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  • 不动点迭代法求方程f(x)=x^3-2*x-1=0的根,按以下两种方案实现,分析迭代函数对收敛性的影响。要求输出每次的迭代结果并统计所用的迭代次数,取精度c=0.5*10^(-5),x0=2. 方案一:化方程为等价方程x=pow(2*x+1,...

    题:

      用不动点迭代法求方程f(x)=x^3-2*x-1=0的根,按以下两种方案实现,分析迭代函数对收敛性的影响。要求输出每次的迭代结果并统计所用的迭代次数,取精度c=0.5*10^(-5),x0=2.

     方案一:化方程为等价方程x=pow(2*x+1,1.0/3)=g(x)

    方案二:化方程为等价方程x=(x^3-1)/2

    程序流程图:(流程图出自计算方法——江西高校出版社)

     

     

    方案一:

    代码:

    #include <iostream>
    using namespace std;
    #include<math.h>
    #include<iomanip>
    int main()
    {
        double x0=0, c = 0.5 * 1e-5,x1=2;
        int i = 0;
        cout <<setw(3)<< 'i' <<  setw(12) << "x0" << setw(12) << "x1" << endl;
        for(i = 0; abs(x1 - x0) >= c;i++)//如果未满足精度要求
        {
            x0 = x1;
            x1 = pow(2 * x0 + 1, 1.0 / 3);
            cout << setw(3) << i << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(6) << setw(12) << x0 << setw(12) << x1 << endl;
        }
        return 0;
    }

     

    书本中的方法分析:

          对于二分法来说只要设置了精度,无论它是多小的一个数,不断地二分,区间也能很快收敛,程序就能在一定时间内结束;

    而对于迭代法,程序可能不收敛,所以需要设置一个大迭代次数MAXREPT防止不停输出。

          对于精度c,区间a和b,以及三次方根的函数均可是不变的,固定的,用宏定义,使程序可读性更好。

     

     

    计算结果:

     

     

    方案二:

    代码:

    #include <iostream>
    using namespace std;
    #include<iomanip>
    #define MAXREPT 10//最大迭代次数
    #define c 0.5e-5//精度
    #define g(x) (x*x*x-1)/2
    void main()
    {
        double x0 = 2,x1=2;
        int i = 0;
        cout << setw(3) << 'i' << setw(12) << "x0" << setw(12) << "x1" << endl;
        for (i = 0; i < MAXREPT; i++)//迭代10次
        {
            x0 = x1;
            x1 = g(x0);
            cout << setw(3) << i << cout.precision(5) << setw(12) << x0<<setw(12) << x1 << endl;
            if (abs(x1 - x0) <= c)
            {
                break;
            }
        }
    }
     

    计算结果:

     

    结果不收敛。可见对于不动点迭代法选取不同的g(x),收敛性不同。

     

    展开全文
  • 不动点迭代和牛顿迭代法不动点迭代feval函数简单迭代法 不动点迭代 不动点可看成 y=φ(x)与y=xy=φ(x)与y=xy=φ(x)与y=x 的交点 feval函数 功能是求函数值 基本使用格式:y=feval(fhandle, x) %fhandle——函数...

    MATLAB基础

    feval函数

    用于求函数值

    基本使用格式:y=feval(fhandle, x)    
    %fhandle——函数表达式,x——变量值[y1, y2, ...] = feval(fhandle, x1,..., xn)
    

    format long

    设置输出格式,表示高精度输出

    syms x

    定义符号变量,用于占位符占位!

    简单迭代法【不动点迭代】

    大致讲解:

    不动点可看成 y = φ ( x ) 与 y = x y=φ(x)与y=x y=φ(x)y=x 的交点
    在这里插入图片描述

    MATLAB实现:

    function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol)
    format long    %High precision output
    error=1;    %The value of the initialization error
    count=0;    %Initialization counter
    while error>tol  %Shutdown criteria
        x=f(x0);   %Function to be solved
        error=abs(x-x0);  %Update the error of each step
        x0=x;  %Update iteration point
        count=count+1;   
    end
    end
    
    %%Definition of function to be solved
    function f=f(x)
    f=(10/(4+x))^(1/2);
    end
    

