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  • 计算n阶行列式
    千次阅读
    2020-03-16 13:45:38

    摘要

    本文主要介绍如何用拉普拉斯展开计算计算n阶行列式的值。

    行列式

    行列式(Determinant)是数学中的一个函数,将一个 n × n {n\times n} n×n的矩阵 A {A} A映射到一个纯量,记作 det ⁡ ( A ) 或 ∣ A ∣ {\det(A)}或{|A|} det(A)A。 ——摘自维基百科

    说白了就是一个 n × n {n\times n} n×n的特殊矩阵。
    但是虽然它跟矩阵很像,但也是两种不同的东西。

    行列式的值

    一个 2 × 2 {2\times 2} 2×2的行列式,又被称为二阶行列式。
    对于行列式:A= [ 1 2 3 4 ] {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}} [1324]
    其值为:A = 1 × 4 − 2 × 3 = − 2 {1\times 4 - 2\times 3 = -2} 1×42×3=2
    3 × 3 {3\times 3} 3×3的行列式,又被称为三阶行列式。
    对于行列:B= [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}} 147258369
    其值为:
    ∣ B ∣ = 1 ⋅ ∣ 5 6 8 9 ∣ − 2 ⋅ ∣ 4 6 7 9 ∣ + 3 ⋅ ∣ 4 5 7 8 ∣ |B|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}} B=1586924769+34758
           = 1 ⋅ ( − 3 ) − 2 ⋅ ( − 6 ) + 3 ⋅ ( − 3 ) = 0 {\displaystyle {}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0} =1(3)2(6)+3(3)=0

    以上对于三阶行列式的计算方式是:拉普拉斯展开。

    拉普拉斯展开

    在数学中,拉普拉斯展开(或称拉普拉斯公式)是一个关于行列式的展开式。将一个 n × n n×n n×n的行列式进行拉普拉斯展开,即是将其表示成关于行列式的某一行(或某一列)的n个元素与其代数余子式乘积的和。

    余子式

    对于行列式:B= [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}} 147258369

    [ 5 6 8 9 ] {\begin{bmatrix}5&6\\8&9\end{bmatrix}} [5869]是其去掉第一行和第一列后的一个余子式。

    [ 4 6 7 9 ] {\begin{bmatrix}4&6\\7&9\end{bmatrix}} [4769]是其去掉第一行和第二列后的一个余子式。

    在n阶行列式中,把所在的第i行与第j列划去后,所留下来的n-1阶行列式为余子式。

    代数余子式

    在n阶行列式中,把元素 a i j a_{ij} aij所在的第 i i i行和第 j j j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素 a i j a_{ij} aij的余子式,记作 M i j M_{ij} Mij M i j × ( − 1 ) i + j M_{ij}\times(-1)^{i+j} Mij×(1)i+j记为 A i j A_{ij} Aij A i j A_{ij} Aij叫做元素 a i j a_{ij} aij的代数余子式

    对于行列式:B = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}} 147258369

    a 11 的 代 数 余 子 式 为 : − 1 ( 1 + 1 ) × ∣ 5 6 8 9 ∣ a_{11} 的代数余子式为:-1^{(1+1)}\times{\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}} a111(1+1)×5869

    a 12 的 代 数 余 子 式 为 : − 1 ( 1 + 2 ) × ∣ 4 6 7 9 ∣ a_{12} 的代数余子式为:-1^{(1+2)}\times{\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}} a121(1+2)×4769

    a 13 的 代 数 余 子 式 为 : − 1 ( 1 + 3 ) × ∣ 4 6 7 9 ∣ a_{13} 的代数余子式为:-1^{(1+3)}\times{\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}} a131(1+3)×4769

    根据拉普拉斯展开,按第一行将行列式展开就得到:
    ∣ B ∣ = a 11 × A 11 + a 12 × A 12 + a 13 × A 13 |B| = a_{11} \times A_{11} + a_{12}\times A_{12} + a_{13}\times A_{13} B=a11×A11+a12×A12+a13×A13

           = 1 ⋅ ∣ 5 6 8 9 ∣ − 2 ⋅ ∣ 4 6 7 9 ∣ + 3 ⋅ ∣ 4 5 7 8 ∣ = 1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}} =1586924769+34758

           = 1 ⋅ ( − 3 ) − 2 ⋅ ( − 6 ) + 3 ⋅ ( − 3 ) = 0 {=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0} =1(3)2(6)+3(3)=0

    代码实现:

    计算n阶行列式的值的代码实现就是模拟拉普拉斯展开,假定以第一行展开, 不断的n阶行列式降阶, 直到n等于2时可以直接交叉计算,所以我们可以用递归的思路写。
    比如一个5阶行列式,按第一行展开,将其转化为5个4阶行列式,然后将这5个4阶行列式转化为5*4个3阶,最后转化为2阶。

