积分思想
把复杂问题简单化
我们都知道圆的面积和周长，那么你会求球的体积和表面积么？今天小编和大家分享一种巧妙求解球的体积和表面积的方法！
1
什么是球体？
图1
(1) 从集合角度下的定义:在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。
(2)从旋转的角度下的定义：如图1，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球。
2
什么是祖暅原理？
祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题。
祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。
图2
如图2，“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。
更详细点说就是，如图3，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅(geng)原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。
图3
3
如何求球体的体积？
如图4，左边半径为R的半球和右边圆柱体去掉圆锥的钵体，两个图形的高都是R,它们的体积有什么关系呢？
 
图4
根据祖暅原理可知，即使立体图形的形状不同，但如果所有截面的面积总是相等，那么这两个立体图形的体积也相等。
图5
为了验证截面面积是否相等，我们可以把两个图形切割成高为L的立体图形。
由(1)知：S1=πr^2=π(R^2-L^2)
由(2)知：∠OO’B=45°，故OB=OO’=L
S2=πR^2-πL^2=S1
因此，我们根据祖暅原理可知半球的体积等于钵体的体积。
V钵体=V圆柱—V圆锥
=πR^2×R—1/3πR^2×R=2/3πR^3
因为半球的体积等于钵体的体积，故球的体积等于钵体体积的2倍。
V球=2V钵体=2=4/3πR^3
有同学可能会问圆锥的体积怎么求呢？
我们可以先求四棱锥的体积。我们可以把立方体分成3个形状相同的四棱锥，故它们的体积都等于原正方体的1/3。
 
图6
根据祖暅原理我们可以得出：V四棱锥=1/3×底面积×高
那么圆锥的体积怎么计算呢？
我们可以在圆锥底面分割出小四边形。依照这种方法，圆锥就可以看作许多四棱锥聚集组合成的图形。
 
图7
我们假设小四棱锥的底面积为ΔS，,则小四棱锥的体积为
V小四棱锥=1/3×ΔS×高
圆锥的体积等于所有这些极小的四棱锥的体积和，则
V圆锥=1/3×底面积×高
4
如何求球体的表面积？
我们已经推导出球的体积V=4/3πR^3，那么如何可以利用球的体积推出球的表面积S呢？
图8
我们把球看作纤细四棱锥的组合，假设球的表面积为S,半径为r,小四棱锥底面面积为ΔS，高近似为r，则
V小四棱锥=1/3×ΔS×r
则球的体积等于所有小四棱锥的体积和，即
V=4/3πr^3=1/3×r×(ΔS+ΔS+...)=1/3×r×S
则S=4πr^2
5
小结与思考
总结：以上分割求和的方法就是积分的思想，积分法存在的意义在于测量长度、面积和体积。相比“纠结于细节”，“如何思考才能顺利计算”更加优先。
互动思考：已知圆的面积S=πr^2,如何运用积分的思想来求圆的周长？PS:你还有哪些方法求球的体积和表面积？
 参考文献：
1、《简单微积分》神永正博，人民邮电出版社，2019
2、《数学辞海》编辑委员会，中国科学技术出版社，2002
1、云数学节|数学，点亮校园生活！
2、电影《平行四边形》新鲜出炉！
3、一道二次函数，经典30问！
4、王晓峰：一个经典图形的研究
5、爸爸，学数学有什么用？
6、推荐|10部数学电影和16部纪录片
↓
点阅读原文，挑战二次函数压轴题

                        
                        
旷视研究院SLAM组负责人刘骁：三维视觉与机器人
                    

 

 

 

现有无人机和velodyne vlp-16激光雷达扫描一个煤堆得到的点云数据，如何计算这堆煤的体积？

目前已完成SLAM三维重建，得到的点云如下面第一张图所示。

 



需要注意，这个点云并没有底面，从下面的图可以看出。



 

一般來說，不建議只用一個16線激光來估計料堆大小，因爲激光水平和垂直分辨率的原因可能會造成體積測量誤差比較大。

如果採集數據的時候離煤堆的距離不大且運動模型已知，可以嘗試着用類似積分的方式來做，最簡單的形式如：假設激光獲得數據的時候是沿着某個方向勻速運動，那麼獲得的數據一定能計算線數（比如一共有16 ×10,000線數據，標號記爲1,2,...,160,000）。對於相鄰兩線之間的體積計算，由於是勻速運動，所以體積就是截面積×兩線之間的距離。至於截面積計算，由於界面是一堆點和地面組成，直接劃分成矩形計算面積即可。如此疊加，就可以得到一個近似體積。這種近似到底誤差多大，取決與數據的密度。如果運動模型不好建立，這麼計算不一定行得通。

