多微小的极值点,或者干脆没有侦测到顶部或者底部。另外,这些工具还经常在时间序列结束前定义极值点中有问题。


    结论

    本文中描述的算法和方案可以使得可以根据价格变化在价格图表上正确定义极值点,取得的结果在定义图形模式和使用图形模式及指标来实现交易策略都是适合的。

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  • 最近有些考研的小伙伴问到我这问题,正好也给自己梳理一下思路,毕竟在机器学习里面这4概念也是非常重要的,...$$ \begin {cases}一元函数 \quad \begin {cases}一阶导数f'(x) \quad 驻点、极值点、鞍点 \\[3...

      最近有些考研的小伙伴问到我这个问题,正好也给自己梳理一下思路,毕竟在机器学习里面这4个概念也是非常重要的,不过这里由于知识所限,就只整理跟考研部分比较相关的知识点了。

      既然是4种点,首先就需要将其进行大致的分类,大致来说如下。

    $$ \begin {cases} 一元函数 \quad \begin {cases} 一阶导数f'(x) \quad 驻点、极值点、鞍点  \\[3ex] 二阶导数f''(x) \quad 拐点 \end {cases} \\[3ex] 多元函数 \quad 极值点、鞍点 \end {cases}  $$

    一元函数

      在一元函数有3种点——驻点、极值点和拐点。要想完全理解这三个定义的话就需要从函数的性质入手,对于函数来说,与极值点相关的就是函数的极大值、极小值、最大值和最小值。因此首先可以来看极大值、极小值的定义。

    (Def1 极值) 设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域$U(x_0)$内有定义,如果对于去心邻域$\mathring{U}(x_0)$内的任意一个$x$,有$$f(x)<f(x_0) \quad (或f(x)>f(x_0))$$那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值(极小值)

      从上述定义就可以看到,极大值和极小值其实和导数是没有任何关系的,所以如果真的要判断极大值和极小值的话,最为本质的方法应该是比较在待观察点邻域内函数值的变化情况,那么,导数在这里起到了什么作用呢?这是由极值的一个必要条件得到的。

    (Thm2 极值的必要条件) 设函数$f(x)$在$x_0$处可导,且在$x=x_0$处取得极值,那么有$f'(x_0)=0$。

      注意一下这个是必要条件,也就是说从可导的极值点才有导数值为0,这句话并不能用于通过导数去判断极值,也就是充分条件。但是至少给了我们一个思考的方向,那就是当思考从导数去判断极值的时候,我们应该要去寻找哪些点。

      仔细观察Thm2中的描述,现在我们思考它的逆否命题,那便是,设函数$f(x)$在$x_0$处可导,如果有$f'(x_0)≠0$,那么在$x=x_0$处,$f(x)$不能取得极值。于是,我们其中一个思考的方向便是$f'(x)=0$的点,此外,如果一开始的假设就不成立的话,那么也有可能使得结论是成立的,这就是$f'(x)$不存在的点

    (Def3 驻点) 设$f(x)$可导,则使得$f'(x)=0$的点称为$f(x)$的驻点

      下面给出2个例子,说明驻点和不可导的点都可以是极值点。

      (1) 考虑函数$f(x)=x^2$,有$f'(x)=2x$,那么在$x=0$处的导数值$f'(0)=0$,根据图像容易得到$f(0)=0$是$f(x)$的极小值点。

      (2) 考虑函数$f(x)=|x|$,那么在$x=0$处连续,且左导数$f'_{-}(0)=-1$,右导数$f'_{+}(0)=1$,因此$f(x)$在$x=0$处不可导,但是根据图像也容易得到$f(0)=0$是$f(x)$的极小值点。

      因此,我们在利用导数去考虑一个函数的极值的时候,需要判断2种点,第一种就是驻点,第二种就是导数不存在的点。然后接下来应该如何利用导数呢,我们就需要如下的定理,它给出了利用导数的符号去判断驻点是否为极值点的充分条件。

    (Thm4 极值第一充分条件) 设函数$f(x)$在$x_0$处连续,且在$x_0$附近的空心邻域$\mathring{U}(x_0,\delta)$内可导。则有