    先给出一道模板题:
    试题 算法提高 计算行列式

    代码:

    	import java.io.*;
    
    public class Main{
    	static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    	static BufferedWriter out = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    	
    	public static int Int(String s){return Integer.parseInt(s);}
    	
    	public static void copy(int[][]A, int[][] A1, int i, int len) throws IOException{
    		for(int x = 1; x < len; x++)
    			for(int y = 0, j = 0; j < len; j++)
    				if(j != i) {
    					A1[x-1][y++] = A[x][j];
    				}
    	}
    	
    	public static int F(int[][] A, int len)throws Exception{
    		int res = 0;
    		if(len == 1)return A[0][0];
    		if(len == 2){
    			return A[0][0]*A[1][1] - A[0][1]*A[1][0]; // 递归出口
    		}
    		else{ 
    			int A1[][] = new int[10][10];
    			for(int i = 0; i < len; i++){
    				copy(A, A1, i, len);// 得到余子式
    				res += Math.pow(-1, i) * A[0][i] * F(A1, len-1); //递归式
    			}
    		}
    		return res;
    	}
    	
    	public static void main(String[] args) throws Exception{
    		int n;
    		n = Integer.parseInt(in.readLine());
    		
    		int arr[][] = new int[10][10];
    
    		for(int i = 0; i < n; i++){
    			String[] s = in.readLine().split(" "); 
    			for(int j = 0; j < n; j++){
    				arr[i][j] = Int(s[j]);
    			}
    		}
    		
    		out.write(F(arr, n) + "\n");
    		out.flush();
    	}
    }
    

    以上代码中用了一个递归函数求解行列式的值,用一个copy函数求解余子式的值,代码很简单,不再多解释了。

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    classTest{staticintloop(intmax,intmin){intv,m,n;v=0;m=max;n=min;while(m-->n){v+=m;}returnv;};publicstaticvoidmain(String[]args){intrs=Test.loop(10,0);System.out.println(rs);}}

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    可以用递归函数:#include#includelongdigui(intn);intmain(){intn;longdg;cout<>n;dg=digui(n);cout<

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    最基础的思路,是逐个求阶乘,并累加.不过由于阶乘是从1乘到n,所以每个数都单独求一次阶乘,会有很多重复运算,影响效率.所以更快捷的方式是,在上一个数的阶乘基础上,直接乘上本身,得到当前数的阶乘.以此为主导,代码如下:#includeintmain(){intn,i,n1=1,s=0;scanf("%d",&n);//输入n值.for(i=1;i{n1*=i;//计算i的阶乘.s+=n1;//累加.}printf("%d\n",s);//输出结果.}

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    python中n的阶乘的算法?

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    python里怎么分享n的阶乘

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    就是那个n的阶层到底是多少的?非常简单的打开看一下这个辅导资料。

    输入n 计算n的阶乘,要用递归算法,python,大def fact(n):if n==0:return 1else:return n*fact(n-1)n=int(input())print(fact(n))习惯用一种固执的方式仰望着,仰望一片花海。那离幸福最近的地方。

    利用python函数计算n的阶层

    阶乘有一个经典的递归调用算法。以下是示例代码。 def jiecheng(n): if n==1 or n==0: return 1 return n*jiecheng(n-1)print('5的阶乘为%s'%jiecheng(5))你说,你喜欢雨。小编试着找出所有雨中的美好;尽管,小编不喜欢雨。

    (急)用python计算阶乘如果你还在小编身边,也许小编就不会难过得痛苦万分。

    小编需要用python列出一个阶乘的表。 小编不太清楚python的阶乘公式 以阶乘reduce为逐次操作list里的每项,接收的参数为 2个,最后返回的为一个结果 >>> def myadd(x,y): >>> return x*y >>> sum=reduce(myadd,(1,2,3,4,5)) >>> 120希望你能找到那个能抱着你睡觉的人,让你不再抱着娃娃和被子入睡!

    补充结果 Python中 键盘输入一个正整数n并计算这个s=1n=int(input("请输入一个整数n:"))for i in range(______): s=______代码示例如下: 运行结果:当风吹起的时候,会想你。当风停止的时候,还是会想你。当路灯闪烁的时候,会想你。从那个路灯到家里步,每步都在想你。知道吧,不是因为伤心而落泪,是因为起风了。

    用Python算n的阶乘,n的大小由用户输入。并且把计def factorial(n): if n == 1: return 1 else: return n * factorial(n - 1)input_num = input()try: with open('jc.txt', 'w') as file: file.write(str(factorial(int(input_num))))except IOError as e: print('error', e)许多时候,让小编们放不下的,其实并不是对方,而是那些逝去的共同回忆。

