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  • 2020-11-25 04:31:22

    巧用转化,计算圆环面积

    学校操场新刷了奥运五环的标志,

    我与小佳想运用所学过的知识计算出其中

    一个圆环的面积。

    我们先确定了外圆的直径是

    6

    分米,内圆直径是

    4

    分米。然后计算出

    S

    外圆

    π

    R

    2

    3.1

    4

    ×

    (6

    ÷

    2)

    2

    28.26(

    平方分米

    ),

    S

    π

    r

    2

    3.14

    ×

    (4

    ÷

    2)

    2

    12.56(

    平方分米

    )

    。最后用

    S

    外圆

    S

    内圆

    28.26

    12.56

    15.7(

    平方分米

    )

    我想,

    如果不用书上的方法是不是也能求出圆环的面积呢?于是我将自己的

    想法告诉了小佳。

    小佳也很爱动脑筋,

    听了我的想法后,

    脑子里就咕碌碌地冒出

    了各种猜想。

    她想,

    三角形、

    梯形可以转化成平行四边形来计算面积,

    圆的面积也可以转

    化成近似的平行四边形来计算。

    那么圆环的面积是不是也可以通过转化成我们学

    过的图形来计算面积呢?想到这儿,她就把自己的想法告诉了我。

    我认为小佳的想法很有道理,

    可是可以转化成什么样的图形,

    怎样转化呢?

    眼前的奥运五环中的一环,

    在我眼中似乎已被切割成很多块。

    过了一会儿,

    我对

    小佳说:

    “以圆心为中心,把这个圆环平均分成若干等份(如图1)

    ,你看每一份

    像什么图形?”小佳说:

    “像梯形。

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  • 自学ing计算圆面积方法2.sln
  • python计算圆面积(十种方法

    万次阅读 2022-03-16 21:18:14
    问题:python计算圆面积。 要求:从键盘输入半径,计算得到圆面积后,保留两位小数,将结果展示在屏幕上。

    问题:python计算圆面积。
    要求:从键盘输入半径,计算得到圆面积后,保留两位小数,将结果展示在屏幕上。

    1.方法一

    r=input('请输入圆半径:')
    s=3.14*int(r)**2
    print('圆面积为:{:.2f}'.format(s))
    

    2.方法二

    r=input('请输入圆半径:')
    s=3.14*int(r)**2
    print('圆面积为:%.2f' %s)
    

    3.方法三

    r=input('请输入圆半径:')
    s=3.14*int(r)**2
    print('圆面积为:',round(s,2))
    

    4.方法四

    r=int(input('请输入圆半径:'))
    s=3.14*pow(r,2)
    print('圆面积为:{:.2f}'.format(s))
    

    5.方法五

    from decimal import Decimal
    r=input('请输入圆半径:')
    s=3.14*float(r)**2
    print('圆面积为:',Decimal(s).quantize(Decimal('0.00')))
    

    6.方法六

    import numpy
    r=input('请输入圆半径:')
    print('圆面积为:{:.2f}'.format(3.14*(numpy.square(float(r)))))
    

    7.方法七

    import math
    pi=math.pi
    
    def circle_area():
        r=float(input('请输入半径:'))
        s=pi*r*r
        print('圆面积为:{:.2f}'.format(s))
        
    circle_area()
    

    8.方法八

    # 该方法适用于输入的半径是Int整数,不适用于Float浮点数(小数)
    while True:
        r=input('请输入圆半径:')
        if r.isdigit()==1:
            print('圆面积为:{:.2f}'.format(3.14*int(r)**2))
            break
        else:
            print('输入的不是数值,请重新输入:\n')
            continue
    

    9.方法九

    # 该方法适用于输入的半径是Int整数,不适用于Float浮点数(小数)
    while True:
        try:
            r=input('请输入圆半径:')
            r=float(r)
            print('圆面积为:{:.2f}'.format(3.14*int(r)**2))
            break
        except:
            print('输入的不是数值,请重新输入:\n')
    

    10.方法十

    # 导入库
    import tkinter
    import math
    
    # 生成Tk界面并固定其大小
    root = tkinter.Tk()
    root.title('计算圆面积')
    root.geometry('350x100')
    root.resizable(False,False)
    