    测试文件:

    clear;  %Empty variable
    clc;   %Clear screen
    tol=1e-9;  %Set the required precision
    x0=1.5;  %Exact solution of the point near
    [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol);  %Use simple iterative algorithm
    disp('The exact solution is as follows:')
    disp(x);  
    disp('Number of iterations required:')
    disp(count);  
    

    结果展示:
    在这里插入图片描述

    Newton 迭代法

    matlab算法实现

    function [x,count]=Newton_it(x0,tol)
    format long
    error=1;
    count=0;
    while error>tol
        x=x0-f(x0)/df(x0);  %Newton iteration scheme
        error=abs(x-x0);   
        x0=x;
        count=count+1;
    end
    end
    
    %%Enter the function test below
    function f=f(x0)
    syms x;                %Defining symbolic variables
    m(x)=x^2-115;
    f=vpa(m(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
    end
    
    function df=df(x0)  %Calculating the first derivative of a function
    syms x;                %Defining symbolic variables
    m(x)=x^2-115;
    df(x)=diff(m(x));
    df=vpa(df(x0));
    end
    

    测试文件

    clear;  %Empty variable
    clc;   %Clear screen
    x0=10;
    tol=1e-6;
    [x,count]=Newton_it(x0,tol);
    disp('The exact solution is as follows:')
    disp(x);
    disp('Number of iterations required:')
    disp(count);
    

    结果展示:
    在这里插入图片描述

    作业

    1. 用两种迭代方式求解一个多项式的根,多项式满足下面两个条件:
      (1)7次多项式
      (2)系数在(0,7] 之间
      要求:写出收敛阶、收敛速度、初值
    2. 求出下面方程的根并作图 x 2 + ( 5 4 y − ∣ x ∣ ) 2 − 4 = 0 x^{2}+\left ( \frac{5}{4}y-\sqrt{|x|} \right )^{2}-4=0 x2+(45yx )24=0
      初值(这个方程的初值不好找!)

    尝试解答:

    1.如何生成一个随机整数向量(满足第二个条件叭)

    round(rand(1,5)*6+1)
    

    在这里插入图片描述

    2.构造随机多项式

    function f=ex6_1(x0,p0)     %Constructing polynomials
    syms x;                %Defining symbolic variables
    y(x)=poly2sym(p0);
    disp(y(x));
    f=vpa(y(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
    end
    
    p0=round(rand(1,8)*6+1);
    %If you put it in a function, every time you call the function, a polynomial will be generated randomly
    x0=2;
    f=ex6_1(x0,p0);
    disp(f);
    x0=0;
    f=ex6_1(x0,p0);
    disp(f);
    

    输出结果:
    在这里插入图片描述
    3.尝试使用简单迭代法

    function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol)
    format long    %High precision output
    error=1;    %The value of the initialization error
    count=0;    %Initialization counter
    while error>tol  %Shutdown criteria
        x=f(x0);   %Function to be solved
        error=abs(x-x0);  %Update the error of each step
        x0=x;  %Update iteration point
        count=count+1;   
    end
    end
    
    %%Definition of function to be solved
    function f=f(x0)
    syms x;                %Defining symbolic variables
    p0=round(rand(1,8)*6+1);  %Each time the function is called, a random polynomial is constructed
    y(x)=poly2sym(p0);
    f=vpa(y(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
    end
    
    clear;  %Empty variable
    clc;   %Clear screen
    tol=1e-9;  %Set the required precision
    x0=0;  %Exact solution of the point near
    [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol);  %Use simple iterative algorithm
    disp('The exact solution is as follows:')
    disp(x);  
    disp('Number of iterations required:')
    disp(count);  
    

    输出结果(这是什么东西…):
    在这里插入图片描述
    构造多项式并改写成 x = ϕ ( x ) x=\phi(x) x=ϕ(x) 的形式

    function [f,df]=ex6_1(x0,p0)
    syms x;                %Defining symbolic variablesS
    y(x)=poly2sym(p0);
    % disp('This is a randomly generated equation of degree 7')
    % disp(y(x));
    q(x)=((y(x)-p0(6)*x^2)/(-p0(6)))^(1/2);
    % disp('This is phi(x)');
    % disp(q(x));
    f=vpa(q(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
    df(x)=diff(q(x));
    df=vpa(df(x0));
    end
    
