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  • 2021-04-19 08:39:54

    不动点迭代

    function xc = fpi( g, x0, tol )

    x(1) = x0;

    i = 1;

    while 1

    x(i + 1) = g(x(i));

    if(abs(x(i+1) - x(i)) < tol)

    break

    end

    i = i + 1;

    end

    xc = x(i+1);

    end

    牛顿法找根:

    $$ f( x ) = ( 1 - \frac{3}{4x} ) ^ {\frac{1}{3} }$$

    封装函数计算:

    x_right = solve('(1 - 3 / (4 * x)) ^ (1 / 3)')

    牛顿法实现:

    function [y, dirv_y] = funNewton(x)

    y = (1 - 3 / (4 * x)) ^ (1 / 3);

    dirv_y = (1 - 3 / (4 * x)) ^ (- 2 / 3) / (4 * x ^ 2);

    % dirv_y is y's diff

    end

    clear all

    clc

    Error = 1e-6;

    format long

    x_right = solve('(1 - 3 / (4 * x)) ^ (1 / 3)')

    %disp the right answer

    x = 0.7;

    for k = 1:50

    [y, dirv_y] = funNewton(x);

    %call the function to get the f(x) and it's diff

    xk = x;

    disp(['the ', num2str(k), ' time is ', num2str(x)])

    %xk to save the last time value of x

    x = x - y / dirv_y;

    %newton solve

    if(abs(xk - x) < Error)

    %decide whether to break out

    break;

    end

    end

    xk

    %output the value of x

    割线法:

    function xc = CutLine( f, x0, x1, tol )

    x(1) = x0;

    x(2) = x1;

    i = 2;

    while 1

    x(i + 1) = x(i) - (f(x(i)) * (x(i) - x(i - 1))) / (f(x(i)) - f(x(i - 1)));

    if(abs(x(i + 1) - x(i)) < tol)

    break;

    end

    i = i + 1;

    end

    xc = x(i + 1);

    end

    Stewart平台运动学问题求解:

    function out = Stewart( theta )

    % set the parameter

    x1 = 4;

    x2 = 0;

    y2 = 4;

    L1 = 2;

    L2 = sqrt(2);

    L3 = sqrt(2);

    gamma = pi / 2;

    p1 = sqrt(5);

    p2 = sqrt(5);

    p3 = sqrt(5);

    % calculate the answer

    A2 = L3 * cos(theta) - x1;

    B2 = L3 * sin(theta);

    A3 = L2 * cos(theta + gamma) - x2;

    B3 = L2 * sin(theta + gamma) - y2;

    N1 = B3 * (p2 ^ 2 - p1 ^ 2 - A2 ^ 2 - B2 ^ 2) - B2 * (p3 ^ 2 - p1 ^ 2 - A3 ^ 2 - B3 ^ 2);

    N2 = -A3 * (p2 ^ 2 - p1 ^ 2 - A2 ^ 2 - B2 ^ 2) + A2 * (p3 ^ 2 - p1 ^ 2 - A3 ^ 2 - B3 ^ 2);

    D = 2 * (A2 * B3 - B2 * A3);

    out = N1 ^ 2 + N2 ^ 2 - p1 ^ 2 * D ^ 2;

    end

    test our function at theta = - pi / 4 and theta = pi / 4

    clear all

    clc

    format short

    disp('f(- pi / 4) is ')

    out1 = Stewart(- pi / 4)

    disp('--------------')

    disp('f(pi / 4) is ')

    out2 = Stewart(pi / 4)

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  • 【问题描述】在[a,b]区间内寻找方程x**5-2*x-1=0的根的初始近似值位置,确定不动点迭代的初始点(可能有多个),然后使用不动点迭代法求方程的根(可能有多个根)。前后两次迭代的差的绝对值小于delta后停止迭代。 ...
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    问题描述

    在[a,b]区间内寻找方程x**5-2*x-1=0的根的初始近似值位置,确定不动点迭代的初始点(可能有多个),然后使用不动点迭代法求方程的根(可能有多个根)。前后两次迭代的差的绝对值小于delta后停止迭代。

    输入形式

    在屏幕上输入3个数,依次为区间左端点值a、右端点值b和所求根的精度值。各数间都以一个空格分隔。根据输入的所求根的精度值可求得delta.

