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  • 下面从梯度与方向导数的关系来解释: 1 方向导数 引入 原来我们学到的偏导数指的是多元函数沿坐标轴的变化率,但是我们往往很多时候要考虑多元函数沿任意方向的变化率,那么就引出了方向导数 定义 ...

    from https://www.zhihu.com/question/30672734

     

    下面从梯度与方向导数的关系来解释:

    1 方向导数

    • 引入

    原来我们学到的偏导数指的是多元函数沿坐标轴的变化率,但是我们往往很多时候要考虑多元函数沿任意方向的变化率,那么就引出了方向导数

    • 定义

    (1)方向导数是个数值。

    二维空间情形:


    我们把f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)的值Value1与PP1的距离value2的比值的极值叫做沿PP1的方向导数。

    三维空间计算过程相似;


    换句话来说,方向导数就是研究在某一点处的任意方向的变化率~

     

    2 梯度

    首先我来说,梯度是一个向量,并不是原来方向导数说的那样是一个数,那么这个向量是什么特殊的向量呢?还需要拿出来单独研究,那就是梯度代表的是各个导数中,变化趋势最大的那个方向,下面来介绍~

      • 定义

    • 证明

      梯度方向就是方向导数最大的方向,我们看如下:

    • 只有当Θ为0度的时候(cos\theta =1),方向导数最大(左边的式子),也就是说方向导数什么情况下最大,就是它的方向(cos\alpha,cos\beta)(这个方向公式中表示用x,y轴的线性组合表示了)和梯度方向一样((f_{x}(x_{0},y_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0}) ))(平行)的时候,这个方向导数是最大的....换句话也可以说,方向导数任意方向一定有个变化率最大的方向,这个时候,我们把这个最大的方向定义为梯度方向~



    作者:忆臻
    链接:https://www.zhihu.com/question/30672734/answer/139402480
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

    转载于:https://www.cnblogs.com/mdumpling/p/8625558.html

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  • 梯度下降 (导数、方向导数 and 梯度 斜率、导数 and 梯度 斜率、导数 偏导数 方向导数 梯度 梯度下降 反向传播

    • 引入

      在机器学习与深度学习中,对损失函数最小化时经常使用的算法就是梯度下降。当然还有很多优化算法,本文先对梯度下降与反向传播进行介绍。

    • 斜率、导数 and 梯度

      在介绍梯度下降之前,首先来明确梯度的概念,以及它与斜率、导数之间的区别。

      1. 斜率、导数

        斜率我们从小学就开始接触,对于一元方程 y = k x + b y=kx+b y=kx+b 来讲,斜率就是方程图像与 x 轴夹角的正切值,也等于导数值,且各点导数值相等。

        k = tan ⁡ θ = y 1 − y 2 x 1 − x 2 = △ y △ x k=\tanθ=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{\triangle y}{\triangle x} k=tanθ=x1x2y1y2=xy

        导数是微积分中的重要基础概念,它体现了函数图像在各点变化的快慢程度,也就是在各点切线的斜率(实际上是在某点附近的斜率近似)。

        f ′ ( x ) = △ x → 0 lim ⁡ f ( x + △ x ) − f ( x ) △ x = △ x → 0 lim ⁡ △ y △ x f'(x)=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{\triangle y}{\triangle x} f(x)=x0limxf(x+x)f(x)=x0limxy

        斜率与导数都是有方向的,当大于 0 时,表示函数值沿 x 轴正方向是增加的;当大于 0 时,表示函数值沿 x 轴正方向是减小的。

      2. 偏导数

        偏导数与导数的本质是一致的,都是当自变量的变化量趋于 0 时,函数值的变化量与自变量变化量比值的极限。直观地说,偏导数也就是函数在某一点上沿 对应坐标轴正方向 的的变化率。区别在于导数面向的是一元函数,偏导数面向的是多元函数。

        假设有函数 f ( x 1 , x 2 ) f(x_1,x_2) f(x1,x2),则其对于 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2 偏导数为:

        ∂ ∂ x 1 f ( x 1 , x 2 ) = △ x → 0 lim ⁡ f ( x 1 + △ x , x 2 ) △ x \frac{\partial}{\partial x_1}f(x_1,x_2)=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{f(x_1+\triangle x,x_2)}{\triangle x} x1f(x1,x2)=x0limxf(x1+xx2)