    function [x,count]=Newton_it(x0,tol)
    format long
    error=1;
    count=0;
    p0=round(rand(1,8)*6+1);
    while error>tol && count <50
        [f,df]=ex6_1(x0,p0);
        x=x0-f/df;  %Newton iteration scheme
        error=abs(x-x0);
        disp('error:')
        disp(error);
        x0=x;
        count=count+1;
    end
    end
    
    clear;  %Empty variable
    clc;   %Clear screen
    x0=10;
    tol=1e-3;
    [x,count]=Newton_it(x0,tol);
    disp('The exact solution is as follows:')
    disp(x);
    disp('Number of iterations required:')
    disp(count);
    
    function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol)
    format long    %High precision output
    error=1;    %The value of the initialization error
    count=0;    %Initialization counter
    p0=round(rand(1,8)*6+1);
    disp(p0);
    while error>tol && count<20 %Shutdown criteria
        x=ex6_1(x0,p0);   %Function to be solved
        disp(x0);
        count=count+1;
        error=abs(x-x0);
        disp('it is error');
        disp(error);
        x0=x;
    end
    end
    
    clear;  %Empty variable
    clc;   %Clear screen
    tol=1e-5;  %Set the required precision
    x0=0;  %Exact solution of the point near
    [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol);  %Use simple iterative algorithm
    disp('The exact solution is as follows:')
    disp(x);  
    disp('Number of iterations required:')
    disp(count);  
    
    close all;
    clear all;
    clc;
    ezplot('x^2+((5/4)*y-sqrt(abs(x)))^2-4=0',[-3,3])
    grid on
    
    展开全文
  • 单个方程的不动点迭代

    千次阅读 2018-06-18 09:48:55
    1. 不动点和不动点迭代法设 f 是连续函数,为了解方程 把方程变换为等价的方程 其中φ 是连续函数。若x* 是f 的零点,即f(x*)=0 则有 x*称为函数φ 的一个不动点.构造的迭代法 这称为一种...

    1. 不动点和不动点迭代法

    设 f 是连续函数,为了解方程

                       

    把方程变换为等价的方程

                                     

    其中φ 是连续函数。若x* 是f 的零点,即f(x*)=0 则有

    x*称为函数φ 的一个不动点.构造的迭代法

                    

    这称为一种不动点迭代法, 称为迭代函数。由(1.3)式产生的序列 {xk}如果满足 ,


    则 x*是φ的一个不动点。即方程(1.1)的一个根。

    2.函数在区间上不动点的存在性和唯一性及推论

    定理 2.1    设 φ∈C[a,b]且满足

                                            

    则 φ 在[a,b] 上一定存在不动点。若φ 满足(2.1),又存在常数L∈(0,1) 使

             

    则φ 在[a,b] 的不动点是唯一的。

    条件 (2.2)称为Lipschitz条件,L称为Lipschitz常数。

     

    定理 2.1的推论 设函数φ满足(2.1),又 φ'∈C[a,b],且存在常数L∈(0,1) ,使

                     

    则φ 在[a,b] 上存在唯一的不动点。

    3.迭代法在区间[a,b]的收敛性  

    定理3.1    设φ∈C[a,b],满足条件(2.1)和(2.2),其中L∈(0,1)。则对任意的x0∈[a,b],由迭代法(1.3) 产生的序列{xk}收敛到φ在[a,b]上的不动点x* ,而且对整数P≥1,


             

    定理3.1描述了对任意的x0∈[a,b],{xk}收敛到[a,b]唯一的不动点x*,这可以说是在区间[a,b]上的全局收敛性。

    局部收敛性

    定义 设函数φ在区间[a,b]上有不动点x* , 如果存在x*的一个邻域


    对任意的 x0∈S,迭代法(1.3)产生的序列{xk}∈S,且{xk}收敛到x*,就称迭代法(1.3)局部收敛。

     

    定理3.2   设 x*为函数φ 的不动点, 在φ'在x*的某个邻域上存在且连续,且


    则迭代法(1.3)局部收敛。

    4.牛顿迭代法

    设x*是f的零点,并已有一个近似值xk≈x*,如果f''存在且连续,由Taylor展开式得

            ,       

    其中ξ在xk和x*之间。因为f(x*)=0,如果f'(xk)≠ 0,略去最后一项即得

    .                        

