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可微,可导,可积与连续的关系
2021-06-02 16:35:53可导与连续 可 导 不 一 定 连 续 , 连 续 不 一 定 可 导 \red{可导不一定连续,连续不一定可导} 可导不一定连续,连续不一定可导 因为在多元函数里可导指的是可以偏导,所以并不能推出在所有方向上函数连续。...一元函数
先从定义出发:
极限的定义
设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数 A A A,对于给定的任意正数 ϵ \epsilon ϵ,总存在正数 δ \delta δ,使得当 x x x 满足不等式 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<∣x−x0∣<δ 时,对应的 f ( x ) f(x) f(x) 总满足不等式 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon ∣f(x)−A∣<ϵ,那么常数 A A A 就叫做函数 f ( x ) f(x) f(x) 当 x → x 0 x\to x_0 x→x0 时的极限,记作 lim x → x 0 f ( x ) = A \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A x→x0limf(x)=A
连续的定义
设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某一邻域内有定义,如果 lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) x→x0limf(x)=f(x0),那么称函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处连续
设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某一邻域内有定义。如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 有下列三种情形之一:
- 在 x = x 0 x=x_0 x=x0 有定义
- 虽在 x = x 0 x=x_0 x=x0 处有定义,但 lim x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x) x→x0limf(x) 不存在
- 虽在 x = x 0 x=x_0 x=x0 处有定义,且 lim x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x) x→x0limf(x) 存在,但 lim x → x 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0) x→x0limf(x)=f(x0)
则 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处不连续, x 0 x_0 x0 称为不连续点。
可微的定义
设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在区间内有定义, x 0 x_0 x0 及 x 0 + Δ x x_0+\Delta x x0+Δx 在区间内,如果增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δy=f(x0+Δx)−f(x0) 可表示为 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x) Δy=AΔx+o(Δx) ,其中 A A A 是不依赖于 Δ x \Delta x Δx 的常数,那么称函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处可微。 A Δ x A\Delta x AΔx 叫做函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处相应于 Δ x \Delta x Δx 的微分,记作 d y \mathrm dy dy
可积的定义
- 设 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积。
- 设 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界,且只有有限个间断点,则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积。
1. 可导与连续的关系:
可 导 必 然 连 续 \red{可导必然连续} 可导必然连续
P r o o f : Proof: Proof:
设函数 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 在点 x 0 x_0 x0 可导。
∵ lim Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) \because\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0) ∵Δx→0limΔxΔy=f′(x0)
∴ Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) + α \therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)+\alpha ∴ΔxΔy=f′(x0)+α
∴ α → 0 ( Δ x → 0 ) \therefore\alpha\to0\ (\Delta x\to0) ∴α→0 (Δx→0)
