结论（一元函数范畴内）

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导；

 

这个就不多说了。。。

 

下面是多元函数的关系

 

先上图

很显然函数连续，可导，可微和偏导数连续的关系可以从图中看出

函数连续不一定的函数可微（例子：y=|x|)

函数连续不一定函数可导  （例子：y=|x|当x=0时 y不可导）

函数可导不一定连续

可导指的是偏导数存在,即沿x轴,y轴方向的导数存在（注意只有两个方向）,但是二元函数的连续性是从各个方向,以任何形式来取极限的,所以从这个方面来讲,多元函数可导不一定能保证其连续,如果是可微就可以推出连续,因为可微就考察了所有方向.

 

函数可导不一定可微 这个记住就好

详细可以看：https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962

函数可微不一定偏导数连续

（例：　首先,

　　　　Df(0,0)/Dx = lim(x→0) [f(x,0) - f(0,0)]/x = lim(x→0) xsin(1/x^2) = 0,

　　　　Df(0,0)/Dy = lim(y→0) [f(x,0) - f(0,0)]/y = lim(y→0) ysin(1/y^2) = 0,

其次,记 ρ = √(x^2 + y^2),则

　　　　{f(x,y) - f(0,0) - [Df(0,0)/Dx]Δx - [Df(0,0)/Dy]Δy}/ρ

　    　= ρsin(1/ρ^2) →0 (ρ → 0),

根据全微分的定义,得知函数 f 在 (0,0) 可微.但 Df(x,y)/Dx 和 Df(x,y)/Dy 在 (0,0) 不连续（留给你）.）

 

 

 

 

 

 

 

 

最近看到信号与系统的阶跃信号和脉冲信号时有函数可导与连续的关系，大一学的高数忘得差不多了一时间想不起来qwq。

连续的定义：设函数在点内有定义．若 ， 则称在点连续。

可导的定义：函数在点处可导的充要条件是函数在点处的左导数和右导数都存在并且相等。

 

连续与可导的关系：

连续不一定可导。例如函数，它在处显然是满足连续定义的。但在该点处函数左导数为-1，右导数为1，左右导数不相等，因此是不可导的。
	
可导一定连续。
	
不连续一定不可导。(因此由于阶跃函数在t=0处不连续，所以没办法直接通过求导求出相应脉冲函数的值)

函数可导，说明函数在该点有唯一变化率（变化趋势），对于没定义的点或者不连续的点，函数在该点一定不可导。

以二元函数为代表解释他们之间的关系。

1>可导不一定连续，连续不一定可导。

对于二元函数而言：可导是指的是两个偏导数存在，偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值（仅仅是坐标轴平行的方向），但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点，二元函数本身是一个平面型的，趋于某一定点是从四面八方的，而平行于坐标轴仅仅是其中的一种情况，所以可导不一定连续，同时也不能保证函数在这一点有极限，因为可以想象一下某一立体三维图形平行于坐标轴的切线上的极限值并不能代表整个图形的极值。至于连续不一定可导可以借鉴一元函数，如若平行于坐标轴方向的函数导数不存在（二元函数连续），也就是偏导数不存在。

2>可微必连续，可微必可导。反之不成立。

可微的性质最强，若二元函数的某一点可微，说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在，全微分是二元函数所有性质的综合，所以可微必连续，也必可导，但反之，连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件，所以不能通过连续与可导来断定可微。

引用博客https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962中的两幅立体图可很好理解一些疑问。

   

f(x,y)于x=0,及y=0的切平面的交线都是坐标轴，这两条直线在（0，0）点满足连续可导。（图1）

但是f(x,y)与y=x的切平面的交线是一个像y=|x|的函数图像，连续但是在（0，0）点不可导。（图2）所以在（0，0）点不可微。 

3>一阶偏导数连续是可微的充分条件

以下用可微的定义进行证明



至于为什么可微不一定连续可以稍微借鉴以下一元函数中的存在含有第二类间断点（震荡间断点）的导函数。

震荡虽然是间断的但是我们可以把他考虑成一种特殊的连续，当函数具有这种“连续”的极限情况，我们就可以得到可微但是偏导不连续的曲面。

例如函数f(x,y)=x^2sin(1/x)+y^2sin(1/y).个人感觉了解即可，没必要深究。