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  • 在自动控制原理课程中,利用折线式伯德图计算截止频率是很常见的题型,下面介绍两种做法。 对于以下传递函数: G(s)=50s2(s2+s+1)(10s+1)=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s){G(s)=\frac{50}{s^2(s^2+s+1)(10s+1)}=G_1(s)G_2...

    在自动控制原理课程中,利用折线式伯德图计算截止频率是很常见的题型,下面介绍两种做法。

    对于以下传递函数:
    G ( s ) = 50 s 2 ( s 2 + s + 1 ) ( 10 s + 1 ) = G 1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s ) G 4 ( s ) G 5 ( s ) {G(s)=\frac{50}{s^2(s^2+s+1)(10s+1)}=G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)} G(s)=s2(s2+s+1)(10s+1)50=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)
    其中:
    G 1 ( s ) = 50 , 比 例 环 节 {G_1(s)=50,比例环节} G1(s)=50
    G 2 ( s ) = 1 s , 积 分 环 节 {G_2(s)=\frac{1}{s},积分环节} G2(s)=s1
    G 3 ( s ) = 1 s , 积 分 环 节 {G_3(s)=\frac{1}{s},积分环节} G3(s)=s1
    G 4 ( s ) = 1 s 2 + s + 1 , 振 荡 环 节 , ω 1 = 1 r a d / s {G_4(s)=\frac{1}{s^2+s+1},振荡环节,\omega_1=1rad/s} G4(s)=s2+s+11ω1=1rad/s
    G 5 ( s ) = 1 10 s + 1 , 延 时 环 节 , ω 2 = 0.1 r a d / s {G_5(s)=\frac{1}{10s+1},延时环节,\omega_2=0.1rad/s} G5(s)=10s+11ω2=0.1rad/s
    首先画出伯德图的草图:
    在这里插入图片描述
    在卡西欧计算器上,利用未经化简的 L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)求解的结果是 ω c = 1.4193 r a d / s {\omega_c=1.4193rad/s} ωc=1.4193rad/s,该值作为本文的真值。

    方法一:利用 L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)的分段函数特点

    利用[1]中的方法(具体思路不再重复),可以求出转折频率的估计值:
    (1)假设 ω c < 0.1 r a d / s {\omega_c<0.1rad/s} ωc<0.1rad/s,只考虑比例和积分环节,则有 L ( ω ) = 20 l g ( 50 ) − 40 l g ( ω ) {L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)} L(ω)=20lg(50)40lg(ω)
    L ( ω ) = 0 {L(\omega)=0} L(ω)=0,解得 ω = 50 {\omega=\sqrt{50}} ω=50 ,不符合假设,舍去。
    (2)假设 0.1 r a d / s < ω c < 1 r a d / s {0.1rad/s<\omega_c<1rad/s} 0.1rad/s<ωc<1rad/s,不考虑振荡环节,则有
    L ( ω ) = 20 l g ( 50 ) − 40 l g ( ω ) − 20 l g ( 10 ω ) {L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)-20lg(10\omega)} L(ω)=20lg(50)40lg(ω)20lg(10ω)
    L ( ω ) = 0 {L(\omega)=0} L(ω)=0,解得 ω = 5 3 {\omega=\sqrt[3]{5}} ω=35 ,不符合假设,舍去。
    (3)假设 ω c > 1 r a d / s {\omega_c>1rad/s} ωc>1rad/s,则有
    L ( ω ) = 20 l g ( 50 ) − 40 l g ( ω ) − 20 l g ( 10 ω ) − 40 l g ( ω ) {L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)-20lg(10\omega)-40lg(\omega)} L(ω)=20lg(50)40lg(ω)20lg(10ω)40lg(ω)
    L ( ω ) = 0 {L(\omega)=0} L(ω)=0,解得 ω = 5 5 = 1.3797 r a d / s {\omega=\sqrt[5]{5}=1.3797rad/s} ω=55 =1.3797rad/s,符合假设,是正确的截止频率。