    (1) 若$x \in (x_0-\delta,x_0)$时,$f'(x)>0$,而$x \in (x_0,x_0+\delta)$时,$f'(x)<0$,则$f(x)$在$x=x_0$处取得极大值

    (2) 若$x \in (x_0-\delta,x_0)$时,$f'(x)<0$,而$x \in (x_0,x_0+\delta)$时,$f'(x)>0$,则$f(x)$在$x=x_0$处取得极小值

    (3) 若$x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$时,$f'(x)$的符号保持不变,那么$f(x)$在$x_0$处没有极值,把这样子的点称为鞍点

      有了Thm4,我们求出来的驻点就有所发挥了,只要考虑在驻点周围的导函数的符号即可,这句话其实也是瞄着极值的定义来写的,我们可以将$f'(x)>0$简单的翻译成$f(x)$单调递增,将$f'(x)<0$简单的翻译成$f(x)$单调递减,这样子就从Thm4转化为Def1。

      下面给出一个例子。

    例: 求函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$的极值和极值点。

    解:

      由$f(x)=x+\frac{1}{x}$可得定义域为$(-∞,0) \cup (0,+∞)$,接下来求导数可得$$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$$

      令$f'(x)>0$可得$x<-1$或者$x>1$,令$f'(x)<0$可得$-1<x<0$和$0<x<1$,导数不存在的点为$x=0$。

      因此可以知道$f(x)$在$(-∞,-1)$上递增,在$(-1,0)$上递减,在$(0,1)$上递减,$(1,+∞)$上递增,从而在$x=-1$上取得极大值$f(-1)=-2$,在$x=1$上取得极小值$f(1)=2$,$x=0$没有定义。   

      除了这种方法以外,还有一种方法就是利用二阶导数$f''(x)$,注意我们这里可以先把$f''(x)$与函数的凹凸性的恩怨情仇分开,关于函数的凹凸性我们一会儿可以在后面接着写,这里我们只讨论$f''(x)$和极值的关系,有这么一个极值第二充分条件。

    (Thm5 极值第二充分条件) 设函数$f(x)$在$x_0$处具有二阶导数且$f'(x_0)=0$,$f''(x_0)≠0$,那么有

    (1) 当$f''(x_0)<0$时,函数$f(x)$在$x_0$处取得极大值

    (2) 当$f''(x_0)>0$时,函数$f(x)$在$x_0$处取得极小值

      注意用极值第二充分条件时一定要有的条件$f'(x_0)=0$,很多考研的学生都只知道可以通过求二阶导数来判断极值,但是求完以后就总是忘记了检查一阶导数在$x_0$处是不是为0,从而导致错误。

      其实本质上来说,极值第二充分条件是极值第一充分条件的一个特殊的情况,如果我们用定义去考虑这两个二阶导数,就会发现$$f''(x_0)=\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}$$容易观察到,如果满足$f''(x_0)>0$,说明分子分母同号,刚好就对应着第一充分条件中的极小值情况,而$f''(x_0)<0$时,说明分子分母异号,刚好就对应着第一充分条件中的极大值的情况。

      下面依旧给出一个例子。

    例: 求函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$的极值和极值点。

    解:

      由$f(x)=x+\frac{1}{x}$可得定义域为$(-∞,0) \cup (0,+∞)$,接下来求导数可得$$f'(x)=1-\frac{1}{x^2},f''(x)=\frac{2}{x^3}$$

      令$f'(x)=0$可得$x=±1$,再代入二阶导数可得$f''(-1)=-2,f''(1)=2$,因此有$x=-1$是极大值点,$x=1$是极小值点,而$x=0$为无定义点,讨论起来无意义。

      

      总的来说,上面两个条件都是针对驻点的情况的,而对于导数不存在的情况,则需要我们利用极值的定义去判断。这里首先需要澄清一个观念,那就是导函数的无定义点对于原来的函数来说不一定是无定义点。前面提到的$f(x)=|x|$在$x=0$处就是典型的导函数为跳跃间断点的情况,另外一个例子是$f(x) = \sqrt(x)$,它的导函数在$x=0$处就是无穷间断点。但这两个函数显然在$x=0$处是右连续的。