    输出形式

    每一行输出一个根(精确到小数点后3位)

    样例1输入

    -1.2 1.5 3

    样例1输出

    -1.000
    -0.519
    1.291

    样例1说明

    输入:左端点a值为-1.2,右端点b值为1.5,前后两次迭代的差的绝对值小于delta=10**(-3)后停止迭代。输出:从小到大顺序输出三个根的值。

    代码

    import numpy as np
    
    def f(x):
        return x ** 5 - 2 * x - 1
    
    def g1(x):
        return (x**5-1)/2
    
    def g2(x):
        result = (abs(2 * x + 1))**(1 / 5)
        if (2 * x - 1) < 0:
            return -result
        return result
    
    def getEpsilon(x, epsilon):
        maxY = minY = x[0]
        for each in x:
            maxY = max(f(each), maxY)
            minY = min((f(each), minY))
        epsilon = (maxY - minY) * epsilon
        return epsilon
    
    def getInitialVal(x, N, step, epsilon):
        initalVal = []
        for i in range(N + 1):
            y1, y2, y3 = f(x - step), f(x), f(x + step)
            if (y1 * y2 < 0) and (i != 0):
                initalVal.append((x + x - step) / 2)
            if ((y2 - y1) * (y3 - y2) < 0) and (abs(y2) < epsilon):
                initalVal.append(x)
            x += step
    
        return initalVal
    
    def findFixedPoint(initalVal, delta,epsilon):
        points = []
        for each in initalVal:
            if (abs(g1(each)) < 1):
                points.append(iteration(each, g1, delta,epsilon))
            else:
                points.append(iteration(each, g2, delta,epsilon))
        return points
    
    def iteration(p1, g, delta,epsilon):
        while True:
            p2 = g(p1)
            err =abs(p2-p1)
            relerr = err/(abs(p2)+epsilon)
            if err<delta or relerr<delta:
                return p2
            p1 = p2
                        
    def main():
        a, b, c = input().split(' ')
        a = float(a)
        b = float(b)
        c = int(c)
        delta = 10 ** (-c)
        N = 8
        epsilon = 0.01
        step = (b - a) / N
        x = np.arange(a, b + epsilon, epsilon)
        
        epsilon2 = getEpsilon(x,epsilon)
        initalVal = getInitialVal(a, N, step, epsilon2)
        ans = findFixedPoint(initalVal, delta,epsilon)
    
        for each in ans:
            print('%.3f' % each)
            
    if __name__ == '__main__':
        main()
    
    展开全文
  • 方程根的常用迭代法有:二分法、不动点迭代、牛顿、弦截 不动点迭代法 简单迭代法或基本迭代法又称不动点迭代法 1、不动点(FixedPoint) 首先来看一下什么是不动点: 换句话说,函数φ的不动点是y=φ(x)与y

    迭代法的作用

    许多复杂的求解问题,都可以转换成方程f(x)=0的求解问题。这一系列的解叫做方程的根。对于非线性方程的求解,在自变量范围内往往有多个解,我们将此变化区域分为多个小的子区间,对每个区间进行分别求解。我们在求解过程中,选取一个近似值或者近似区间,然后运用迭代方法逐步逼近真实解。
    方程求根的常用迭代法有:二分法不动点迭代牛顿法弦截法

