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  • 一年一度的暑假已经到了,这两个月时间是数学复习的黄金时期,考研的同学要牢牢把握这个时期,利用好这段时间,做好暑期数学...在此,跨考教育数学教研室李老师建议大家从以下三个方面来提高数学成绩。一、牢记基本概

    一年一度的暑假已经到了,这两个月时间是数学复习的黄金时期,考研的同学要牢牢把握这个时期,利用好这段时间,做好暑期数学复习工作。如何在这段时间让自己的复习效果得到质的改变?这个问题是关系到成败的关键。在此,跨考教育数学教研室李老师建议大家从以下三个方面来提高数学成绩。

    一、牢记基本概念

    在接触辅导书之前最好先过一遍教材,以便大致有个了解,最好结合考纲,这样比较有针对性。同济版《高等数学》大家应该都有,书上有很多东西写得很详细,看的时候要抓主要矛盾,有所取舍,具体说起来就是着重考纲中要求为“理解”和“掌握”的部分。了解定理证明过程也有助于记忆结论,所以如果时间允许,也可以大致了解一下重要定理的证明思路。不管看不看过程,最终的目的只有一个:记得公式和定理。不同于高考,考研数学要求记忆的知识点非常多,所以必须要像学习英语单词那样时常回忆,加深印象。

    记得知识点以后要做什么?自然是用于解题。这时候就出现了一个值得注意的问题,那就是定理和公式成立的条件,还是拿上面这个例子来说,函数能够代入某点的取值来求极限的条件是什么?那就是这个函数是连续函数,虽然说我们碰到的大部分函数都是连续的,但最好还是不要想当然。类似的例子还有很多,而且就跨考李老师的辅导经验来看,很多人容易忽视这个环节。连续函数的若干性质,如最大值最小值定理、零点定理等,都是指的闭区间上连续函数的性质;中值定理那一章节里,很多定理成立的条件都是所给函数在闭区间上连续、开区间上可导;应用得非常多的格林公式和高斯公式成立的条件是对应的闭合曲线或闭合曲面所包围的区域内不含奇点,在所求积分区域不闭合时要用补线或补面的方法,当有奇点时要想办法把单连通区域转化成多连通区域,使得对应的多连通区域不含奇点后才能应用相应的定理。强烈建议大家在复习过程中自己多总结,总的来说,记得知识点不是难事,但是一定要注意同时把某一知识点对应的适用条件也掌握好!只有同时把这两方面把握住了,概念这一块才算过关,才算打好了基础。

    二、加强训练以提高运算能力

    这里所说的运算能力包括速度和准确率两个方面,多数人一定有这样的感受:一张数学卷子发下来,题目都会做,都有思路,但是一做起来就漏洞百出,总有地方出错,结果时间自然不够。归根结底就是因为自己平时从来不练,看到一道题,先想思路,如果方法上没有什么障碍的话就认为不会有问题了,其实事实上如果真的动手去做很可能发现并非想象那么简单。跨考李老师的建议是:书后习题不用全做,因为拿高等数学来说,每章后边的习题都是分大题小题的,一道大题可能有若干小题,那么这些小题基本算上同一类的,有选择性的做就可以了,注意把不同类型的题目都涉及到就差不多了,然后是李永乐或者其它复习参考书后的习题。下面总结了一些比较重要的运算方面的内容:求极限、求导数、求高阶导数、求不定积分、求向量的点积和叉积、复合函数求导的链式法则、行列式或矩阵的初等变换、矩阵的乘法,以上这些,建议大家一定要练到熟得不能再熟,基本不出错的地步。运算速度到后期显得比较重要,因为到了后期冲刺阶段,复习时要做整套题,这时不仅要分配好各部分题目的时间,而且要确保能在预计的时间里完成相应的任务,否则会对个人的情绪产生影响,考研数学九道大题,至少应该留两个小时来做,建议大家这样分配时间:选填题45分钟,解答题2小时。

    三、归纳总结掌握数学思维方法

    由于考研数学的知识点涉及面很广,而一张卷子能考查的覆盖面是有限的,那很自然会在综合要求上有所提高,试想一道仅涉及求导数的题目和一道把求导、极值和空间解析几何结合起来的题目哪个更容易作为考题?

