一元函数

---

先从定义出发：

极限的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 $A$，对于给定的任意正数 $ϵ$，总存在正数 $\delta$，使得当 $x$ 满足不等式 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，对应的 $f(x)$ 总满足不等式 $|f(x)-A|<ϵ$，那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记作 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$

连续的定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，那么称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义。如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一：

1. 在 $x=x_0$ 有定义
2. 虽在 $x=x_0$ 处有定义，但 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 不存在
3. 虽在 $x=x_0$ 处有定义，且 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，但 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ne f(x_0)$

则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，$x_0$ 称为不连续点。

可微的定义

设函数 $y=f(x)$ 在区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0+\Delta x$ 在区间内，如果增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可表示为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ，其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微。$A\Delta x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处相应于 $\Delta x$ 的微分，记作 $\mathrm{d}y$

可积的定义

1. 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。
2. 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

---

1. 可导与连续的关系：

$可导必然连续$

$Proof:$

设函数 $f(x_0)$ 在点 $x_0$ 可导。

$\because \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)$

$\therefore \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)+\alpha$

$\therefore \alpha \to 0(\Delta x\to 0)$

$\because \Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+\alpha \Delta x$

$\therefore \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f^{\prime }(x_0)\Delta x+\alpha \Delta x]=0$

$\because \Delta y=f(x)-f(x_0)$

$\therefore$ 可导必连续

$连续不一定可导$

如图

2. 可微与可导的关系：

$可微与可导是一样的$

$Proof:$

设 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，则有：$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$

当 $\Delta x\to 0$ 时：$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=A=f^{\prime }(x_0)$$

因此，可微必可导。

反之，如果 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，即：$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)$$ $\therefore \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)+\alpha$

$\therefore \Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+\alpha \Delta x$

其中，$a\to 0(\Delta x\to 0)$，且 $f^{\prime }(x_0)$ 不依赖于 $\Delta x$，故可导必可微

3. 可积与连续的关系：

$连续必然可积，可积不一定连续$

见可积的定义

4. 可导与可积的关系：

$可导必然可积，可积不一定可导$

因为可导必定连续，而连续一定可积，所以可导必可积。

但是可积不一定连续，也就不一定可导，所以可积不一定可导。

多元函数

---

可导与可微

$可微必然可导，可导不一定可微$

对一元函数来说，可导指的是存在导数，可微指的是存在微分。但是对于多元函数来说，可导指的是存在偏导数，可微指的是存在全微分。

所以可微必可导，可导不一定可微。

可微与连续

$可微必然连续，连续不一定可微$

微分指的是全微分，也就是各个方向都可微，所以类似一元函数的性质。

可导与连续

$可导不一定连续，连续不一定可导$

因为在多元函数里可导指的是可以偏导，所以并不能推出在所有方向上函数连续。

偏导数连续与可微

$偏导数连续必然可微，可微不一定偏导数连续$

$Proof:$

设 $z=f(x,y)$ 的全增量： $$\begin{array}{rl}\Delta z& =f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\ & =[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]+[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]\end{array}$$

根据拉格朗日中值定理：$$\Delta z=f_x(x+\alpha \Delta x,y+\Delta y)\Delta x+f_y(x,y+\beta \Delta y)\Delta y(0<\alpha ,\beta <1)$$

由于偏导数连续：$$\Delta z=f_x(x,y)\Delta x+{ϵ}_1\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+{ϵ}_2\Delta y$$

$\therefore \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$

得到 $f(x,y)$ 可微。

可微不一定偏导数连续可以参考一元函数中的含有第二类间断点（震荡间断点）的导函数。