-
2021-04-19 08:39:54
不动点迭代
function xc = fpi( g, x0, tol )
x(1) = x0;
i = 1;
while 1
x(i + 1) = g(x(i));
if(abs(x(i+1) - x(i)) < tol)
break
end
i = i + 1;
end
xc = x(i+1);
end
牛顿法找根:
$$ f( x ) = ( 1 - \frac{3}{4x} ) ^ {\frac{1}{3} }$$
封装函数计算:
x_right = solve('(1 - 3 / (4 * x)) ^ (1 / 3)')
牛顿法实现:
function [y, dirv_y] = funNewton(x)
y = (1 - 3 / (4 * x)) ^ (1 / 3);
dirv_y = (1 - 3 / (4 * x)) ^ (- 2 / 3) / (4 * x ^ 2);
% dirv_y is y's diff
end
clear all
clc
Error = 1e-6;
format long
x_right = solve('(1 - 3 / (4 * x)) ^ (1 / 3)')
%disp the right answer
x = 0.7;
for k = 1:50
[y, dirv_y] = funNewton(x);
%call the function to get the f(x) and it's diff
xk = x;
disp(['the ', num2str(k), ' time is ', num2str(x)])
%xk to save the last time value of x
x = x - y / dirv_y;
%newton solve
if(abs(xk - x) < Error)
%decide whether to break out
break;
end
end
xk
%output the value of x
割线法:
function xc = CutLine( f, x0, x1, tol )
x(1) = x0;
x(2) = x1;
i = 2;
while 1
x(i + 1) = x(i) - (f(x(i)) * (x(i) - x(i - 1))) / (f(x(i)) - f(x(i - 1)));
if(abs(x(i + 1) - x(i)) < tol)
break;
end
i = i + 1;
end
xc = x(i + 1);
end
Stewart平台运动学问题求解:
function out = Stewart( theta )
% set the parameter
x1 = 4;
x2 = 0;
y2 = 4;
L1 = 2;
L2 = sqrt(2);
L3 = sqrt(2);
gamma = pi / 2;
p1 = sqrt(5);
p2 = sqrt(5);
p3 = sqrt(5);
% calculate the answer
A2 = L3 * cos(theta) - x1;
B2 = L3 * sin(theta);
A3 = L2 * cos(theta + gamma) - x2;
B3 = L2 * sin(theta + gamma) - y2;
N1 = B3 * (p2 ^ 2 - p1 ^ 2 - A2 ^ 2 - B2 ^ 2) - B2 * (p3 ^ 2 - p1 ^ 2 - A3 ^ 2 - B3 ^ 2);
N2 = -A3 * (p2 ^ 2 - p1 ^ 2 - A2 ^ 2 - B2 ^ 2) + A2 * (p3 ^ 2 - p1 ^ 2 - A3 ^ 2 - B3 ^ 2);
D = 2 * (A2 * B3 - B2 * A3);
out = N1 ^ 2 + N2 ^ 2 - p1 ^ 2 * D ^ 2;
end
test our function at theta = - pi / 4 and theta = pi / 4
clear all
clc
format short
disp('f(- pi / 4) is ')
out1 = Stewart(- pi / 4)
disp('--------------')
disp('f(pi / 4) is ')
out2 = Stewart(pi / 4)
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在[a,b]区间内寻找方程x**5-2*x-1=0的根的初始近似值位置,确定不动点迭代的初始点(可能有多个),然后使用不动点迭代法求方程的根(可能有多个根)。前后两次迭代的差的绝对值小于delta后停止迭代。
输入形式
在屏幕上输入3个数,依次为区间左端点值a、右端点值b和所求根的精度值。各数间都以一个空格分隔。根据输入的所求根的精度值可求得delta.