      因此,对于判断导数不存在的情况时,我们需要考察的是导函数$f'(x)$在间断点$x=x_0$的左右两侧的符号情况,再根据符号来判断函数$f(x)$在$x=x_0$的增减性情况,理论说起来比较枯燥,还是直接看一个例子好了。

    例:求函数$f(x)=|x|$的极值。

    解:首先可以写成分段函数的形式$$f(x)= \begin{cases} x \quad x≥0 \\ -x \quad x<0 \end{cases}$$因此接下来我们根据定义求在$x=0$处的导数情况,我们有$$\lim \limits_{x \to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim \limits_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1,\lim \limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim \limits_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 $$因此在$x=0$左右两侧的导数不相等,在$x=0$这一点不可导,但从$f(x)=|x|$的角度来说,显然$x=0$是连续点,且为极小值点,极小值为0。

     

    多元函数

      多元函数的情况其实和刚才的极值第二充分条件非常的类似,只不过这个时候,需要判断的函数的极大值极小值变成了多元函数,为了讲清楚多元函数判断极大值极小值的原理,我们需要对一元函数中的极值第二充分条件要有更深一步的认识,就是下面描述的内容。

    (Thm5a 极值第二充分条件的泰勒公式理解) 设$f(x)$在$x=x_0$处二阶可导,且满足$f'(x_0)=0,f''(x_0)≠0$,则利用泰勒公式在$U(x_0,\delta)$处展开可得。$$\begin{align} f(x) &= f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(\xi)(x-x_0)^2(\xi \in U(x_0,\delta)) \\ &= f(x_0) + f''(\xi)(x-x_0)^2 \end{align}$$因此很容易得到$f(x)$和$f(x_0)$的关系就取决于$f''(\xi)$的符号,这就是我们极值第二充分条件所表达的形式。

      有了一元函数的基础以后,我们就可以根据多元函数的泰勒公式,类似的进行判断,由于考研中只涉及二元函数的极值,且对于多元泰勒公式基本不涉及,这里就只讨论二元函数了,在此之前还需要先引入一个基本概念。

     (Def 6 Hessian矩阵) 它是一个由多元函数的二元偏导数偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率,形式上如下$$\begin{bmatrix} {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1^2}} & {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 \ x_2}} & {\cdots} &{\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 \ x_n}} \\  {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2 \ x_1}} &  {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2^2}} & {\cdots} &  {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2 \ x_n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\  {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_n \ x_1}} &  {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_n \ x_2}} & {\cdots} &  {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_n^2}} \\ \end{bmatrix}$$

      如果是对于二元函数,那么就是如下的形式$$\begin{bmatrix} {{\partial ^2 f} \over {\partial x_1^2}} & {{\partial ^2 f} \over {\partial x_1 \ x_2}} \\ {{\partial ^2 f} \over {\partial x_2 \ x_1}} & {{\partial ^2 f} \over {\partial x_2^2}} \end{bmatrix}$$接下来如果令$A={{\partial ^2 f} \over {\partial x_1^2}}$,$C={{\partial ^2 f} \over {\partial x_2^2}}$,以及$B={{\partial ^2 f} \over {\partial x_1 \ x_2}}={{\partial ^2 f} \over {\partial x_2 \ x_1}}$。是不是就感觉有点熟悉了?当然了,这里最后的两个混合偏导数能相等的充要条件是二阶混合偏导数连续。有了这个以后,我们就可以根据泰勒公式去理解多元函数的极值的,类似的,我们也先引入多元函数极值的一些定义,这里一些相关概念就不再展开,可以直接翻考研辅导课本。