    编程程序分享n的阶乘的计算实现方法,其中n值由用户输入

    #include int jieCheng(int n){ if (1 == n || 0 == n) { return 1; } return n*jieCheng(n -1);}int main(){ printf("请输入n的值:\n"); int n = 0; scanf("%d", &n); printf("%d。 = %d \n", n, jieCheng(n)); return 0;}运行结果:真正成功的人生,不在于成就的大小,而在于你是否努力地去实现自小编,喊出自己的声音,走出属于自己的道路。

    python 编写一个使阶乘计算器的程序 分享助小编的愿望是,可以选择性失忆,一觉醒来忘记你,彻彻底底的忘掉你。

    用。表示阶乘,不重置的话,计算出来的是1。+1。2。+1。2。3。+1。2。3。4。+1。2。3。4。5。, 所以是34863。因为不重置,每次都在前一项的基础上乘了一个i。,但是小编们只需要在前一项的基础上乘以i就行了,所以多乘了。重置的话,虽然是正确的。

    请编写一个程序实现分享n的阶乘(即n。),并打印输出结果。要分享包括两个函def little_than_50(x): if x 不要拿小编跟任何人比,小编最讨厌有人拿小编跟别人比,小编不是谁的影子也不是谁的替代品,更不是谁能退而分享其次的选择。

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    编写一个matlab文件,求copy1到n的阶2113乘之和。其代码编写的目5261的,就是学会自4102定义函数的编写,循环语句的使用1653。实现代码如下:function ex4()x=input('请输入正整数n:')s=0;for  n=1:xy=exfun(n);s=s+y;endsendfunction y=exfun(x)y=1;for j=1:xy=y*j;endend运行效果更多追问追答追问我运行一下,可以后就采纳可以解释一下第八行s的意思吗?追答S是总和追问那为什么要把下一个for循环放到下面,这样的话程序执行一半不是应该就停了吗?大神,求解答追答下面的循环的作用是求n!追问多谢了,采纳晚了,抱歉,function a=fac(n)if n==0    a=1;else    a=0;    for i=1:n        b=1;        for j=1:i            b=b*j;        end        a=a+b;    endendwww.mh456.com防采集。

    hs_fun.m function fx=hs_fun(x) if x>=100 exit end prd=1; for k=1:x prd=prd*k; end prd >> hs_fun(5) prd = 120

    一、计数、求和、求阶乘等简单算法 例:用随机函数产生100个[0,99]首先确定x插在数组中的位置P;(可由以下语句实现) #define N 10 void

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    一个c的 int f(int a) { if(a<=1) return a; else return a*f(a-1); }

    用matlab如何编写一个函数文件,实现n!的方法。 如下参考: 1.首先在计算机上打开matlab软件,如下图所示。 2.点击打开页面“主页”下的“新建”按钮。 3.然后在打开的下拉菜单中选择“function”选项。 4.可以打开函数编辑器,在那里可以设置函数的输

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    方法一:循环 public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); System.out.println("输入一个正数:");... System.out.println("该数的阶乘是:"+circulation(n)); } // ...
  • 2.计算n的阶层

    千次阅读 2019-04-07 13:07:50
    解析 n!公式有以下两种表达形式 第一种 第二种 步骤 Step1.当n=0时,计算0的阶层(0!...Step2....,反复调用求阶乘函数本身,直到n=0,则可正常计算出n的阶乘 ...//计算n的阶层 unsigned fac(unsign...
  • double fact_s(int n); int main() { int i,n; printf("Input n:"); scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) printf("%3d!=%.0f\n",i,fact_s(i)); return 0; } double fact_s(int n) { static double f=1...
  • c语言中如何计算n的阶乘

    千次阅读 2020-12-18 22:33:07
    c语言计算n阶乘的方法:首先创建一个脚本文件,并编写头文件;然后定义一个“i”变量用来循环,以及定义变量“n”;接着用“sum”来保存结果;最后运行该脚本文件即可实现n阶乘。C语言中求阶乘的计算其实就是从1到n...
  • 例题:请编写一个函数fun,它的功能是:计算n门课程的平均分,计算结果作为函数值返回。 例如,若有5门课程的成绩是88、92、80、61.5、55;则函数的值为75.30。 请勿改动主函数main与其它函数中的任何内容,仅在函数...
  • 实验十 计算N!的实验 更多微机实验:https://blog.csdn.net/yxp189/column/info/39992 汇编语言-微机原理与接口技术-实验 注意:未经允许,请勿转载! 转载请标明出处~ 适用课程:微机原理与接口技术(实验...
  • 分别用for、while和do-while循环语句以及递归方法计算n!,并输出算式 代码段 ​package package名; import java.util.Scanner; //引入包 public class A2_19 { static int factorial(int n) { //递归...

空空如也

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