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  • 不可导与不连续的关系
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    2021-09-07 20:23:41

    在一元函数下

    可导=可微>连续

    即:

    可导一定连续,可导一定可微。
    可微一定连续,可微一定可导。
    连续不一定可微,连续不一定可导

    在多元函数下,还会涉及偏导数,方向导数,更加复杂


    2021年9月7日20:23:05

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    可导与连续 可 导 一 定 连 续 , 连 续 一 定 可 导 \red{可导不一定连续,连续一定可导} 可导不一定连续,连续一定可导 因为在多元函数里可导指的是可以偏导,所以并能推出在所有方向上函数连续。...

    一元函数


    先从定义出发:

    极限的定义

    设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数 A A A,对于给定的任意正数 ϵ \epsilon ϵ,总存在正数 δ \delta δ,使得当 x x x 满足不等式 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<xx0<δ 时,对应的 f ( x ) f(x) f(x) 总满足不等式 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon f(x)A<ϵ,那么常数 A A A 就叫做函数 f ( x ) f(x) f(x) x → x 0 x\to x_0 xx0 时的极限,记作 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A xx0limf(x)=A


    连续的定义

    设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某一邻域内有定义,如果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) xx0limf(x)=f(x0),那么称函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处连续

    设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某一邻域内有定义。如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 有下列三种情形之一:

    1. x = x 0 x=x_0 x=x0 有定义
    2. 虽在 x = x 0 x=x_0 x=x0 处有定义,但 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x) xx0limf(x) 不存在
    3. 虽在 x = x 0 x=x_0 x=x0 处有定义,且 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x) xx0limf(x) 存在,但 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0) xx0limf(x)=f(x0)

    f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处不连续, x 0 x_0 x0 称为不连续点。


    可微的定义

    设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在区间内有定义, x 0 x_0 x0 x 0 + Δ x x_0+\Delta x x0+Δx 在区间内,如果增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δy=f(x0+Δx)f(x0) 可表示为 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x) Δy=AΔx+o(Δx) ,其中 A A A 是不依赖于 Δ x \Delta x Δx 的常数,那么称函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处可微。 A Δ x A\Delta x AΔx 叫做函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处相应于 Δ x \Delta x Δx 的微分,记作 d y \mathrm dy dy


    可积的定义

    1. f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积。
    2. f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界,且只有有限个间断点,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积。


    1. 可导与连续的关系:


    可 导 必 然 连 续 \red{可导必然连续}

    P r o o f : Proof: Proof:

    设函数 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 在点 x 0 x_0 x0 可导。

    ∵ lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) \because\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0) Δx0limΔxΔy=f(x0)

    ∴ Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) + α \therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)+\alpha ΔxΔy=f(x0)+α

    ∴ α → 0   ( Δ x → 0 ) \therefore\alpha\to0\ (\Delta x\to0) α0 (Δx0)

    ∵ Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ x + α Δ x \because\Delta y=f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x Δy=f(x0)Δx+αΔx

    ∴ lim ⁡ Δ x → 0 Δ y = lim ⁡ Δ x → 0 [ f ′ ( x 0 ) Δ x + α Δ x ] = 0 \therefore\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to0}[f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x]=0 Δx0limΔy=Δx0lim[f(x0)Δx+αΔx]=0

    ∵ Δ y = f ( x ) − f ( x 0 ) \because\Delta y=f(x)-f(x_0) Δy=f(x)f(x0)

    ∴ \therefore 可导必连续


    连 续 不 一 定 可 导 \red{连续不一定可导}

    如图
    在这里插入图片描述

    2. 可微与可导的关系:


    可 微 与 可 导 是 一 样 的 \red{可微与可导是一样的}

    P r o o f : Proof: Proof:

    y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 可微,则有: Δ y Δ x = A + o ( Δ x ) Δ x \frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} ΔxΔy=A+Δxo(Δx)

    Δ x → 0 \Delta x\to0 Δx0 时: lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = A = f ′ ( x 0 ) \lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A=f^\prime(x_0) Δx0limΔxΔy=A=f(x0)

    因此,可微必可导。

    反之,如果 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 可导,即: lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) \lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0) Δx0limΔxΔy=f(x0) ∴ Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) + α \therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)+\alpha ΔxΔy=f(x0)+α

    ∴ Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ x + α Δ x \therefore\Delta y=f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x Δy=f(x0)Δx+αΔx

    其中, a → 0   ( Δ x → 0 ) a\to0\ (\Delta x\to0) a0 (Δx0),且 f ′ ( x 0 ) f^\prime(x_0) f(x0) 不依赖于 Δ x \Delta x Δx,故可导必可微


    3. 可积与连续的关系:


    连 续 必 然 可 积 , 可 积 不 一 定 连 续 \red{连续必然可积,可积不一定连续}

    见可积的定义


    4. 可导与可积的关系:


    可 导 必 然 可 积 , 可 积 不 一 定 可 导 \red{可导必然可积,可积不一定可导}

    因为可导必定连续,而连续一定可积,所以可导必可积。

    但是可积不一定连续,也就不一定可导,所以可积不一定可导。


    多元函数


    可导与可微


    可 微 必 然 可 导 , 可 导 不 一 定 可 微 \red{可微必然可导,可导不一定可微}

    对一元函数来说,可导指的是存在导数,可微指的是存在微分。但是对于多元函数来说,可导指的是存在偏导数,可微指的是存在全微分

    所以可微必可导,可导不一定可微。


    可微与连续


    可 微 必 然 连 续 , 连 续 不 一 定 可 微 \red{可微必然连续,连续不一定可微}

    微分指的是全微分,也就是各个方向都可微,所以类似一元函数的性质。


    可导与连续


    可 导 不 一 定 连 续 , 连 续 不 一 定 可 导 \red{可导不一定连续,连续不一定可导}


    因为在多元函数里可导指的是可以偏导,所以并不能推出在所有方向上函数连续。


    偏导数连续与可微


    偏 导 数 连 续 必 然 可 微 , 可 微 不 一 定 偏 导 数 连 续 \red{偏导数连续必然可微,可微不一定偏导数连续}

    P r o o f : Proof: Proof:

    z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 的全增量: Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) = [ f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y + Δ y ) ] + [ f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ] \begin{aligned}\Delta z&=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\&=[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]+[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]\end{aligned} Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)=[f(x+Δx,y+Δy)f(x,y+Δy)]+[f(x,y+Δy)f(x,y)]