    (Def7 多元函数极值) 设函数$z=f(x,y)$的定义域为$D$,$P_0(x_0,y_0)$为$D$的内点,若存在$P_0$的某个邻域$U(x_0) \subset D$,使得对于该邻域内异于$P_0$的任何点$(x,y)$,都有$$f(x,y)<f(x_0,y_0)$$则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$有极大值$f(x_0,y_0)$,点$(x_0,y_0)$称为函数的极大值点,若对于该邻域内异于$P_0$的任何点$(x,y)$,都有$$f(x,y)>f(x_0,y_0)$$则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$有极小值$f(x_0,y_0)$,点$(x_0,y_0)$称为函数的极小值点。极大值与极小值统称为极值,使得函数取得极值的点称为极值点

      和一元函数类似,这里也完全不涉及到一阶偏导数的任何概念,然后也是从一个必要条件开始的。

    (Thm8 多元函数极值的必要条件) 设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$具有偏导数,且在$(x_0,y_0)$处有极值,则有$$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$$

      然后就把$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$的点也同样的称为驻点,和一元函数不一样的是,一元函数只需要考察定义域左右两侧的导函数的符号变化就可以了,从二元函数开始,要考虑的是定义域内全部的方向的函数变化,由于平面上有无穷多个方向可以逼近导函数,因此不可以再应用"极值第一充分条件",那么就只剩下“极值第二充分条件”了,下面先来看看这个条件。

    (Thm9 多元函数极值的充分条件) 设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,又有$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$,令$$A=f_xx(x_0,y_0),B=f_xy(x_0,y_0),C=f_yy(x_0,y_0)$$则$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处是否取得极值的条件如下:

    (1) $AC-B^2>0$时具有极值,且当$A<0$时具有极大值,当$A>0$时具有极小值。

    (2) $AC-B^2<0$时没有极值。

    (3) $AC-B^2=0$时是否有极值还需要讨论。

      这个定理就直接给出了无条件极值下判断多元函数的极大值和极小值的方法了,下面我们可以利用二元泰勒对它进行理解,首先来看看二元函数的泰勒公式的形式。

    (Thm10 二元函数的泰勒展开式) 二元函数在点$(x_k,y_k)$处的泰勒展开式为:$$f(x,y)=f(x_k,y_k)+(x-x_k)f'_x(x_k,y_k)+(y-y_k)f'_y(x_k,y_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)^2f''_xx(x_k,y_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)(y-y_k)f''_xy(x_k,y_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)(y-y_k)f''_yx(x_k,y_k)+\frac{1}{2!}(y-y_k)^2f''_yy(x_k,y_k)+o^n$$

      如果写成矩阵的形式,那么就是$$f(x,y)=f(x_k,y_k)+(x-x_k)f'_x(x_k,y_k)+(y-y_k)f'_y(x_k,y_k) + \begin{bmatrix} x-x_k \ , \ y-y_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\partial ^2 f} \over  {\partial x^2} & {\partial ^2 f} \over {\partial x \ \partial y} \\ {\partial ^2 f} \over {\partial y \ \partial x} & {\partial ^2 f} \over {\partial y^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-x_k \\ y-y_k  \end{bmatrix}$$

       有了矩阵展开式以后,我们就能很容易理解Thm9所表示的内容。这里首先要注意的是,我们判断极值的正确与否利用的是多元函数极值的定义,如果有$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$时,那么整个矩阵展开式就可以转变为$$f(x,y)=f(x_k,y_k)+ \begin{bmatrix} x-x_k \ , \ y-y_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\partial ^2 f} \over  {\partial x^2} & {\partial ^2 f} \over {\partial x \ \partial y} \\ {\partial ^2 f} \over {\partial y \ \partial x} & {\partial ^2 f} \over {\partial y^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-x_k \\ y-y_k  \end{bmatrix}$$这其中,后面矩阵的形式是一个二次型,关键就在于二次型矩阵的情况,利用线性代数的知识,容易得到。

      (1) $AC-B^2>0$时具有极值,且当$A<0$时具有极大值,当$A>0$时具有极小值,这对应着二次型矩阵的负定和正定的情况。

      (2) $AC-B^2<0$时没有极值,这对应着非正定的情况。

      (3) $AC-B^2=0$时是否有极值还需要讨论,这也是对应着非正定的情况。

      如果二次型对应的矩阵是正定的,那么泰勒展开式中第二项矩阵项就全部大于0,于是就有$f(x,y)>f(x_k,y_k)$,就得到极小值;如果二次型对应的矩阵是负定的,那么泰勒展开式中第二项矩阵就全部小于0,于是就有$f(x,y)<f(x_k,y_k)$,就得到极大值;