    还有一些数学上的思想方法:分类讨论、数形结合、微元分析等。因为高等数学里面函数的地位是很重的,所以很有必要熟悉一些常用函数的性态,在涉及到此的时候最好能数形结合,便于分析,而且不要仅限于直角坐标的,极坐标下某些曲线的图形也应该掌握,比如星形线、对数螺线等,如果把对象扩大到空间坐标系,那还有各种旋转面、柱面、锥面等,要会写它们的柱坐标或者球坐标方程,这在求重积分的时候是重要的解题手段。在涉及到利用对称性时,数形结合有助于分析。至于分类讨论,线性代数用得比较多,尤其是在涉及线性方程组的题目时,对于未知参数常常需讨论取值。微元分析可谓是大学数学里最重要的思维方法了,不仅数学要用到,很多后续课程都要用到,具体的思路大家可以参考定积分的应用部分,书上也有很多具体例子,就不详细解释了,因为它实在是太有用了,所以建议大家必须熟练掌握。

    考研里的应用题就是一个从实际问题到数学模型的建模过程,然后再对这个数学模型求解,那么如何建立?一般就都是用微元法分析了,比如求面积、体积、弧长、变力作功、流量等等,从根本上来说都是相通的。有时还会结合极值问题,分一元函数和多元函数的极值两部分,多元函数有条件极值和非条件极值。

    暑期是考研数学复习的重要阶段,希望以上复习经验能让大家受到一些启发。最后希望同学们根据自己的实际学习情况,找到适合自己的学习方法,有效地提高复习效率!

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  • 所以,我们来教孩子如何控制机器吧,别他们被机器控制。编程的魅力编程训练中,孩子逻辑思维能力可以提升,并大大增强动手解决问题的能力和主动性。正如很多教育研究者发现学习编程语言能提高孩子的 “计算思维...

    近50年内,我们打交道的大多数不会是说着各种外语的人,而是机器。所以,让我们来教孩子如何控制机器吧,别让他们被机器控制。

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    编程训练中,孩子逻辑思维能力可以提升,并大大增强动手解决问题的能力和主动性。正如很多教育研究者发现学习编程语言能提高孩子的 “计算思维”——运用抽象思维解决问题的能力。特定的程序就如把一个一个数学方法通过机器人可以理解的方式传达出去。未来到处都是机器人了,你说这个能力重要不重要?

    参加Python竞赛诸多好处

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    相比于其他的编程语言,Python 极大地简化了语法与结构,能让初学者把更多的精力放在程序本身。另外Python在当今各个领域的广泛应用,特别是在数据科学以及人工智能领域,Python 已经处于垄断地位。如果您的孩子正在参加Python课程,千万不要错过这个提升学术背景的机会。

    • 热身加拿大CCC/美国ACM比赛。

    • 检验阶段性课程学习成果。

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    • 独特的创新项目可以发表专业文章。

    • 获得STEM相关义工机会。

    • 比赛经验帮助获得专业公司实习机会。

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    参赛对象

    • 7年级到9年级在校学生

    • 欢迎其他国家学生参加

    • Python学习3个月以上

    • 了解Python基本语法和算法

    比赛例题47bca24031c6b12381cbff503cbe8aea.gif90bd565f3c7ffd4419bf3f1b9725b0ab.gif例题1. 高斯求和在全世界广为流传的一则故事说,高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题,布特纳刚叙述完题目,高斯就算出了正确答案。你的任务是使用python写出一个程序,对老师给定的任意数字求和。例题2. AB Bot

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    图书馆有两个机器人完成每四本书的上架。第一个机器人A带有扫描器(右边)只可以记忆并比较两本书名。第二部机器人B负责并按字母顺序排列书本把排序的书放进传送带。第一步机器每摆一本书用0.2秒,第二部机器人将四本书放入书架需要0.5秒。 设计你的最优算法输入给机器人,并输出AB机器工作序列。47bca24031c6b12381cbff503cbe8aea.gif90bd565f3c7ffd4419bf3f1b9725b0ab.gif

