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  • 梯度下降公式推导

    千次阅读 2019-07-28 15:52:22
    梯度下降梯度下降法是求解无约束最优化问题的一种最常用的方法,是一种迭代算法,每一步需要求解目标函数的梯度向量。 梯度的定义: 某一函数沿着某点处的方向导数可以以最快速度到达极大值,该方向导数我们...

    梯度下降法

    梯度下降法是求解无约束最优化问题的一种最常用的方法,是一种迭代算法,每一步需要求解目标函数的梯度向量。

    梯度的定义:

    某一函数沿着某点处的方向导数可以以最快速度到达极大值,该方向导数我们定义为该函数的梯度。
                                                                              
    其中θ是自变量,f(θ)是关于θ的函数,▽表示梯度。 所要研究的梯度下降式子可以写为: 
                                                                    
    其中η是步长,θ是由θ0按照上述式子更新后的值。

    梯度是微积分中一个很重要的概念。

    • 在单变量的函数中,梯度其实就是函数的微分,代表着函数在某个给定点的切线的斜率
    • 在多变量函数中,梯度是一个向量,向量有方向,梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向

    梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向,那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向。

    其中:

    步长:梯度下降迭代过程中每一步沿负方向前进的长度。

    步长选择:

    •  步长太大,会导致迭代过快,错过最优解;
    • 步长太小,迭代速度太慢,耗时间太长。

    公式推导:

    一阶泰勒展开式

    一阶泰勒展开式利用的是函数的局部线性近似这个概念


    这里写图片描述

    其中,  是微小矢量,它的大小就是我们之前讲的步进长度 ,为标量,而的单位向量用表示,则可以表示为:

    在泰勒公式中,我们为了保证该式成立,最重要的一点是要保证θ和θ0的差距要足够小,只有这样才能够应用泰勒公式的基本思想“以直代曲”,即

     

    即推导得到了梯度下降算法中\Theta的更新表达式。

    原:https://zhuanlan.zhihu.com/p/36503663

    比较详细的介绍:https://blog.csdn.net/pxhdky/article/details/82430196

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  • 梯度下降算法公式推导

    千次阅读 2020-03-03 15:36:48
    梯度下降数学解释: 场景假设 梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。 假设这样一个场景:一个人被困在山上,需要从山上下来(找到山的最低点)。但此时山上的浓雾很大,导致可视度很低;因此,下山的路径...

    梯度下降数学解释:在这里插入图片描述

    • 场景假设

    梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。
    假设这样一个场景:一个人被困在山上,需要从山上下来(找到山的最低点)。但此时山上的浓雾很大,导致可视度很低;因此,下山的路径就无法确定,必须利用自己周围的信息一步一步地找到下山的路。这个时候,便可利用梯度下降算法来帮助自己下山。怎么做呢,首先以他当前的所处的位置为基准,寻找这个位置最陡峭的地方,然后朝着下降方向走一步,然后又继续以当前位置为基准,再找最陡峭的地方,再走直到最后到达最低处;同理上山也是如此,只是这时候就变成梯度上升算法了

    • 泰勒展开式
      在这里插入图片描述
      泰勒展开式的目的是拟合,将上图的曲线拟合成直线,虽然存在误差,但只要不影响实际情况,我们就可以直接在这条直线下进行讨论(更高维度也是如此)
      于是我们有直线方程
    f(x)-f(x₀)≈(x-x₀)•f'(x₀)
    

    PS:场景中说的是下山,但那是在空间坐标系下讨论,这里为了方便,只在平面坐标系下做讨论,但是不管维度是多少,原理是一样的。

    • 梯度下降
      梯度:函数在给定点上升最快的方向,其本质就是导数(斜率)

    首先,我们有一个可微分(可微<=>可导)的函数。这个函数就代表着一座山。我们的目标就是找到这个函数的最小值(此时导数为0),也就是山底。根据之前的场景假设,最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向,然后沿着此方向向下走(梯度的反方向),就能让函数值下降的最快!因为梯度的方向就是函数之变化最快的方向
    所以,我们重复利用这个方法,反复求取梯度,最后就能到达局部的最小值,这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向,也就是场景中测量方向的手段。