      依旧是一个例子。

    例:求函数$f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$的极值

    解:先求一阶偏导数,得到如下结果$$\begin{cases} f_x(x,y)=3x^2+6x-9=0 \\ f_y(x,y)=-3y^2+6y=0 \end{cases}$$因此驻点为$(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)$,再求出二阶偏导数得到。$$f_{xx}(x,y)=6x+6,f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=0,f_{yy}(x,y)=-6y+6$$依次求解得

    在点$(1,0)$处,$AC-B^2=12*6>0$,又有$A>0$,所以函数在$(1,0)$处有极小值$f(1,0)=-5$。

    在点$(1,2)$处,$AC-B^2=12*(-6)<0$,因此$f(1,2)$不是极值。

    在点$(-3,0)$处,$AC-B^2=-12*6<0$,因此$f(-3,0)$不是极值。

    在点$(-3,2)$处,$AC-B^2=-12*(-6)>0$,又有$A<0$,因此函数在$(-3,2)$处有极大值$f(-3,2)=31$。

      另外一个例子。

    例:求函数$z=\sqrt{x^2+y^2}$的极值

    解:先求一阶偏导数,得到$$z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

      注意这两个函数是典型的二元极限不存在的函数,否则令$y=kx$,代入$z_x$得$$\begin{aligned} I &= \lim \limits_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2+k^2x^2}} \\ &= \lim \limits_{x \to 0} \sqrt{\frac{x^2}{x^2+k^2x^2}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{1+k^2}} \end{aligned}$$

      显然这个式子的值与k相关,故二元极限不存在,但是从函数的图像容易得到,$(0,0)$显然是函数的极小值点。$z=0$是函数的极小值。

    拐点与凹凸性

      在把极值点讲完以后,还剩下一类点是拐点。这类点与函数的二阶导数非常相关的,既然谈到二阶导数,那么就免不了要谈函数的凹凸性,于是首先就要统一一下凹凸性的语言,凹凸性首先要分为2类,一类是函数的凹凸性,另外一类是图形的凹凸性,出于直观考虑,我这里先描述图形的凹凸性。

    (Def11 图形的凹凸性) 根据下面的图形,设函数$f$在区间$I$上连续.

    (1) 如果对于$I$上的任意两点$a,b$,恒有$$f(\frac{a+b}{2}) > \frac{f(a)+f(b)}{2}$$那么称$f(x)$在$I$上的图形是上凸的,如左侧图。

    (2) 如果对于$I$上的任意两点$a,b$,恒有$$f(\frac{a+b}{2}) < \frac{f(a)+f(b)}{2}$$那么称$f(x)$在$I$上的图形是下凸的,如右侧图。

    PS:同济课本上对于图形的“凸”的定义通常认为是上凸的,对于图形的“凹”的定义通常认为是下凸的。

     

       作为对比,我们直接来看关于函数的凹凸性。

    (Def12 函数的凹凸性) 根据上面的图形,如果函数$f(x)$在区间$I$上连续

    (1) 如果对于$I$上的任意两点$a,b$,恒有不等式$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$,那么称$f(x)$为凸函数

    (2) 如果对于$I$上的任意两点$a,b$,恒有不等式$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$,那么称$f(x)$为凹函数

    PS:同济课本上对这一块没有描述,只定义了图形的凹凸性

       这样子一对比,很容易就能够看到如下的结果。

    表达式图形的凹凸性函数的凹凸性
    $f(\frac{a+b}{2})>\frac{f(a)+f(b)}{2}$上凸(凸)凹函数
    $f(\frac{a+b}{2})<\frac{f(a)+f(b)}{2}$下凸(凹)凸函数

      因此,在凹凸性这块,函数的凹凸性和图形的凹凸性是刚好相反的。我个人的记忆方法是只记下凸图形对应凸函数,下凸函数的形式就和抛物线是类似的。接下来就是凹凸性和二阶导数的关系了,这部分有如下定理。