    # 定义函数1:计算圆面积,并设置【计算】按钮只能点击一次,否则连续点击后会在输入栏出现多个重复的结果
    def calculate():
        pi=math.pi
        entry2.insert(tkinter.END,str(round(pi*(eval(entry1.get()))**2,2)))
        b2.configure(state='disable')
    
    # 定义函数2:点击【清除】按钮会恢复【计算】按钮的计算功能
    def recover_calculate(e):
        e.widget=b2.configure(state='normal')
    
    # 定义函数3:鼠标经过提示信息的区域会改变提示信息的前景色,这里特指字体颜色
    def change_color(event):
        event.widget['fg']='green'
    
    # 定义函数4:鼠标离开提示信息的区域会恢复提示信息的前景色,这里特指字体颜色    
    def back_color(event):
        event.widget['fg']='black'
    
    # 生成文本框并设置默认值
    content1 = tkinter.StringVar()
    content2 = tkinter.StringVar()
    content1.set('0')
    label1 = tkinter.Label(root,text="请输入圆半径:")
    label1.grid(row = 0,column = 0)
    label1.bind('<Enter>',change_color)
    label1.bind('<Leave>',back_color)
    entry1 = tkinter.Entry(root,textvariable=content1,width=20,justify=tkinter.RIGHT,selectbackground='cyan',selectforeground='purple')
    entry1.grid(row = 0,column = 1)
    
    label2 = tkinter.Label(root,text="圆面积为:")
    label2.grid(row = 1,column = 0)
    label2.bind('<Enter>',change_color)
    label2.bind('<Leave>',back_color)
    entry2 = tkinter.Entry(root,textvariable=content2,width=20,justify=tkinter.RIGHT,selectbackground='yellow',selectforeground='red')
    entry2.grid(row = 1,column = 1)
    
    # 显示图片,纯粹为了美观
    img=tkinter.PhotoImage(file='./图片.gif')
    tkinter.Label(root,image=img).place(x=250,y=10)
    
    # 设置【清除】和【计算】按钮
    b1=tkinter.Button(root,text="清除",command = lambda *clear:(entry1.delete(0,tkinter.END),entry2.delete(0,tkinter.END)),fg='red')
    b1.place(x = 75,y = 60)
    
    b2=tkinter.Button(root,text="计算",command = calculate,fg='blue')
    b2.place(x = 150,y= 60)
    
    # 调用定义函数2,恢复【计算】按钮的功能
    b1.bind('<Button-1>',recover_calculate)
    
    # 让Tk界面一直显示,停留在屏幕上
    root.mainloop()
    

    11.方法十的效果

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • Python求圆面积周长

    2020-12-21 12:26:44
    Python求圆面积周长 要求: 输入圆的半径r,计算圆的面积(area)和周(circumference)。 注意: 所有数保留两位小数。π取值3.14。方法为:print(“%.2f” % a)。 # 请使用 input() 输入圆的半径 r pi = 3.14 r = float...
  • python如何求面积

    2021-01-21 15:25:18
    # 定义一个方法计算圆面积 def findArea(r): PI = 3.142 return PI * (r*r); # 调用方法 print(圆的面积为 %.6f % findArea(5)); 上面例子中我们定义了一个findArea()方法,参数r为圆的半径,圆周率π取3.142...
  • #include #include #include /*计算圆面积*///函数功能:产生[0,1]里的随机小数double randomnumber(){double d=((double)rand())/RAND_MAX;return d;}//函数功能:给定一个圆半径,计算圆面积double circleArea...

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    #include

    #include

    #include

    /*计算圆的面积*/

    //函数功能:产生[0,1]里的随机小数

    double randomnumber()

    {

    double d=((double)rand())/RAND_MAX;

    return d;

    }

    //函数功能:给定一个圆半径,计算圆的面积

    double circleArea(double r) //圆的半径为r,圆的外接正方形的边长为2r,圆的面积仅由半径r决定

    {

    double x,y; //随机产生的点的横坐标与纵坐标

    int times=0; //计算点落在圆里的次数

    int i = 0; //for循环的计数器

    int cycle = 10000000; //for循环的执行次数,该次数越大,计算结果越接近真实值。

    double area = 0;//圆的面积

    for(i=0;i<=cycle;i++) //循环执行10000000次,通过使用大量的循环次数来提高精度。

    {

    x=randomnumber()*r;//点的横坐标=[0,1]里的一个随机小数×半径

    y=randomnumber()*r;//点的纵坐标=[0,1]里的一个随机小数×半径

    if(x*x+y*y<=r*r) //如果点落在圆的内部,即x^2+y^2<=r^2,times自加

    times++;