    • 梯度下降公式推导
      θ=[x] θ₀=[x0]
      解释:因为这里讨论的是一维(直线需要在二维下进行讨论,不然没有意义),所以 [] 内只有一个变量;如果是三维那么 [] 里就应该有三个变量[a,b,c],以此类推,最终我们把这个集合赋值给θ,方便日后讨论。
      此时我们有
    f(θ)-f(θ₀)≈(θ-θ₀)•▽f(θ₀)
    

    因为这是一个可微分方程,所以(θ-θ₀)是一个微小向量,我们知道标量*单位向量=向量,所以令:

    (θ-θ₀)=ŋν(其中  ŋ是标量,ν是单位向量)
    注意:(θ-θ₀)不能太大,否则线性近似就不够准确
    

    重点,局部下降的目的是希望每次θ更新 -> f(θ)↓ ,重复这个过程,直到▽f(θ₀)=0。所以:

    f(θ)-f(θ₀) ≈ (θ-θ₀)•▽f(θ₀) = ŋν•▽f(θ₀) < 0
    因为ŋ是标量,且一般设定为正数,所以可以忽略,则不等式变成:
    ν•▽f(θ₀) < 0     其中ν是需要我们求解的
    那么,这个不等式在表达什么
    我们知道▽f(θ₀)是当前位置的梯度方向,
    也就是说当ν的方向是梯度的反方向时,
    不等式能最大程度的小,也就保证了ν的方向是局部下降最快的方向
    

    在这里插入图片描述
    将这个公式跟开头的公式对比,事情到这里就结束了,我们终于获得了梯度下降的公式,有没有发现公式推导出来后,f(θ)-f(θ₀)不见了,因为只要满足梯度下降公式,f(θ)就会一直下降(前提:(θ-θ₀)不太大),而我们只需要在图像上观察f(θ)的值就好了
    在这里插入图片描述

    • 单变量示例
      在这里插入图片描述
    • 神经网络
      梯度下降公式在神经网络中用于对(w,b)的更新,是的,你只需要将θ替换成 w 或 b ,▽J(θ) 替换成 损失函数对 w 或 b 的偏导数,其中 α 是 学习率(人为设置),最后你就可以获得局部最优模型了。

    PS:后向传播算法的目的在于快速计算神经网络中各层参数的梯度,它与梯度下降算法是包含关系。

    感谢启发:https://blog.csdn.net/weixin_42278173/article/details/81511646?utm_source=app

    https://blog.csdn.net/qq_41800366/article/details/86583789?utm_source=app

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  • 关于梯度下降与逻辑回归,我在之前的文章中已经写过了公式推导,本文中将用python代码进行实现并做简单的实验 机器学习入门 — 梯度下降原理 机器学习入门 — 逻辑回归算法 案例概述 在这里我们将建立一个逻辑回归...
  • Tensorflow_25_可视化梯度下降_公式调参__(神经网络_教学教程tutorial)
  • 梯度下降与随机梯度下降概念及推导过程

    万次阅读 多人点赞 2018-11-03 14:43:52
    同这一章的梯度下降部分加起来,才是我们要讲的如何求解多元线性回归.如果写在一章中,内容过长,担心有的同学会看不完,所以拆分成两章.[坏笑] 上一章中有提到利用解析解求解多元线性回归,虽然看起来很方便,但是在...

    接前一章:常用算法一 多元线性回归详解2(求解过程)

            同这一章的梯度下降部分加起来,才是我们要讲的如何求解多元线性回归.如果写在一章中,内容过长,担心有的同学会看不完,所以拆分成两章.[坏笑]

            上一章中有提到利用解析解求解多元线性回归,虽然看起来很方便,但是在解析解求解的过程中会涉及到矩阵求逆的步骤.随着维度的增多,矩阵求逆的代价会越来越大(时间/空间),而且有些矩阵没有逆矩阵,这个时候就需要用近似矩阵,影响精度.所以本章我们一起来学习求解多元线性回归最常用的,也是后边可能会讲的深度学习最常用的求解办法:梯度下降与随机梯度下降.