        ∂ ∂ x x f ( x 1 , x 2 ) = △ x → 0 lim ⁡ f ( x 1 , x 2 + △ x ) △ x \frac{\partial}{\partial x_x}f(x_1,x_2)=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{f(x_1,x_2+\triangle x)}{\triangle x} xxf(x1,x2)=x0limxf(x1x2+x)

      3. 方向导数

        偏导数是关于各坐标轴的导数,而对于多元函数上的一个点来讲,它可以有无数个偏导数,并不是只有沿着坐标轴的有限个方向。就像一个人站在一个球场的中心,除了沿着球场的宽与长的两个方向可以走以外,周身 360° 都是可以面冲的方向,那么对于这无数个方向来讲的导数,就称为方向导数。
        方向导数
        (中间红色点为出发点,蓝色为各种可以选择的方向。向上与向右的为沿着坐标轴 x,y 的方向。)

        如果说偏导数是函数在各坐标轴方向上的导数,那么方向导数就是函数在任意方向上的导数,是所有偏导数的集合(例如:沿 x 方向走 2 步,y 方向走 5 步,此时最终走的方向就是由 (0,0)点 指向 (2, 5)的向量做表示的方向,可以被各偏导数的线性线性表示)。

        具体的,方向导数的表达式为: D f ( x 1 , x 2 ) = ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 1 cos ⁡ θ + ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 2 sin ⁡ θ D_{f(x_1,x_2)}=\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_1}\cosθ+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_2}\sinθ Df(x1,x2)=x1f(x1,x2)cosθ+x2f(x1,x2)sinθ

      4. 梯度

        有了以上的铺垫,那么梯度就很好理解了。

        ∙ \bullet 梯度的提出只为回答一个问题: 函数在变量空间的某一点处,沿着哪一个方向有最大的变化率?

        ∙ \bullet 梯度定义如为:函数在某一点的梯度是这样一个 向量,它的方向是在所有方向导数中,最大的方向导数的方向,它的模为方向导数的最大值。

        ∙ \bullet 也可以这么理解:梯度即函数在某一点最大的方向导数,沿梯度方向,函数具有最大的变化率。

        那么为什么梯度是方向导数中最大的呢?

        因为 D f ( x 1 , x 2 ) = ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 1 cos ⁡ θ + ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 2 sin ⁡ θ D_{f(x_1,x_2)}=\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_1}\cosθ+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_2}\sinθ Df(x1,x2)=x1f(x1,x2)cosθ+x2f(x1,x2)sinθ

        我们可以另 A = &lt; ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 1 , ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 2 &gt; A=&lt;\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_1},\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_2}&gt; A=<x1f(x1,x2),x2f(x1,x2)> I = &lt; cos ⁡ θ , sin ⁡ θ &gt; I=&lt;\cosθ,\sinθ&gt; I=<cosθ,sinθ>

        则方向导数可表示为两个向量的乘积: D f ( x 1 , x 2 ) = A ⋅ I = ∣ A ∣ ⋅ ∣ I ∣ ⋅ cos ⁡ α D_{f(x_1,x_2)}=A·I=|A|·|I|·\cosα Df(x1,x2)=AI=AIcosα

        为使 D f ( x 1 , x 2 ) D_{f(x_1,x_2)} Df(x1,x2) 最大,那么 A A A I I I 两个向量应平行。其中 I I I 一直在变, A A A 当点 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2 确定的时候就已经确定了,所以 A A A 就代表了当前能使 D f ( x 1 , x 2 ) D_{f(x_1,x_2)} Df(x1,x2) 最大的向量,所以我们将 A A A 称为梯度。

        且值得注意的是,此时恰好 A = &lt; ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 1 , ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 2 &gt; A=&lt;\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_1},\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_2}&gt; A=<x1f(x1,x2),x2f(x1,x2)>,那么求梯度就相当于对各变量求偏导。

    • 梯度下降

      既然我们知道梯度是所有方向导数中最大的方向导数,具有最大的变化率,那么我们如果沿着梯度方向走,就可以最快到达函数的最大值。

      而在损失函数优化的过程中,我们希望取得函数的最小值,那么自然就是沿着梯度的负方向走。

      既然梯度是偏导数的集合: g r a d ( x 0 , x 1 , . . . , x n ) = &lt; ∂ f ( x 0 , x 1 , . . . , x n ) ∂ x 0 , ∂ f ( x 0 , x 1 , . . . , x n ) ∂ x 1 , . . . , ∂ f ( x 0 , x 1 , . . . , x n ) ∂ x n &gt; grad(x_0,x_1,...,x_n)=&lt;\frac{\partial f(x_0,x_1,...,x_n)}{\partial x_0},\frac{\partial f(x_0,x_1,...,x_n)}{\partial x_1},...,\frac{\partial f(x_0,x_1,...,x_n)}{\partial x_n}&gt; grad(x0,x1,...,xn)=<x0f(x0,x1,...,xn),x1f(x0,x1,...,xn),...,xnf(x0,x1,...,xn)>