    不动点迭代法

    简单迭代法或基本迭代法又称不动点迭代法
    1、不动点(FixedPoint)
    首先来看一下什么是不动点:
    在这里插入图片描述
    换句话说,函数φ的不动点是y=φ(x)与y=x的交点,下图画出了函数y=cos(x)与y=x在区间[0,π/2]的交点,即cos(x)的不动点:
    在这里插入图片描述
    2、不动点迭代(Fixed Point Iteration)
    不动点迭代的基本思想:
    在这里插入图片描述
    也就是说,为了求解方程f(x)=0,首先将方程转换为x=g(x),然后初始化x0,循环迭代xi+1=g(xi),直到满足收敛收件。
    这里将方程f(x)=0转换为x=g(x)是很容易的,比如对于f(x)=x-cos(x),求解f(x)=0即为求解x-cos(x)=0,即x=cos(x),因此g(x)=cos(x)。
    再例如对于方程:
    在这里插入图片描述
    可以等价为
    在这里插入图片描述
    还可以等价为
    在这里插入图片描述
    也就是说,将方程f(x)=0转换为x=g(x)有不同的方式,因此对方程f(x)=0来说,g(x)也不是唯一的。
    3、不动点迭代的收敛性
    这个迭代过程是很简单的,但这里有个关键性的问题:迭代收敛么?即经过N次迭代后是否会收敛于不动点?
    在这里插入图片描述
    通俗点讲,若要使不动点迭代收敛,则要求φ(x)在区间[a,b]上的函数值也在此区间内,另外还要求φ(x)的斜率绝对值不大于1。其证明过程比较复杂,有兴趣的可以查阅一些相关文献。

    例题

    求方程式:x3 - 0.165 × x2 + 3.993 × 10-4 = 0在(0,0.11)上的根

    先看看不用迭代法计算的结果

    from sympy import *
    from sympy.abc import x
    
    def func(x):
        return x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
    result = solveset(func(x), x, Interval(0, 0.11))
    print(result)
    

    结果:

    FiniteSet(0.0623775815137495)
    
    

    约定一个误差,当误差小于某个数值的时候,迭代停止

    代码:

    xl = 0  #区间下限
    xu = 0.11  #区间上限
    x = (xl+xu)/2  #迭代初始值
    x_list = [x]
    i = 0
    
    while True:
        x = x ** 3 - 0.165 * x ** 2 + 3.993 * 10 ** (-4) + x
        x_list.append(x)
        if len(x_list) > 1:
            i += 1
            error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
            if error < 10**(-6):
                print(f'迭代第{i}次后,误差小于10^-6')
                break
        else:
            pass
    

    结果:

    迭代第777次后,误差小于10^-6
    所求方程式的根为0.062370654088088
    

    迭代至电脑默认误差为0

    xl = 0  #区间下限
    xu = 0.11  #区间上限
    x = (xl+xu)/2  #迭代初始值
    x_list = [x]
    i = 0
    
    while True:
        x = x ** 3 - 0.165 * x ** 2 + 3.993 * 10 ** (-4) + x
        x_list.append(x)
        if len(x_list) > 1:
            i += 1
            error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
            if error == 0:
                print(f'迭代第{i}次后,误差为0')
                break
        else:
            pass
    
    print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')
    

    结果:

    迭代第3402次后,误差为0
    所求方程式的根为0.062377581513749114
    

    画迭代法

    import matplotlib.pyplot as plt
    xl = 0  #区间下限
    xu = 0.11  #区间上限
    x = (xl+xu)/2  #迭代初始值
    x_list = [x]
    i = 0
    
    x_values = []
    y_values = []
    while True:
        x = x ** 3 - 0.165 * x ** 2 + 3.993 * 10 ** (-4) + x
        x_list.append(x)
        if len(x_list) > 1:
            i += 1
            error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
            x_values.append(i)
            y_values.append(error)
            if error == 0:
                print(f'迭代第{i}次后,误差为0')
                break
        else:
            pass
    
    print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')
    
    #设置绘图风格
    plt.style.use('ggplot')
    #处理中文乱码
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
    #坐标轴负号的处理
    plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
    #横坐标是迭代次数
    #纵坐标是误差值
    plt.plot(x_values,
             y_values,
             color = 'steelblue', # 折线颜色
             marker = 'o', # 折线图中添加圆点
             markersize = 1, # 点的大小
             )
    # 修改x轴和y轴标签
    plt.xlabel('迭代次数')
    plt.ylabel('误差值')
    # 显示图形
    plt.show()
    