输出形式
每一行输出一个根(精确到小数点后3位)
样例1输入
-1.2 1.5 3
样例1输出
-1.000
-0.519
1.291样例1说明
输入:左端点a值为-1.2,右端点b值为1.5,前后两次迭代的差的绝对值小于delta=10**(-3)后停止迭代。输出:从小到大顺序输出三个根的值。
代码
import numpy as np def f(x): return x ** 5 - 2 * x - 1 def g1(x): return (x**5-1)/2 def g2(x): result = (abs(2 * x + 1))**(1 / 5) if (2 * x - 1) < 0: return -result return result def getEpsilon(x, epsilon): maxY = minY = x[0] for each in x: maxY = max(f(each), maxY) minY = min((f(each), minY)) epsilon = (maxY - minY) * epsilon return epsilon def getInitialVal(x, N, step, epsilon): initalVal = [] for i in range(N + 1): y1, y2, y3 = f(x - step), f(x), f(x + step) if (y1 * y2 < 0) and (i != 0): initalVal.append((x + x - step) / 2) if ((y2 - y1) * (y3 - y2) < 0) and (abs(y2) < epsilon): initalVal.append(x) x += step return initalVal def findFixedPoint(initalVal, delta,epsilon): points = [] for each in initalVal: if (abs(g1(each)) < 1): points.append(iteration(each, g1, delta,epsilon)) else: points.append(iteration(each, g2, delta,epsilon)) return points def iteration(p1, g, delta,epsilon): while True: p2 = g(p1) err =abs(p2-p1) relerr = err/(abs(p2)+epsilon) if err<delta or relerr<delta: return p2 p1 = p2 def main(): a, b, c = input().split(' ') a = float(a) b = float(b) c = int(c) delta = 10 ** (-c) N = 8 epsilon = 0.01 step = (b - a) / N x = np.arange(a, b + epsilon, epsilon) epsilon2 = getEpsilon(x,epsilon) initalVal = getInitialVal(a, N, step, epsilon2) ans = findFixedPoint(initalVal, delta,epsilon) for each in ans: print('%.3f' % each) if __name__ == '__main__': main()
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许多复杂的求解问题,都可以转换成方程f(x)=0的求解问题。这一系列的解叫做方程的根。对于非线性方程的求解,在自变量范围内往往有多个解,我们将此变化区域分为多个小的子区间,对每个区间进行分别求解。我们在求解过程中,选取一个近似值或者近似区间,然后运用迭代方法逐步逼近真实解。
方程求根的常用迭代法有:二分法、不动点迭代、牛顿法、弦截法。不动点迭代法
简单迭代法或基本迭代法又称不动点迭代法
1、不动点(FixedPoint)
首先来看一下什么是不动点:
换句话说,函数φ的不动点是y=φ(x)与y=x的交点,下图画出了函数y=cos(x)与y=x在区间[0,π/2]的交点,即cos(x)的不动点:
2、不动点迭代(Fixed Point Iteration)
不动点迭代的基本思想:
也就是说,为了求解方程f(x)=0,首先将方程转换为x=g(x),然后初始化x0,循环迭代xi+1=g(xi),直到满足收敛收件。
这里将方程f(x)=0转换为x=g(x)是很容易的,比如对于f(x)=x-cos(x),求解f(x)=0即为求解x-cos(x)=0,即x=cos(x),因此g(x)=cos(x)。
再例如对于方程:
可以等价为
还可以等价为
也就是说,将方程f(x)=0转换为x=g(x)有不同的方式,因此对方程f(x)=0来说,g(x)也不是唯一的。
3、不动点迭代的收敛性
这个迭代过程是很简单的,但这里有个关键性的问题:迭代收敛么?即经过N次迭代后是否会收敛于不动点?
通俗点讲,若要使不动点迭代收敛,则要求φ(x)在区间[a,b]上的函数值也在此区间内,另外还要求φ(x)的斜率绝对值不大于1。其证明过程比较复杂,有兴趣的可以查阅一些相关文献。例题
求方程式:x3 - 0.165 × x2 + 3.993 × 10-4 = 0在(0,0.11)上的根
先看看不用迭代法计算的结果
from sympy import * from sympy.abc import x def func(x): return x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4) result = solveset(func(x), x, Interval(0, 0.11)) print(result)
结果:
FiniteSet(0.0623775815137495)
约定一个误差,当误差小于某个数值的时候,迭代停止
代码:
xl = 0 #区间下限 xu = 0.11 #区间上限 x = (xl+xu)/2 #迭代初始值 x_list = [x] i = 0 while True: x = x ** 3 - 0.165 * x ** 2 + 3.993 * 10 ** (-4) + x x_list.append(x) if len(x_list) > 1: i += 1 error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1]) if error < 10**(-6): print(f'迭代第{i}次后,误差小于10^-6') break else: pass
结果:
迭代第777次后,误差小于10^-6 所求方程式的根为0.062370654088088
迭代至电脑默认误差为0
