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  • 求用不动点原理,求数列通项的例子数列中,A1=1,A2=2,A(n+2)=-A(n+1)+2An (A后的括号代表下标)求An通项这道体我当时记了个方法:原式变形后 A(n+2)+A(n+1)-2An=0令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以{A(n+1)-An}为公...

    求用不动点的原理,求数列通项的例子

    数列中,A1=1,A2=2,A(n+2)=-A(n+1)+2An (A后的括号代表下标)求An通项

    这道体我当时记了个方法:原式变形后 A(n+2)+A(n+1)-2An=0

    令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以{A(n+1)-An}为公比-2的数列;{A(n+1)+2An}为公比1的数列

    然后联立 解出来

    上述方法,应该说是特征根法和不动点法.

    特征根:

    对于多个连续项的递推式(不含常数项),可化为X的(n-1)次方程.

    即:a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可写为:

    a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0

    然后求出根(实根虚根都可以),不同项写成C*x^(n-1),相同项写成关于n的整式,有多少同根,n的次数就是同根数减1,比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通项就是:a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系数,要靠已知项联立方程求解.

    不动点:

    比如:已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大于等于1),求an

    a(n+1)=(an+2)/an(*)

    令an=x,a(n+1)=x

    x=(x+2)/x

    x^2-x-2=0

    x1=2,x2=-1

    {(an-2)/(an+1)}为等比数列

    令(an-2)/(an+1)=bn

    b(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)]

    (将a(n+1)用*式换成an)

    =-1/2

    b(n+1)=(-1/2)bn

    b1=-1/2

    bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)

    an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1

    注:形如:a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D),A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求.让a(n+1)=an=x,代入化为关于x的二次方程

    (1)若两根x1不等于x2,有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列,公比由两项商求出

    (2)若两根x1等于x2,有{1/(an-x1)}为等差数列,公差由两项差求出

    若无解,就只有再找其他方法了.

    并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况,如果有二次可能就不行了.

    对于原理,要大学才学,是建立在对方程的研究之上的.

    作业帮用户

    2016-11-26

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  • 匿名用户1级2011-08-30 回答数列中,A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An (A后的括号代表下标)An通项这道体我当时记了个...{A(n+1)+2An}为公比1的数列然后联立 解出来上述方法,应该说是特征根法和不动点法。特征根...

    匿名用户

    1级

    2011-08-30 回答

    数列中,A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An (A后的括号代表下标)求An通项

    这道体我当时记了个方法:原式变形后 A(n+2)+A(n+1)-2An=0

    令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以{A(n+1)-An}为公比-2的数列;{A(n+1)+2An}为公比1的数列

    然后联立 解出来

    上述方法,应该说是特征根法和不动点法。

    特征根:

    对于多个连续项的递推式(不含常数项),可化为X的(n-1)次方程.

    即:a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可写为:

    a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0

    然后求出根(实根虚根都可以),不同项写成C*x^(n-1),相同项写成关于n的整式,有多少同根,n的次数就是同根数减1,比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通项就是:a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系数,要靠已知项联立方程求解。

    不动点:

    比如:已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大于等于1),求an

    a(n+1)=(an+2)/an(*)

    令an=x,a(n+1)=x

    x=(x+2)/x

    x^2-x-2=0

    x1=2,x2=-1

    {(an-2)/(an+1)}为等比数列

    令(an-2)/(an+1)=bn

    b(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)]

    (将a(n+1)用*式换成an)

    =-1/2

    b(n+1)=(-1/2)bn

    b1=-1/2

    bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)

    an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1

    注:形如:a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D),A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。让a(n+1)=an=x,代入化为关于x的二次方程

    (1)若两根x1不等于x2,有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列,公比由两项商求出

    (2)若两根x1等于x2,有{1/(an-x1)}为等差数列,公差由两项差求出

    若无解,就只有再找其他方法了。

    并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况,如果有二次可能就不行了。

    对于原理,要大学才学,是建立在对方程的研究之上的。

    帮不了你了,不好意思,你去看大学的书吧

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  • 求数列通项不动点求数列通项不动点法2015年10月31日meiyun数海拾贝求数列的通项的基本方法有累加法和累乘法,等差数列与等比数列的通项公式就分别由累加法与累乘法对应得到的.对于一般的递推公式,如果可以...

    求数列通项的不动点法

    求数列通项的不动点法

    2015年10月31日 meiyun 数海拾贝

    求数列的通项的基本方法有累加法和累乘法,等差数列与等比数列的

    通项公式就分别由累加法与累乘法对应得到的.对于一般的递推公

    式,如果可以通过适当的代数变形转化成可以使用累加法与累乘法的

    递推形式,则问题就得到的解决,不动点法就提供了这样的一个转化

    的方向.

    先从一种简单的情形入手:

    例1    若a1 = 2 ,an+1 = 3an − 2 ,n ∈ N ∗ ,求an .

    分析  f (x) = 3x − 2 是一个一次函数,对于正比例函数的情形我们

    可以通过累乘法转化(即等比数列),于是我们令

    an+1 − λ = 3(an − λ) ,

    与递推公式对照得到 λ = 1 ,从而得到可以累乘的形式

    an+1 − 1 = 3(an − 1).