∵ Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ x + α Δ x \because\Delta y=f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x ∵Δy=f′(x0)Δx+αΔx
∴ lim Δ x → 0 Δ y = lim Δ x → 0 [ f ′ ( x 0 ) Δ x + α Δ x ] = 0 \therefore\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to0}[f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x]=0 ∴Δx→0limΔy=Δx→0lim[f′(x0)Δx+αΔx]=0
∵ Δ y = f ( x ) − f ( x 0 ) \because\Delta y=f(x)-f(x_0) ∵Δy=f(x)−f(x0)
∴ \therefore ∴ 可导必连续
连 续 不 一 定 可 导 \red{连续不一定可导} 连续不一定可导
如图
2. 可微与可导的关系:
可 微 与 可 导 是 一 样 的 \red{可微与可导是一样的} 可微与可导是一样的
P r o o f : Proof: Proof:
设 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 可微,则有: Δ y Δ x = A + o ( Δ x ) Δ x \frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} ΔxΔy=A+Δxo(Δx)
当 Δ x → 0 \Delta x\to0 Δx→0 时: lim Δ x → 0 Δ y Δ x = A = f ′ ( x 0 ) \lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A=f^\prime(x_0) Δx→0limΔxΔy=A=f′(x0)
因此,可微必可导。
反之,如果 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 可导,即: lim Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) \lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0) Δx→0limΔxΔy=f′(x0) ∴ Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) + α \therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)+\alpha ∴ΔxΔy=f′(x0)+α
∴ Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ x + α Δ x \therefore\Delta y=f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x ∴Δy=f′(x0)Δx+αΔx
其中, a → 0 ( Δ x → 0 ) a\to0\ (\Delta x\to0) a→0 (Δx→0),且 f ′ ( x 0 ) f^\prime(x_0) f′(x0) 不依赖于 Δ x \Delta x Δx,故可导必可微
3. 可积与连续的关系:
连 续 必 然 可 积 , 可 积 不 一 定 连 续 \red{连续必然可积,可积不一定连续} 连续必然可积,可积不一定连续
见可积的定义
4. 可导与可积的关系:
可 导 必 然 可 积 , 可 积 不 一 定 可 导 \red{可导必然可积,可积不一定可导} 可导必然可积,可积不一定可导
因为可导必定连续,而连续一定可积,所以可导必可积。
但是可积不一定连续,也就不一定可导,所以可积不一定可导。
多元函数
可导与可微
可 微 必 然 可 导 , 可 导 不 一 定 可 微 \red{可微必然可导,可导不一定可微} 可微必然可导,可导不一定可微
对一元函数来说,可导指的是存在导数,可微指的是存在微分。但是对于多元函数来说,可导指的是存在偏导数,可微指的是存在全微分。
所以可微必可导,可导不一定可微。
可微与连续
可 微 必 然 连 续 , 连 续 不 一 定 可 微 \red{可微必然连续,连续不一定可微} 可微必然连续,连续不一定可微
微分指的是全微分,也就是各个方向都可微,所以类似一元函数的性质。
可导与连续
可 导 不 一 定 连 续 , 连 续 不 一 定 可 导 \red{可导不一定连续,连续不一定可导} 可导不一定连续,连续不一定可导
因为在多元函数里可导指的是可以偏导,所以并不能推出在所有方向上函数连续。
偏导数连续与可微
偏 导 数 连 续 必 然 可 微 , 可 微 不 一 定 偏 导 数 连 续 \red{偏导数连续必然可微,可微不一定偏导数连续} 偏导数连续必然可微,可微不一定偏导数连续
P r o o f : Proof: Proof:
设 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 的全增量: Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) = [ f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y + Δ y ) ] + [ f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ] \begin{aligned}\Delta z&=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\&=[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]+[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]\end{aligned} Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=[f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)]+[f(x,y+Δy)−f(x,y)]