    }

    area=(float)times*(4*r*r)/cycle;//面积=((点落在圆里的次数)/循环次数)×圆的外接正方形的面积

    return area; //返回圆的面积

    }

    int main()

    {

    /*

    初始化随机函数种子,srand((unsigned)time(NULL));

    是拿系统时间作为种子,由于时间是变化的,种子变化,可以产生不相同的随机数。

    使用时,参数可以是unsigned型的任意数据,比如srand(10);如果不使用srand,

    而用rand()产生的随机数,在多次运行,结果是一样的。

    */

    srand((unsigned)time(NULL));

    printf("圆的面积=%.1f\n",circleArea(10000));

    int i =0;

    }

    展开全文
  • 如何计算圆面积

    2021-07-25 03:24:12
    圆的面积计算公式但是以前从没想过他是怎么推导来的,今天突发奇想,用微积分推导了一下,然后上网看了下高手们的推导,真的是各种方法无奇不有啊,于是就有了写这篇文章的冲动,总结下各种计算圆面积方法。...

    我们很早就学过,圆的面积计算公式:

    d68b51ef604f

    圆的面积计算公式

    但是以前从没想过他是怎么推导来的,今天突发奇想,用微积分推导了一下,然后上网看了下高手们的推导,真的是各种方法无奇不有啊,于是就有了写这篇文章的冲动,总结下各种计算圆面积的方法。

    不需要常数π的方法

    计算圆的面积中有一个重要常数π,现在假设我们不知道π的值,该怎么计算圆的面积呢?

    蒙特卡罗方法(或飞镖法)

    不知道常数π的值,也就没法直接求出圆的周长和面积,很好想到的一个方法就是:将圆镶嵌在一个正方形中,然后求出圆占这个正方形面积的百分比:

    d68b51ef604f

    你可以胡乱朝这个区域投掷飞镖,当飞镖数量足够大,并假设飞镖投到这个区域任意位置的概率是一样的,那么你最后就可以通过飞镖数量求出圆占整个正方形面积的比,设圆的半径为r,正方形面积为:

    d68b51ef604f

    由知道了比值,自然就可以算出圆的面积

    需要常数π的方法

    常数π是个重要的常数,它表示圆的周长C和圆的直径d之比:

    d70ef7f50df13fd9072c1e6b6f5133a5.png

    如果要用公式:

    d68b51ef604f

    计算圆的面积,当然需要知道π的值。

    知道了π的定义,最简单的办法就是滚粗法:

    220px-Pi-unrolled-720.gif

    操作起来就是:

    先用绳子围绕标准圆一周,然后测量绳子长度:

    d68b51ef604f

    接着找准圆心,然后用尺子测出圆的直径:

    d68b51ef604f

    这两的比值就是常数π了。当然为了更好的精确度,可以采用多次测量取平均值的方法。

    其实上面讲到的蒙特卡洛方法也可以用来计算常数π,只需将圆的半径设为1就好。

    还有一种经典的蒙特卡洛方法,叫做蒲风投针实验:

    设针的长度是l,平行线之间的距离为t,x为针的中心和最近的平行线的距离,θ为针和线之间的锐角。

    d68b51ef604f

    可以推导:

    1b420d7ae8c0114da491cf09f4d6e447.png的概率密度函数为

    83cfa83f553c919a5ed57bc094f78672.png

    812f16bcbd152b5aa7fcf0791f3626e1.png

    的概率密度函数为:

    cebc9fadb9f2d2ad314d50453ec4d4e5.png

    x和θ两个随机变数互相独立,因此两者结合的概率密度函数只是两者的积:

    8a93f84e658fb8c2dfc36b471ab9363e.png

    针和线相交时:

    64e94d290e8c8ae091faf0624392bece.png

    求上式的积分,得到针和线相交的概率:

    2474fe6b9ac4c7c038053047b33a0725.png

    即抛n针,其中有h针和线相交的概率为:

    ff9ab31a51b6ec5d0b8060c920970051.png

    由此可以得到π:

    0364a63f9d46f9e9406133c244d9a2c6.png

    具体操作时,我们可以取t=2l,然后投掷n针,除以针和线相交的次数h,就得到π:

    d68b51ef604f

    当然还有更多计算π的方法,像数列求极限等,感兴趣的请参考这里

    好了,解决了常数π,下面回到正题,如何计算圆的面积?