    比赛报名

    拉力赛报名采用在线报名。参加每场活动收取10元费用,请点击下方”更多阅读“进入报名页面。报名后通过ROBOKIDS站内信发送在线竞赛平台的账号和密码,用于参加活动。 

    活动证书

    • 单场冠军:电子版证书
    • 单场亚军:电子版证书
    • 单场季军:电子版证书
    • 成功参赛奖:电子版证书

    时间

    活动时间:8月1日 周六5:00-6:00

    报名链接:请点击下方”阅读“

    题目讲解

    网络俱乐部的赛旨在为同学们提供编程竞赛模拟训练的机会,通过模拟赛和同学互相学习互相切磋,获满分的学生会公布解题代码,供所有同学学习。

     

    召集中学义工

    监考 计分网络支持网上录影赛题预演裁判助理问答47bca24031c6b12381cbff503cbe8aea.gifQ:

    拉力比赛的难度如何?

    A:这个比赛要求学生实际编写代码并运行。难度与加拿大Beaver比赛同级,属于入门级编程比赛。积累了经验的学生下一步可以挑战滑铁卢编程比赛CCC和美国编程比赛USACO。Q:

    学习Python多久可以参加比赛?

    A:一般而言,经过ROBOKIDS的3个月的系统学习已经可以尝试做一题,参加ROBOKIDS 6个月系统学习的学生会在这个比赛中取得较好成绩。有多年经验的选手可追求控制内存和运算时间,高手过招当然不一样。点击下方”更多阅读“进入报名页面。Q:

    还没有开始学习编程,怎样开始Python的学习?

    A:Python适合7-10年级的学生。ROBOKIDS提供全系列Python在线培训,可选择1对4小班或者1对1私教。请和各中心联络。

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    • 列治文 604-285 2828

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  • 数学,是令无数初中学生都感到恐惧的一门学科。一直都有家长和学生问:...因此,接下来我们要分享的内容才能够真正地帮助学生们提高自己的数学成绩。具体而言,就是一位初中数学的学霸总结的学习方法,靠着这几点,...

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    数学,是令无数初中学生都感到恐惧的一门学科。

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    一直都有家长和学生问:“数学是一门弱势学科,我到底应该如何进行提高呢?

    一部分家长会认为多买一些练习题给孩子做做就行了,要不然让他多买几本辅导书也应该有用吧!然而,现实中已经有很多例子告诉我们题海战术和看书战术是很难有效果的。

    因此,接下来我们要分享的内容才能够真正地帮助学生们提高自己的数学成绩。具体而言,就是一位初中数学的学霸总结的学习方法,靠着这几点,他的初中数学成绩从来没有下过110分(满分120分)。

    今天给大家分享的是《81页初中数学:九年级(上)大招笔记》,供大学学习参考!

    由于文章篇幅有限,如果需要完整电子版,可以通过点赞、关注后私信学长,发送关键字【81页初中数学:九年级(上)大招笔记】,即可免费获得一份!

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  • 我教的班学生的基础较差,要他们的成绩有所提高,不是一件很容易的事,这我感觉压力较大,但是我没有丝毫的退缩,反而这些压力给了我动力。这一学期的时间过得是忙忙碌碌,但感觉很充实,也有一些收获和感受。...
  • 教材资料满分作文真题笔记在初中阶段,数学科目最容易拉分,因此中考数学对中考的重要性不言而喻,如何提高数学成绩就成了很多人关心的话题。在这里给大家介绍初中数学三大比较容易拉分的板块,给大家分享一些答题...

    教材

    资料

    满分作文

    真题

    笔记

    在初中阶段,数学科目最容易拉分,因此中考数学对中考的重要性不言而喻,如何提高数学成绩就成了很多人关心的话题。在这里给大家介绍初中数学三大比较容易拉分的板块,给大家分享一些答题技巧。

    应用性问题对很多初中学生来说是一个数学学习难点。很多应用性问题背景设置的情境都是学生在生活中很少经历,造成学生对问题缺少最基本的感性认识,这样就会让学生在阅读和理解题干的时候造成干扰。

    应用性问题在考查学生数学知识基础同时,更要检验学生的数学能力水平。在初中数学知识范围内,应用性问题一般指方程(组)和不等式(组):一元一次方程、二元一次方程(组)、一元二次方程、一元一次不等式(组)。

    1、审题:弄清题意和题目中的已知数、未知数;

    2、找等量关系:找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;

    3、设未知数:据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数

    4、列方程(组):根据确立的等量关系列出方程

    5、解方程(或方程组),求出未知数的值;

    6、检验:针对结果进行必要的检验;

    7、作答:包括单位名称在内进行完整的答语。

    1.行程问题

    基本概念:行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

    基本公式

    路程=速度×时间;

    路程÷时间=速度;

    路程÷速度=时间

    关键问题:确定行程过程中的位置.