    结果:

    迭代第3402次后,误差为0
    所求方程式的根为0.062377581513749114
    

    在这里插入图片描述

    对比牛顿迭代法,牛顿迭代法要快很多,而且准确率也高
    牛顿迭代法(Newton’s Method)迭代求根的Python程序

    展开全文
  • Matlab 根代码 包括Newton、Secant、Steffenson、Aitken's不动点迭代法,以及包括这些方法求同一个函数时候初始猜测值和迭代次数的比较,并用图像呈现。
  • 不动点迭代和牛顿迭代法不动点迭代feval函数简单迭代法 不动点迭代 不动点可看成 y=φ(x)与y=xy=φ(x)与y=xy=φ(x)与y=x 的交点 feval函数 功能是函数值 基本使用格式:y=feval(fhandle, x) %fhandle——函数...

    MATLAB基础

    feval函数

    用于求函数值

    基本使用格式:y=feval(fhandle, x)    
    %fhandle——函数表达式,x——变量值[y1, y2, ...] = feval(fhandle, x1,..., xn)
    

    format long

    设置输出格式,表示高精度输出

    syms x

    定义符号变量,用于占位符占位!

    简单迭代法【不动点迭代】

    大致讲解:

    不动点可看成 y = φ ( x ) 与 y = x y=φ(x)与y=x y=φ(x)y=x 的交点
    在这里插入图片描述

    MATLAB实现:

    function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol)
    format long    %High precision output
    error=1;    %The value of the initialization error
    count=0;    %Initialization counter
    while error>tol  %Shutdown criteria
        x=f(x0);   %Function to be solved
        error=abs(x-x0);  %Update the error of each step
        x0=x;  %Update iteration point
        count=count+1;   
    end
    end
    
    %%Definition of function to be solved
    function f=f(x)
    f=(10/(4+x))^(1/2);
    end
    

    测试文件:

    clear;  %Empty variable
    clc;   %Clear screen
    tol=1e-9;  %Set the required precision
    x0=1.5;  %Exact solution of the point near
    [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol);  %Use simple iterative algorithm
    disp('The exact solution is as follows:')
    disp(x);  
    disp('Number of iterations required:')
    disp(count);  
    

    结果展示:
    在这里插入图片描述

    Newton 迭代法

    matlab算法实现

    function [x,count]=Newton_it(x0,tol)
    format long
    error=1;
    count=0;
    while error>tol
        x=x0-f(x0)/df(x0);  %Newton iteration scheme
        error=abs(x-x0);   
        x0=x;
        count=count+1;
    end
    end
    
    %%Enter the function test below
    function f=f(x0)
    syms x;                %Defining symbolic variables
    m(x)=x^2-115;
    f=vpa(m(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
    end
    
    function df=df(x0)  %Calculating the first derivative of a function
    syms x;                %Defining symbolic variables
    m(x)=x^2-115;
    df(x)=diff(m(x));
    df=vpa(df(x0));
    end
    

    测试文件

    clear;  %Empty variable
    clc;   %Clear screen
    x0=10;
    tol=1e-6;
    [x,count]=Newton_it(x0,tol);
    disp('The exact solution is as follows:')
    disp(x);
    disp('Number of iterations required:')
    disp(count);
    

    结果展示:
    在这里插入图片描述

    作业

    1. 用两种迭代方式求解一个多项式的根,多项式满足下面两个条件:
      (1)7次多项式
      (2)系数在(0,7] 之间
      要求:写出收敛阶、收敛速度、初值
    2. 求出下面方程的根并作图 x 2 + ( 5 4 y − ∣ x ∣ ) 2 − 4 = 0 x^{2}+\left ( \frac{5}{4}y-\sqrt{|x|} \right )^{2}-4=0 x2+(45yx )24=0
      初值(这个方程的初值不好找!)