      参考向量运算法则,我们在每个变量轴上减小对应变量值即可:

      x 1 : = x 1 − α ∂ ∂ x 1 f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) x_1:=x_1-α\frac{\partial}{\partial x_1}f(x_1,x_2,...,x_n) x1:=x1αx1f(x1,x2,...,xn)

      x 2 : = x 2 − α ∂ ∂ x 2 f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) x_2:=x_2-α\frac{\partial}{\partial x_2}f(x_1,x_2,...,x_n) x2:=x2αx2f(x1,x2,...,xn)



      x n : = x n − α ∂ ∂ x n f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) x_n:=x_n-α\frac{\partial}{\partial x_n}f(x_1,x_2,...,x_n) xn:=xnαxnf(x1,x2,...,xn)


      例:假设有损失函数 L ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + x 2 3 L(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^3 L(x1,x2)=x12+x23,学习速率 α = 0.1 α=0.1 α=0.1

      那么为使 L ( x 1 , x 2 ) L(x_1,x_2) L(x1,x2) 得到最小值计算梯度:

      ∂ f ( x 1 , x 2 ) ∂ x 1 = 2 x 1 , ∂ f ( x 1 , x 2 ) ∂ x 2 = 3 x 2 2 \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}=2x_1,\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}=3x_2^2 x1f(x1,x2)=2x1x2f(x1,x2)=3x22

      假设初始参数值: x 1 = 1 , x 2 = 3 x_1=1,x_2=3 x1=1,x2=3,损失函数初始值: L ( x 1 , x 2 ) = 28 L(x_1,x_2)=28 L(x1,x2)=28

      那么使用梯度下降更新

      x 1 : = 1 − 0.1 ∗ 2 ∗ 1 ⟹ x 1 = 0.8 x_1:=1-0.1*2*1\Longrightarrow x_1=0.8 x1:=10.121x1=0.8

      x 2 : = 3 − 0.1 ∗ 3 ∗ 9 ⟹ x 2 = 0.3 x_2:=3-0.1*3*9\Longrightarrow x_2=0.3 x2:=30.139x2=0.3

      L ( x 1 , x 2 ) = 0. 8 2 + 0. 3 3 = 0.667 L(x_1,x_2)=0.8^2+0.3^3=0.667 L(x1,x2)=0.82+0.33=0.667

      以上完成了一次梯度下降,循环进行,可将损失函数值快速降到最低点 0.

      梯度下降是初始值敏感的,不同的初始“下山位置”会影响下到山底的时间与速度。为了减小初始值的影响,可以随机多个初始值进行多个模型的训练,或者调整学习速率,从中找到最优模型。

    • 反向传播

      反向传播与梯度下降类似,都是求梯度,并沿着负梯度方向更新参数。不同点是反向传播应用的场景是神经网络,此时需要的是 链式求导

      这篇文章讲的非常详细,反向传播,收藏记录。

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  • 1.梯度是导数的高维形式,导数是增长的方向,所以梯度其实是增长的方向,那么,梯度的反方向就是增长的反方向,下降 2.梯度是方向导数取得最大值的方向

    1. 梯度是导数的高维形式,导数是增长的方向,所以梯度其实是增长的方向,那么,梯度的反方向就是增长的反方向,下降

    2. 梯度是方向导数取得最大值的方向

     

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  • 导数的几何意义可能很多人都比较熟悉: 当函数定义域和取值都在实数域中的时候,导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率,导数还表示函数在该点的变化率。 几何意义 直白的来说,导数代表了在自...

    (本文转自于知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/24913912

    导数

    导数的几何意义可能很多人都比较熟悉: 当函数定义域和取值都在实数域中的时候,导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率,导数还表示函数在该点的变化率

    几何意义

    直白的来说,导数代表了在自变量变化趋于无穷小的时候,函数值的变化与自变量变化的比值代表了导数,几何意义有该点的切线。物理意义有该时刻的(瞬时)变化率...