    相遇问题:速度和×相遇时间=相遇路程

    追击问题:追击时间=路程差÷速度差

    流水问题:

    顺水行程=(船速+水速)×顺水时间

    逆水行程=(船速-水速)×逆水时间

    顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速

    静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2

    水速=(顺水速度-逆水速度)÷2

    2.利润问题

    现价=原价*折扣率

    折扣价=现价/原价*100%

    每件商品的利润=售价-进货价=利润率*进价

    毛利润=销售额-费用

    利润率=(售价--进价)/进价*100%

    标价=售价=现价

    进价=售价-利润

    售价=利润+进价

    3.计算利息的基本公式

    储蓄存款利息计算的基本公式:

    利息=本金×存期×利率

    税率=应纳数额/总收入*100%

    本息和=本金+利息

    税后利息=本金*存期*利率*(1- 税率)

    税后利息=利息*税率

    利率-利息/存期/本金/*100%

    利率的换算:

    年利率、月利率、日利率三者的换算关系是:

    年利率=月利率×12(月)=日利率×360(天);

    月利率=年利率÷12(月)=日利率×30(天);

    日利率=年利率÷360(天)=月利率÷30(天)。

    使用利率要注意与存期相一致。

    利润与折扣问题:

    利润=售出价-成本。

    利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%。

    涨跌金额=本金×涨跌百分比。

    折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)。

    利息=本金×利率×时间。

    税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)。

    4.浓度问题

    溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量。

    溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度。

    溶液的重量×浓度=溶质的重量。

    溶质的重量÷浓度=溶液的重量。

    5.增长率问题

    若平均增长(下降)数百分率为x,增长(或下降)前的是a,增长(或下降)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为:a(1+x)n =b或a(1-x) =bn

    6.工程问题

    工作效率=总工作量/工作时间。

    工作时间=总工作量/工作效率。

    7.赛事,票价问题

    赛事

    单循环赛:n(n-1)/2。

    淘汰赛:n个球队,比赛场数为n-1场次。

    票价则对应的不一样的赛制乘以对应的单价。

    几何型综合题考查知识点多,条件隐晦,要求学生有较强的理解能力、分析能力、解决问题的能力,对数学基础知识、数学基本方法有较强的驾驭能力,并有较强的创新意识和创新能力。

    (1)几何型综合题,常用相似与圆的有关知识作为考查重点,并贯穿几何、代数、三角函数等知识,以证明、计算等题型出现。

    (2)几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算,主要有线段和弧的长度的计算,角的三角函数值的计算,以及各种图形面积的计算等。

    (3)几何证明题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力。

    几何证明型综合问题,常以相似形、圆的知识为背景,串联其他几何知识。顺利证明几何问题取决于下列因素:

    ①熟悉各种常见问题的基本证明;

    ②能准确添加基本辅助线;

    ③对复杂图形能进行恰当的分解与组合;

    ④善于选择证题的起点并转化问题。

    几何计算型综合问题,其中以线段的计算最为常见,线段的计算通常是通过勾股定理、相交弦定理、切割线定理及推论、相似三角形对应边成比例所提供的等式进行的,这些等式可以根据不同的已知条件转化为方程或方程组。

    1、审题

    很多学生在把一个题目读完后,还没有弄清楚题目讲的是什么意思,题目让你求证的是什么都不知道,这非常不可取。我们应该逐个条件的读,给的条件有什么用,在脑海中打个问号,再对应图形来对号入座,结论从什么地方入手去寻找,也在图中找到位置。