    根据拉格朗日中值定理: Δ z = f x ( x + α Δ x , y + Δ y ) Δ x + f y ( x , y + β Δ y ) Δ y   ( 0 < α , β < 1 ) \Delta z=f_x(x+\alpha\Delta x,y+\Delta y)\Delta x+f_y(x,y+\beta\Delta y)\Delta y\ (0<\alpha,\beta<1) Δz=fx(x+αΔx,y+Δy)Δx+fy(x,y+βΔy)Δy (0<α,β<1)

    由于偏导数连续: Δ z = f x ( x , y ) Δ x + ϵ 1 Δ x + f y ( x , y ) Δ y + ϵ 2 Δ y \Delta z=f_x(x,y)\Delta x+\epsilon_1\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+\epsilon_2\Delta y Δz=fx(x,y)Δx+ϵ1Δx+fy(x,y)Δy+ϵ2Δy

    ∴ Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \therefore\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)

    得到 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 可微。

    可微不一定偏导数连续可以参考一元函数中的含有第二类间断点(震荡间断点)的导函数。

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  • 函数连续可导与可微之间的关系

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    龙源期刊网

    http://www.qikan.com.cn

    函数连续、可导与可微之间的关系

    作者:刘春燕

    来源:《速读

    ·

    下旬》

    2017

    年第

    09

    要:本文分别就一元函数与二元函数连续、可导与可微之间的关系进行梳理,并给出

    相应的定理、实例及证明,旨在帮学生理清函数连续、可导与可微之间的关系。

    关键词:函数;连续;可导;可微;一元;二元

    高等数学中的一道常考题为:二元函数

    [f

    (

    x

    y

    )

    xyx2+y2

    (

    x

    y

    )

    (

    0

    0

    )

    0x

    y=

    (

    0

    0

    )

    ]

    在点(

    0

    0

    )处是否连续,偏导

    数是否存在?通常以选择题的形式出现,但是每次考查,得分率一直都不理想的原因在于学生

    没有理清函数连续、可导与可微之间的关系。本文旨在帮学生理清函数连续、可导与可微之间

    的关系。

    一、一元函数连续、可导与可微之间的关系

    1

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  • 二元函数可导、可微与连续性的关系.pdf专 题 研 究t~-I。 啦—~ 一一~…… … l1. TI 醣雾… ,l●二元函数可导、可微与连续胜昀关系◎毛 海勤 (杭 州师范大学钱 江学院 310012)【摘要】本文提出的是基于我们所学...

    二元函数可导、可微与连续性的关系.pdf

    专 题 研 究

    t~-I。 啦—~ 一一~…… … l1. TI 醣雾

    … ,l

    二元函数可导、可微与连续胜昀关系

    ◎毛 海勤 (杭 州师范大学钱 江学院 310012)

    【摘要】本文提出的是基于我们所学的关于二元函数导 二、可导性、可微性与连续性之 间的关 系

    数和微分 、连续 的 内容,以此研 究它们 三者之 间的关 系,以 二元 函数可导性 、可微性与连续性的关系:

    便 于我们更简便易懂地使用 它们. (1)二元 函数可微性与连续性 的关系

    【关键词】函数;可导性;可微性;连续性 定理 1 如果函数z=_厂(,Y)在点 (,Y)处可微分 ,那么

    函数在该 点处必定连续.

    一 、 概 述

    证明 .‘函数 。=_厂(,Y)在点(,Y)处可微 ,则有

    1.函数可导 的定义

    Az=AAx+BAy+0(P).

    (1)二元函数偏导数的定义 :

    故limAz= lim △ =0.

    方 向的偏导 : p }O (A ,A1)一 (0.0)

    设有二元 函数 =-厂(,Y),点 (。,Y。)是其定义域 ,J内 从而有 lira _厂(+Ax,Y+Ay):

    一 点.把Y固定在Y。而让 在 。有增量 ,相应地函数 z= lim [/ )+△z]=/ ,Y).

    _厂(,Y)有增量 (称为对 的偏增量 )Az=f(‰ + ,Y。)一

    . . 函数 z:_厂(,Y)在点 (,Y)处连续.

    f(。,Y。).

    故二元 函数可微必定连续 ,但是连续不一定可微.

    如果 △z与 Ax之 比当 一0时的极限存在 ,那么此极

    (2)二元丽数可微与可导的关系

    限值称为函数 =_厂(,Y)在 (。,Y。)处对 的偏导数 (partial

    定理 2 如果 函数 =_厂(,Y)在点 (,Y)处可微分 ,那

    derivative).记作f'x( ,Y0).

    Y方 向的偏导 : 么,函数在点(,y)处的偏导数警,尝必定存在,并且函数

    a oy

    如果 与 Ay之 比当 △y—O时 的极限存在 ,那么此极

    在点(,),)处的全微分为 d:= △ + ZSAy

    限值称为函数 = ,Y)在 (。,Y)处对 Y的偏导数 (partial .

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  • 二元函数的连续微之间的关系 目 录 摘要……………………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………………1 ...
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空空如也

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