xl = 0 #区间下限 xu = 0.11 #区间上限 x = (xl+xu)/2 #迭代初始值 x_list = [x] i = 0 while True: x = x ** 3 - 0.165 * x ** 2 + 3.993 * 10 ** (-4) + x x_list.append(x) if len(x_list) > 1: i += 1 error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1]) if error == 0: print(f'迭代第{i}次后,误差为0') break else: pass print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')
结果:
迭代第3402次后,误差为0 所求方程式的根为0.062377581513749114
画迭代法
import matplotlib.pyplot as plt xl = 0 #区间下限 xu = 0.11 #区间上限 x = (xl+xu)/2 #迭代初始值 x_list = [x] i = 0 x_values = [] y_values = [] while True: x = x ** 3 - 0.165 * x ** 2 + 3.993 * 10 ** (-4) + x x_list.append(x) if len(x_list) > 1: i += 1 error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1]) x_values.append(i) y_values.append(error) if error == 0: print(f'迭代第{i}次后,误差为0') break else: pass print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}') #设置绘图风格 plt.style.use('ggplot') #处理中文乱码 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei'] #坐标轴负号的处理 plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #横坐标是迭代次数 #纵坐标是误差值 plt.plot(x_values, y_values, color = 'steelblue', # 折线颜色 marker = 'o', # 折线图中添加圆点 markersize = 1, # 点的大小 ) # 修改x轴和y轴标签 plt.xlabel('迭代次数') plt.ylabel('误差值') # 显示图形 plt.show()
结果:
迭代第3402次后,误差为0 所求方程式的根为0.062377581513749114
对比牛顿迭代法,牛顿迭代法要快很多,而且准确率也高
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feval函数
用于求函数值
基本使用格式:y=feval(fhandle, x) %fhandle——函数表达式,x——变量值[y1, y2, ...] = feval(fhandle, x1,..., xn)
format long
设置输出格式,表示高精度输出
syms x
定义符号变量,用于占位符占位!
简单迭代法【不动点迭代】
大致讲解:
不动点可看成 y = φ ( x ) 与 y = x y=φ(x)与y=x y=φ(x)与y=x 的交点
MATLAB实现:
function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol) format long %High precision output error=1; %The value of the initialization error count=0; %Initialization counter while error>tol %Shutdown criteria x=f(x0); %Function to be solved error=abs(x-x0); %Update the error of each step x0=x; %Update iteration point count=count+1; end end %%Definition of function to be solved function f=f(x) f=(10/(4+x))^(1/2); end
测试文件:
clear; %Empty variable clc; %Clear screen tol=1e-9; %Set the required precision x0=1.5; %Exact solution of the point near [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol); %Use simple iterative algorithm disp('The exact solution is as follows:') disp(x); disp('Number of iterations required:') disp(count);
结果展示:
Newton 迭代法
matlab算法实现
function [x,count]=Newton_it(x0,tol) format long error=1; count=0; while error>tol x=x0-f(x0)/df(x0); %Newton iteration scheme error=abs(x-x0); x0=x; count=count+1; end end %%Enter the function test below function f=f(x0) syms x; %Defining symbolic variables m(x)=x^2-115; f=vpa(m(x0)); %Calculate the value of the symbolic variable end function df=df(x0) %Calculating the first derivative of a function syms x; %Defining symbolic variables m(x)=x^2-115; df(x)=diff(m(x)); df=vpa(df(x0)); end
测试文件
clear; %Empty variable clc; %Clear screen x0=10; tol=1e-6; [x,count]=Newton_it(x0,tol); disp('The exact solution is as follows:') disp(x); disp('Number of iterations required:') disp(count);
结果展示:
作业
- 用两种迭代方式求解一个多项式的根,多项式满足下面两个条件:
(1)7次多项式
(2)系数在(0,7] 之间
要求:写出收敛阶、收敛速度、初值 - 求出下面方程的根并作图
x
2
+
(
5
4
y
−
∣
x
∣
)
2
−
4
=
0
x^{2}+\left ( \frac{5}{4}y-\sqrt{|x|} \right )^{2}-4=0
x2+(45y−∣x∣)2−4=0
初值(这个方程的初值不好找!)