    2、标记

    这里的记有两层意思。第一层意思是要标记,在读题的时候每个条件,你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等,就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记,题目给出的条件不仅要标记,还要记在脑海中,做到不看题,就可以把题目复述出来。

    3、引申

    难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来,所以我们要会引申,那么这里的引申就需要平时的积累,平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固,平时训练的一些特殊图形要熟记,在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论(就像电脑一样,你一点击开始立刻弹出对应的菜单),然后在图形旁边标注,虽然有些条件在证明时可能用不上,但是这样长期的积累,便于以后难题的学习。

    4、分析综合法

    分析综合法也就是要逆向推理,从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等,还是边相等……如证明角相等的方法有1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法,然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件,把题目转换成证明其他的结论,通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现,这时再把这些条件综合在一起,很条理的写出证明过程。

    5、归纳总结

    很多同学把一个题做出来,长长的松了一口气,接下来去做其他的,这个也是不可取的,应该花上几分钟的时间,回过头来找找所用的定理、公理、定义,重新审视这个题,总结这个题的解题思路,往后出现同样类型的题该怎样入手。

    以上是常见证明题的解题思路,当然有一些的题设计的很巧妙,往往需要我们在填加辅助线,分析已知、求证与图形,探索证明的思路。对于证明题,有三种思考方式:

    一是正向思维。对于一般简单的题目,我们正向思考,轻而易举可以做出,这里就不详细讲述了。

    二是逆向思维。顾名思义,就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题,能使学生从不同角度,不同方向思考问题,探索解题方法,从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中,逆向思维是非常重要的思维方式,在证明题中体现的更加明显,数学这门学科知识点很少,关键是怎样运用,对于初中几何证明题,最好用的方法就是用逆向思维法。

    如果你已经上初三了,几何学的不好,做题没有思路,那你一定要注意了:从现在开始,总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后,不知道从何入手,建议你从结论出发。例如:可以有这样的思考过程:要证明某两条边相等,那么结合图形可以看出,只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等,结合所给的条件,看还缺少什么条件需要证明,证明这个条件又需要怎样做辅助线,这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路,然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法,同学们一定要试一试。

    三是正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目,同学们可以结合结论和已知条件认真的分析,初中数学中,一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的,所以可以从已知条件中寻找思路,比如给我们三角形某边中点,我们就要想到是否要连出中位线,或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形,我们就要想到是否要做高,或平移腰,或平移对角线,或补形等等。正逆结合,战无不胜。

    解几何题时如何画辅助线?

    1.见中点引中位线,见中线延长一倍

    在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

    2.在比例线段证明中,常作平行线。

    作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

    3.对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有

    (1)过上底的两端点向下底作垂线

    (2)过上底的一个端点作一腰的平行线

    (3)过上底的一个端点作一对角线的平行线

    (4)过一腰的中点作另一腰的平行线

    (5)过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交

    (6)作梯形的中位线

    (7)延长两腰使之相交

    等腰三角形

    1.作底边上的高,构成两个全等的直角三角形,这是用得最多的一种方法;

    2.作一腰上的高;