    方法二:利用 ω {\omega} ω靠近零处的特点

    ω {\omega} ω很小时,除了积分环节,其他环节都可以忽略,因此:
    L ( ω ) = 20 l g ( 50 ) − 40 l g ( ω ) {L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)} L(ω)=20lg(50)40lg(ω)
    ω = 0.01 r a d / s {\omega=0.01rad/s} ω=0.01rad/s,有 L ( 0.01 ) = 20 l g ( 50 ) + 80 {L(0.01)=20lg(50)+80} L(0.01)=20lg(50)+80
    ω = 0.01 r a d / s {\omega=0.01rad/s} ω=0.01rad/s开始, L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)不断下降,因此可以把 ω c {\omega_c} ωc看作是下降过程中的一点。从 ω = 0.01 r a d / s {\omega=0.01rad/s} ω=0.01rad/s处下降到 ω c {\omega_c} ωc处, L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)首先经过了 ω = 0.1 r a d / s {\omega=0.1rad/s} ω=0.1rad/s,然后经过了 ω = 1 r a d / s {\omega=1rad/s} ω=1rad/s,由此画出下面的阶梯图:
    在这里插入图片描述
    对于图中折线的斜率,例如-40dB/dec,表示 ω {\omega} ω每增大10倍, L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)就减小40,其余的同理。
    因此,可以直接写出 L ( ω c ) {L(\omega_c)} L(ωc)的表达式:
    L ( ω c ) = L ( 0.01 ) − 40 − 60 − 100 l g ( ω c ) − l g ( 1 ) l g ( 10 ) − l g ( 1 ) = 0 {L(\omega_c)=L(0.01)-40-60-100\frac{lg(\omega_c)-lg(1)}{lg(10)-lg(1)}=0} L(ωc)=L(0.01)4060100lg(10)lg(1)lg(ωc)lg(1)=0
    前面很好理解,最后一项是什么呢?不妨将-100dB/dec的直线延伸到 ω = 10 r a d / s {\omega=10rad/s} ω=10rad/s看看:
    在这里插入图片描述
    ω = 1 r a d / s {\omega=1rad/s} ω=1rad/s处到 ω = 10 r a d / s {\omega=10rad/s} ω=10rad/s处, L ( ω ) {L(\omega)} L(ω)减小了10。而图中的红色和黄色两个三角形是相似的,假设从 ω = 1 r a d / s {\omega=1rad/s} ω=1rad/s处到 ω c {\omega_c} ωc处下降了 x {x} x,根据比例关系很容易有:
    l g ( ω c ) − l g ( 1 ) l g ( 10 ) − l g ( 1 ) = x 100 {\frac{lg(\omega_c)-lg(1)}{lg(10)-lg(1)}=\frac{x}{100}} lg(10)lg(1)lg(ωc)lg(1)=100x
    用这种方法求出
    ω c = 1 0 l g ( 5 ) 5 = 5 5 = 1.3797 r a d / s {\omega_c=10^\frac{lg(5)}{5}=\sqrt[5]{5}=1.3797rad/s} ωc=105lg(5)=55 =1.3797rad/s
    与方法一的结论是相同的。

    总结

    从结果来看,两种方法得到的结论是相同的,且都和计算器求解的结果比较接近,但是方法二的求解过程明显更简单,做题更节省时间。

    参考文献

    [1] https://wenku.baidu.com/view/f6abcd52dd36a32d73758182.html

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  • 所谓低通滤波器,顾名思义是指允许低频率的信号通过,而抑制高频率的信号的部件,理想的滤波器是不可能实现的。...本文讲述了如何利用传递函数计算截止频率的方法,和设计一阶、二阶、高阶低通滤波器的方法。
  • 参考模电RC滤波计算公式来计算截止频率 #define M_PI_FLOAT 3.14159265358979323846f typedef struct LpfFilter { float RC;//模电RC滤波的电阻和电容值的积 float dT;//数据更新时间隔(秒) float k;//...

    参考模电RC滤波计算公式来计算截止频率

    #define M_PI_FLOAT  3.14159265358979323846f
    
    typedef struct LpfFilter
    {
        float RC;//模电RC滤波的电阻和电容值的积
        float dT;//数据更新时间隔(秒)
        float k;//滤波系数
        float state;//滤波结果
    }LpfFilter_t;
    
    /**设置滤波的截止频率
    * *filter:
    * f_cut:截止频率
    * dt: 数据更新时间隔(秒)
    */
    void filterInit(LpfFilter_t *filter, float f_cut, float dt)
    {
        filter->RC = 1.0f / ( 2.0f * M_PI_FLOAT * f_cut);//参考模电RC截止频率公式
        filter->dT = dT;//数据更新时间隔(秒)
        filter->k = filter->dT / (filter->RC + filter->dT);//滤波系数
    }
    
    /**应用低通滤波
    * *filter:
    * input:新输入数据
    */
    float LpfFilterApply(pt1Filter_t *filter, float input)
    {
        //dt固定时,截止频率越低,k越小,数据最终输出的变化越慢(高频去掉了)
        //截止频率固定时,dT越大,k越小,数据最终输出的变化越慢(高频去掉了)
        filter->state = filter->state + filter->k * (input - filter->state);
        return filter->state;
    }

    参考:

    https://github.com/betaflight/betaflight/blob/master/src/main/common/filter.c

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    在之前的文章中,我们看到系统的频率响应可以用极坐标图表示,其曲线表示频率从零到无穷大变化的幅度和相位。我们称之为奈奎斯特图(或奈奎斯特图),它是更常见的波德图的有趣替代品。下图显示在前一篇文章的末尾,它提供了我们可以从一阶滤波器的奈奎斯特图中提取的一般信息。