            其实随机梯度下降才是咱们最常用的求解办法,但是不知道梯度下降,理解随机梯度下降就有些直接盖二楼的感觉了(我的意思是空中楼阁).那什么是梯度下降呢?

            从字面意思上,我们就可以get到他最重要的点--梯度.所以首先我们来看梯度的概念.(事先声明,好多概念纯粹为了方便理解)

     

    什么是梯度:

            1-先看官方解释:

                       梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。

            2-通俗理解:

                       我们对一个多元函数求偏导,会得到多个偏导函数.这些导函数组成的向量,就是梯度.

                       这里需要开拓一下你聪明的头脑.一元函数的梯度是什么?思考一下.它的梯度可以理解为就是它的导数.

                       我们求解一元函数的时候有一种办法是对函数求导得到导函数,令导函数为零得到这个函数的解析解.那我们可不可以理解为求解一元函数时利用让一元函数的梯度变为0的时候,梯度所在的位置就是函数的最优解呢?  (稍稍有点偷天换日,但是在一元函数中梯度和导数并无区别,这块一定要理解)

     

                       梯度中元素(导函数)的个数的个数同未知数的个数是对应,每一个未知数都可以像求解一元一次函数一样,通过它所对应的梯度求得最优解.其实求解多元函数和一元函数的道理是一样的,只不过函数是一元的时候,梯度中只有一个导函数,函数时多元的时候,梯度中有多个导函数.

                      当我们把梯度中的所有偏导函数都变为0的时候,就可以找到每个未知数的对应解?(事实证明是这样的)

              附上一张梯度的图

             

              假设这个曲面是一个多元函数,我们可以把这个曲面看成是由无数条曲线组成,每条曲线代表了多元函数的一个维度,当所有维度都下降到梯度为0的点,是不是这个点就是多元函数的解的那个点呢?

     

    什么是梯度下降:

            1-还是按照惯例,先看官方解释.

             梯度下降是迭代法的一种,可以用于求解最小二乘问题(线性和非线性都可以)。在求解机器学习算法的模型参数,即无约束优化问题时,梯度下降(Gradient Descent)是最常采用的方法之一,另一种常用的方法是解析解。

             上一段来源于网络,对于咱们要理解的内容来看,上边一段等于没说.

            2-通俗讲

             梯度下降就是让梯度中所有偏导函数都下降到最低点的过程.(划重点:下降)

             都下降到最低点了,那每个未知数(或者叫维度)的最优解就得到了,所以他是解决函数最优化问题的算法

             这里需要注意一点,梯度是对所有未知数求偏导,所得偏导函数组成的向量.在多元线性回归中,谁才是未知数呢?我们使用梯度下降法的目的是求解多元线性回归中的最小二乘函数的,在最小二乘函数中,已拥有的条件是一些样本点和样本点的结果,就是矩阵X和每一条X样本的lable值y.X是矩阵,y是向量.

             所以我们要知道,梯度下降中求偏导数的未知数不是x和y,而是x的参数W或者叫\Theta(就是个名字,只不过常用这两个字母表示).

             数据集中数据是固定的,结果是固定的,我们要找到的是数据中样本与结果的对应规律.所以求得\Theta才是我们的目的.我们梯度下降,下降的也是\Theta而不是X.

    怎样理解下降:

              梯度下降中的下降,意思是让函数的未知数随着梯度的方向运动.什么是梯度的方向呢?把这一点带入到梯度函数中,结果为正,那我们就把这一点的值变小一些,同时就是让梯度变小些;当这一点带入梯度函数中的结果为负的时候,就给这一点的值增大一些.

            (图一)

             如上图,点A的导函数(此时把导函数看作梯度)为负,就让点A沿着函数轨迹往右移动一点,点B的导数为正,就让点B往左移动一点,这个移动的过程中,点A和店B的高度都在慢慢下降,所以这个过程叫做梯度下降.