    3.过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形。

    梯形

    1.垂直于平行边

    2.垂直于下底,延长上底作一腰的平行线

    3.平行于两条斜边

    4.作两条垂直于下底的垂线

    5.延长两条斜边做成一个三角形

    菱形

    1.连接两对角

    2.做高

    平行四边形

    1.垂直于平行边

    2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形

    3.做高——形内形外都要注意

    矩形

    1.对角线

    2.作垂线

    很简单。无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股,A字形等。

    三角形

    图中有角平分线,可向两边作垂线。

    也可将图对折看,对称以后关系现。

    角平分线平行线,等腰三角形来添。

    角平分线加垂线,三线合一试试看。

    线段垂直平分线,常向两端把线连。

    线段和差及倍半,延长缩短可试验。

    线段和差不等式,移到同一三角去。

    三角形中两中点,连接则成中位线。

    三角形中有中线,倍长中线得全等。

    四边形

    平行四边形出现,对称中心等分点。

    梯形问题巧转换,变为三角或平四。

    平移腰,移对角,两腰延长作出高。

    如果出现腰中点,细心连上中位线。

    上述方法不奏效,过腰中点全等造。

    证相似,比线段,添线平行成习惯。

    等积式子比例换,寻找线段很关键。

    直接证明有困难,等量代换少麻烦。

    斜边上面作高线,比例中项一大片。

    半径与弦长计算,弦心距来中间站。

    圆上若有一切线,切点圆心半径联。

    切线长度的计算,勾股定理最方便。

    要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

    是直径,成半圆,想成直角径连弦。

    弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

    圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

    弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

    要想作个外接圆,各边作出中垂线。

    还要作个内接圆,内角平分线梦圆。

    如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

    内外相切的两圆,经过切点公切线。

    若是添上连心线,切点肯定在上面。

    要作等角添个圆,证明题目少困难。

    证明两线段相等

    1.两全等三角形中对应边相等。

    2.同一三角形中等角对等边。

    3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

    5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

    6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

    7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

    8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

    9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

    10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

    11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。

    12.两圆的内(外)公切线的长相等。

    13.等于同一线段的两条线段相等。

    证明两个角相等

    1.两全等三角形的对应角相等。

    2.同一三角形中等边对等角。

    3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。

    4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

    5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。

    6.同圆(或圆)中,等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

    7.圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

    8.相似三角形的对应角相等。

    9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等。

    证明两直线平行

    1.垂直于同一直线的各直线平行。

    2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

    3.平行四边形的对边平行。

    4.三角形的中位线平行于第三边。

    5.梯形的中位线平行于两底。

    6.平行于同一直线的两直线平行。

    7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。

    证明两条直线互相垂直

    1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

    2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。

    3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。

    4.邻补角的平分线互相垂直。

    5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。

    6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

    7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

    8.利用勾股定理的逆定理。

    9.利用菱形的对角线互相垂直。

    10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。

    11.利用半圆上的圆周角是直角。

    证明线段的和差倍分

    1.作两条线段的和,证明与第三条线段相等。

    2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段,证明余下部分等于第二条线段。

    3.延长短线段为其二倍,再证明它与较长的线段相等。

    4.取长线段的中点,再证其一半等于短线段。

    5.利用一些定理(三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。

    证明角的和差倍分

    1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。

    2.利用角平分线的定义。

    3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

    证明线段不等

    1.同一三角形中,大角对大边。

    2.垂线段最短。

    3.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

    4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等,则夹角大的第三边大。

    5.同圆或等圆中,弧大弦大,弦心距小。

    6.全量大于它的任何一部分。

    证明两角的不等

    1.同一三角形中,大边对大角。

    2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

    3.在两个三角形中有两边分别相等,第三边不等,第三边大的,两边的夹角也大。

    4.同圆或等圆中,弧大则圆周角、圆心角大。

    5.全量大于它的任何一部分。

    证明比例式或等积式

    1.利用相似三角形对应线段成比例。

    2.利用内外角平分线定理。

    3.平行线截线段成比例。

    4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

    5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。

    6.利用比利式或等积式化得。

    证明四点共圆

    1.对角互补的四边形的顶点共圆。

    2.外角等于内对角的四边形内接于圆。

    3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆(顶角在底边的同侧)。

    4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。

    5.到顶点距离相等的各点共圆。

    函数、相似、动态这三者放在一起,无论是平常考试还是中,都是一个“香饽饽”。甚至成了最后压轴题,都会以这样的题干出现。如何解决这类问题?这类问题切入点是什么?自然成了很多学生学习和教师日常教学关注热点。

    函数型综合题

    这通常是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。

    初中已知函数有①一次函数 (包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线;③二次函数,它所对应的图像是抛物线。

    求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题,满分12分,基本分2-3小题来呈现。

    几何型综合题

    这通常是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式 (即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,探索研究的一般类型有:

    ①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形;

    ②四边形是菱形、梯形等;

    ③探索两个三角形满足什么条件相似;

    ④探究线段之间的位置关系等;

    ⑤探索面积之间满足一定关系求x的值等;

    ⑥直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。

    求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。

    找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似等。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。

    而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。

    因动点产生的函数、相似三角形等综合问题一般有三个解题途径:

    1.利用已知三角形中对应角、对应边,通过相似在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

    2.当三角形相似对应点未确定时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

    3.若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。

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