還有一種比較間接但是比較簡單的方法，就是先對點雲進行柵格化，再計算在點雲與地面構成的封閉覆蓋區域內的柵格總體積（類似與八叉樹分割），這時候煤堆體積的計算精度與數據密度和柵格分辨率有關。   （Answer by 兔子先生）

 

 

 

选用合适的隐式曲面重建算法重建点云封闭曲面。然后通过蒙特卡罗计算这个封闭曲面的体积。曲面重建算法推荐smoothed sign distance

 

 

点云转面，然后magics补底面，magics里就有体积数据…是我没读懂题么…

 

 

 

	

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1
什么是球体？
图1
(1) 从集合角度下的定义:
在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。
(2)从旋转的角度下的定义：
如图1，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球。
2
什么是祖暅原理？
祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题。
祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。
图2
如图2，“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。
更详细点说就是，如图3，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅(geng)原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。
图3
3
如何求球体的体积？
如图4，左边半径为R的半球和右边圆柱体去掉圆锥的钵体，两个图形的高都是R,它们的体积有什么关系呢？
 
图4
根据祖暅原理可知，即使立体图形的形状不同，但如果所有截面的面积总是相等，那么这两个立体图形的体积也相等。
图5
为了验证截面面积是否相等，我们可以把两个图形切割成高为L的立体图形。
由(1)知：S1=πr^2=π(R^2-L^2)
由(2)知：∠OO’B=45°，故OB=OO’=L
S2=πR^2-πL^2=S1
因此，我们根据祖暅原理可知半球的体积等于钵体的体积。
V钵体=V圆柱—V圆锥
=πR^2×R—1/3πR^2×R=2/3πR^3
因为半球的体积等于钵体的体积，故球的体积等于钵体体积的2倍。
V球=2V钵体=2=4/3πR^3
有同学可能会问圆锥的体积怎么求呢？
我们可以先求四棱锥的体积。我们可以把立方体分成3个形状相同的四棱锥，故它们的体积都等于原正方体的1/3。
 
图6
根据祖暅原理我们可以得出：V四棱锥=1/3×底面积×高
那么圆锥的体积怎么计算呢？
我们可以在圆锥底面分割出小四边形。依照这种方法，圆锥就可以看作许多四棱锥聚集组合成的图形。
 
图7
我们假设小四棱锥的底面积为ΔS，,则小四棱锥的体积为
V小四棱锥=1/3×ΔS×高
圆锥的体积等于所有这些极小的四棱锥的体积和，则
V圆锥=1/3×底面积×高
4
如何求球体的表面积？
我们已经推导出球的体积V=4/3πR^3，那么如何可以利用球的体积推出球的表面积S呢？
图8
我们把球看作纤细四棱锥的组合，假设球的表面积为S,半径为r,小四棱锥底面面积为ΔS，高近似为r，则
V小四棱锥=1/3×ΔS×r
则球的体积等于所有小四棱锥的体积和，即
V=4/3πr^3=1/3×r×(ΔS+ΔS+...)=1/3×r×S
则S=4πr^2
5
小结与思考
总结：以上分割求和的方法就是积分的思想，积分法存在的意义在于测量长度、面积和体积。相比“纠结于细节”，“如何思考才能顺利计算”更加优先。
互动思考：已知圆的面积S=πr^2,如何运用积分的思想来求圆的周长？PS:你还有哪些方法求球的体积和表面积？
 参考文献：
1、《简单微积分》神永正博，人民邮电出版社，2019
2、《数学辞海》编辑委员会，中国科学技术出版社，2002
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最近，我遇到了一个这样的应用问题。在三维空间存在N个球体，球体间可能会存在相离、相切、相交和包含的关系， 现给出球体的球心坐标和对应的半径，如何求解这N个球体在三维空间所占的体积？
对于最一般的情况，即计算两个球体在空间中所占的体积，经过查阅资料，我发现是有公式可以直接计算两个球体相交区域（公共部分）的体积的，那么能否把这个公式推广到N个球体的情况呢？经过一番思考与推导，我发现是很困难的，因为对于多个球体，不仅两个球体间会相交，存在公共部分，而且三个球体间也可能存在公共部分，这个时候就很难简单地利用公式通过累加球体的体积再减去公共部分的体积来计算了。
那应该如何求解这个问题呢？困扰了几个小时后，我想到了蒙特卡洛方法。蒲丰投针计算圆周率可以说是利用随机方法最经典的一个应用，像投针实验一样，通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法被称为蒙特卡洛方法。对于计算N个球体在空间中所占的体积，我们可以这样解决，构建一个包含所有球体的长方体，在长方体空间中随机生成q个点，利用球体方程统计落在球体中的随机点的个数p，那么所有球体所占的体积就是p/q倍的长方体的体积。
两个球体所占体积的公式
假设空间中存在两个球体，半径分别为
和
，且
，球心间的距离为
。存在以下三种情况：
1）
>=
，两球不相交，相交部分的体积为0，所占的体积为
；
2）
,小球在大球里面，相交部分的体积为
，所占的体积为
；
3）
<
<
，两球相交，
设
则相交部分的体积：
这种情况，两个球体所占的体积为
关于这个公式的推导，感兴趣的同学可以查阅本文的参考资料。我们可以利用这个公式来验证基于蒙特卡洛方法求解N个球体所占体积的程序的正确性。
代码
main.m，计算N个球体所占体积的主程序，测试数据的结果已经证明了程序的正确性。
%% 利用蒙特卡洛方法求解N个球体相交后所占的体积