根据拉格朗日中值定理: Δ z = f x ( x + α Δ x , y + Δ y ) Δ x + f y ( x , y + β Δ y ) Δ y ( 0 < α , β < 1 ) \Delta z=f_x(x+\alpha\Delta x,y+\Delta y)\Delta x+f_y(x,y+\beta\Delta y)\Delta y\ (0<\alpha,\beta<1) Δz=fx(x+αΔx,y+Δy)Δx+fy(x,y+βΔy)Δy (0<α,β<1)
由于偏导数连续: Δ z = f x ( x , y ) Δ x + ϵ 1 Δ x + f y ( x , y ) Δ y + ϵ 2 Δ y \Delta z=f_x(x,y)\Delta x+\epsilon_1\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+\epsilon_2\Delta y Δz=fx(x,y)Δx+ϵ1Δx+fy(x,y)Δy+ϵ2Δy
∴ Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \therefore\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) ∴Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)
得到 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 可微。
可微不一定偏导数连续可以参考一元函数中的含有第二类间断点(震荡间断点)的导函数。
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函数连续、可导与可微之间的关系
2020-12-24 07:43:15龙源期刊网http://www.qikan.com.cn函数连续、可导与可微之间的关系作者:刘春燕来源:《速读·下旬》2017年第09期摘要:本文分别就一元函数与二元函数连续、可导与可微之间的关系进行梳理,并给出相应的定理、实例...龙源期刊网
http://www.qikan.com.cn
函数连续、可导与可微之间的关系
作者:刘春燕
来源:《速读
·
下旬》
2017
年第
09
期
摘
要:本文分别就一元函数与二元函数连续、可导与可微之间的关系进行梳理,并给出
相应的定理、实例及证明,旨在帮学生理清函数连续、可导与可微之间的关系。
关键词:函数;连续;可导;可微;一元;二元
高等数学中的一道常考题为:二元函数
[f
(
x
,
y
)
xyx2+y2
(
x
,
y
)
≠
(
0
,
0
)
0x
,
y=
(
0
,
0
)
]
在点(
0
,
0
)处是否连续,偏导
数是否存在?通常以选择题的形式出现,但是每次考查,得分率一直都不理想的原因在于学生
没有理清函数连续、可导与可微之间的关系。本文旨在帮学生理清函数连续、可导与可微之间
的关系。
一、一元函数连续、可导与可微之间的关系
1
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二元函数可导、可微与连续性的关系.pdf
2020-12-30 02:21:37二元函数可导、可微与连续性的关系.pdf专 题 研 究t~-I。 啦—~ 一一~…… … l1. TI 醣雾… ,l●二元函数可导、可微与连续胜昀关系◎毛 海勤 (杭 州师范大学钱 江学院 310012)【摘要】本文提出的是基于我们所学...二元函数可导、可微与连续性的关系.pdf
专 题 研 究
t~-I。 啦—~ 一一~…… … l1. TI 醣雾
… ,l
●
二元函数可导、可微与连续胜昀关系
◎毛 海勤 (杭 州师范大学钱 江学院 310012)
【摘要】本文提出的是基于我们所学的关于二元函数导 二、可导性、可微性与连续性之 间的关 系
数和微分 、连续 的 内容,以此研 究它们 三者之 间的关 系,以 二元 函数可导性 、可微性与连续性的关系:
便 于我们更简便易懂地使用 它们. (1)二元 函数可微性与连续性 的关系
【关键词】函数;可导性;可微性;连续性 定理 1 如果函数z=_厂(,Y)在点 (,Y)处可微分 ,那么
函数在该 点处必定连续.
一 、 概 述
证明 .‘函数 。=_厂(,Y)在点(,Y)处可微 ,则有
1.函数可导 的定义
Az=AAx+BAy+0(P).
(1)二元函数偏导数的定义 :
故limAz= lim △ =0.
方 向的偏导 : p }O (A ,A1)一 (0.0)
设有二元 函数 =-厂(,Y),点 (。,Y。)是其定义域 ,J内 从而有 lira _厂(+Ax,Y+Ay):
一 点.把Y固定在Y。而让 在 。有增量 ,相应地函数 z= lim [/ )+△z]=/ ,Y).
_厂(,Y)有增量 (称为对 的偏增量 )Az=f(‰ + ,Y。)一
. . 函数 z:_厂(,Y)在点 (,Y)处连续.
f(。,Y。).
故二元 函数可微必定连续 ,但是连续不一定可微.
如果 △z与 Ax之 比当 一0时的极限存在 ,那么此极
(2)二元丽数可微与可导的关系
限值称为函数 =_厂(,Y)在 (。,Y。)处对 的偏导数 (partial
定理 2 如果 函数 =_厂(,Y)在点 (,Y)处可微分 ,那
derivative).记作f'x( ,Y0).
Y方 向的偏导 : 么,函数在点(,y)处的偏导数警,尝必定存在,并且函数
a oy
如果 与 Ay之 比当 △y—O时 的极限存在 ,那么此极
在点(,),)处的全微分为 d:= △ + ZSAy
限值称为函数 = ,Y)在 (。,Y)处对 Y的偏导数 (partial .
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