尝试解答:
1.如何生成一个随机整数向量(满足第二个条件叭)
round(rand(1,5)*6+1)
2.构造随机多项式
function f=ex6_1(x0,p0) %Constructing polynomials syms x; %Defining symbolic variables y(x)=poly2sym(p0); disp(y(x)); f=vpa(y(x0)); %Calculate the value of the symbolic variable end
p0=round(rand(1,8)*6+1); %If you put it in a function, every time you call the function, a polynomial will be generated randomly x0=2; f=ex6_1(x0,p0); disp(f); x0=0; f=ex6_1(x0,p0); disp(f);
输出结果:
3.尝试使用简单迭代法function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol) format long %High precision output error=1; %The value of the initialization error count=0; %Initialization counter while error>tol %Shutdown criteria x=f(x0); %Function to be solved error=abs(x-x0); %Update the error of each step x0=x; %Update iteration point count=count+1; end end %%Definition of function to be solved function f=f(x0) syms x; %Defining symbolic variables p0=round(rand(1,8)*6+1); %Each time the function is called, a random polynomial is constructed y(x)=poly2sym(p0); f=vpa(y(x0)); %Calculate the value of the symbolic variable end
clear; %Empty variable clc; %Clear screen tol=1e-9; %Set the required precision x0=0; %Exact solution of the point near [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol); %Use simple iterative algorithm disp('The exact solution is as follows:') disp(x); disp('Number of iterations required:') disp(count);
输出结果(这是什么东西…):
构造多项式并改写成 x = ϕ ( x ) x=\phi(x) x=ϕ(x) 的形式function [f,df]=ex6_1(x0,p0) syms x; %Defining symbolic variablesS y(x)=poly2sym(p0); % disp('This is a randomly generated equation of degree 7') % disp(y(x)); q(x)=((y(x)-p0(6)*x^2)/(-p0(6)))^(1/2); % disp('This is phi(x)'); % disp(q(x)); f=vpa(q(x0)); %Calculate the value of the symbolic variable df(x)=diff(q(x)); df=vpa(df(x0)); end
function [x,count]=Newton_it(x0,tol) format long error=1; count=0; p0=round(rand(1,8)*6+1); while error>tol && count <50 [f,df]=ex6_1(x0,p0); x=x0-f/df; %Newton iteration scheme error=abs(x-x0); disp('error:') disp(error); x0=x; count=count+1; end end
clear; %Empty variable clc; %Clear screen x0=10; tol=1e-3; [x,count]=Newton_it(x0,tol); disp('The exact solution is as follows:') disp(x); disp('Number of iterations required:') disp(count);
function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol) format long %High precision output error=1; %The value of the initialization error count=0; %Initialization counter p0=round(rand(1,8)*6+1); disp(p0); while error>tol && count<20 %Shutdown criteria x=ex6_1(x0,p0); %Function to be solved disp(x0); count=count+1; error=abs(x-x0); disp('it is error'); disp(error); x0=x; end end
clear; %Empty variable clc; %Clear screen tol=1e-5; %Set the required precision x0=0; %Exact solution of the point near [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol); %Use simple iterative algorithm disp('The exact solution is as follows:') disp(x); disp('Number of iterations required:') disp(count);
close all; clear all; clc; ezplot('x^2+((5/4)*y-sqrt(abs(x)))^2-4=0',[-3,3]) grid on
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2021-09-10 21:56:367BenvliMIN 贝努利法求按模最小实根HalfInterval 用二分法求方程的一个根hj 用黄金分割法求方程的一个根StablePoint 用不动点迭代法求方程的一个根AtkenStablePoint 用艾肯特加速的不动点迭代法求方程的一个根... -
二分法、试位法、不动点迭代法、牛顿法、割线法
2021-03-30 14:48:19分别用二分法、试位法、不动点迭代、Newton-Raphson法和割线法求解并比较各方法的收敛速度 -
数值分析之不动点迭代求多解(结合求多个近似解位置)
2020-03-18 15:29:20关于不动点迭代和二分法、试值法的本质区别,在[上一篇介绍二分法、试值法]的博客中提到了(https://blog.csdn.net/weixin_42572826/article/details/104934857),理论上不动点迭代,只能对给定的一个近似解迭代找到... -
matlab不动点迭代代码
2021-10-04 22:11:19%不动点迭代 function [xc,k] = fpi(g,x0,tol,N) x1=g(x0); k=1; while abs(x1-x0) > tol x0 =x1; x1=g(x0); if k==N fprintf('Fixed-point iteration failed!') break end k=k+1; end xc = x1; -
单个方程的不动点迭代法
2018-06-18 09:48:551. 不动点和不动点迭代法设 f 是连续函数,为了解方程 把方程变换为等价的方程 其中φ 是连续函数。若x* 是f 的零点,即f(x*)=0 则有 x*称为函数φ 的一个不动点.构造的迭代法 这称为一种... -
非线性方程求解 不动点迭代法
2020-03-23 20:46:15非线性方程求解 不动点迭代法 Solution Knowledge 收敛定理一 可以尝试证明一下 1、不动点的存在性 2、不动点的唯一性 3、序列收敛 收敛定理二 这个的条件2更加简洁 可以尝试证明 1、不动点的存在性(其实同定理...