% % 此为测试数据，用以验证程序的正确性，精确值是6.7394
% sc = [0, 0, 0; 0.5, 0.5, 0.5];      % 球体的求心坐标
% r =[1; 1];                          % 球体的半径
% V = CalcNSphereVolume(sc,r, 50000); % 体积
% N = length(r);                      % 球体的个数


% 计算5个球体所占的体积
sc = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9;10 11 12; 13 14 15]; % 球体的球心坐标
r = [1; 1; 1; 5; 5]; % 对应球体的半径
V = CalcNSphereVolume(sc,r, 50000); % 体积
N = length(r);
str1 = sprintf('%d个球体相交后所占的体积是%f.',N, V);
disp(str1);
函数CalcNSphereVolume.m，实现计算空间中N个球体所占的体积。
function V = CalcNSphereVolume(sc,r, randomPtNum)
% 函数V = CalcNSphereVolume(sc,r, randomPtNum)利用蒙特卡洛方法求N个球体
% 所占的体积.
%
% 参数说明
%     输入参数：
%          sc: N个球体的球心坐标，是一N*3的矩阵，第一列是X，第二列是Y，第三
%              列是Z
%          r: N个球体对应的半径
%     randomPtNum: 随机在空间生成的点的个数,建议至少为10000
%
%     输出参数：
%          V: N个球体相交后所占的体积

% 参数判断
if nargin==2
    randomPtNum = 10000;
end

N = length(r);   % 球体的个数

% 确定生成随机点的空间范围，是一包含所有球体的长方体,即任何球体的球面
% 均不与长方体面相切
xl = min((sc(:,1)-r(:)));
xl = xl-0.01*abs(xl);
xr = max((sc(:,1)+r(:)));
xr = xr+0.01*abs(xr);
yl = min((sc(:,2)-r(:)));
yl = yl-0.01*abs(yl);
yr = max((sc(:,2)+r(:)));
yr = yr+0.01*abs(yr);
zl = min((sc(:,3)-r(:)));
zl  = zl-0.01*abs(zl);
zr = max((sc(:,3)+r(:)));
zr = zr+0.01*abs(zr);

% 随机生成randomPtNum个点
k = 0;
pt = zeros(1,3);
Xpt = rand(1, randomPtNum);
Ypt = rand(1, randomPtNum);
Zpt = rand(1, randomPtNum);

% 获得属于球体的随机点的个数
for i=1:randomPtNum
    
    pt(1) = xl+(xr-xl)*Xpt(i);  % 把随机点的X坐标转换至长方体的X坐标范围内
    pt(2) = yl+(yr-yl)*Ypt(i);  % 把随机点的Y坐标转换至长方体的Y坐标范围内
    pt(3) = zl+(zr-zl)*Zpt(i);  % 把随机点的Z坐标转换至长方体的Z坐标范围内
    
    % 遍历所有球体
    for j=1:N
       r_square = r(j)*r(j);
       distance_square = (pt(1)-sc(j,1))^2+(pt(2)-sc(j,2))^2+(pt(3)-sc(j,3))^2;
       
       % 判断随机点是否属于球体
       if distance_square<=r_square
          k = k+1;    % 属于球体，k自增1，并跳出球体循环
          break;
       end
    end
end
V_cuboid = (xr-xl)*(yr-yl)*(zr-zl);  % 长方体的体积
V = (k/randomPtNum)*V_cuboid;        % 得到N个球体所占的体积
end

PS：完整的代码，已经整理到我的百度企业云盘中，感兴趣的同学可以从下方链接下载（有效期7天）。
蒙特卡洛方法计算N个球体的体积​eyun.baidu.com
参考资料 
1.https://blog.csdn.net/luyehao1/article/details/86583384?utm_source=app