             在这个下降的过程中.因为我们并不知道哪一个点才是最低点,也没有办法来预测下降多少次才能到最低点.这里梯度下降给出的办法是:先随便蒙一个点出来,然后根据这个点每次下降以丢丢.什么时候下降得到的值(点带入偏导函数得到的)和上一次的值基本基本一样也就是相差特别特别小的时候,我们认为就到了最低点.

             当然这里有两个问题:

                     1-这个值并不是完全准确:

                                我们并不需要一个完完全全准确的值来当做函数的解,因为多元线性回归构的理念中就讲了,我们是用一条回归线来预测未来结果,本身我们预测出的这个结果就存在一个误差,所以梯度下降的结果是否完全准确并不特别重要.

                     2-如果函数图像是一个波浪形,我们只能找到其中一个浪谷的最低点,这个点可能不是所有浪谷最低点中的最小值.

                               我们初始点的位置是随机蒙出来的造成了这种情况,多次随机可以有效解决解决这个问题.

                               如果我们多次有规律的随机都没有采集到的最低点,可能是因为这个最低点造成的原因是出现了某个离群值.(这句话不用理解,你就记得其实是不是最小值也并不是特别重要就行了.)

     

            函数在点\Theta_{A}\Theta_{B}的移动过程如何用公式来表达呢?公式如下:

            \Theta_{k} = \Theta_{k-1} - \alpha \cdot g     (公式一)

            公式中,\Theta_{k}为当前时刻的\theta值,\Theta_{k+1}为下一时刻的\theta值.g为梯度.\alpha是一个正数,我们先不看他.

            此时我们随机一个点,将这个点叫做k+1点,如果它的梯度为正,那么按照公式一,我们会将这个给它的梯度减去一个正数,得到一个k+1点梯度更小的梯度的点k;如果k+1的梯度像图一的点B一样梯度为负数,此时我们减去一个负数,就等于给他加了一个正数,得到的k点的梯度要比原来k+1点的梯度大.

             所以,按照公式一,无论k+1点的梯度是正还是负,我们都可以让他沿着函数图像向比原来更低的方向运动.

     

    \alpha是什么:是学习率

             我们把公式一中的\alpha叫做学习率.

             让点沿着梯度方向下降慢慢求得最优解的过程我们叫做学习,学习率就是用来限制他每次学习别太过"用功"的,因为机器学习也存在书呆子[奸笑].请看下图:

             (图二)

           图二中,左图是我们所期望的,一个点按照梯度方向下降,慢慢逼近最低点,右图中展示的就是那个书呆子.模型每次下降都是减去梯度的值,当这个梯度值过大的时候,点下降的step就过大了,一次性迈过了最低点,导致函数无法找到最优解.

           \alpha就是来限制这种情况的.我们让梯度乘以一个很小的数,虽然增加了它到达最低点的step数,但是可以让图二这种情况发生概率降低.

     

            到现在,我们知道了梯度下降法到底是什么,也知道了每一步是如何下降的,按照这个方法一次一次迭代下降就可以得到函数的最优解.但是还有很重要的一点:如何求梯度.

            重复一下:梯度就是对一个多元函数的未知数求偏导,得到的偏导函数构成的向量就叫梯度.那我们要求解的多元函数是哪个?

            是最小二乘函数:

                            (公式二)

           求导过程如下:

                             (公式三)

            公式三种,h_{\Theta }(x)W^{T}X,y所有样本点的lable值向量y.得到的公式(h_{\theta}(x) -y)x_{i}中,x_{i}是一个维度的所有数据,(h_{\theta}(x) -y)x_{i}本身是对这个维度的所有数据求梯度的和.所以我们得到梯度下降中的梯度g:

             g=1/m x (h_{\theta}(x) -y)x_{i}.   m为样本点的个数.

     公式的另一种表达形式:

             

    到这里,梯度下降就讲解完毕了.梯度下降又叫做批量梯度下降,简称BGD.