    剪纸法

    剪纸法的思想就是化整为零,再重新拼接。

    d68b51ef604f

    剪纸法

    将一个圆剪成很多小的扇形,然后再将其拼成如上图的一个矩形,由于圆的周长是2πr,蓝色和黄色各占一半,所以拼成的长方形的长约为π*r,而长方形的宽约为圆的半径r,所以圆的面积等于长方形的面积:

    d68b51ef604f

    变形法

    其实这个方法和上个方法基本思想是一样的:圆的面积我们不知道,那能不能把圆转换成我们熟悉的形状呢?比如三角形:

    d68b51ef604f

    三角形的面积公式我们知道,那与它等价的圆的面积自然也就能计算了:

    32b96ab96339b0675b5c2b1fec63ce1f.png

    微积分法

    大学里学了微积分,用微积分来计算圆的面积,那不是拿着刀俎,鱼肉随便切吗。不过虽然都是用微积分,出发思想不一样,解法也不一样。

    洋葱法

    使用微积分,我们将圆象洋葱一样分为薄圆环,递增地求出面积。

    d68b51ef604f

    对“洋葱”,以 t 为半径的无穷薄圆环,贡献的面积是 2πt dt,周长的长度乘以其无穷小宽度。这样对半径为 r 的圆给出了一个初等积分:

    975017ef22ee344c12902141406aab8f.png

    极坐标法

    极坐标也是一种变换的方法,就像傅里叶变换一样,极坐标变换将直角坐标系下看似复杂的东西变成极坐标系下极其简单的东西,就像在直角坐标系下的一个圆环,在极坐标系下却是长方形:

    d68b51ef604f

    从笛卡尔到极坐标的区域变换

    唯一要注意的是,直角坐标系下的面积微元为:dxdy,而极坐标下却是:tdtdθ,不懂可以参考这里

    使用极坐标下的二重积分,积分函数为f(x)=1, 积分区域为圆C,则:

    0e4d5c316a7d29f9b765314280d433d9.png

    分割伞形法

    类似于洋葱法,我们也可以把圆分割为一系列小的伞形区域,则每个区域的面积近似为二分之一的弧长(rdθ)乘以半径r:

    d68b51ef604f

    d68b51ef604f

    然后将dθ从0到2π积分,就可以计算出圆的面积:

    d68b51ef604f

    半圆法

    我们知道,圆的方程为:

    d68b51ef604f

    由此可得,当y>0时,半圆的方程为:

    d68b51ef604f

    d68b51ef604f

    对函数y从-r到r积分,由积分的定义知,积分的结果为二分之一圆的面积。

    要计算:

    d5c3d38eb2ffb1b2ced61e17a15d0391.png

    我们先假设:

    a7b7ed14a6ee3c40303af3263f90f88b.png

    则:

    058b1096bd75d5c1e3a937af7c865684.png

    6475ab8d8b914070ce3b9a02ff094947.png

    那么:

    d5c3d38eb2ffb1b2ced61e17a15d0391.png

    8a0854d8fcec51401ef0e0a0b3a8d461.png

    b46c1a2769ecf619b6392c12d54a0582.png

    3db96712aac8ebdca2bb1e96b615ae5c.png

    b0c0ca2ccf133e479786229132893de9.png

    3df1f1b7f1ab85c19cde89f3205f3fc2.png

    当然,你可以通过mathmatica,直接得到结果:

    d68b51ef604f

    总结

    以上的一些方法,归根结底就两类思想:要么是转化的思想,将圆转化为熟悉的图形计算,要么是微积分的思想,把圆细分为微单元,然后再将这些微单元相加。一个简单的圆面积公式,都有这么多的解法,数学的魅力就在这里。

    参考文献

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    千次阅读 2021-05-12 09:03:57
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    2010-10-14 10:30:22
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空空如也

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如何计算圆的面积方法