     (Thm13 图形的凹凸性判断与二阶导数的关系) 设$f(x)$在$[a,b]$上连续,在$(a.b)$内具有一阶和二阶导数,那么有

    (1) 若在$(a,b)$内有$f''(x)>0$,则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凹的,即$f(x)$是凸函数

    (2) 若在$(a,b)$内有$f''(x)<0$,则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凸的,即$f(x)$是凹函数

      观察这个定理可以知道,它和前面的函数的极值与导数的关系(极值第一充分条件)非常的类似,事实上也确实如此的,如果将一阶导数视为函数,那么二阶导数就是一阶导数的导数,于是它就可以用于判断一阶导数的极值点,为了区分函数的极值点和一阶导数的极值点,我们定义了驻点。

    (Def14 拐点) 设$f(x)$二阶可导,则称使得$f''(x)=0$的$x$为拐点

       因此根据Thm13以及Def14,我们可以整理出一套流程。

    求函数的极值求函数的凹凸性

    (1) 求出一阶导数f'(x)

    (2) 求出f'(x)定义域不存在的点,得到不可导点。

    (3) 求解方程f'(x)=0,得到驻点。

    (4) 判断不可导点以及驻点左右两侧的f'(x)符号变化情况。

    (1) 求出二阶导数f''(x)

    (2) 求出f''(x)定义域不存在的点,得到f'(x)的不可导点。

    (3) 求解方程f''(x)=0,得到拐点

    (4) 判断f'(x)的不可导点以及拐点的符号,得到凹凸性。

      嗯,接下来来看一道例题了。

    例:判断$f(x)=x^(1/3)$的凹凸性。

    解:先求出$f(x)$的二阶导数,有$$f'(x)=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}},f''(x)=-\frac{2}{9x^3 \sqrt{x^2}}$$

      因此容易得到当$x<0$时,$f''(x)>0$,图像为凹的,所以函数为凸函数,当$x>0$时,$f''(x)<0$,图像为凸的,所以函数为凹函数。在$x=0$处发生了凹凸性的转变,但在$x=0$处二阶导数不存在,它不是拐点。

     

    拐点与极值的关系 

      这个今年考研问我的人当中问的最多的一种类型的题目,这里面取了一道作为例子,如下:

    例:设$f''(x)$连续,且$f'(0)=0$,$\lim \limits_{x \to 0} \frac{f''(x)}{|x|} = 1$,则有(   )

    A. $f(0)$是$f(x)$的极大值

    B. $f(0)$是$f(x)$的极小值

    C. $(0,f(0))$是$y=f(x)$的拐点

    D. $f(0)$非极值,$(0,f(0))$也非$y=f(x)$的拐点

    解:由题中的极限容易得到两个关系,那就是$$\lim \limits_{x \to 0^+} \frac{f''(x)}{x}=1,\lim \limits_{x \to 0^-} \frac{f''(x)}{-x} = 1$$

      再由$f''(x)$连续,得$f''(0)=0$,由保号性可以得知可以得知当$x>0$时有$f''(x)>0$,当$x<0$时有$f''(x)>0$,所以这里没有发生凹凸性的转变,$x=0$不是拐点。

      但由$f''(x)>0$可以推得$f'(x)$在$U(0,\delta)$内单调递增,且满足$f'(0)=0$,所以在$U(0,\delta)$内$f'(x)$发生的符号的改变,具体的说,当$x>0$时有$f'(x)>0$,当$x<0$时有$f'(x)<0$,因此是极小值,这题选B。

    PS:这里要注意的是$f'(0)=0$,然后要判断的是$f''(0)$的符号,才能判断是极大值或者极小值。然后发现$f''(0)=0$,于是不满足极值的条件,再判断$f''(x)$在$U(0,\delta)$的情况,来判断凹凸性。一定要注意顺序。

       (如果今年还遇到其他拐点和极值的关系的题目,欢迎评论到下方,到时候可以一起总结到这里!)

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