    (休息两分钟)

     

     

    下面我们来看随机梯度下降(SGD):

            批量梯度下降是,求出一个维度中所有的数据,取个平均来当做每一次梯度下降的step.这样做虽然准确,但是每次要计算一个维度的所有数据的梯度,花费资源较大.所以才有了随机梯度下降的思想:每次只随机取一个维度中的一条数据求梯度,来当做这个维度梯度下降的step.公式如下:

              

            可以看出,随机梯度下降和梯度下降公式的区别就是,里边的x由矩阵x变成了x的分量x^{i}

           为了更好的让大家理解梯度下降和随机梯度下降的区别,看下图:

           (批量梯度下降)   (随机梯度下降)

            途中,蓝色点为两个\Theta的取值,圆形越靠近里边表示误差越小.

            BGD总是综合所有数据的梯度,取到的下降至一直很平滑,SGD随机抽取一条数据作为参数,步子很不稳定.但是最终都可以到达函数的最优解位置.虽然看起来SGD比BGD的误差要大一些,但是SGD随着迭代次数的增加,误差会越来越小.

         

    最后,SGD因为每次只随机抽取一条数据来做梯度下降,计算代价比SGD小的不是一点半点.所有后边无论机器学习还是深度学习,对SGD的应用是非常非常广泛的.

    在SGD和BGD中间,还有一个集合了两种下降法的有点的办法:mini-bach-GD,你猜一猜他是啥?对了,是随机抽取小批量数据来做下降,但是用的并不多.

     

    利用梯度下降法求解梯度的过程:

            一般情况下分为三步:

            1-随机一个初始值,在多元线性回归中,我们随机一组w,带入到损失函数中,得到一个初始点.

            2-让这个点按照负梯度的方向运动,就是我们前边讲的 \Theta_{k} = \Theta_{k-1} - \alpha \cdot g,梯度的计算如上文所述.

            3-迭代第二步,当迭代此处达到某一个数,或者上一步和这一步的结果误差小于某个数,就认为是最优解了,停止迭代.迭代次数和最小误差值都是可以设置的.

            通过第三步,我们就可以得到一个我们想要的最优解.

            最后补充一点,梯度下降的公式\Theta_{k} = \Theta_{k-1} - \alpha \cdot g     (公式一)看起来好像开玩笑一样就定下来了,没有任何依据,其实不是这样的,它背后的理论依据是泰勒展开式.这里不再过多赘述了.文章就到这里,请大家帮忙勘误.

    (写文章很耗神,如果对您有帮助,欢迎点赞和评论)

                       

    下一篇:零基础理解 逻辑回归(logistics regression)

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  • 梯度下降法和泰勒公式

    千次阅读 2019-05-22 19:24:21
    第一部分:泰勒公式 在高数中,引出相关需求,其描述如下: 对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达。由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次的加,减,乘三种算数运算...

    第一部分:泰勒公式

    在高数中,引出相关需求,其描述如下:

    对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达。由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次的加,减,乘三种算数运算,便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式近似表达函数。

    简单说来,就是:在误差允许的前提下,我们用多项式(简单函数)来近似代替复杂函数,使得复杂函数的应用更加方便

    所以说,泰勒公式是使用多项式对目标函数的近似,当然为了提高精度,使用了高次多项式

    泰勒(Taylor)中值定理1:如果函数f(x)在x0处具有n阶导数,那么存在x0的一个领域,对于该领域的任一x,有:

    佩亚诺余项(近似误差):

    我们可以利用泰勒公式对未知函数进行估计,过程如下:

    设下图是我们要估计的函数图形:

    我们不知道函数图形的全部,只知道一小部分:

     使用泰勒公式,已知点是这一个函数片段的端点,通过泰勒公式我们可以估计函数片段端点的一个极小领域内的值,若我们用一阶泰勒展开式进行计算的话,效果应该如下:

     每一次估计之后,下一次使用上一次的结果再进行估计(迭代过程),每一个估计片段链接起来,就是我们在已知函数片段下,对函数整体的估计。我们可以使用更高阶的泰勒展开来估计函数,这要看对应的应用场景而定。

    现在我们只要知道一个函数的一个点的取值和该点的变化率(导数),就可以对函数整体进行估计。

     

    第二部分:梯度下降(上升)法

    在优化方法中最常提到的方法——梯度下降法

    什么是最优化问题?