    事实上,这里的 就是递推公式对应的函数 的不动

    λ f (x) = 3x − 2

    点,即 x = 3x − 2 的根.

    对于由递推公式 an+1 = f (an ) 给出的数列,我们称 x = f (x) 的解为

    此数列的不动点.若 为数列的不动点,有 ,则

    α α = f (α)

    an+1 − α = f (an ) − f (α),

    而 f (an ) − f (α) 中有因式x − α .从而递推公式可以整理为

    an+1 − α

    = g (an )

    an − α

    的形式.若g (an ) 为常数或者与an 无关,则由累乘法问题已经得到解

    决.比如若递推公式为 an+1 = pan + q ,(p , q ∈ R ),则g (an ) 为

    常数,就是前面的情形.

    下面我们来看更复杂的情形,对于递推公式为

    pan + q

    an+1 = ,p , q, r, s ∈ R,

    ran + s

    如何求数列的通项公式,给出具体的递推公式为例:

    3an + 1 ∗

    a = 2 a = n ∈ N a

    例2    若 , , ,求 .

    1 n+1 n

    an + 3

    解 考虑递推公式对应的不动点,令

    3x + 1

    x = ,

    x + 3

    解得 x = ±1 .

    于是有

    4(an + 1)

    an+1 + 1 = ,

    an + 3

    两边取倒数化简得

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  • 写这篇文章的原因是一直耿耿于怀的这个题目:因为是浙江题,当时官方给出的答案是利用不动点法判断,不动点法或者特征根法求通项公式并不是全国卷考生的复习内容,当时只是觉得这部分内容有点过于花里胡哨没有太大的...

    写这篇文章的原因是一直耿耿于怀的这个题目:

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    因为是浙江题,当时官方给出的答案是利用不动点法判断,不动点法或者特征根法求通项公式并不是全国卷考生的复习内容,当时只是觉得这部分内容有点过于花里胡哨没有太大的实际意义,正好近期有学生问到这方面的内容了,也粗略的研究了一些,发现这部分内容的价值远远大于考试内容的价值,今天做一个算是抛砖引玉的内容,后续有新的体会也会继续丰富这个知识点。

    不动点是数学术语解释是被这个函数映射到自身的一个点,即对于函数f(x),若存在实数x0,使得f(x0)=x0,则称x=x0是函数的不动点,用几何解释就是函数y=f(x)与y=x交点的横坐标,若不动点与数列结合,我们都知道可用不动点法求解数列的通项公式,但是原理是什么,先看以下三道常规的数列题目:

    e0f44483b34a3b53fa943ee6441bd1e4.png

    注意通过待定系数法求得的A值,若用不动点法,令x=2x+1,解得x=-1,将数列an的通项公式看做函数,图像如下:

    4438490c1cc4906d7df76a6f7e3fbb01.png

    这里面有两点需要注意,第一是不动点和用待定系数求得的A是什么关系,因为不动点是-1,所以在原来的等式两侧都减去不动点-1,即an+1-(-1)=2an+1-(-1),即可得到等比数列的形式,也就是说不动点可以这样用吗?可以推广到其他形式的递推公式里面吗?第二不动点-1恰好是把数列当做函数的极限值,这好像也能解释为什么叫不动点了,当x变化时y值不再变化,另外若函数是一个常函数,数列是一个常数列,也满足要求,如果在数列{an}中,a1的值恰好等于不动点x0,有如下递推形式,

    54eee8d4d8e45dabd2ef4e257a88c240.png

    再看一道题目:

    71580cc8a2773af75c1c9fd9c30ae5d5.png

    这道题目恰好验证了上面的两点,那么其他题目能不能求出不动点,然后等式两侧都减去不动点,若不动点有两个怎么办?

    029d53255a4cea531f9e9480ab8997f0.png

    可看出做法和上面一样,只不过用了两次而已,同样把数列当做函数,看看1和2是不是函数的极限值:

    982340b32d005038a8a01fd4b909b549.png

    如果两个不动点相同呢?如下题:

    d8bfcc57e74619593fb4bd551a439688.png

    从以上题目能推广出不动点法求解通项公式的一般思路了,如果是前中后三项的递推公式用特征根方程即可,即便是待定系数也很简单,不再给出。

    最后再复盘一下一开始的浙江高考题目:

    fe79748d60642d2d192c9be5d7461e89.png

    令x=x²+b,即x²-x+b=0,△=1-4b,△≥0,则b≤1/4,满足要求的只有B,C,D选项了,以B为例,x²-x+1/4=0,解得x0=1/2,因为a1=a可任意取值,则取a1=x0=1/2,可知an中的任何一项都为1/2,同理C,D都可以根据不动点排除掉,剩余的选项就是A了

    总结:不动点法求通项公式有局限性,也有其独特的优势,全国卷的考生多了解一些没坏处。

    看都看完了,点个在看再走吧2d2cc3645e47a0555987ec2ac8ea627d.gif
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不动点求数列通项原理