    注意在一元函数中,只有一个自变量变动,也就是说只存在一个方向的变化率,这也就是为什么一元函数没有偏导数的原因。

    偏导数

    既然谈到偏导数,那就至少涉及到两个自变量,以两个自变量为例,z=f(x,y) . 从导数到偏导数,也就是从曲线来到了曲面. 曲线上的一点,其切线只有一条。但是曲面的一点,切线有无数条。

    而我们所说的偏导数就是指的是多元函数沿坐标轴的变化率.

    f_{x} (x,y)指的是函数在y方向不变,函数值沿着x轴方向的变化率

    f_{y} (x,y)指的是函数在x方向不变,函数值沿着y轴方向的变化率

    图像如下

    几何意义

    • 偏导数f_{x} (x_{0},y_{0} )就是曲面被平面y=y_{0}所截得的曲面在点M_{0}处的切线M_{0}T_{x}对x轴的斜率
    • 偏导数f_{y} (x_{0},y_{0} )就是曲面被平面x=x_{0}所截得的曲面在点M_{0}处的切线M_{0}T_{y}对y轴的斜率

    可能到这里,读者就已经发现偏导数的局限性了,原来我们学到的偏导数指的是多元函数沿坐标轴的变化率,但是我们往往很多时候要考虑多元函数沿任意方向的变化率,那么就引出了方向导数.

    方向导数

    终于引出我们的重头戏了,方向导数,下面我们慢慢来走进它

    假设你站在山坡上,相知道山坡的坡度(倾斜度)

    山坡图如下:

    假设山坡表示为z=f(x,y),你应该已经会做主要俩个方向的斜率.

    y方向的斜率可以对y偏微分得到.

    同样的,x方向的斜率也可以对x偏微分得到

    那么我们可以使用这俩个偏微分来求出任何方向的斜率(类似于一个平面的所有向量可以用俩个基向量来表示一样)

    现在我们有这个需求,想求出u方向的斜率怎么办.假设z=f(x,y)为一个曲面,p(x_{0} ,y_{0} )f定义域中一个点,单位向量u =cos\theta i+sin\theta j的斜率,其中\theta是此向量与x轴正向夹角.单位向量u可以表示对任何方向导数的方向.如下图:

    那么我们来考虑如何求出u方向的斜率,可以类比于前面导数定义,得出如下:

    f(x,y)为一个二元函数,u =cos\theta i+sin\theta j为一个单位向量,如果下列的极限值存在

    \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(x_{0}+tcos\theta ,y_{0}+tsin\theta )-f(x_{0},y_{0})}{t} }此方向导数记为D_{u}f

    则称这个极限值是f沿着u方向的方向导数,那么随着\theta的不同,我们可以求出任意方向的方向导数.这也表明了方向导数的用处,是为了给我们考虑函数对任意方向的变化率.

     

    在求方向导数的时候,除了用上面的定义法求之外,我们还可以用偏微分来简化我们的计算.

    表达式是D_{u}f(x,y)=f_{x}(x,y)cos\theta +f_{y}(x,y)sin\theta(至于为什么成立,很多资料有,不是这里讨论的重点)

    那么一个平面上无数个方向,函数沿哪个方向变化率最大呢?

    目前我不管梯度的事,我先把表达式写出来:

    D_{u}f(x,y)=f_{x}(x,y)cos\theta +f_{y}(x,y)sin\theta

    A=(f_{x}(x,y) ,f_{y}(x,y)),I=(cos\theta ,sin\theta )

    那么我们可以得到:

    D_{u}f(x,y)=A\bullet I=\left| A \right| *\left| I \right| cos\alpha(\alpha为向量A与向量I之间的夹角)

    那么此时如果D_{u}f(x,y)要取得最大值,也就是当\alpha为0度的时候,也就是向量I(这个方向是一直在变,在寻找一个函数变化最快的方向)与向量A(这个方向当点固定下来的时候,它就是固定的)平行的时候,方向导数最大.方向导数最大,也就是单位步伐,函数值朝这个反向变化最快.

    好了,现在我们已经找到函数值下降最快的方向了,这个方向就是和A向量相同的方向.那么此时我把A向量命名为梯度(当一个点确定后,梯度方向是确定的),也就是说明了为什么梯度方向是函数变化率最大的方向了!!!(因为本来就是把这个函数变化最大的方向命名为梯度)

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空空如也

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下降最快的方向导数