    在百度百科中的定义如下:

    工程设计中最优化问题(optimization problem)的一般提法是要选择一组参数(变量),在满足一系列(约束条件)下,使设计指标(目标)达到最优值。

    设,我们有一个数据集,每一项数据有两个值(x:属性,y:标签),都是数值型的,我们认为每一项的属性和标签是符合某个函数关系的,即:

     我们希望这个函数尽可能的符合真实的属性-标签之间的关系,我们用欧氏距离来度量,预测关系和真实关系的差距,当这个差距足够小,我们就可以使用

     来近似这种关系。

    所以我们有如下最优化目标

    这是一个关于w的函数,取不同的数据集,有不同的结果,我们要求这个函数取最小值时的w ,当然我们可以选择对函数求导,令导数等于0,就可以求解,我们不采取这种方法(在现实任务中,一阶导数等于0这个式子不容易求解)。

    我们选择一种看上去比较蠢,但是实用的方式:对w一点点的调整,我们希望每一次调整,计算结果都在减小,这是一个迭代过程,直到w的调整无法使函数值下降,我们认为此时的w是最优的w。(这就是梯度下降的基本思想)

    设w每次的调整为:w-w0=ηv,因为w是一个参数向量,所以其变化用η(步长,变化大小,标量),v(变化方向,单位向量)来表示。我们需要求v(变化方向),使得函数的变化最快,在v未知的情况下,怎么得到调整后的函数值呢?

    此时就可以使用泰勒公式对函数值进行估计,表示如下(使用一阶泰勒展开式):

    表示为w的方程为:

    因为w-w0=ηv ,有:

    因为每次参数w调整之后,函数值减小,有:

     

     因为步长η是一个标量,不影响符号,所以先省略,得到:

     v是一个单位向量,函数的导数也是一个向量(函数增长方向),那么两个向量的乘积在什么时候小于0呢?

    如下是向量的乘积:

    当cos(α)<0,时向量乘积小于0 ,因为我们希望下降速度是最快的,所以令cos(α) = -1,即两个向量的方向相反。

    那么知道了v与f'(w0)方向相反,且是个单位向量,所以v为:

    因为 

    是个标量,那么将它并入η ,则w的更新公式为:

    这就是梯度下降法,梯度上升是求最大值时用的,即把上式中的-换成+

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    万次阅读 多人点赞 2018-05-21 19:02:03
    NN这块的公式,前馈网络是矩阵乘法。损失函数的定义也是一定的。 但是如何更新参数看了不少描述,下面的叙述比较易懂的:   1、在吴恩达的CS229的...第二步:通过对误差比重(a,b)求导计算出误差梯度(注:Y...
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    千次阅读 多人点赞 2019-01-31 17:32:51
    该课程在讲到梯度下降时。有一个公式。如下图 难点就是求导过程,求导结果如下: 但老师直接给出了求导的答案。没有讲解推导过程。我便学了两天微积分的导数。试图推导该公式。若有什么不正确的地方望指正。 ...
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  • 算法概述 逻辑回归(Logistic)虽带有回归二字,但它却是一个经典的二分类算法,它适合处理一些二分类任务,例如疾病...利用逻辑回归进行分类的主要思想是:根据现有数据对分类边界线建立回归公式,以此进行分类。 线...
  • 梯度下降

    2018-06-30 19:35:43
    采用梯度下降法求解方程最小值的实验,代码中包括梯度下降法的迭代方式
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  • 梯度下降算法代码及详细解释(非常易懂)Matlab代码,有详细图文解释,适合小白,全面介绍算法原理和公式推导
  • 梯度下降算法原理讲解——机器学习

    万次阅读 多人点赞 2019-01-21 20:27:48
    详细来讲讲梯度下降算法的原理,感受数学和程序的魅力吧!!
  • 主要介绍了Python编程实现线性回归和批量梯度下降法代码实例,具有一定借鉴价值,需要的朋友可以参考下
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空空如也

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下降梯度公式