    这就是Newton迭代法,又称Newton-Raphson迭代法。

    牛顿迭代法的局部收敛性

    Newton迭代法对应的迭代函数是


    定理4.1    设f(x*)=0 ,f'(x*)≠ 0,且f在包含x*的一个区间上有二阶连续导数,则牛顿迭代法(4.2)局部收敛到x* 。

     

    练习题:设 a>0, 求平方根


    可以转化为解方程


    求迭代公式及迭代公式在(0,+∞)上的全局收敛性。并和二分法比较。

    练习题解答请参考:点击打开链接

    5.参考文献

    最优化理论与算法(第二版).陈宝林编著.



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  • 不动点迭代法的实现 不动点迭代法,是求方程的迭代方法。为什么要迭代的求,直接法不好吗?直接法显然比较好,但是存在弊端,比如函数形式较复杂时,求解器不容易直接求得。利用不动点的性质,可以...

    一 不动点是什么?

    不动点,其实定义比较简单,对于一些方程,例如f(x)=cosx,那么令cosx=x的点就是函数的不动点,说白了,就是y=x这条直线与函数曲线的交点。这个不动点有什么用呢?请继续往下看。

    二 不动点迭代法的实现

    不动点迭代法,是求方程的迭代方法。为什么要迭代的求,直接法不好吗?直接法显然比较好,但是存在弊端,比如函数形式较复杂时,求解器不容易直接求得。利用不动点的性质,可以将函数的求解问题转化为不动点方程,从而使用有限次迭代求得方程的解。

    其实不动点迭代的代码相对简单而且易懂:

    x0=3;
    x=x0;
    k=10;
    ezplot(@(x,f)f-((x-1).^2+1))       %画出函数图像
    %构造的不动点方程为:x=2-x,斜率不行,构造其他的本次是两边同时加x^2
    axis([-5,5,-3,10])       %固定坐标轴
    hold on
    for i=1:k                %迭代k次
        x=(2-x0+1*x0^2)/(1*x0+1);                         %-2*x为梯度反方向,step为步长,!最速下降法!
        f_current=(x-1)^2+1;
        f_error=abs((x-1)^2-(x0-1)^2);
        plot(x,f_current,'ro','markersize',7) %标记当前的位置
        drawnow;pause(0.2);
        x0=x;
        if f_error<0.000001
            break;
        end
    end

    上述代码是利用FPI求解函数f(x)=(x-1)^{2}+1的极小值。我们知道,该函数的极值在驻点处,也就是一阶导数为0的地方,求导得f^{'}(x)=2(x-1)=0。其实一眼就看出来的解,这里只是作为说明,以简单的例子说明一般问题。到这一步了,如何构造FPI呢?其实只需将x剥离出来,也就是:

    f^{'}(x)=2(x-1)=0 \rightarrow x=2-x \rightarrow x_{k+1}=2-x_{k}=g(x_{k})

    但是FPI收敛的条件是:

    |g^{'}(x_{0})|<1

    因此,我们需要对迭代方程进行改造。我们在方程两侧加上一项x^2:

    x+x^{2}=2-x+x^{2}\rightarrow x(x+1)=2-x+x^{2} \rightarrow x=\frac{2-x+x^{2}}{(x+1)} \rightarrow x_{k+1}=\frac{2-x_{k}+x_{k}^{2}}{(x_{k}+1)}

    这样,得到的FPI即可满足要求。为什么加x^2?其实我也是偶然凑出来的。

    三 不动点迭代法的作用

    受FPI算法思想的影响,可以创造出一些有趣的算法,用于求类似的方程或方程组的解。

    其实之前也不了解该方法,只是看书的时候遇见了一个IRLS-based Iteration shrinkage算法,里面用到了不动点迭代法的思想,加深理解。

    书中的问题也是寻找方程组的驻点:

    其实使用共轭梯度法或者直接法也能求出解,作为一种新的想法,Adeyemi and Davies将方程两侧均加入了cx,使用构造不动点方程:

    将x归纳后,一部分移至一侧,加入迭代索引:

    最终:

    其中W是对角矩阵,因此其逆就等于是将W的对角元素取倒数即可。但是该方法有个痛点,也就是一旦W对角元素为0,那么它就永远为0了,算法可能就会陷入尴尬的境地。

     

     

     

     

     

     

     

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  • 最优化方法:牛顿迭代法和拟牛顿迭代

    万次阅读 多人点赞 2014-04-27 09:18:18
    http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/24574293牛顿法和拟牛顿法(Newton's method & Quasi-Newton Methods)牛顿法(Newton's method) 又称为牛顿-拉弗森方法(Newton-Raphson method)...方法使用函数
  • 矩阵迭代

    千次阅读 2014-02-25 14:22:51
    1 基本迭代方法  实际问题PDE矩阵计算 A x = b,一般采用迭代解法。基本迭代方法(Jacobi, G-S SOR)主要分两步:矩阵分裂和残差正交投影。  A = D - E - F, (b - A x_k+1)|_i = 0 ----->  Jacobi迭代...
  • 小波基函数的选择和小波构造

    万次阅读 多人点赞 2015-01-15 22:24:28
    在高分辨率下,我们可以用f在(2^j*t)的采样值来代替向Vj空间的投影,但是这是需要说明的,否则成为“小波的罪恶”,本来在Vj上的投影需要函数对Vj上的基{2^(j/2)*m(2^j*t –n)}投影,用采样值来代替是因为当j...
  • C++ STL与迭代

    千次阅读 多人点赞 2020-05-08 13:05:49
    STL 中的许多算法(即函数模板),如排序、查找等算法,在执行过程中会对容器中的元素进行比较。这些算法在比较元素是否相等时通常用运算符进行,比较大小通常用<运算符进行,因此,被放入容器的对象所属的类最好...
  • 利用互补问题的等价不动点格式,建立了一种迭代公式,进而对其中不可微的极大值函数,分别用熵函数方法导出的两个光滑函数进行逼近,构造了两个不同的算法.对文献里的几个标准互补问题的测试,显示了算法的稳定性和有效性...
  • JavaScript函数,作用域以及闭包

    千次阅读 2017-04-30 01:27:53
    JavaScript函数,作用域以及闭包 1. 函数 (1). 函数定义:函数使用function关键字定义,它可以用在函数定义表达式或者函数声明定义。 a. 函数的两种定义方式: * function functionName() {} * var ...
  • 《高斯核函数的两性质》

    万次阅读 2014-03-15 10:18:23
    高斯核函数的两性质  高斯核函数 K(x,y)=exp(-||x-y||2/2σ2) 在选择核函数时,若对给出的数据没有先验知识,RBF核就是最好的选择。为了研究为什么使用了核技巧的学习机器往往具有良好的推广能力,文献[1]...
  • Kotlin中的函数

    千次阅读 2017-06-21 09:56:00
    无论函数还是方法我们这里统称函数,Koltin中的函数要比Java中丰富的多,我们这篇文章来了解下Kotlin中的各类函数。 内联函数 Android开发中,打印信息一般我们会用到Log类,Log中每个方法我们都要传两个参数,第...
  • Noisy Actiation Functions是ICML 2016年新发表的一篇关于激活函数的论文,其中对以往的激活函数进行了深入的分析,并提出了训练过程中添加噪声的新方法,效果不错,觉得很有意义。
  • map函数

    千次阅读 2017-08-15 14:07:33
    map()函数 [cpp] view plain copy map的详细用法:   map是STL的一个关联容器,它提供一对一(其中第一个可以称为关键字,每个关键字只能在map中出现一次,第二个可能称为该关键字的值)的...
  • 一般迭代法 1. 基本原理和迭代公式 先看一个例子。设有两个函数y=φ(x)y=\varphi(x)y=φ(x)和y=xy=xy=x,欲求其交点x∗x^*x∗。为此,可将函数y=xy=xy=x改写成x=yx=yx=y的形式,并给定一个初始值x0x_0x0​,并进行...
  • 非线性方程求根迭代

    千次阅读 2017-04-07 19:47:41
    一、写在前面 **实验内容** **本次实验参考公式** 二、实验过程 【参考代码】#include ...#include <math.h>double IterationFunction(double x) //迭代函数 { return pow(x+1.0, 1.0/3); }double function(double

空空如也

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不动点迭代函数构造