    尝试解答:

    1.如何生成一个随机整数向量(满足第二个条件叭)

    round(rand(1,5)*6+1)
    

    在这里插入图片描述

    2.构造随机多项式

    function f=ex6_1(x0,p0)     %Constructing polynomials
    syms x;                %Defining symbolic variables
    y(x)=poly2sym(p0);
    disp(y(x));
    f=vpa(y(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
    end
    
    p0=round(rand(1,8)*6+1);
    %If you put it in a function, every time you call the function, a polynomial will be generated randomly
    x0=2;
    f=ex6_1(x0,p0);
    disp(f);
    x0=0;
    f=ex6_1(x0,p0);
    disp(f);
    

    输出结果:
    在这里插入图片描述
    3.尝试使用简单迭代法

    function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol)
    format long    %High precision output
    error=1;    %The value of the initialization error
    count=0;    %Initialization counter
    while error>tol  %Shutdown criteria
        x=f(x0);   %Function to be solved
        error=abs(x-x0);  %Update the error of each step
        x0=x;  %Update iteration point
        count=count+1;   
    end
    end
    
    %%Definition of function to be solved
    function f=f(x0)
    syms x;                %Defining symbolic variables
    p0=round(rand(1,8)*6+1);  %Each time the function is called, a random polynomial is constructed
    y(x)=poly2sym(p0);
    f=vpa(y(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
    end
    
    clear;  %Empty variable
    clc;   %Clear screen
    tol=1e-9;  %Set the required precision
    x0=0;  %Exact solution of the point near
    [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol);  %Use simple iterative algorithm
    disp('The exact solution is as follows:')
    disp(x);  
    disp('Number of iterations required:')
    disp(count);  
    

    输出结果(这是什么东西…):
    在这里插入图片描述
    构造多项式并改写成 x = ϕ ( x ) x=\phi(x) x=ϕ(x) 的形式

    function [f,df]=ex6_1(x0,p0)
    syms x;                %Defining symbolic variablesS
    y(x)=poly2sym(p0);
    % disp('This is a randomly generated equation of degree 7')
    % disp(y(x));
    q(x)=((y(x)-p0(6)*x^2)/(-p0(6)))^(1/2);
    % disp('This is phi(x)');
    % disp(q(x));
    f=vpa(q(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
    df(x)=diff(q(x));
    df=vpa(df(x0));
    end
    
    function [x,count]=Newton_it(x0,tol)
    format long
    error=1;
    count=0;
    p0=round(rand(1,8)*6+1);
    while error>tol && count <50
        [f,df]=ex6_1(x0,p0);
        x=x0-f/df;  %Newton iteration scheme
        error=abs(x-x0);
        disp('error:')
        disp(error);
        x0=x;
        count=count+1;
    end
    end
    
    clear;  %Empty variable
    clc;   %Clear screen
    x0=10;
    tol=1e-3;
    [x,count]=Newton_it(x0,tol);
    disp('The exact solution is as follows:')
    disp(x);
    disp('Number of iterations required:')
    disp(count);
    
    function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol)
    format long    %High precision output
    error=1;    %The value of the initialization error
    count=0;    %Initialization counter
    p0=round(rand(1,8)*6+1);
    disp(p0);
    while error>tol && count<20 %Shutdown criteria
        x=ex6_1(x0,p0);   %Function to be solved
        disp(x0);
        count=count+1;
        error=abs(x-x0);
        disp('it is error');
        disp(error);
        x0=x;
    end
    end
    
    clear;  %Empty variable
    clc;   %Clear screen
    tol=1e-5;  %Set the required precision
    x0=0;  %Exact solution of the point near
    [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol);  %Use simple iterative algorithm
    disp('The exact solution is as follows:')
    disp(x);  
    disp('Number of iterations required:')
    disp(count);  
    
    close all;
    clear all;
    clc;
    ezplot('x^2+((5/4)*y-sqrt(abs(x)))^2-4=0',[-3,3])
    grid on
    
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空空如也

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不动点法求函数迭代