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  • 不同信号及其分析方法
    2022-03-13 14:56:13

    1.傅里叶变换及其性质

    非周期信号傅里叶变换:

    F(f)= \int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{_{-j2\pi f}})dt

    f(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }F(f)e^{_{j2\pi t}}df

    常见傅里叶变换:

    时域傅里叶变换
    \delta (t)1
    \delta_{'}(t)j2\pi f
    e^{^{-at}}u(t)\frac{1}{a+j2\pi f}
    sgn(f)\frac{1}{j2\pi f}
    AG_{T}(t)ATsinc(fT)
    A\Lambda (\frac{t}{T})ATsinc^{2}(fT)
    \frac{1}{\pi t}-jsgn(f)
    sinc(at)\frac{1}{a}G_{a}(f)
    u(t)\frac{1}{2}\delta (f)+\frac{1}{j2\pi f}
    e^{-a|t|}

    \frac{2a}{a^{2}+4\pi^{2} f^{2}}

    常用傅里叶变换性质:

    1.对称性:f(t) \leftrightarrow F(f) F(t)\leftrightarrow f(-f)

    2.时移特性f(t-t_{0})\leftrightarrow F(f)e^{-j2\pi ft_{0}}

    3.频移特性f(t)e^{j2\pi f_{0}t}\leftrightarrow F(f-f_{0})

    4.尺度变换f(at)\leftarrow \frac{1}{|a|}F(\frac{f}{a})

    5.时域微分\frac{df(t)}{dt}\leftrightarrow j2\pi fF(f)

    6.奇偶虚实性:f^{*}(t)\leftrightarrow F^{*}(-f)(实函数的幅度谱时偶函数,相位谱是奇函数)

    7.卷积定理f_{1}(t)*f_{2}(t)\leftrightarrow F_{1}(f) F_{2}(f)(时域有限信号可以表示为一个矩形窗和另一个信号的城乘积,由矩形窗的频谱图可知,时域有限宽,频域无线宽)

    8.帕萨瓦定理\int_{-\infty }^{+\infty }s_{1}^{*}(t)s_{2}(t)dt=\int_{-\infty }^{+\infty }F_{1}^{*}(f)F_{2}(f)df(当两个信号一致时,也可称为能量守恒定理)

    9.信号面积:当f_{c}\gg \frac{1}{T}时,\int_{0}^{T}cos(2\pi f_{c}t)dt=0(利用x(t)=G(t-\frac{T}{2})的傅里叶变换在f=0处取值得到)

    周期信号傅里叶变换:

    f_{1}(t)为f(t)在[-\frac{T}{2} \frac{T}{2}]的部分,则F_{1}(f)=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{1}(t)e^{-j2\pi ft}dt      ,       F_{n}=\frac{1}{T}F_{1}(f)|_{f=nf_{1}}

    代入得,周期信号的傅里叶变换为:

    F(f)=\sum_{-\infty }^{+\infty}F_{n}\delta (f-nf_{1})

    (主要利用傅里叶变换的频谱搬移性质)

    2.能量谱与功率谱

    能量信号:能量有限的信号,一般为有限长信号

    功率信号:能量无限,功率有限的信号,一般为周期信号、随机信号

    注:存在信号既可以不是能量信号,也可以不是周期信号

    能量谱密度:E(f)=|F(f)|^{2}(由怕萨瓦定理的特例,能量守恒定律推导)

    功率谱密度:P(f)=\lim_{T \mapsto \infty }\frac{|F_{T}(f)|^{2}}{T}(周期信号功率的定义推导)

    周期信号的功率谱密度:P(f)=\sum |F_{n}|^{2}\delta (f-\frac{n}{T})(对照前文周期信号傅里叶变换理解)

    维纳辛钦定理:

    能量/功率信号的自相关函数与能量/功率谱密度是一对傅里叶变换对

    能量/功率信号的互相关函数与互能量/互功率谱密度是一对傅里叶变换对

    能量和/功率和:当两信号正交时,和信号能量/功率=能量/功率和

                              当两信号的互相关函数或互能量谱/互功率谱密度为0时,信号/功率和的能量谱

                              等于信号/功率能量谱的和(实信号的直流分量和交流分量)

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