    0395d70ccd7a364fca3db9fae3c65a92.png

    截止频率的重要性

    上图不包括一条非常重要的信息,即滤波器的截止频率。一阶低通滤波器的s域传递函数可表示如下:

    3363b5d92b765f1469cedd6d64a3cd93.png

    这个公式告诉我们,一个给定的低通滤波器的唯一的显着特点是ķ和ωo。参数K是滤波器的低频增益。无源元件没有能力放大的信号,所以,如果我们只关心RC一阶低通滤波器,我们可以忽略ķ,因为它永远是1,其余参数ωo是截止频率。因此,我们可以简单地通过指定截止频率来完整地描述RC低通滤波器。

    找到截止频率

    奈奎斯特曲线肯定没有我们从波德图中很好地了解到的典型的衰减特性,事实上,奈奎斯特图并没有给出关于滤波器电路截止频率的具体信息。然而,检查截止频率和奈奎斯特曲线之间的关系是加强截止频率概念的一种好方法,它也将使我们对奈奎斯特方法在视觉上描绘频率响应的局限性有所了解。首先,我们需要考虑关于幅度响应和相位响应的截止频率实际发生的情况。

    通过幅度的截止频率

    你可能知道截止频率的另一个名称是3db(或-3db)频率,这提醒我们,当输入频率为ωo时,一阶低通滤波器提供3db的衰减(或相当于-3db的增益)。我们在奈奎斯特图中不使用分贝,因此代替为-3db,使用相应的振幅比即1/√2。当我们处理极坐标图时,我们应该始终注意三角形;例如,复数的大小是确定的,就好像它是直角三角形的斜边,直角三角形的两条边是实部和虚部,我们使用三角法来计算复数。既然你在考虑三角形,那么系数1/√2有什么想法吗?

    95803171247741cf7d99d0f62396c044.png

    如上图所示,当一个直角三角形有两条等长的边时,就需要用到因子√2。如果我们把边的长度减到0.5,斜边的长度就是√2×0.5,也就是1/√2。

    f9b0763f1033c26309d72c6041eefda2.png

    那么,这意味着什么?考虑以下奈奎斯特图:

    69646602df6e7ff391404097ea7c4adf.png

    这是一阶低通滤波器的奈奎斯特图。请注意,没有包括与负频率对应的曲线部分。

    如你所见,滤波器在曲线的最低点有1/√2的增益,其中实部分量的绝对值等于虚部分量的绝对值,这是一阶低通滤波器奈奎斯特图中截止频率的位置。同样的关系也适用于一阶高通滤波器,但在这种情况下,截止频率在曲线的最高点:

    484e08906731eb03413f13a16b737ccc.png

    不同之处在于,随着频率的增加,高通滤波器的相移从+ 90°变化到0°,而低通滤波器的相位在0°到-90°之间变化。因为角度是从正实轴逆时针测量的,所以在实轴上方绘制正相移,在实轴下方绘制负相移。另请注意,两个图的箭头指向相反的方向:在低通图中,箭头指向原点,因为随着频率的增加,增益会减小;在高通图中,它指向远离原点,因为随着频率的增加,增益会增加。

    关于通过相移实现截止频率的内容请打开下面链接进行查看:https://www.eetoday.com/application/control/93649.html

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  • 简单二阶滤波器截止频率计算

    万次阅读 多人点赞 2018-07-25 00:04:04
    最近刚好学习到这了,而我在网上查资料的时候却非常难找,不少资料讲解不够详细,所以经过我努力也为了为大家做点贡献的想法,以自己的见解写下这篇文章。废话不多说,先从一阶滤波器讲起。...所以电压随频率的增...

    最近刚好学习到这了,而我在网上查资料的时候却非常难找,不少资料讲解不够详细,所以经过我努力也为了为大家做点贡献的想法,以自己的见解写下这篇文章。废话不多说,先从一阶滤波器讲起。

    一阶低通滤波器:

    这个电路我想大家都非常的了解,但我还是将公式推导一下

    由输入电压Vi是电阻电压和电容电压的和,输出电压Vo是电容电压,所以

       

    令Wo=1/RC

     

     

     

     

    所以电压随频率的增加而减少

    由截止频率时电压系数N=1/(2)0.5=0.707

    即(w/w0) =1  

    截止频率w=w0

    通过我们通过计算1/RC的值,便能计算出截止频率。当然高通滤波器也是如此,只要将输出电压换成电阻电压就行了。

    接下来我们来计算二阶低通滤波器,从最简单的开始:

    这是自己画的电路:

    先计算后两级的等效电阻

    计算公式

    再计算电压比

    通过

             和              

    最终得到

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  • RC LC截止频率计算器

    2019-06-25 20:23:44
    该软件为RC截止频率计算器、LC截止频率计算器。使用C++开发,软件界面美观,需要的可以下载。
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如何计算截止频率