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  • 不动点迭代法matlab
    2021-04-18 11:18:30

    不动点迭代法的 MATLAB 程序代码如下: Function [root,n]=StablePoint(f,x0,eps) %用不动点迭代法求函数的一个零点 %初始迭代向量:x0 %根的精度:eps %......

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    实验报告容: 一:不动点迭代法解方程 二:牛顿插值法的 MATLAB 实现 完成...

    第6章 方程与方程组的迭代解法 § 6.2 不动点迭代法及其收敛定理 一、迭代法...

    常见的迭代算法有 不动点迭代 牛顿法 弦截法 抛物线法 威格斯坦法(Wegstein) 不动点迭代法 我们可以通过多种方法将方程式 f x 0 转化为 x gx 例如方程 x2 ......

    实验报告内容: 一:不动点迭代法解方程 二:牛顿插值法的 MATLAB 实现 完...

    中查看迭代过程 iteration x1 x2 x3 .mulStablePoint 用不动点迭代法求非线性方 程组的一个根 function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps) %非线性方程组:......

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    x* xn | 1 1 L | xn1 xn | 04:37 15/25 局部收敛定理定理2.5 设x*为( x)的不动点, ( x)在x*的某邻域连 续且 ( x* ) 1, 则迭代法局部......

    2? ( x) + x 3.4 MATLAB实现 实现加速收敛方法和Steffensen迭代 例:用不动点迭代法、 Aitken加速收敛方法和 用不动点迭代法、 加速收敛方法和 迭代 法分别......

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  • [数值分析]不动点迭代法

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    1.1.1.不动点与不动点迭代法 对于方程 f(x)=0(1.1)(1.1)f(x)=0f(x) = 0\tag{1.1} 改写成 x=φ(x)(1.2)(1.2)x=φ(x) x = \varphi(x)\tag{1.2} 若要求x∗x∗x^*满足f(x∗)=0f(x∗)=0f(x^*) = 0,则x∗=φ(x∗)x∗...

    1. 1. 不动点与不动点迭代法

    对于方程

    f(x)=0(1.1) (1.1) f ( x ) = 0

    改写成
    x=φ(x)(1.2) (1.2) x = φ ( x )

    若要求 x x ∗ 满足 f(x)=0 f ( x ∗ ) = 0 ,则 x=φ(x) x ∗ = φ ( x ∗ ) ;反之亦然。则称 x x ∗ 为函数 φ(x) φ ( x ) 的一个不动点。
    选择一个初始近似值 x0 x 0 ,将它代入 (1.2) ( 1.2 ) 式子右端,即可求得
    x1=φ(x0) x 1 = φ ( x 0 )

    可以如此反复迭代计算得到
    xk+1=φ(xk),k=0,1,....(1.3) (1.3) x k + 1 = φ ( x k ) , k = 0 , 1 , . . . .

    φ(x) φ ( x ) 称为迭代函数,如果对于任何 x0[a,b] x 0 ∈ [ a , b ] ,由 (1.3) ( 1.3 ) 式子得到的序列 {xk} { x k } 有极限
    limkxk=x lim k → ∞ x k = x ∗

    则称迭代方程 (1.3) ( 1.3 ) 收敛,且 x=φ(x) x ∗ = φ ( x ∗ ) φ(x) φ ( x ) 的不动点,故称 (1.3) ( 1.3 ) 为不动点迭代法。

    更简单的说不动点也可看成 y=φ(x)y=x y = φ ( x ) 与 y = x 的交点。
    如图
    这里写图片描述


    2. 2. 不动点的存在性与迭代法的收敛性

    首先考察 φ(x) φ ( x ) 在[a,b]上不动点的存在唯一性。

    展开全文
  • 其他算法-不动点迭代

    2021-03-07 17:07:24
    不动点迭代法(Fixed Point Iteration)又叫简单迭代法,对于一个非线性方程 f(x)=0f(x)=0f(x)=0 将其转换成以下形式: x=φ(x)x=\varphi (x)x=φ(x) 假设 φ(x)\varphi (x)φ(x) 是一个连续函数(φ(x)\varphi (x)...

    不动点迭代

    不动点迭代法(Fixed Point Iteration)又叫简单迭代法,对于一个非线性方程 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0 将其转换成以下形式:
    x = φ ( x ) x=\varphi (x) x=φ(x)
    假设 φ ( x ) \varphi (x) φ(x) 是一个连续函数( φ ( x ) \varphi (x) φ(x)被称为迭代函数),任取一个初始值 x 0 x_{0} x0 代入上式右端,得到:
    x 1 = φ ( x 0 ) x_{1}=\varphi (x_{0}) x1=φ(x0)
    并依次迭代计算:
    x 2 = φ ( x 1 ) , . . . , x k + 1 = φ ( x k ) x_{2}=\varphi (x_{1}),...,x_{k+1}=\varphi (x_{k}) x2=φ(x1),...,xk+1=φ(xk)
    如果存在一点 x ∗ x^{*} x,使得迭代序列{ x k x_{k} xk}满足: l i m k → ∞ x k = x ∗ lim_{k\rightarrow \infty }x_{k}=x^{*} limkxk=x,则称迭代是收敛的,否则为发散;

    迭代的收敛性

    设迭代函数 φ ( x ) \varphi (x) φ(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续,且满足:

    • x ∈ [ a , b ] x\in [a,b] x[a,b] 时, a ≤ φ ( x ) ≤ b a\leq \varphi (x)\leq b aφ(x)b
    • 存在一个正数 0 < L < 1 0<L<1 0<L<1,且 ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x\in [a,b] x[a,b],有 ∣ φ ′ ( x ) ∣ ≤ L |\varphi ^{'}(x)|\leq L φ(x)L

    则方程 x = φ ( x ) x=\varphi (x) x=φ(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 内有唯一解 x ∗ x^{*} x,对任意初始值 x 0 ∈ [ a , b ] x_{0}\in [a,b] x0[a,b],迭代法总能收敛于 x ∗ x^{*} x

    迭代法实例

    对于一层全连接网络,如果使用tanh作为激活函数,很容易通过tensorflow写出过程:

    # 注意tf.multiply是张量逐个元素相乘,tf.matmul才是矩阵乘法
    y=tf.matmul(W,x)+b
    y=tf.tanh(y)
    

    假设现在想用 x = y + c o s y x=y+cosy x=y+cosy 的反函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 来激活,就需要先解出 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x);很明显 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 是一个超越函数,不能用初等函数有限表示,故用不动点迭代法求出近似值;(把 x x x 看作常量,方程就变成只含有 y y y 的式子)

    改变形式为:
    y = x − c o s y y=x-cosy y=xcosy
    迭代为:
    y k + 1 = x − c o s ( y k ) y_{k+1}=x-cos(y_{k}) yk+1=xcos(yk)
    选择初始值 y 0 = x y_{0}=x y0=x,迭代三次为:
    y = x − c o s ( x − c o s ( x − c o s x ) ) y=x-cos(x-cos(x-cosx)) y=xcos(xcos(xcosx))
    此时,可以用tensorflow表示使用该激活函数的过程:

    y=tf.matmul(W,x)+b
    Y=y
    for i in range(3):
    	Y=y-tf.cos(Y)
    
    展开全文
  • 单个方程的不动点迭代法

    千次阅读 2018-06-18 09:48:55
    1. 不动点和不动点迭代法设 f 是连续函数,为了解方程 把方程变换为等价的方程 其中φ 是连续函数。若x* 是f 的零点,即f(x*)=0 则有 x*称为函数φ 的一个不动点.构造的迭代法 这称为一种...

    1. 不动点和不动点迭代法

    设 f 是连续函数,为了解方程

                       

    把方程变换为等价的方程

                                     

    其中φ 是连续函数。若x* 是f 的零点,即f(x*)=0 则有

    x*称为函数φ 的一个不动点.构造的迭代法

                    

    这称为一种不动点迭代法, 称为迭代函数。由(1.3)式产生的序列 {xk}如果满足 ,


    则 x*是φ的一个不动点。即方程(1.1)的一个根。

    2.函数在区间上不动点的存在性和唯一性及推论

    定理 2.1    设 φ∈C[a,b]且满足

                                            

    则 φ 在[a,b] 上一定存在不动点。若φ 满足(2.1),又存在常数L∈(0,1) 使

             

    则φ 在[a,b] 的不动点是唯一的。

    条件 (2.2)称为Lipschitz条件,L称为Lipschitz常数。

     

    定理 2.1的推论 设函数φ满足(2.1),又 φ'∈C[a,b],且存在常数L∈(0,1) ,使

                     

    则φ 在[a,b] 上存在唯一的不动点。

    3.迭代法在区间[a,b]的收敛性  

    定理3.1    设φ∈C[a,b],满足条件(2.1)和(2.2),其中L∈(0,1)。则对任意的x0∈[a,b],由迭代法(1.3) 产生的序列{xk}收敛到φ在[a,b]上的不动点x* ,而且对整数P≥1,


             

    定理3.1描述了对任意的x0∈[a,b],{xk}收敛到[a,b]唯一的不动点x*,这可以说是在区间[a,b]上的全局收敛性。

    局部收敛性

    定义 设函数φ在区间[a,b]上有不动点x* , 如果存在x*的一个邻域


    对任意的 x0∈S,迭代法(1.3)产生的序列{xk}∈S,且{xk}收敛到x*,就称迭代法(1.3)局部收敛。

     

    定理3.2   设 x*为函数φ 的不动点, 在φ'在x*的某个邻域上存在且连续,且


    则迭代法(1.3)局部收敛。

    4.牛顿迭代法

    设x*是f的零点,并已有一个近似值xk≈x*,如果f''存在且连续,由Taylor展开式得

            ,       

    其中ξ在xk和x*之间。因为f(x*)=0,如果f'(xk)≠ 0,略去最后一项即得

    .                        

    这就是Newton迭代法,又称Newton-Raphson迭代法。

    牛顿迭代法的局部收敛性

    Newton迭代法对应的迭代函数是


    定理4.1    设f(x*)=0 ,f'(x*)≠ 0,且f在包含x*的一个区间上有二阶连续导数,则牛顿迭代法(4.2)局部收敛到x* 。

     

    练习题:设 a>0, 求平方根


    可以转化为解方程


    求迭代公式及迭代公式在(0,+∞)上的全局收敛性。并和二分法比较。

    练习题解答请参考:点击打开链接

    5.参考文献

    最优化理论与算法(第二版).陈宝林编著.



    展开全文
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空空如也

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